Nguyên Lý Maximum và ứng dụng (LV00185)

Lời cam đoan Trong quá trình nghiên cứu luận văn: “Nguyên lý maximum và ứng dụng” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu hơn bộ môn giải tích phức đặc biệt đó là những nguyên lí cơ bản của hàm giả

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tỉ mỉ, chu đáo

và tận tình của PGS TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi, người thầy đã hướng dẫn và chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy, cô trong Tổ Giải tích của Khoa toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trường

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở GD - ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Phòng Giáo dục thị xã Phúc Yên, Trường THCS Đồng Xuân đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành tốt luận văn

Do điều kiện thời gian và khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các thầy, cô cùng các bạn nhận xét và góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn

Lời cam đoan

Trong quá trình nghiên cứu luận văn: “Nguyên lý maximum và ứng dụng” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu hơn bộ môn giải tích phức đặc biệt đó là những nguyên lí cơ bản của hàm giải tích và ứng dụng của nguyên lý maximum Qua đó cũng giúp tác giả bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học

Tác giả xin cam đoan luận văn được hoàn thành do sự cố gắng tìm tòi, nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi cũng như các thầy, cô Phòng Sau đại học, Tổ Giải tích của Khoa toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã tham khảo và kế thừa các thành quả khoa học, nghiên cứu của các đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Mục lục

Chương1: nguyên lý maximum 6

1.1 Khái niệm hàm biến phức 6

1.1.1 Khái niệm về hàm biến phức 6

1.1.2 Sự liên tục và liên tục đều của hàm biến phức 6

1.2 Hàm hàm chỉnh hình (hay hàm giải tích) 7

1.2.1.Đạo hàm 7

1.2.2 Hàm chỉnh hình 11

1.3 Tích phân của hàm số biến số phức 12

1.3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 12

1.3.2 Ví dụ 13

1.3.3 Các tính chất cơ bản 14

1.4 Tích phân Cauchy 14

1.4.1.Định lý Cauchy cho miền đơn liên 14

1.4.2.Định lý Cauchy mở rộng trên biên 17

1.4.3.Định lý Cauchy cho miền đa liên 18

1.4.4.Công thức tích phân Cauchy 19

1.5 Tích phân loại Cauchy 21

1.5.1 Nguyên hàm của hàm số biến số phức 24

1.5.2.Định lý đảo của định lý Cauchy 26

1.6 Nguyên lý maximum 27

1.6.1.Định lý giá trị trung bình 27

1.6.2.Nguyên lý maximum 28

1.6.3 Dạng mạnh của nguyên lý maximum 30

Chương 2: ứng dụng của nguyên lý maximum 34

2.1 ứng dụng nguyên lý maximum để giải quyết những vấn đề về lý thuyết 34 2.1.1.Đánh giá mođun trên và dưới của hàm chỉnh hình 34

2.1.2 ứng dụng cho hàm điều hòa và điều hòa dưới 48

2.2 Một số ứng dụng khác 55

2.2.1 Độ tăng của hàm nguyên 55

2.2.2 ứng dụng nguyên lý maximum cho phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai 57

2.2.3 ứng dụng nguyên lý maximum cho phương trình truyền nhiệt và cho lớp phương trình parabolic cấp hai 59

2.2.4 ứng dụng đối với bài toán Dirichlet 66

2.2.5 ứng dụng đối với bài toán Nôiman tổng quát 68

2.2.6 Cách giải bài toán Dirichlet bằng phương pháp sai phân hữu hạn 69

2.2.7 Cách giải phương trình sai phân bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp 73

2.2.8 Nguyên lý maximum đối với gradient 75

2.2.9 Định lý Karleman về tính duy nhất của thác triển 78 Kết luận

Tài liệu tham khảo

80

81

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Qua quá trình học tập các môn của chuyên ngành toán giải tích, tôi thấy

đề tài về nguyên lý maximum (hay nguyên lý cực đại), là một đề tài khá phù hợp đối với mình Tìm hiểu về nguyên lý maximum chúng ta không chỉ nắm

được kiến thức giải tích một cách hệ thống, mà chúng ta còn có thể tìm hiểu

được những ứng dụng của nó trong giải toán, trong vật lý và một số kiến thức trong thực tiễn Qua nghiên cứu về nguyên lý maximum tôi nhận thấy mình hiểu biết về kiến thức giải tích ở phổ thông một cách rõ ràng, sâu rộng hơn

trước rất nhiều Điều này có đóng góp lớn trong công việc giảng dạy của tôi

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp các kiến thức về nguyên lý maximum và các ứng dụng của nó trong lý thuyết và trong thực tiễn

3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu nguyên lý maximum và vận dụng các kiến thức đó để giải quyết một số vấn đề về lý thuyết, vật lý và thực tiễn

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và tài liệu tham khảo Chương 1: Nguyên lý maximum

Chương 2: ứng dụng của nguyên lý maximum

4 ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Nghiên cứu sâu một khái niệm quan trọng của toán học, nâng nó thành

đề tài nghiên cứu theo nghĩa nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong giải quyết các vấn đề lý thuyết, vật lý, thực tiễn và giải toán

Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học

và người yêu thích toán về hệ thống các vấn đề lý thuyết và ứng dụng của nguyên lý maximum

Chương 1 nguyên lý maximum 1.1 Khái niệm hàm biến phức

1.1.1 Khái niệm về hàm biến phức

Định nghĩa 1.1 Giả sử   là một tập tùy ý cho trước Một hàm biến phức trên  với giá trị phức là một ánh xạ f  : Hàm như vậy được ký hiệu ( )

w f z , z  

Đặt z x iy Khi đó, tách phần thực và phần ảo của hàm f ta được:

( ) ( , ) ( , )

f z u x y i x y

trong đó ( , )u x y và ( , ) x y là các hàm của hai biến thực x y , gọi tương ứng ,

là phần thực và phần ảo của hàm f Ký hiệu uRe f ,  Im f

1.1.2 Sự liên tục và liên tục đều của hàm biến phức

Cho hàm f xác định trên tập hợp tùy ý   với giá trị trong và

0

z là điểm tụ của  ( z hữu hạn hay là điểm xa vô tận) 0

Định nghĩa 1.2 Số phức a được gọi là giới hạn của hàm f khi z z0

và viết  

0

lim

z z f z a

  , nếu với mọi lân cận V của a tồn tại lân cận U của z 0

sao cho ( )f z  với mọi z U V    , zz0

Định nghĩa 1.3 Ta nói rằng hàm số w = f(z) liên tục tại điểm z   , nếu một 0

trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:

Nếu ( )f z liên tục tại mọi điểm z   thì ta nói rằng ( ) f z liên tục trên

0

0 ) lim

là đạo hàm của f tại điểm z0

Hàmf được gọi là khả vi trên miền Dnếu nó khả vi tại mọi điểm z  D

Ví dụ 1.1

1) Hàm f (z)= 2

z khả vi tại mọi zC Thật vậy, lấy điểm zC bất kì Xét

 

z 0

f z z f (z)lim

 



Vậy f z' ( )  2z

  nên hàm f không khả vi tại bất kỳ điểm z 0 0 nào

Nhận xét : Mọi hàm khả vi tại điểm z0 thì liên tục tại điểm đó

Do định nghĩa đạo hàm 1.5 hoàn toàn tương tự với f(z), g(z) hàm số biến

số thực nên ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau:

Định lý 1.1.Nếu các hàm f (z)và g (z) khả vi theo nghĩa phức tại điểm z thì

) (

) ( , ) ( ).

( , ) ( )

z g

z f z g z f z g z

) ( ).

( ) ( ).

( )

(

)

(

z g

z f z g z g z f z

Định lý 1.2.(Cauchy- Riemann) Cho hàm số f z( )u x y( , )i( , )x y xác

định trong lân cận của điểm z0 x0iy Giả sử ,0 ukhả vi theo nghĩa thực tại

điểm z , khi đó điều kiện cần và đủ để hàm f khả vi tại điểm z là

Vậy

0

( )lim

Trong nhiều trường hợp, các hàm u, được cho theo các biến r,  lần lượt là bán kính cực và góc cực trong toạ độ cực Khi đó điều kiện Cauchy-Riemann trở thành

u r r u r r

 giải tích tại mọi điểm zC\ i Hàm f xác

định trên miền D được gọi là giải tích trên D nếu nó giải tích tại mọi zD.

Nhận xét :

1 Hàm f (z) giải tích tại điểm z thì khả vi tại điểm đó Tuy nhiên điều ngược 0

lại nói chung không đúng Ví dụ: Hàm f z( )z z khả vi tại điểm z 0nhưng không giải tích tại điểm đó

2 Trên miền D (mở) hàm f (z) giải tích trên D khi và chỉ khi f khả vi trên

az z z   (Các điểm chia được cho theo chiều tăng của tham số), b

trên mỗi cung z k z k 1 lấy điểm kbất kì (k 1, 2,3, ,n 1)

không phụ thuộc vào cách chia đường cong  và cách chọn k, thì giới hạn đó

được gọi là tích phân của hàm f (z) dọc theo đường cong 

0 1

n

d k

Bây giờ nếu ta xem đường cong  cho dưới dạng tham số thì hàm f z

được biểu diễn dưới dạng hàm số phức của biến số thực

( )t  f z t  ( )t i( )t ; t ,  (1.12) ( )t dt ( )t dt i ( )t dt

1.3.2.Ví dụ

Ví dụ 1.3 Tính tích phân



dz

z , trong đó  là đoạn thẳng nối z  và 0 z 2 i

Giải:áp dụng công thức (1.11) ta có zdz xdx ydy i xdy ydx

 là đường cong  với hướng dương cho trước (thường ta cho theo

chiều tăng của tham số ) còn 

 là với hướng ngược lại Khi đó:

1.4.1 Định lý Cauchy cho miền đơn liên

Giả sử hàm số f (z) giải tích trên miền đơn liên, hữu hạn D Khi đó với

mọi đường cong Jordan trơn (hoặc trơn từng khúc), kín  chứa trong D, ta có:

 f z dz( ) 0

Chứng minh.Giả sử  là biên của tam giác , ta chứng minh:

Trong đó klà biên của các tam giác mới

Từ bất đẳng thức trên, suy ra tồn tại một tam giác mà ta kí hiệu 1 sao cho

với chu vi bằng độ dài cung của  chia cho 2n Gọi số đó là 1

Theo định lý dãy hình cầu đóng lồng vào nhau với đường kính dần về 0, ta có:

 0

1

n n

Nếu  là biên của một đa giác P, thì ta chia đa giác đó thành các hình

tam giác và do tính định hướng của các biên của các tam giác, ta suy ra:

trong đó k là biên của tam giác

Nếu  là đường cong kín bất kỳ, thì dùng bổ đề Goursat, ta được:

Nếu f (z) là hàm giải tích trên miền đơn liên, hữu hạn D và liên tục trên biên của miền D, thì ( ) 0

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta giả sử miền D có tính chất: Tồn tại

điểm z0D sao cho mọi tia xuất phát từ điểm z0 chỉ cắt biên của D tại một

điểm Và ta có thể giả sử z 0 0 Khi đó D có phương trình:

1.4.3 §Þnh lý Cauchy cho miÒn ®a liªn

Gi¶ sö hµm sè f (z) gi¶i tÝch trªn miÒn D h÷u h¹n, ®a liªn víi biªn lµ

Hình 3

Nối 0 với 1 bởi đoạn l Khi đó trên miền DD l\ hàm f z( ) thoả mãn

điều kiện của định lí Cauchy suy rộng trên biên, nên:

Giả sử hàm số f (z) giải tích trong miền hữu hạn đơn liên D và z0D, còn  là đường cong Jordan, trơn, kín bất kì bao quanh z0 và nằm trong D Khi đó ta có công thức tích phân Cauchy:

Chøng minh.Gäi Dlµ miÒn giíi h¹n bëi ®­êng cong  Theo gi¶ thiÕt







V× r bÐ tuú ý vµ do (1.19), nªn:

định lý Cauchy mở rộng cho biên

ra là phải nghiên cứu tính chất của hàm xác định bởi hệ thức sau:

Trong đó l là đường cong Jordan, trơn ( hoặc trơn từng khúc),  là hàm liên

tục trên l Hàm F z( ) xác định bởi (1.21) gọi là tích phân loại Cauchy

z được gọi là tích phân loại Cauchy

Tích phân loại Cauchy có các tính chất sau:

Định lý 1.3 Nếu   ( ) liên tục trên đường cong Jordan, trơn l thì tích phân

loại Cauchy là một hàm giải tích trên C l\ và có đạo hàm

( , ) z u( , , , )  x y i  ( , , , )x y

F z( )U x y( , )iV x y ( , )

Theo định nghĩa tích phân, từ (1.25) ta có:

( , )

l

U x y ud   d (1.26) ( , )V x y =

Hệ quả 1.2 Nếu f (z) giải tích trên miền đơn liên D có biên là , thì nó có

đạo hàm mọi cấp và đạo hàm của nó cho bởi biểu thức

Dựa vào định lý Cauchy, ta có mệnh đề rất quan trọng của giải tích

phức: Tích phân của một hàm giải tích f z( ) dọc theo đường cong Jordan trơn

từng khúc  không phụ thuộc vào hình dạng của đường cong mà chỉ phụ

thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong đó

Thật vậy, giả sử 1và 2 là hai đường cong Jordan trơn từng khúc bất kì

cùng có điểm đầu là a và điểm cuối là b. Ta chứng minh rằng :

Chính vì thế mệnh đề trên, sau này nếu f z( ) là một hàm giải tích,  là

một đường cong Jordan trơn từng khúc nối hai điểm z và z0 thì ta có thể dùng

Chứng minh Lấy một điểm z1 bất kì trong lân cận U(z,  )của z và gọi là

đoạn thẳng nối z với z1 Ta thấy  khá nhỏ để lân cận U(z, ) nằm trong D Theo điều kiện của định lý, ta có:

Vì hàm số f (z) liên tục đều trong tập hợp đóng U(z,p), nên khi 

khá nhỏ thì f t( ) f z( )  , với    0tuỳ ý chọn Do đó ta có bất đẳng thức

Nếu hàm f (z) liên tục trong miền đơn liên D và tích phân  f z dz( )

dọc theo đường cong Jordan, trơn, kín chứa trong D đều bằng 0 thì hàm f (z)

Giả sử f z( ) giải tích trên miền bị chặn D và liên tục trên D Nếu

( )

f z const thì f z( ) đạt cực đại trên biên D của D

Chứng minh Hàm g z( )  f z( ) liên tục trên D, nghĩa là  z0 D, sao cho ( )0 max ( )

r

C với 0 r1r, ta có: f z( ) M, trên B r

Giả sử z là điểm bất kỳ nằm trên D Nối z0 với z bởi đường gấp khúc

lDvới d l D( ,  ) d 0 (khoảng cách giữa hai tập hợp)

Lấy hình tròn bán kính ,

r d có tâm chạy trên l từ z0 đến z

Vì l là tập compact trong C, nên có một họ hữu hạn các hình tròn bán kính ,

r phủ nó Vì vậy với lập luận như trên ta được: f z( ) M

1) Cho hàm f z( ) giải tích trên Dvà liên tục trên D Nếu f z ( ) 0 với mọi

zD và f z( ) const thì f z( ) đạt cực tiểu trên biên Nếu ta bỏ giả thiết

f z  thì f z( ) không đạt cực tiểu trên biên Ví dụ f z( ) z, trên miền

D zC z  Hàm f z( ) đạt cực tiểu tại z 0 thuộc D

2) Nếu miền D không bị chặn thì định lí trên không còn đúng nữa Ví dụ

f z e trên DzC Rez/ 0 Hàm f z( ) không đạt cực đại trên biên vì

f z  , với mọi z thuộc biên

1.6.3 Dạng mạnh của nguyên lý maximum

Dạng mạnh của nguyên lý maximum được nêu trong 4 định lý sau

(Hopf(2), Zhiro(2))

I Nếu Mu  trong F và hàm u đạt được maximum của nó trong điểm 0

bên trong thì u không đổi(cố định)

II Nếu a , 0 Lu  và hàm u đạt maximum của nó tại điểm nằm trong 0

u và cực đại này dương thì u không đổi

III Cho Mu  , còn hàm u có giá trị rất lớn ở điểm x trên biên G0  của miền G Chúng ta khẳng định rằng tồn tại hình cầu đóng, nằm hoàn toàn trong

G , sao cho điểm x



nằm ở trên biên của nó Khi đó u hoặc là hằng số, hoặc là

đạo hàm của hàm này tại điểm x

theo hướng pháp tuyến ngoài du/dN dương

Trong các định lý III và định lý IV đạo hàm du dN được giả thiết là /tồn tại, nhưng nếu đạo hàm này không tồn tại thì hiển nhiên từ sự chứng minh bản thân sự khẳng định đã đúng liên quan tới số tùy ý nhỏ hơn theo hướng pháp tuyến ngoài

Chúng ta bắt đầu chứng minh định lý III với giả thiết bổ xung là

tại điểm bên trong của cực đại Do đó maximum  trong miền G đạt được 0

trên S và vì vậy 0 u trên  S , điều này chỉ có thể xảy ra ở điểm x0

ar ar

Vậy Mg  tại 0 G , nếu  đủ lớn 0

Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý I Ta giả thiết maximum  của hàm u

đạt được tại điểm trong x và giả sử 0   đủ nhỏ, sao cho hình cầu 0

điểm x



theo hướng nào đó có lẽ được xác định Nhưng điều này không thể xảy ra, vì tại điểm trong của maximum tất cả các đạo hàm cấp một đều bằng không

Kí hiệu  là tập hợp các điểm của miền G, trong đó u Ta chỉ

chứng minh tập hợp đó mở Vì hàm số u liên tục, nên  đóng, và vì miền G

liên thông, nên từ đó suy ra là  = G và u

Tiếp theo, như đã chứng minh định lý I, hiển nhiên giả thiết bổ sung để chứng minh định lý III có thể bỏ qua

Để chứng minh định lý II, giả thiết rằng hàm u đạt giá trị maximum

dương tại điểm x của miền G Khi đó 0 au  tại lân cận của điểm này, nên 0tại lân cận này MuLuau Do định lý I, 0 uu x( )0 tại lân cận nào đó của điểm x Nên tập hợp điểm mà 0 uu x( )0 là mở Do tính liên tục của u, tập hợp đó đồng thời là tập đóng, do đó nó trùng với toàn bộ miền G

Để chứng minh định lý IV, ta giả thiết x



là điểm biên của G , sao cho

maxu u x( ) 0

    Khi đó MuLuau lân cận điểm x0



, và do định lý III, hoặc du x( ) / dN  , hoặc u0  tại các điểm trong nào đó lân cận của

điểm x



Trong trường hợp cuối cùng u cần phải không đổi theo định lý II

Định lý 1.5 (Nguyên lý maximum dạng tổng quát)

Cho  là nghiệm của phương trình eliptic đều:

11 xx 2 12 xy 22 yy 0

A  A  A   (1.47) Khi đó các đạo hàm x, y hoặc là hằng số hoặc là không có điểm maximum bên trong (sự khẳng định tương ứng ở trường hợp không gian lớn hơn hai chiều là không đúng)

Hiển nhiên đúng nếu các hệ số nằm ở lớp C và nghiệm ở lớp 1 C bởi vì 3

khi đó x và y tự thỏa mãn phương trình eliptic (ví dụ để nhận được phương trình đối với x, nên chia (1.47)) ra A và vi phân của nó theo x) Trong 22

trường hợp tổng quát sự khẳng định này suy ra từ định lý về biểu diễn mà theo biểu dễn đó wx iy  f( ( )) z , trong đó f là hàm chỉnh hình, ( ) z là ánh xạ tô pô

Chương 2 ứng dụng của NGUYÊN Lí maximum

2.1 ứng dụng nguyên lý maximum để giải quyết những vấn đề về lý thuyết

2.1.1 Đánh giá mô đun trên và dưới của hàm chỉnh hình

Bổ đề 2.1 (Bổ đề Schwartz) Cho hàm f z( ) giải tích trong hình tròn đơn vị

f z( )  z,  z U Nếu tồn tại z0U mà z 0 0 sao cho f z( )0  z0 Khi đó ta có  ( )z0  1,

Chứng minh Viết M r( )M f( )r và ( )A r A r f( ), khẳng định là hiển nhiên

nếu f const Nếu f const ban đầu giả thiết f(0)  0 Khi đó

A R  A 

Đặt

( )( )





f z z

A R f z



Hàm  chỉnh hình trong z R, bởi vì phần thực của mẫu số luôn luôn khác không Hơn nữa  (0)  0, và nếu f z( ) ui thì

min Re ( ), max Im ( ), min Im ( )

Với mọi z RR , ở đây hằng số K chỉ phụ thuộc vào (0)1 f

Đối với các hàm thoả mãn các điều kiện trên và điều kiện

( )



AC r

R r với 0 r R1 (2.8) Chứng minh.Từ hai bất đẳng thức (2.6) và (2.7) ta có

R r với 0  r RR (2.9) 1Như vậy M trong (2.7) được thay bởi bội của M Lập lại đánh giá này xuất

phát từ (2.9) với r r , thay cho 1, 2 r R đồng thời trong (2.7), , r thay r ta có 1

1 1 2 4 2

1 1

2 2

( ) 4

n n

Cho n   ta nhận được đánh giá cần thiết

Bây giờ ta chứng minh định lí Schottky Giả sử

1

( )( ) 2