Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung

Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về bài toán nhiễu của các toán tử và sử dụng chúng vào nghiên cứu tính ổn định của các khung dướicác nhiễu trong cả không gian Hilbert và Banach, nhờ

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của cô giáo - Tiến sỹ Nguyễn Quỳnh Nga Tác giả xin bày

tỏ lòng kính trọng lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô Cô đã hướng dẫn

và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô đãtạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả kết thúc chương trình Cao học vàhoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THCS Lập Thạch,Tập thể hội đồng sư phạm nhà trường đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giảhọc tập và hoàn thành tốt khóa học

Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn

bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 15 đợt 1 niên khóa

2011 - 2013 để tác giả hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 8 năm 2013

Tác giả

Dương Chiến Thắng

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại Trương Đại học Sư phàm Hà Nội 2 dưới

Sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Quỳnh Nga

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan luận văn được hoàn thành không trùng với bất kỳluận văn nào khác

Hà Nội, tháng 8 năm 2013

Tác giả

Dương Chiến Thắng

Mở đầu 1

1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach 31.2 Toán tử giả nghịch đảo 61.3 Một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung 61.3.1 Khung trong không gian hữu hạn chiều 71.3.2 Khung trong không gian Hilbert tổng quát 9

2 Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung 172.1 Nhiễu của các toán tử 172.2 Ứng dụng vào lý thuyết khung 252.3 Mở rộng lý thuyết khung 35

iii

1 Lý do chọn đề tài

Năm 1877, Carl Neumann đã chứng minh định lý nổi tiếng sau: Nếu X

là một không gian Banach và T : X → X là một ánh xạ tuyến tính thỏamãn kI − T k < 1 thì T là một ánh xạ khả nghịch Định lý này nói rằngnếu T đủ gần với ánh xạ đồng nhất I thì T khả nghịch Thực ra điều kiện

để T khả nghịch có thể yếu hơn nhiều

Năm 1948, Hilding [7] đã chứng minh định lý ở dạng tổng quát hơn:Nếu X là không gian Banach và T : X → X là một ánh xạ tuyến tính,

λ ∈ [0; 1) và với mọi x ∈ X, k(I − T )xk ≤ λ(kxk + kT xk) thì T là ánh

xạ khả nghịch

Thay vì gắn với I, nếu xét toán tử V gần với một toán tử khả nghịch

U theo một nghĩa tương tự như của Hilding thì cũng có thể khẳng địnhđược V khả nghịch Kết quả trên đặc biệt có ý nghĩa khi ứng dụng vào lýthuyết khung

Khung trong không gian Hilbert được đưa ra bởi Duffin và Schaeffer[6] vào năm 1952 khi đang nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa, tức

là chuỗi thiết lập từ eiλn x

n∈Z trong đó λn ∈ R hoặc C, ∀n ∈ Z Tuy

nhiên khung không nhận được sự quan tâm rộng rãi cho đến khi bài báocủa Daubechies, Grossmann và Meyer [5] ra đời năm 1986 Kể từ đó, lýthuyết khung bắt đầu phát triển mạnh mẽ do những ứng dụng trong xử

lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử

Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về bài toán nhiễu của các toán

tử và sử dụng chúng vào nghiên cứu tính ổn định của các khung dướicác nhiễu trong cả không gian Hilbert và Banach, nhờ sự giúp đỡ, hướngdẫn tận tình của Cô giáo, TS Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã mạnh dạn chọn

1

nghiên cứu đề tài: ”Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyếtkhung ” để thực hiện luận văn tốt nghiệp.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về nhiễu của các toán tử và ứngdụng vào lý thuyết khung

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về nhiễu của các toán tử

Nghiên cứu tính ổn định của các khung dưới các nhiễu trong cả khônggian Hilbert và Banach

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, một số khái niệm

và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung, nhiễu của các toán tử và ứngdụng vào lý thuyết khung

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liênquan đến nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo về nhiễu của các toán tử và ứng dụngvào lý thuyết khung

Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Luận văn là một tài liệu tổng quan về bài toán nhiễu của các toán tử

và ứng dụng vào lý thuyết khung

Một số khái niệm và kết quả ban

đầu

Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một vài kết quả cơ bản sẽ dùngtrong chương sau Các kết quả này được tham khảo từ tài liệu [3], [9], [10]

1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach

Toán tử tuyến tính T từ không gian Banach H vào không gian Banach

K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c>0 saocho

Ký hiệu x ∈ X, x∗ ∈ X0 v`a hx, x∗i := x∗(x)

Mệnh đề 1.1.1 Giả sử X,Y,Z là các không gian Banach

Nếu T ∈ B(X, Y ) thì tồn tại duy nhất một phần tử T∗ ∈ B(Y0, X0) saocho hT x, y∗i = hx, T∗y∗i , (x ∈ X, y∗ ∈ Y0)

Hơn nữa

i)(aS + bT )∗ = aS∗ + bT∗

ii)(RS)∗ = S∗R∗

iii) Nếu T khả nghịch thì T∗ cũng khả nghịch và T−1
∗ = (T∗)−1,trong đó S, T ∈ B(X, Y ) và R ∈ B(Y, Z), a, b ∈ C.

Toán tử T∗ ở mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T.Mệnh đề 1.1.2 Giả sử T ∈ B(X, Y ) và S ∈ B(Y, Z) Khi đó

i) kT xk ≤ kT k kxk , ∀x ∈ X

ii) kST k ≤ kSk kT k iii) kT k = kT∗k

Giả sử X là không gian Banach, M là không gian con của X và N làkhông gian con của X’ Ta định nghĩa

M⊥ = {x∗ ∈ X0 : hx, x∗i = 0, ∀x ∈ M } ,

⊥N = {x ∈ X : hx, x∗i = 0, ∀x∗ ∈ N }

Giả sử T ∈ B(X, Y ).Ta ký hiệu

N (T ) = {x ∈ X : T x = 0} ,R(T ) = y ∈ Y : y = T x với x ∈ X

Định lý 1.1.3 Giả sử X,Y là các không gian Banach, T ∈ B(X, Y ) Khi

đó N (T∗) = R(T )⊥ và N (T ) =⊥R(T∗)

Trong trường hợp các không gian là Hilbert thì ta có

Mệnh đề 1.1.4 Giả sử H,K,L là các không gian Hilbert

Nếu T ∈ B(H, K)thì tồn tại duy nhất một phần tử T∗ ∈ B(K, H) saocho hT∗x, yi = hx, T yi , ∀x ∈ K,∀y ∈ H

Toán tử T∗ ở mệnh đề 1.1.4 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T.Mệnh đề 1.1.5 Giả sử T ∈ B(H, K) và S ∈ B(K,L) Khi đó

i) kT xk ≤ kT k kxk , ∀x ∈ X

ii) kST k ≤ kSk kT k iii) kT k = kT∗k iv) kT∗T k = kT k2

1.2 Toán tử giả nghịch đảo.

Từ đại số ma trận ta biết rằng không phải tất cả các ma trận đều có

ma trận nghịch đảo Ta muốn tìm một dạng “nghịch đảo suy rộng” trongtrường hợp không tồn tại nghịch đảo mà vẫn nắm giữ ít nhất một vài đặctính hữu ích

Cho ma trận E(mxn), chúng ta xem nó như là một ánh xạ tuyến tính

từ Cn vào Cm E không nhất thiết là một đơn ánh, nhưng bằng cách giớihạn E trên phần bù trực giao của hạch NE, chúng ta có một ánh xạ tuyếntính đơn ánh eE : NE⊥ → Cm

E

−1: RE → NE⊥.Chúng ta có thể mở rộng

e

1.3 Một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung

Trong nghiên cứu không gian véc tơ một trong những khái niệm quantrọng nhất là cơ sở, cho phép mỗi phần tử ở trong không gian được viếtnhư là một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở Tuy nhiên,điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tínhgiữa các thành phần và đôi khi chúng ta thậm chí yêu cầu các thành phầntrực giao tương ứng với một tích vô hướng Điều này làm cho khó tìm hoặcthậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lí

do mà người ta mong muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn.

Khung là công cụ như vậy Một khung cho một không gian véc tơ đượctrang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gianđược viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung,nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung là không cần thiết.Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả cơbản trong lý thuyết khung cần đến cho chương 2 Các kết quả của mụcnày có thể tham khảo trong [1], [3]

Trước tiên chúng ta xem xét trường hợp không gian là hữu hạn chiều

1.3.1 Khung trong không gian hữu hạn chiều.

Cho V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều, được trang bị một tích

vô hướng <.,.> Nhớ lại rằng một dãy {ej}mj=1 trong V là một cơ sở của

V nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn

Bây giờ ta giới thiệu về khung; ta sẽ chứng minh rằng một khung{fj}mj=1

cũng cho ta một biểu diễn như (1.5)

Định nghĩa 1.3.1 Một họ đếm được của các véc tơ {fj}j∈J trong V đượcgọi là một khung của V nên tồn tại các hằng số A,B>0 sao cho

Trong không gian véc tơ hữu hạn chiều sẽ là không tự nhiên(mặc dù cóthể) khi xét các họ {fj}j∈J có vô hạn các phần tử Trong phần này chúng

ta chỉ xem xét các họ hữu hạn {fj}mj=1, m ∈ N Với hạn chế này, bất đẳngthức Cauchy-Schwarz chỉ ra rằng

m

P

j=1

kfjk2

Để cho điều kiện dưới trong (1.7) thỏa mãn, cần thiết rằng

span {fj}mj=1 = V Điều kiện này là đủ; mọi dãy hữu hạn là một khungcho bao tuyến tính của nó

Mệnh đề 1.3.2 Cho {fj}mj=1 là một dãy trong V Khi đó {fj}mj=1 là một

khung cho span {fj}mj=1.

Chứng minh Chúng ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đềubằng không Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với B =m

Hình cầu đơn vị trong W là compact, vì vậy ta có thể tìm g ∈ W với

f

kf k, fj

Hệ quả 1.3.3 chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần

tử cần thiết để làm cơ sở Đặc biệt, nếu {fj}kj=1là một khung của V và

{gj}mj=1là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì

{fj}kj=1 ∪ {gj}mj=1 cũng là một khung của V

1.3.2 Khung trong không gian Hilbert tổng quát.

Cho H là một không gian Hilbert tách được, với tích vô hướng < , >

tuyến tính theo thành phần thứ nhất Họ các phần tử {f }∞i=1 ⊆ H được

gọi là dãy Bessel nếu ∃B > 0 :

2 ,12

T,e3 =

√ 3

2 , −12

T.{e1, e2, e3} là một khung chặt với cận khung là 32 Thật vậy, với x =(x1, x2)T ∈ H bất kỳ, ta có

√3

2 x1 +

1

2x2

2+

1 − λ1

1 + λ2 kU xk ≤ kV xk ≤ 1 + λ1

1 − λ2 kUxk , ∀x ∈ X

Trong trường hợp đặc biệt ta được phép lấy λ2 = 1.

Hệ quả 2.1.4 Nếu U ∈ £ (X, Y ) ; V: X → Y là tuyến tính, bị chặn vànếu tồn tại một hằng số λ1 ∈ [0; 1) sao cho:

Với mỗi ε đủ nhỏ ta được V U−1
−1 ≤ 1−(λ1+1−ε

1 +εkV U −1 k)

Cho ε → 0 ta được V U−1
−1 ≤ 2

1−λ1.Điều này nghĩa là U V−1 ≤ 1−λ2

1

Ta có V−1 = U−1U V−1 ≤ U−1 U V−1 ≤ U−1 1−λ2

1.Điều phải chứng minh

Nhận xét:

Điều kiện (2.1) chỉ ra rằng U và V chung nhiều tính chất Nếu U cómiền giá trị đóng thì V cũng có miền giá trị đóng

Thật vậy: Nếu V xn → y với n → ∞ th`i{V xn} là dãy Cauchy do đó

{Uxn} là một dãy Cauchy theo định lý 2.1.3

Nếu U có miền giá trị đóng thì U xn hội tụ tới phần tử U x trong miềngiá trị của U

Từ kV x − V xnk ≤ 1+λ1

1−λ 2 kUx − Uxnk ta có V xn → y = V x Do đó V

có miền giá trị đóng

Bằng cách tương tự có thể chứng minh U có miền giá trị trù mật nếu

và chỉ nếu V có miền giá trị trù mật

Nhiễu toán tử ứng dụng vào lý thuyết khung.

Một kết cổ điển phát biểu là: Một toán tử U khơnggian Banach khả nghịch đủ gần tốn tử đồng I nghĩa

kI − U k < Ở chứng minh... gần Riesz khung chứa sở Riesz thêmvào hữu hạn phần tử Hướng tiếp cận thứ hai đưa khung Rieszđược định nghĩa khung, họ khung củabao tuyến tính đóng nó, với cận A,B chung cho tất khungnày Khung Riesz... Như ứng dụng, chứng minh định líliên quan đến ổn định khung nhiễu khônggian Banach không gian Hilbert

Các kết chương tham khảo tài liệu [1], [2],[4], [7], [8]

2.1 Nhiễu toán tử

Trong