Môn:%Toán;%ĐỀ%SỐ%19/50%
Ngày%thi%:%26/03/2015%
Thời%gian%làm%bài:%180%phút,%không%kể%thời%gian%giao%đề%
Liên%hệ%đăng%ký%khoá%học%–%Hotline:%0976%266%202%–%Chi%tiết:%www.mathlinks.vn%%
Câu%1%(2,0%điểm).!Cho!hàm!số!
y=
mx−1
x + m (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m =−1.!
2 Gọi!M!là!một!điểm!bất!kỳ!thuộc!(1).!Tiếp!tuyến!của!(1)!tại!M!cắt!các!đường!tiệm!cận!tại! A,B.!Tìm!m!để!diện!tích!tam!giác!IAB!bằng!10,!với!I!là!giao!điểm!của!hai!đường!tiệm!cận.!
Câu%2%(0,5%điểm).%%
a) Giải!phương!trình!
sin x + cos2x + sin(7π
4 −3x) = 1
2 !
b) Xác!định!phần!thực!và!phần!ảo!của!số!phức!z!thoả!mãn! z +2.z = 3−2i !
Câu%3%(0,5%điểm).%Giải!bất!phương!trình!
log22 x−1
x
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟+ log2x.log21
x ≥ 0.!
Câu%4%(1,0%điểm).%Giải!bất!phương!trình! x2+16 −3 x2−3x + 4 ≥ x +1−3.!!
Câu%5%(1,0%điểm).%Tính!diện!tích!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!đồ!thị!hàm!số! y = x3−3x2+ 4và!trục! hoành.!!!!
Câu%6%(1,0%điểm).%Cho!hình!lăng!trụ!ABC.A’B’C’!có!đáy!ABC!là!tam!giác!đều!cạnh! 2a 3 ,!
A'G ⊥ (ABC ) !với!G!trọng!tâm!tam!giác!ABC.!Cạnh!bên!AA’!tạo!với!mặt!phẳng!(ABC)!góc!
600.!Tính!thể!tích!khối!lăng!trụ!ABC.A’B’C’!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!AA’!và!BC.!
Câu%7%(1,0%điểm).!Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;t1;2),!B(1;t5;0)!
và!mặt!phẳng! (P):2x − y+2z −6= 0.!Chứng!minh!rằng!mặt!cầu!đường!kính!AB!cắt!mặt!
phẳng!(P)!theo!giao!tuyến!là!một!đường!tròn.!Xác!định!tâm!và!bán!kính!mặt!cầu!đó.!
Câu%8%(1,0%điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!bình!hành!ABCD!có!
AC = 2AB !Phương!trình!đường!chéo!BD!là! x −4 = 0 !Gọi!E!là!điểm!thuộc!đoạn!AC!thoả! mãn! AC = 4AE ,!M!là!trung!điểm!cạnh!BC.!Tìm!toạ!độ!A,B,C,D!biết!
E(
5
2;7),S BEDC = 36và! điểm!M!nằm!trên!đường!thẳng! 2x + y −18 = 0,x B< 2.!
Câu%9%(0,5%điểm).%Cho!đa!giác!đều! 2n (n ≥2) cạnh.!Tìm!n!biết!số!tam!giác!vuông!tạo!thành!từ!
2n!đỉnh!của!đa!giác!bằng!180.!!
Câu%10%(1,0%điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!không!âm!thoả!mãn! x + y + z +1= 4xyz.!Tìm!giá! trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = x2+ y2+ z2−2(xy + yz + zx)
vvvHẾTvvv%
Trang 2Hotline:%0976%266%202%% Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%% 2!
%
PHÂN%TÍCH%BÌNH%LUẬN%ĐÁP%ÁN%
Câu%1%(2,0%điểm).!Cho!hàm!số!
y=
mx−1
x + m (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m =1.!
2 Gọi!M!là!một!điểm!bất!kỳ!thuộc!(1).!Tiếp!tuyến!của!(1)!tại!M!cắt!các!đường!tiệm!cận!tại! A,B.!Tìm!m!để!diện!tích!tam!giác!IAB!bằng!10,!với!I!là!giao!điểm!của!hai!đường!tiệm!cận.!
1 Khảo!sát!và!vẽ!đồ!thị:!
+)!Tập!xác!định:! R\{1}.!
+)!Sự!biến!thiên:!!
*!Giới!hạn!tại!vô!cực:!Ta!có!
x→−∞lim y= −1!và!
x→+∞lim y= −1.!!
!!!Giới!hạn!vô!cực:!
limx→1+y= −∞!và!
limx→1−y= +∞.!
Suy!ra!đồ!thị!(H)!có!tiệm!cận!ngang!là!đường!thẳng! y =−1,!tiệm!cận!đứng!là!đường!thẳng! x =1.!!
*!Chiều!biến!thiên:!Ta!có!
y '= 2
(x−1)2> 0,với!mọi! x ≠1.!
Suy!ra!hàm!số!đồng!biến!trên!mỗi!khoảng!(−∞;1)!và!(1;+∞).!
*!Bảng!biến!thiên:!
!
!
+)!Đồ!thị:!!
Đồ!thị!cắt!Ox$tại!(−1; 0),!cắt!Oy!tại! (0;1).!
Nhận!giao!điểm! I(1;−1) !của!hai!tiệm!cận!
làm!tâm!đối!xứng.!
2 Ta!có:! I(−m;m),!gọi!
M (a;
ma−1
a + m)∈ (1),!ta!có!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!điểm!M!là:!
y= m2+1
(a + m)2(x −a) + ma−1
a + m !
+)!Phương!trình!tiệm!cận!đứng! x +m = 0,!phương!trình!tiệm!cận!ngang!là! y = m !
Gọi!A!là!giao!điểm!của!tiếp!tuyến!với!tiệm!cận!đứng,!B!là!giao!điểm!của!tiếp!tuyến!với!tiệm! cận!ngang.!
+)!Toạ!độ!A!là!nghiệm!của!hệ!
y= m2+1
(a + m)2(x −a) + ma−1
a + m
x + m = 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔
x = −m
y=−m2+ am −2
a + m
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
.!
x$
'
y $
y $
∞
1
− $
∞
− $
∞ + $
1
y$
I$
1
− $
1$
1$
1
− $
Trang 3
A(−m; −m2+ am −2
a + m ),IA=
2(m2+1)
a + m !
+)!Toạ!độ!B!là!nghiệm!của!hệ
y= m2+1
(a + m)2(x −a) + ma−1
a + m
y = m
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ x = m + 2a
y = m
⎧
⎨
⎪⎪
Suy!ra!
B(m + 2a;m),IB = 2 m + a !!!
Tam!giác!IAB!vuông!tại!I!nên!
S IAB=
1
2IA.IB = 2 m2+1 =10 ⇔ m2= 4 ⇔ m = ±2.!
Kết%luận:%Giá!trị!cần!tìm!của!m!là! m =−2;m = 2.!!!
Câu%2%(1,0%điểm).%
a) Giải!phương!trình!
sin x + cos2x + sin(7π
4 −3x) = 1
2 !
b) Xác!định!phần!thực!và!phần!ảo!của!số!phức!z!thoả!mãn! z +2.z = 3−2i !
a) Phương!trình!tương!đương!với:!
sin x −sin(3x + π
4)+ cos2x = 1
2 ⇔ sin x −sin(3x + π
4)+ cos2x −cos π
4= 0
⇔ 2cos(2x + π
8).sin(−x −π
8)−2sin(x + π
8).sin(x−π
8)= 0
⇔ sin(x + π
8) cos(2x+π
8)+ sin(x − π
8)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ = 0
⇔ sin(x
+π
8)= 0
sin(x−π
8)= −cos(2x + π
8)= sin(2x −3π
8 )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x= −π
8+ kπ
x−π
8= 2x −3π
8 + k2π
x−π
8=11π
8 −2x + k2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x= −π
8+ kπ
x=π
4−k2π
x=π
2+ k2π
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Kết%luận:!Phương!trình!có!nghiệm!
x= −
π
8+ kπ;x = π
4−k2π;x = π
2+ k2π
3 ,k∈ !.!!!!!!!
b) Xác!định!phần!thực!và!phần!ảo!của!số!phức!z!thoả!mãn! z +2.z = 3−2i !
Đặt! z = x + y.i (x,y ∈!) ⇒ z = x − y.i !theo!giả!thiết!ta!có:!
x + y.i + 2(x − yi) = 3−2i ⇔ (3x −3) + (2− y).i = 0 ⇔ 3x−3 = 0
2− y = 0
⎧
⎨
⎪⎪
x=1
y= 2
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ !
Vì!vậy!z!có!phần!thực!bằng!1,!phần!ảo!bằng!2.!!
Trang 4Hotline:%0976%266%202%% Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%% 4!
!!
!
Câu%3%(0,5%điểm).!Giải!bất!phương!trình!
log22 x−1
x
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟+ log2x.log21
x ≥ 0.!
Điều!kiện:!
x> 0
x−1
x > 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⇔ x >1.!
Bất!phương!trình!tương!đương!với:!
log2
2x2−1
x −log22x≥ 0.!
!
⇔ (log2
x2−1
x −log2x)(log2x
2−1
x + log2x)≥ 0 ⇔ log2x2−1
x2 log2(x2−1) ≥ 0.!
Với!mọi!
x>1⇒ 0 <
x2−1
x2 <1⇒ log2x2−1
x2 < 0.!
Do!đó!bất!phương!trình!tương!đương!với:! ⇔log2(x2−1) ≤ 0 ⇔ x2−1≤1 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 2.!
Đối!chiếu!với!điều!kiện!ta!có:! 1< x ≤ 2 !!
Kết%luận:!Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!
S= 1; 2( ⎤
⎦⎥.!!
Câu%4%(1,0%điểm).%Giải!bất!phương!trình! x2+16 −3 x2−3x + 4 ≥ x +1−3.!!
Phân%tích%lời%giải:%
Ta!tìm!được!hai!nghiệm!của!phương!trình!là!x=0;x=3!do!vậy!ta!sẽ!thực!hiện!phép!liên!hợp! ghép!với!(ax+b).!!
Để!tìm!nhân!tử!ghép!liên!hợp!(ax+b)!với!mỗi!căn!thức!ta!làm!như!sau:!
Với!căn!thức!đầu!tiên:!
x2+16 = ax + b ⇒ x= 0 ⇒ 02+16 = a.0+ b
x= 3 ⇒ 32+16 = 3a + b
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
a=1 3
b= 4
⎧
⎨
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪ !
Vậy!ta!sẽ!ghép! x2+16!với!
1
3x+ 4 = x+12
3 ;!tương!tự!cho!hai!căn!thức!còn!lại!ta!tìm!được!!
x
2−3x + 4 → 2; x +1 → x+ 3
3 !
Lời%giải:%%%%
Viết!lại!bất!phương!trình!dạng!như!sau:!
x2+16 −x+12
3 −3( x2−3x + 4 −2) ≥ x +1 − x+ 3
3
⇔ 3 x2+16 −(x +12)−9( x2−3x + 4 −2) ≥ 3 x +1 −(x + 3)
⇔9(x2+16)−(x +12)2
3 x2+16 + x +12 −
9(x2−3x)
x2−3x + 4 + 2≥
9(x +1)−(x + 3)2
3 x +1 + x + 3
.!
⇔ (x2−3x) 8
3 x2+16 + x +12−
9
x2−3x + 4 + 2+
1
3 x +1 + x + 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥≥ 0 (*).!!
!
Trang 5! 3 x2+16 + x +12 ≥ x + 24;3 x +1 + x + 3≥ x + 3,∀x ≥−1.!
Do!đó:!
A≤ 8
x+ 24+
1
x+ 3−
9
x2−3x + 4 + 2=
9x+ 48
x2+ 27x +72−
9
x2−3x + 4 + 2
=(9x + 48)( x2−3x + 4 + 2)−9(x2+ 27x +72)
(x2+ 27x +72)( x2−3x + 4 + 2)
.!
Do!mẫu!số!của!A!dương!nên!ta!chỉ!cần!đánh!giá!dấu!trên!tử!của!A!bằng!cách!nhóm!thành! hằng!đẳng!thức!như!sau:!
(9x + 48)( x2−3x + 4 + 2)−9(x2+ 27x +72)
= 9 (x +16
3) x2−3x + 4 − x2−25x −184
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= 3 −1
2{(x+16
3)− x2−3x + 4}2−381x+ 812
9
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ < 0,∀x ≥−1
.!
Do!đó! (*) ⇔ x2−3x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3.!!
Kết%luận:!Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!
S= 0;3⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ !
Nhận%xét:!Tuy!nhiên!với!lời!giải!này!biểu!thức!sinh!ra!sau!khi!liên!hợp!khó!đánh!giá!và!đòi!
hỏi!tính!kiên!trì!và!khéo!léo!như!trên,!do!vậy!ta!cần!hạn!chế!điểm!này.!Chú!ý!là!ta!có!thể!viết! bất!phương!trình!dưới!dạng:!
x2+16 + 3≥ x +1 + 3 x2−3x + 4.!
Do!đó!cả!hai!vế!của!bất!phương!trình!không!âm,!lúc!này!thực!hiện!phép!nâng!luỹ!thừa!2!của! hai!vế!đưa!về!bất!phương!trình!chứa!ít!căn!thức!hơn,!sau!đó!thực!hiện!tư!tưởng!liên!hợp!ghép! với!(ax+b)!như!trên.!
Cách%2:%
Điều!kiện:! x ≥−1.!Bất!phương!trình!tương!đương!với:!
x2+16 + 3≥ x +1 + 3 x2−3x + 4
⇔ x2+ 25+ 6 x2+16 ≥ x +1+ 9(x2−3x + 4) + 6 (x +1)(x2−3x + 4)
⇔ 8x2−26x +12+ 6 (x +1)(x2−3x + 4) −6 x2+16 ≤ 0
⇔ 4x2−13x + 6+ 3 (x +1)(x2−3x + 4)−3 x2+16 ≤ 0
⇔ 4(x2−3x) + (x +12−3 x2+16)
+3 x +1( x2−3x + 4 −2) + 6 x +1−(2x + 6) ≤ 0
.!!
!
!
⇔ (x2−3x) 4 + 3 x+1
x2−3x + 4 + 2−
4
2x + 6+ 6 x +1−
8
x +12+ 3 x2+16
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3.!
Bởi!vì!
A> 4−
4
4− 8
12+ 3.4> 0,∀x ≥−1!trong!đó!
Trang 6Hotline:%0976%266%202%% Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%% 6!
A= 4 + 3 x+1
x2−3x + 4 + 2−
4
2x + 6+ 6 x +1−
8
x +12+ 3 x2+16!.!
!Kết%luận:!Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!
S= 0;3⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ !!
Câu%5%(1,0%điểm).%Tính!diện!tích!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!đồ!thị!hàm!số! y = x3−3x2+ 4và!trục! hoành.!!!!
Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm:!
x3−3x2+ 4 = 0 ⇔ (x +1)(x −2)2= 0 ⇔ x= −1
x= 2
⎡
⎣
⎢
Vì!vậy!
S= x3−3x2+ 4 dx
−1
2
−1
2
4 − x3+ 4x)2
−1=
27
4 !
Câu%5%(1,0%điểm).%Cho!hình!lăng!trụ!ABC.A’B’C’!có!đáy!ABC!là!tam!giác!đều!cạnh! 2a 3 ,!hình!
chiếu!vuông!góc!của!A’!trên!mặt!phẳng!(ABC)!trùng!với!trọng!tâm!tam!giác!ABC.!Cạnh!bên! AA’!tạo!với!mặt!phẳng!(ABC)!góc! 600.!Tính!thể!tích!khối!lăng!trụ!ABC.A’B’C’!và!khoảng!cách! giữa!hai!đường!thẳng!AA’!và!BC.!
!
Gọi!G!là!trọng!tâm!tam!giác!ABC,!và!M!là!trung!
điểm!BC!ta!có:! A'G ⊥ (ABC) !
Do!GA!là!hình!chiếu!vuông!góc!của!AA’!trên!(ABC)! nên!góc!giữa!AA’!và!mặt!phẳng!(ABC)!bằng!góc!
A' AG! = 600.!
+)!
AM = AB.sin60
0= 2a 3. 3
2 = 3a,!
!
AG=
2
3AM = 2a,A'G = AG tan600= 2a 3.!!
S ABC=
1
2AM BC=1
2.3a.2a 3 = 3a2 3⇒V ABC A' B 'C ' = A'G.S ABC = 3a2 3.2a 3 =18a3.!
+)!Ta!có:! BC ⊥ AM,BC ⊥ A'G ⇒ BC ⊥ (A'AM ) !
Kẻ!MH!vuông!góc!với!AA’!tại!H!thì!ta!có:!
MH ⊥ AA'
MH ⊥ BC
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇒ d(AA';BC ) = MH.!
Tam!giác!vuông!AMH!có:!
MH = AM sin60
0= 3a. 3
2 =3a 3
2 !
Kết%luận:!Vậy!
d(AA';BC )=
3a 3
2 !!!!!!!
Câu%7%(1,0%điểm).!Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;t1;2),!B(1;t5;0)!
và!mặt!phẳng! (P):2x − y+2z −6= 0.!Chứng!minh!rằng!mặt!cầu!đường!kính!AB!cắt!mặt!
phẳng!(P)!theo!giao!tuyến!là!một!đường!tròn.!Xác!định!tâm!và!bán!kính!mặt!cầu!đó.!
+)!Toạ!độ!trung!điểm!I!của!AB!là!I(2;t3;1),! R = IA= 6 !
Phương!trình!mặt!cầu!đường!kính!AB!là! (S):(x −2)2+ ( y + 3)2+ (z −1)2= 6.!
Trang 7
d(I ;(P ))= 2.2−(−3) + 2.1−6
22+ (−1)2+ 22 =1< 6nên!(S)!cắt!(P)!theo!giao!tuyến!là!một!đường!tròn! có!tâm!H,!bán!kính!r.!
+)!H!là!hình!chiếu!vuông!góc!của!I!trên!(P).!Đường!thẳng!IH!vuông!góc!với!(P)!nhận!vtpt!của! (P)!là!(2;t1;2)!làm!véc!tơ!chỉ!phương,!do!đó!
IH :
x = 2+ 2t
y = −3−t
z =1+ 2t
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
.!
Thay!x,y,z!từ!phương!trình!của!IH!vào!pt!của!(P)!ta!được:!
2(2+ 2t)−(−3−t) + 2(1+ 2t)−6 = 0 ⇔ 9t + 3 = 0 ⇔ t = −
1
3⇒ H (4
3;−8
3;
1
3).!
Bán!kính!của!đường!tròn!giao!tuyến! r = R2−d2(I ;(P ))= 6−1 = 5.!!
Câu%8%(1,0%điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!bình!hành!ABCD!có!
AC = 2AB !Phương!trình!đường!chéo!BD!là! x −4 = 0 !Gọi!E!là!điểm!thuộc!đoạn!AC!thoả! mãn! AC = 4AE ,!M!là!trung!điểm!cạnh!BC.!Tìm!toạ!độ!A,B,C,D!biết!
E(
5
2;7),S BEDC = 36và!
điểm!M!nằm!trên!đường!thẳng! 2x + y−18= 0!và!điểm!B!có!tung!độ!nhỏ!hơn!2.!
!
Gọi!I!là!tâm!hình!bình!hành!ABCD.!
Phát%hiện%tính%chất%hình%học:%
Ta!có:!EM!vuông!góc!với!BD.!
Cách%1:!Xét!hai!tam!giác!ABE!và!ACB!có:!
A
! (chung) AC
AB = AB
AE= 2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
.!Do!đó!ABE!đồng!dạng!với!tam!giác!ACB.!
Suy!ra! BC = 2BE = 2BM ⇒ ΔBEM cân!tại!B.!
Mặt!khác:!
IE = IM =
AB
2 nên!I!nằm!trên!đường!trung!trực! của!EM,!hay!BI!là!trung!trực!của!EM!do!đó!EM!vuông!góc! với!BD.!
Cách%2:!Chứng!minh!bằng!véc!tơ!!
!!!!
+)!Đường!thẳng!EM!đi!qua!E!và!vuông!góc!với!BD!có!phương!trình!là! y−7= 0.!
Toạ!độ!điểm!M!thoả!mãn!hệ!
2x + y −18 = 0
y−7 = 0
⎧
⎨
⎪⎪
x=11 2
y= 7
⎧
⎨
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⇒ M (11
2;7).!!!!
Ta!có:!
AB
! "!!
= (3;2b−14
3 ),AE! "!!= (3
2;
7−b
3 ).!
Ta!có:!
S BEDC = S BED +S BCD = 3S BED = 36 ⇒ S BED =12 ⇒ BD =
2S BED d(E;BD)=16.!
Trang 8Hotline:%0976%266%202%% Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%% 8!
+)!Gọi!B(4;b)!thuộc!đường!thẳng!BD,!vì!M!là!trung!điểm!BC!nên! C(7;14−b).!
Do!
AC
! "!!
= 4AE! "!!⇒ 7− x A= 4(5
2− x A) 14−b − yA = 4(7− y A)
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔
x A=1
y A=14+ b
3
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇒ A(1;14+ b
3 ).!
Suy!ra!
I (4;28−b
3 )⇒ IB = 8 ⇔ 28−4b
3 = 8 ⇔ b=1
b=13
⎡
⎣
⎢
⎢ ⇒ B(4;1),D(4;17).!
Từ!đó!suy!ra!A(1;5)!và!C(7;13).!
Kết%luận:!Vậy!A(1;5),!B(4;1),!C(7;13)!và!D(4;17).!!!!
Bình!luận:!Nhờ!phát!hiện!hình!học!EM!vuông!góc!với!BD!ta!có!lời!giải!đẹp!của!bài!toán,!ngoài! ra!có!thể!thực!hiện!bằng!khoảng!cách!như!sau:!
! Thực!hiện!tương!tự!ta!có!cùng!kết!quả.!
Câu%9%(0,5%điểm).%Cho!đa!giác!đều! 2n (n ≥2) cạnh.!Tìm!n!biết!số!tam!giác!vuông!tạo!thành!từ!
2n!đỉnh!của!đa!giác!bằng!180.!%%
+)!Đa!giác!đều!đã!cho!nội!tiếp!đường!tròn.!Có!tất!cả!n!đường!kính.!
Một!tam!giác!vuông!tạo!bởi!một!đường!kính!và!một!đỉnh!không!nằm!trên!đường!kính!đó.! +)!Chọn!ra!một!đường!kính!có!n!cách,!chọn!ra!1!trong!(2nt2)!đỉnh!không!nằm!trên!đường! kính!vừa!chọn!có!(2nt2)!cách.!
Vậy!số!tam!giác!vuông!tạo!thành!từ!2n!đỉnh!của!đa!giác!là! n.(2n−2) = 2n2−2n.!
Ta!có!phương!trình:!
2n2−2n =180 ⇔ n2−n −90 = 0 ⇔ n =10(t / m)
n = −9(l)
⎡
⎣
⎢
Kết%luận:!Vậy! n =10là!giá!trị!cần!tìm.!!!!
Trang 9giác!đều!2n!cạnh!là!yêu!cầu!Hình!chữ!nhật.!
Số!hình!chữ!nhật!tạo!bởi!các!đỉnh!của!đa!giác!đều!2n!cạnh!bằng! C n2.!!
Câu%10%(1,0%điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!không!âm!thoả!mãn! x + y + z +1= 4xyz.!Tìm!giá! trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = x2+ y2+ z2−2(xy + yz + zx).!
Theo!giả!thiết!ta!có:!x,y,z!dương!và!có:!
2x + 2y + 2z + 2 = 2x.2y.2z
⇔ (2x +1)(2y +1)(2z +1) = (2x +1)(2y +1) + (2y +1)(2z +1) + (2z +1)(2x +1)
2x+1+
1
2y+1+
1
2z+1=1
!.!
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–Schwarz!dạng!phân!thức!ta!có:!
!
2x+1
1
x2 2
x+ 1
x2
(1
x +1
y+1
z)
2
2(1
x+1
y+1
z)+ 1
x2+ 1
y2+ 1
z2
!.!
Suy!ra:!
!
2(1
x+1
y+1
z)+ 1
x2+ 1
y2+ 1
z2≥ (1
x+1
y+1
z)
2
⇔1
x+1
y+1
z ≥ 1
xy+ 1
yz+ 1
zx ⇔ xy + yz + zx ≥ x + y + z
.!!
Vậy!ta!chứng!minh!được:! xy + yz + zx ≥ x + y + z ,!và!có! x + y + z ≥ 3 !!
Và! x2+ y2+ z2= (x + y + z)2−2(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)2−2(x + y + z).!
Do!đó:!
! P ≤ (x + y + z)2−2(x + y + z) −2(x + z + z),!
Đặt!
t = x + y + z ≥ 3 ⇒ P ≤ f (t) = t2−2t −2t, f '(t) = t−1
t2−2t −2 < 0,∀t ≥ 3.!
Vì!vậy! P ≤ f (t)≤ f (3) = 3−6.!Dấu!bằng!đạt!tại! x = y = z =1.!!
Bình%luận:!Với!giả!thiết!bài!toán!có!thể!viết!lại!dưới!dạng:!
!
1
ka + m+
1
kb + m+
1
kc + m=
1
m.!
Ta!có!thể!sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–Schwarz!dạng!phân!thức!để!tìm!mối!liên!hệ!giữa!ba!
đại!lượng!đối!xứng! a+b+c;ab+bc +ca;abc !!!
Bài%tập%tương%tự%%
Bài%số%01.!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! a + b + c + 2 = abc.!Chứng!minh!rằng
! ab + bc + ca ≥ 2(a + b + c) !
Bài%số%02.!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn!
1
a4+1+
1
b4+1=
c4
c4+1.!Chứng!minh!rằng!
Trang 10Hotline:%0976%266%202%% Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%% 10!
!
abc(a + b + c)
ab + bc + ca ≥ 2.!!
Cách%2:!Theo!giả!thiết!ta!có: x + y+ z = 4xyz −1.!!
!
x2+ y2+ z2= (x + y + z)2−2(xy + yz + zx)
≤ (x + y + z)2−2 3xyz(x + y + z)
= (4xyz −1)2−2 3xyz(4xyz −1)
.!
Do!đó! P ≤(4xyz−1)2−2 3xyz(4xyz −1) −2 3xyz(4xyz −1) ≤ 3 −6.!!!
Tuy!nhiên!thực!hiện!theo!cách!này!chỉ!áp!dụng!được!với!một!số!bài!toán!yếu!và!việc!khảo!sát! hàm!số!sinh!ra!sẽ!khó!khăn!hơn.!Như!vậy!ta!có!thể!nhận!xét,!một!bài!cực!trị!nếu!lợi!về!đánh! giá!sẽ!khó!khăn!về!hàm!số!và!nếu!lợi!về!hàm!số!đòi!hỏi!kỹ!thuật!đánh!giá!chuẩn!xác!và!chặt! nhất.!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!