Môđun con bé và ứng dụng

Mục đích chính của luận văn này là trình bày một cách chi tiết một số tính chất của môđun con bé và ứng dụng của chúng trong việc đặc trưng một số lớp vành.. Từ đó một câu hỏi tự nhiên đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HIỀN

MÔĐUN CON BÉ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HIỀN

MÔĐUN CON BÉ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN - 2014

MỤC LỤC

Trang

Luận văn của chúng tôi chủ yếu dựa vào tài liệu [6] để tìm hiểu về các tính chất của môđun con bé Mục đích chính của luận văn này là trình bày một cách chi tiết một số tính chất của môđun con bé và ứng dụng của chúng trong việc đặc trưng một số lớp vành Chúng ta nhớ lại rằng : “Mỗi môđun con đóng U của một môđun xạ ảnh P trên một QF-vành là một hạng tử trực tiếp nội xạ của P” Do đó, U là môđun không bé Từ đó một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là vành R như thế nào nếu mọi môđun con đóng của mỗi R-

môđun phải xạ ảnh P là không bé ? Trong luận văn này, chúng tôi trình bày

về một phần của câu hỏi đó

Vì vậy đề tài luận văn được chọn là: “Môđun con bé và ứng dụng”

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Chúng tôi đưa ra những định nghĩa và một số kết quả cơ bản

liên quan đến luận văn: Môđun con cốt yếu và các lớp i

C

môđun

Trong suốt qua trình học tập, nghiên cứu, mặc dù đã cố gắng, nỗ lực nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn còn có nhiều thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn, tất cả các vành R đều giả thiết là vành có đơn vị,

kí hiệu là 1 và các môđun là R- môđun phải unita (nếu không nói gì thêm) Chương này chúng tôi hệ thống một số kiến thức cơ sở để phục vụ việc chứng minh cho chương sau

Môđun A được gọi là môđun con cốt yếu

trong M nếu với mọi môđun X ≠0

nên với mọi

m

B M⊆

ta luôn có A B∩ ≠φ

.

Điều này vô lí.

Vậy trường hợp giao vô hạn không đúng

⊕.Lấy

i I

x∈ ∑ M

suy ra 1 2

1, k, i , k (*)

nên K x ⊆M1⊕M2⊕ ⊕ M n

.Theo trường hợp 1 ta có

.Vây

thoả mãn điều kiện ( ).C1

(2) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thoả mãn các điều kiện 1

( )C

và 2

( ).C

(3) Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thoả mãn điều kiện ( )C1 và3

( )C

n≠ ⇒ =A n¢ ⊆ ¢ ⊆⊕¢

.Với ∀A B, ⊆⊕¢

nhưng 2¢ không là hạng tử trực tiếp của ¢

1.3 Mô đun đều và chiều Goldie

1.3.1 Môđun đều

1.3.1.1 Định nghĩa

môđun đơn là môđun đều.

b) Mỗi môđun con khác không của môđun đều là môđun đều

thì do giả thiết M là môđun đều ta có N∩ ≠B 0

(mâu thuẫn với

(1) Một môđun M trên một vành R gọi là có chiều Goldie (hay chiều đều)

hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác

không trong M.M được gọi là có chiều Goldie vô hạn trong trường hợp

1.4 Vành nửa hoàn chỉnh phải

(1) Một môđun M được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi ảnh đồng cấu của M

(3) Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh đều có bao xạ ảnh

(4) Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải nếu mọi R-môđun phải đều có bao xạ ảnh

E M

của M.

iii) Một môđun M được gọi là không bé nếu M không phải là môđun con bé

trong bao nội xạ

( )

E M

của M.iv) Một đồng cấu môđun

với 1

4 Mỗi môđun con hữu hạn sinh trong

¤ Z

là môđun con bé trong

¤ Z

(vô lí).

khi và chỉ khi với mọi U là môđun con thực sự của M A U, +

cũng là môđun con thực sự của M

là đồng cấu môđun Nếu A<<M

thì ϕ( )A <<N

vi) Cho α:A→B, :β B→C

là các toàn cấu bé thế thì βα: A→C

cũng là toàn cấu bé.

Chứng minh.

Do A<<M

nên U ⊕ =D M

Vậy U =B

iii) Chứng minh quy nạp theo n

Với n=1

ta có 1

A <<M

Kết luận đúng

a∈ A u U∈

)⇒ϕ(m a− = ∈ ⇒ − ∈) u U m a ϕ− 1( )U ⇒ ∈ +m A ϕ− 1( )U

là toàn cấu bé ta chứng minh

( )

Ker βα << A

Thật vậy: Giả sử Ker(βα) + =U A,∀ ⊆U m A

Ta cần chứng minh U = A

Nếu C là tối đại trong M mà a C∉

a B∈, khi đó tồn tại B mà a B∈

nên a R là

môđun con của B Từ đó suy ra B aR B M= + =

, mâu thuẫn Vậy 0

a B∉ nên 0

thỏa mãn bổ đề Zohn nên Γ

có phần tử tối đại là C Ta chứng minh C là phần tử tối đại của M Giả sử

(iii) Giả sử A và B là các môđun đẳng cấu với nhau Khi đó A là môđun bé nếu và chỉ nếu B là môđun bé.

Chứng minh

Ta nhắc lại rằng một môđun M chỉ có duy nhất một môđun con tối đại

chứa tất cả các môđun con thực sự của M, khi đó ta gọi M là môđun con địa phương

(i) Bởi vì N là môđun con của M do đó

(ii) Giả sử H là môđun con khác không bất kỳ của M, ta cần chứng minh

Bởi vì M là địa phương nên tồn tại môđun tối đại K chứa

tất cả các môđun thực sự của M. Nếu N ≠ M,

Vành R gọi là tựa Frobenius (viết tắt là QF-vành) nếu R là vành Artin

phải và trái và thoả mãn điều kiện r l A( ( ))= A l r B, ( ( ))= B

với mọi iđêan

phải A và iđêan trái B củaR.

bản R như các R-môđun phải

là các môđun con không bé.

Bây giờ để chứng minh R có chiều Goldie phải hữu hạn, ta chứng minh các

i

e R

là đều

(1≤ ≤i n)

Thật vậy giả sử U là môđun con đóng của e R i .Bởi vì e R i

là hạng tử trực tiếp của R và do đó, là hạng tử trực tiếp của

dụng Bổ đề 2.1.6 (i), L là một môđun bé Khi đó ta thấy rằng mỗi P k K k( ∈ )

là các R-môđun phải bé Nhưng theo Bổ đề 2.1.6 (iii) ta phải có e R i bé Bởi

với một môđun con của Hay chứa môđun con đẳng cấu với

Điều này mâu thuẫn với tính đều của và ta có Từ đó chứng tỏ

rằng tồn tại một chỉ số sao cho Khi đó chúng ta có

Bởi giả thiết là không bé và bởi Bổ đề 2.1.6 (iii), cũng là

môđun không bé

Nhưng là một môđun địa phương nên mỗi môđun con thực sự của là

bé Vì vậy ta phải có Khi ta có , nghĩa là là

là QF-vành nếu mọi môđun con đóng đều của

môđun đều và vành tự đồng cấu End P( )i là địa phương

Trước hết ta chứng minh rằng sự phân tích ở (1) là bù hạng tử trực tiếp, tức là

với mỗi hạng tử trực tiếp A của

sao cho

(A⊕R H( ))∩ =P k 0

Khi đó R H( ∪{ }k )∩ =A 0,

mâu thuẫn với tính

tối đại của H. Điều đó chứng tỏ rằng (A⊕R H( ))∩ =P i 0, ∀ ∈i I

R ω

là R- môđun phải xạ ảnh nên B và do đó T' cũng là R-môđun phải xạ

ảnh đều Khi đó T' sẽ đẳng cấu với một e R i nào đó trong {e R1 , ,e R n }

địa phương Điều đó chứng tỏ rằng D⊆ J R( )

và mâu thuẫn với giả thiết của

Trong đó T1 =(P T k + ')∩R I( −{ }e )

Nếu T1=0 khi đó P k + =T' P k

và như vậy T' được chứa trong P k. Bởi lập luận ở trên của ta T' không thể nhúng

đẳng cấu thực sự vào đượcP kvà do đó chúng ta phải có P k = ⊆T' B.

Khi đó bởi chứng minh trên,T'

không nhúng được vào M.Từ đó suy ra 1

'

T ⊕ ⊆T M ⊕T1,

vì nếu ngược lại khi

đó T' là môđun con của M ⊕T1,

mà T'∩ =T1 0

do vậy buộc T' nhúng vào

được M nên mâu thuẫn Khi đó đối với môđun thương

1 2

Bởi vì

1 1

là bù hạng tử trực tiếp Khi đó bởi định lý của

Harada [7, Định lý 2.25], mọi hạng tử trực tiếp địa phương của

Ta để ý rằng R( )ω =⊕i I∈P i

là tổng trực tiếp của các môđun đều Giả sử A

là môđun con bất kỳ khác không của

chứa môđun con đều

Bây giờ giả sử

môđun con đóng của

và khi đó bởi Bổ đề Zorn, Κ

có một

phần tử tối đại L=⊕k K∈U k.

Bởi vì L=⊕k K∈U k ⊆R( )ω

và như đã chứng minh

như lập luận ở trên P' chứa một môđun con

đóng đều V khác 0 của P' và V là hạng tử trực tiếp của

Điều đó mâu thuẫn

với tính tối đại của L trong Κ,

CS-Bây giờ áp dụng [4, Hệ quả 2], R là QF-vành.Định lý trên đã được chứng minh hoàn toàn.W

bản R - môđun phải, với ω

là tự số vô hạn đầu tiên Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương:

và mọi môđun con đóng đều của

( )

R ω

là một hạng tử trực tiếp.

2.2.7 Định lý

Một vành nửa hoàn chỉnh liên tục phải R

là QF-vành nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng đều của

là QF-vành khi đó hiển nhiên R

là vành nửa hoàn chỉnh liên

tục phải và các môđun con đóng đều của

đó dùng Bổ đề 2.1.6 (i), C là không bé Bây giờ áp dụng Định lý 2.2.6 (b) ta

KẾT LUẬN

Dựa vào tài liệu chính [6], luận văn đã:

1 Trình bày hệ thống một số tính chất của môđun con bé

2 Trình bày chi tiết một số định lý về đặc trưng vành thông qua khái niệm môđun con bé

[3] A W Chatters and C R Hajarnavis (1977), Rings in which every

complement right deal is a direct summand, Quart.J.Math Oxford,

28,61-80.

[4] D.V Huynh (1995), A right countably sigma-CS-ring with ACC or DCC

on projective pricipal right ideals is left artinian and QF-3, Trans Amer.Math.Soc., Vol 347, No 8, 3131 3139–

[5] N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer (1994), Extending Modules, Pitman, London.

[6] F Kasch (1982), Modules and rings, Academic Press Inc (London) Ltd.

[7] S H Mohamed and B J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London, Math Soc Lecture note series 147, Cambridge Univ

Press, Cambridge