Một sự mở rộng của định lý Nadler

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn.. Trong quá trình phát triển của khoa học kỹ thuật nói chung và toánhọc nói riêng, k

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Hà Đức Vượng Thầy đã hướng dẫn vàtruyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũngnhư trong nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên, khích lệ tác giảvươn lên trong học tập, tự tin vượt qua khó khăn trong việc nghiên cứu

và hoàn thiện luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn lớn lao, lòng kínhtrọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phòng Sau đại học,các thầy, các cô trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức

và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình đàotạo cao học và hoàn thiện luận văn tốt nghiệp Tác giả xin cảm ơn lãnh

Sở GD và ĐT Lào Cai, lãnh đạo TTGDTX huyện Bắc Hà đã tạo mọiđiều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóahọc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp

đã động viên tinh thần để tác giả hoàn thành khóa học và luận văn tốtnghiệp

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Lục Quang Vinh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn củaTiến sĩ Hà Đức Vượng

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn Các kết quả trích dẫn trong luậnvăn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Lục Quang Vinh

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Không gian metric 4

1.2 Không gian metric đầy đủ 9

1.3 Không gian metric Hausdorff 15

Chương 2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG NADLER 24

2.1 Các định nghĩa và ví dụ 24

2.2 Định lý Nadler 28

Chương 3 MỘT SỰ MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ NADLER 31

3.1 Một sự mở rộng định lý Nadler 31

3.2 Một số kết quả mở rộng liên quan 36

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

đã hình thành nên “Lý thuyết điểm bất động” gắn liền với tên tuổi củanhiều nhà toán học như Banach, Brouwer, Shauder, Tikhonov, Ky Fan, .

Năm 1922, kết quả kinh điển về điểm bất động được công bố Đó lànguyên lý ánh xạ co Banach

Gần 50 năm sau, vào năm 1969 Nadler đã mở rộng kết quả này cholớp ánh xạ co đa trị

Trong quá trình phát triển của khoa học kỹ thuật nói chung và toánhọc nói riêng, kết quả về điểm bất động của ánh xạ co đã được nhiềunhà toán học phát triển theo các hướng khác nhau, kể cả trường hợpđơn trị và đa trị

Năm 2010, bốn nhà toán học người Iran là M Eshaghi Gordji, H.Baghani, H Khodaei và M Ramezani đã công bố về một sự mở rộng của

định lý điểm bất động Nadler trong bài báo “A GENERALIZATION OFNADLER’S FIXED POINT THEOREM” trên tạp chí “THE JOURNAL

OF NONLINEAR SCIENCE AND APPLICATIONS”

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động, kết quả về điểmbất động Nadler và sự mở rộng của nó, được sự hướng dẫn của TS HàĐức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:

“Một sự mở rộng của định lý Nadler”

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp các kết quả về điểm bất động, sự mở rộng của định lý điểmbất động Nadler trong bài báo “A GENERALIZATION OF NADLER’SFIXED POINT THEOREM”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động và kết quả mở rộng của định lý điểmbất động Nadler

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động của Nadler cho lớp ánh xạ co đa trị và kếtquả mở rộng của nó được công bố trong bài báo: A GENERALIZATION

OF NADLER’S FIXED POINT THEOREM (2010) của bốn nhà toánhọc người Iran là M Eshaghi Gordji, H Baghani, H Khodaei và M.Ramezani

5 Phương pháp nghiên cứu

- Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu

- Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp

Đây sẽ là một bài tổng quan về điểm bất động cho lớp ánh xạ co đatrị Qua đề tài này giúp người đọc hiểu sâu hơn về định lý điểm bất độngNadler và sự mở rộng của nó

Luận văn được trình bầy với ba chương nội dung

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bầy các khái niệm cơ bản nhất

về không gian metric, không gian metric đầy đủ và không gian metricHausdorff

Chương 2

Chúng tôi trình bầy khái niệm về ánh xạ đơn trị, đa trị Sau đó chúngtôi trình bầy về nguyên lý ánh xạ co Banach và cuối cùng là định lý điểmbất động Nadler, đây là sự mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Banach cholớp ánh xạ co đa trị trong không gian metric đầy đủ

Chương 3

Chúng tôi trình bầy về một kết quả mở rộng của định lý Nadler Kếtquả nghiên cứu của các nhà toán học Iran công bố trong bài báo "ageneralization of Nadler fixed point theorem" năm 2010

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi xin được hệ thống lại một số kiến thức cơbản về không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian metricHausdorff cùng với các ví dụ minh họa

1.1 Không gian metric

Ví dụ 1.1.1 Đường thẳng thực R với khoảng cách thông thường

d (x, y) = |x − y| , ∀x, y ∈ R, (1.1.1)

là một không gian metric

Chứng minh:

Ta chứng minh d (x, y) thỏa mãn ba tiên đề về metric.

Vậy d (x, y) là một metric trên R

Do đó R với khoảng cách thông thường là một không gian metric

Ví dụ 1.1.2 Trong không gian k chiều Rk (k là một số nguyên dương),

ta xác định khoảng cách giữa hai điểm x = (x1, x2, , xk) và

k

X(xi− yi)2 ≥ 0; ∀xi, yi; i = 1, k

vuut

≤

vuut

Do đó Rk với metric xác định bởi (1.1.2) là một không gian metric.

Ví dụ 1.1.3 Cho không gian Rk, ∀x, y ∈ Rk, x = (x1, x2, , xk) và

Nhận xét 1.1.1 Qua ví dụ 1.1.2 và ví dụ 1.1.3 ta thấy trên cùng mộttập hợp có thể xác định được các metric khác nhau.

1.2 Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.2.1.[3] Cho không gian metric (X, d), cho {xn} là mộtdãy các phần tử của X Dãy {xn} gọi là hội tụ đến điểm x0 ∈ X, nếu

d (xn, xm) = max

a≤t≤b|xn(t) − xm(t)| < ε (1.2.1)Điều đó chứng tỏ, với mỗi t cố định thuộc {xn(t)} là dãy số thực cơ

bản, nên phải tồn tại giới hạn lim

n→∞xn(t)

Giả sử

lim

n→∞xn(t) = x (t) , t ∈ [a, b]

Ta nhận được hàm số x (t) xác định trên [a, b]

Vì các bất đẳng thức (1.2.1) không phụ thuộc t, nên cho qua giới hạn

khi m → ∞, ta được:

|xn(t) − x (t)| ≤ ε, ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] (1.2.2)Các bất đẳng thức (1.2.2) chứng tỏ {xn(t)} hội tụ đều đến hàm số x (t)

trên [a, b] nên x (t) ∈ C[a,b] Do đó dãy Cauchy {xn(t)} hội tụ đến x (t)

trong không gian C[a,b]

Vậy không gian C[a,b] là không gian metric đầy đủ.

Ví dụ 1.2.2 Cho C[0,1]L là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên [0, 1] Khi đó C[0,1]L là không gian metric không đầy đủ với metric xác địnhnhư sau:

x (t) = y (t) , ∀t ∈ [0, 1] Tức là x = y

Ta lại có

|x (t) − y (t)| = |y (t) − x (t)| , ∀x, y ∈ C[0,1], ∀t ∈ [0, 1]

Do đó

d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ C[0,1].Cuối cùng ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác

∀x, y, z ∈ C[0,1] ta có

|x (t) − z (t)| = |x (t) − y (t) + y (t) − z (t)|

≤ |x (t) − y (t)| + |y (t) − z (t)| , ∀t ∈ [0, 1] Suy ra

d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) , ∀x, y, z ∈ C[0,1].Vậy d xác định bởi (1.2.3) là một metric trên C[0,1]

Bây giờ ta chứng minh với metric xác định như trên, C[0,1] là không gianmetric không đầy đủ

Thật vậy, với n ≥ 3 ta xét dãy hàm {xn} ⊂ C[0,1] như sau:

2 +1

n ≤ t ≤ 1

Khi đó với mọi số tự nhiên n, m ≥ 3 ta có:

12

1

2+

1m

12

|m − n|

t − 12

dt +

1

2+

1nZ

1

2+

1m

1

2+

1n1

2+

1m

= 12

 1

n − 1m

.Nếu m ≤ n, tương tự như trên ta được

d (xm, xn) = 1

2

 1

m − 1n

.Vậy ta có

d (xm, xn) = 1

2

1

m − 1n

, ∀m, n ≥ 3

1

m − 1n