Cấu trúc, độ đo và chiều hausdorff của lớp tập - cantor

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHLÊ HOÀI THƯƠNG CẤU TRÚC, ĐỘ ĐO VÀ CHIỀU HAUSDORFF CỦA LỚP TẬP λ - CANTOR Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ HOÀI THƯƠNG

CẤU TRÚC, ĐỘ ĐO VÀ CHIỀU HAUSDORFF

CỦA LỚP TẬP λ - CANTOR

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS VŨ THỊ HỒNG THANH

NGHỆ AN - 2014

Mục lục

1.1 Các loại ánh xạ và tập bất biến 51.2 Độ đo và chiều Hausdorff 81.3 Chiều Hausdorff của tập tự đồng dạng thỏa mãn điều kiện tập mở 11

2 Cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor 132.1 Cấu trúc và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor 132.2 Phân loại cấu trúc phủ của tập λ - Cantor theo λ 222.3 Độ đo và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor với một số giá trị cụ thể của λ 29

LỜI NÓI ĐẦUHình học Fractal là một lĩnh vực mới và hấp dẫn của toán học Dù mới chỉ có hơn bathập kỷ ra đời và phát triển nhưng hình học Fractal đã thu được nhiều thành tựu đángkinh ngạc trong nhiều lĩnh vực và luôn thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhàtoán học.

Công cụ chính để nghiên cứu hình học Fractal là độ đo và chiều Hausdorff Việc tínhchiều Hausdorff là rất khó Đối với những tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãn điềukiện tập mở (Open Set Condition - OSC) người ta đã thiết lập được công thức đẹp để tínhchiều Hausdorff Tuy nhiên, đối với các tập sinh bởi hệ hàm lặp không thỏa mãn OSC thìviệc tính chiều Hausdorff là rất khó Điều này tựa như việc tính độ đo của hợp hai tập hợp

có giao với nhau Trong trường hợp này, bước đầu, các nhà toán học xét các tập fractal là

mở rộng của các tập fractal quen thuộc thỏa mãn điều kiện tập mở Tập λ - Cantor là mộttập fractal không thỏa mãn OSC, nó là mở rộng của tập Cantor cổ điển quen thuộc Nóđược ngiên cứu bởi nhiều nhà toán học như H Rao và Z Y Wen trong [2], M Kean, M.Smorodinsky và B Solomyak trong [7], M Pollicot và K Simon trong [8] Từ việc nghiêncứu cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor ta có thể mở rộng nghiên cứucho các tập là mở rộng của tam giác Sierpinsky, đường cong và hình bông tuyết Von Koch,rồng Hightway, Vì vậy, để tập duyệt với nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về vấn đề nàychúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là:

“Cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của lớp tập λ - Cantor”

Mục đích của luận văn là nghiên cứu độ đo và chiều Hausdorff Từ đó, nghiên cứu cấutrúc, độ đo và chiều Hausdorff của lớp tập λ - Cantor, làm cơ sở để nghiên cứu về độ đo

và chiều Hausdorff của một số fractal không thỏa mãn OSC

Ngoài Lời mở đầu, Mục lục và Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được trìnhbày trong hai chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm

cơ bản về tập tự đồng dạng, tập fractal, độ đo, độ đo Hausdorff và chiều Hausdorff.Chương 2 Cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của lớp tập λ - Cantor Trongchương này, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu được về cấu trúc, độ đo và chiềuHausdorff của lớp tập λ- Cantor

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chuđáo và nghiêm khắc của cô giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc nhất đến Cô, người đã chỉ bảo cho tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong họctập và nghiên cứu khoa học.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệmKhoa Sư phạm Toán học, quý Thầy giáo - Cô giáo trong tổ Giải tích của khoa SP Toánhọc Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gianhọc tập Tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là bạn bè trong lớpCao học 20 - chuyên ngành Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốtquá trình học tâp và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế,thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiệnhơn

Nghệ An, tháng 10 năm 2014

Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về ánh xạ, hệ hàm lặp,tập bất biến, độ đo, độ đo Hausdorff và chiều Hausdorff

1.1 CÁC LOẠI ÁNH XẠ VÀ TẬP BẤT BIẾN

Mục này trình bày các khái niệm về các loại ánh xạ, hệ hàm lặp, tập bất biến qua một

hệ hàm lặp, tập tự đồng dạng và tập fractal Trong mục này, kí hiệu |x − y| được hiểu làkhoảng cách thông thường giữa hai phần tử x và y trong Rn

1.1.1 Định nghĩa ([9]) Giả sử D ⊂ Rn, D 6= ∅ (thường lấy D = Rn)

i) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ co trên D nếu tồn tại c ∈ [0; 1) sao cho

|f (x) − f (y)| 6 c|x − y| với ∀x, y ∈ D,

c được gọi là tỷ số co

ii) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ đồng dạng trên D nếu tồn tại c > 0 saocho

1.1.2 Mệnh đề ([3]) Cho f : D −→ D Khi đó, f là ánh xạ đồng dạng khi và chỉ khi f

có thể biểu diễn được dưới dạng sau

f (x) = ρ × R × x + btrong đó ρ ∈ (0; 1) là tỷ số đồng dạng của f , b ∈ Rn và R là ma trận trực giao cỡ n × n.1.1.3 Định nghĩa ([5]) Một họ hữu hạn ánh xạ co {fi}m

i=1 với fi: D −→ D được gọi làmột hệ hàm lặp (IFS - Iterated Function System) trên D

1.1.4 Định nghĩa Cho D là một tập con đóng trong không gian mêtric (Rn, d) với d làmêtric được xác định bởi

d(x, y) = |x − y| =

vuut

là tập gồm những điểm cách tập A một khoảng cách không quá δ Ta gọi Aδ là δ−bao của

A Gọi K là lớp tất cả các tập con compact khác rỗng của D Với hai tập A, B thuộc K,

i=1.2) Nếu Si(1 6 i 6 m) là ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến F được gọi là tập tự đồng dạng(self-similar set).

3) Các tập bất biến được xem là các tập Fractal

1.1.9 Ví dụ 1) Tập Cantor cổ điển F được xây dựng bằng cách lấy đoạn thẳng [0; 1]chia làm ba phần bằng nhau và bỏ đi khoảng mở I = 12;32
được tập F1 =0;1

3 ∪ 2

3; 1 Lặp lại bước trên cho hai đoạn của F1 ta có tập F2 Tiếp tục tiến hành như vậy ta códãy các tập F0 = [0; 1] ⊃ F1 ⊃ F2 ⊃ ⊃

i=1 trên [0, 1] với

4k hình vuông cạnh là 41k Quá trình này được lặp lại vô hạn lần, khi đó ta thu được bụiCantor

Tương tự như tập Cantor, bụi Cantor là tập tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp {Si}4

i=1

, S2(x, y) = x + 3

4 ,

y + 14

,

, S4(x, y) = x

4,

y

4+

12



Phần này giới thiệu khái niệm và các tính chất cơ bản về độ đo, độ đo Hausdorff vàchiều Hausdorff

1.2.1 Định nghĩa ([5]) Cho X là tập khác ∅ Một đại số hay một trường là một lớpcác tập con của X thỏa mãn

1) Chứa X và ∅

2) Khép kín đối với mọi phép toán về tập hợp (hợp, giao, phần bù, trừ và trừ đối xứngA4B = (A\B) ∪ (B\A))

1.2.2 Định nghĩa ([5]) Cho X là một tập hợp tùy ý và C là đại số các tập con của X

1 Hàm tập µ : C → R được gọi là một độ đo trên C nếu thỏa mãn các điều kiện saui) µ (A)> 0 với mọi A ∈ C;

Khi đó, L là một đại số và µ = µ∗/L là một độ đo trên L

µ được gọi là độ đo sinh bởi độ đo ngoài µ∗

Tập A ∈ L được gọi là tập µ∗ - đo được.

1.2.4 Định nghĩa ([5]) 1) Cho F ⊂ Rn, F 6= ∅ Khi đó, đường kính của tập F đượcxác định bởi công thức |F | = sup {d(x, y) : x, y ∈ F }

2) Cho {Ui} là một họ đếm được các tập con trong Rn Nếu F ⊂

Từ Định lý 1.2.6 ta đi đến định nghĩa sau

1.2.7 Định nghĩa ([5]) Độ đo sinh bởi độ đo ngoài Hs được gọi là độ đo Hausdorff trênσ−đại số L các tập con Hs−đo được của Rn Tập F ⊂ Rn thỏa mãn 0 < Hs(F ) < +∞được gọi là s−tập

Sau đây là một số tính chất của độ đo Hausdorff

5) Nếu f là một ánh xạ Holder trên F , thì

2) Nếu Ht(F ) > 0 thì Hs(F ) = ∞ với mọi t > s > 0

1.2.12 Mệnh đề ([5]) Cho ∅ 6= F ⊂ Rn là tập Borel Khi đó, luôn tồn tại duy nhấtmột giá trị sF ∈ [0; +∞] để

1 dimHF = inf{s : Hs(F ) = 0} = sup{s : Hs(F ) = ∞}

2 Nếu tồn tại s ∈ [0; +∞] để 0 < Hs(F ) < ∞ thì dimHF = s

Sau đây là một số tính chất của chiều Hausdorff

1.2.15 Mệnh đề ([5]) 1) Nếu E ⊂ F ⊂ Rn thì dimHE 6 dimHF (tính đơn điệu).2) dimH

3) dimHF = 0 với mọi tập đếm được F ⊂ Rn

4) Nếu F là tập mở trong Rn, F 6= ∅ thì dimHF = n

5) Nếu F là đa tạp con trơn m chiều trong Rn thì dimHF = m

F lần lượt được định nghĩa bởi

dimB(F ) = lim

δ→0

log Nδ(F )

− log δvà

dimB(F ) = limδ→0log Nδ(F )

− log δ .Nếu dimB(F ) = dimB(F ) thì tồn tại lim

δ→0

log Nδ(F )

− log δ = s, khi đó s được gọi là chiều hộp của

F và kí hiệu là dimB(F )

Sau đây là mối liên hệ giữa chiều hộp và chiều Hausdorff

1.2.18 Mệnh đề ([5]) 1) Nếu F ⊂ Rn thì dimH(F ) ≤ dimB(F ) ≤ dimB(F )

2) Nếu F là tập tự đồng dạng thì dimH(F ) = dimB(F )

KIỆN TẬP MỞ

1.3.1 Định nghĩa ([5]) Ta nói rằng hệ hàm lặp {f1, f2, , fm} trên Rnthỏa mãn điềukiện tập mở (OSC – Open Set Condition) nếu tồn tại tập mở V khác rỗng trong Rn saocho

Ngược lại, ta nói hệ hàm lặp có phủ (overlap).

1.3.2 Định lý ([5]) Cho hệ hàm lặp {Si}m

i=1 trên Rn thỏa mãn OSC, gồm các ánh xạđồng dạng với các tỷ số đồng dạng tương ứng là ci ∈ (0; 1), i = 1, 2, , m và F là tập bấtbiến qua hệ hàm lặp {Si}m

s

+ 13

s

= 1 hay s = log 2

log 3.

CHƯƠNG 2 CẤU TRÚC, ĐỘ ĐO VÀ CHIỀU HAUSDORFF

mở rộng tập Cantor thành tập λ - Cantor mà chúng sinh bởi hệ hàm lặp không thỏa mãnOSC Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu được về cấu trúc,

độ đo và chiều Hausdorff của lớp tập này

2.1 CẤU TRÚC VÀ CHIỀU HAUSDORFF CỦA LỚP TẬP λ - CANTOR2.1.1 Cấu trúc của lớp tập λ - Cantor

2.1.1.1 Định nghĩa([2]) Cho λ ∈ [0, 1] và hệ hàm lặp được xác định bởi

là ba ánh xạ đồng dạng trên [0, 1] Khi đó, tập tự đồng dạng được sinh bởi ba ánh xạ đồngdạng này, kí hiệu là Fλ và được gọi là tập λ - Cantor

2.1.1.2 Nhận xét ([2]) 1) Nếu λ = 0 thì S1 = S2 và Fλ chính là tập Cantor cổ điển Khi

đó, dimH = log 2/ log 3 Tuy nhiên, nếu vẫn xem là ba ánh xạ thì hệ hàm lặp này khôngthỏa mãn OSC

2) Nếu λ = 1 thì Fλ = [0, 1] Khi đó, dimH = 1 và hệ hàm lặp này thỏa mãn OSC

3) Nếu 0 < λ < 1 thì cấu trúc của Fλ khá phức tạp và khi đó các câu hỏi sau được đặt ramột cách tự nhiên

i) Hệ hàm lặp {S1, S2, S3} có thỏa mãn OSC không?

ii) Độ đo và chiều Hausdorff của Fλ được tính như thế nào? Chiều Hausdorff của nóphụ thuộc vào tham số λ như thế nào?

iii) Có thể chỉ ra cấu trúc của tập Fλ không?

Phần này chúng tôi sẽ trình bày phần trả lời cho các câu hỏi nêu trên

|Ii| = 3−k Ta gọi các khoảng Ii với i ∈ Σk là khoảng cơ sở cấp k của Fλ

2.1.1.4 Định nghĩa ([2]) Giả sử Ii và Ij là hai khoảng cơ sở cấp k với i = i1 ik 6= j =

j1 jk Nếu Ii∩ Ij 6= ∅ thì ta nói hai khoảng cơ sở cấp k có phủ Ngược lại, ta nói chúng

là hai khoảng cơ sở cấp k tách rời nhau

2.1.1.5 Định nghĩa ([2]) Nếu tồn tại k ∈ Z và i 6= j, (i, j ∈ Σk) sao cho Ii = Ij thì tanói có một phủ hoàn toàn trong cấu trúc của Fλ Ngược lại, ta nói không có phủ hoàn toàntrong cấu trúc của Fλ

Để ý rằng độ dài mỗi khoảng cơ sở thứ k là 3−k Do vậy, để xác định Ii ta chỉ cần biếtđiểm bắt đầu của nó Vì thế, ta xét tập tất cả các điểm bắt đầu của các khoảng cơ sở thứ

Chứng minh Ta chứng minh bổ đề bằng phương pháp quy nạp.

Giả sử bổ đề đúng với k = n, nghĩa là ta có

Ta chứng minh bổ đề đúng với k = n + 1, nghĩa là ta phải chứng minh

Thật vậy, x ∈ Mλ,n+1 thì x = Si(y) với y ∈ Mλ,n

Vậy, ta có điều phải chứng minh

Vì độ dài mỗi khoảng cơ sở cấp k là 3−k nên từ sự biểu diễn giải tích của các phần tửtrong Mλ,k ta có bổ đề sau

2.1.1.7 Bổ đề ([2]) Hai khoảng cơ sở cấp k là Ii và Ij có phủ nếu và chỉ nếu khoảngcách giữa hai điểm bắt đầu không vượt quá 3−k, nghĩa là

cơ sở cấp k có phủ Các khoảng đóng này được gọi là khoảng phần tử thứ k

2.1.1.8 Định nghĩa ([2]) Giả sử rằng J1 và J2 là hai khoảng phần tử thứ k và giả sửtập các điểm bắt đầu của các khoảng cơ sở tạo nên J1 và J2 tương ứng là {x1, , xm} và{y1, , yl} Nếu tồn tại một song ánh giữa hai tập này thì ta nói hai khoảng phần tử này

có cùng kiểu Hay J1 và J2 có cùng cấu trúc phủ

Từ sự biểu diễn giải tích của Mλ,k thì khi λ là số vô tỉ việc xác định cấu trúc Mλ,k làtương đối phức tạp Nhưng khi λ là số hữu tỉ thì cấu trúc của Mλ,k đơn giản hơn Trongtrường hợp này, ta xét tập Tλ,k(a, b) kết hợp với Mλ,k được xác định như sau

Ta có bổ đề sau.

2.1.1.10 Bổ đề ([2]) Với các kí hiệu như trên ta có Tk ⊂0, 3ka (2.5)

Chứng minh Lấy x ∈ Tk thì x = 3ka.Si(0) ≥ 0

Với cách xác định các Si ta có Si(0) ≤ 1 Do đó, x ≤ 3ka Vậy Tk ⊂0, 3ka

Để thiết lập mối quan hệ giữa Tk và Tk+1 ta sử dụng các ánh xạ sau

Với x ∈ N, lấy h1(x) = 3x, h2(x) = 3x + b và h3(x) = 3x + 2a

Kí hiệu hi(A) = {hi(x) : x ∈ A}, i = 1, 2, 3; h(A) =

và ta gọi T là tập cấu trúc của Fλ.

Bây giờ ta sắp xếp các phần tử của Tktheo thứ tự tăng dần Giả sử x1 ≤ x2 ≤ ≤ x#Tk,trong đó #Tk được hiểu là lực lượng của Tk Khi đó, ta viết Tk = (x1, , x#Tk)

Giả sử ω = (xi, , xi+m) là dãy con của Tk Khi đó, kí hiệu |ω| = m + 1 được hiểu là độdài hay số phần tử của ω

Giả sử x1, x2 ∈ Tk Khi đó, nếu |x1− x2| ≤ a thì x1, x2 được gọi là liền nhau (trongtrường hợp này, hai khoảng cơ sở cấp k với hai điểm bắt đầu là (3ka)−1x1 và (3ka)−1x2 cóphủ) Ngược lại, ta nói x1 và x2 là rời nhau Khi đó, hai khoảng cơ sở cấp k nói trên làtách nhau

2.1.1.13 Định nghĩa ([2]) Giả sử ω là một dãy con của Tk Nếu hai phần tử liên tiếpbất kì của ω là liền nhau thì ω được gọi là dãy liên tục Hơn nữa, nếu không tồn tại dãyliên tục ω0 (ω0 6= ω) mà ω là dãy con hay tập con của ω0 thì ω được gọi là dãy sơ cấp thứ

k tương ứng với khoảng phần tử thứ k

2.1.1.14 Định nghĩa ([2]) Với phần tử ω = (x1, , xm) ⊂ Tk∗ = (0, 3ka], ta gọi dãy(0, x2− x1, , xm− x1) là kiểu của ω

2.1.2.1 Định lí ([2]) Với các kí hiệu như trên ta có

1) Nếu λ ∈ Qnc thì |Fλ| > 0, với |Fλ| là độ đo Lebeshue của Fλ

2) Nếu λ ∈ Qc thì dimBFλ < 1

Chứng minh 1) Giả sử λ = b

a Vì λ ∈ Qnc, nên với bất kì k ≥ 1, thì các phần tử cơ sởcủa Mλ,k là khác nhau, nên các phần tử của Tk cũng khác nhau Vì khoảng cách giữa haiphần tử khác nhau bất kì của Tk ≥ 1, nên khoảng cách của hai phần tử khác nhau bất kìcủa Mλ,k lớn hơn hoặc bằng (a3k)−1 Điều này dẫn đến khoảng cách của hai điểm bất đầubất kì của khoảng cơ sở cấp k lớn hơn (a3k)−1

Từ Định lí 2.1.2.1 và Định lí 1.3.3 ta có hệ quả sau.

2.1.2.2 Hệ quả ([2]) Giả sử λ ∈ Q Khi đó, Fλ thỏa mãn OSC nếu và chỉ nếu λ ∈ Qnc.Hơn nữa, nếu λ ∈ Qnc thì Fλ chứa điểm trong

Từ Định lí 2.1.2.1 và Hệ quả 2.1.2.2, ta có hệ quả sau

2.1.2.3 Hệ quả ([2]) Ta có dimHFλ = 1 nếu λ ∈ Qnc và dimHFλ < 1 nếu λ ∈ Qc Vì

cả Qc và Qnc trù mật trong Q nên độ đo Hausdorff của Fλ không liên tục trên [0, 1]

2.1.3 Cấu trúc và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor trong trường hợp có phủ

hoàn toàn

Trong phần trước, chúng ta đã thấy nếu λ ∈ Qnc thì |Fλ| > 0 và điều kiện tập mở thỏamãn Nếu λ ∈ Qc thì |Fλ| = 0 Vì vậy, để xác định cụ thể chiều Hausdorff của tập λ -Cantor, trong phần này chúng tôi sẽ xem xét cấu trúc của Fλ với λ ∈ Qc Ta sẽ thấy, Fλ làmột tập A - hoàn hảo theo nghĩa Marion

2.1.3.1 Định nghĩa ([2]) Cho E1, , Em là các tập con compact của R với tính chấtsau: Tồn tại ξ > 0 sao cho với mỗi j = 1, 2, , m, Ej là hợp của a1j phần rời nhau, mỗiphần đều đồng dạng với E1 với tỉ số đồng dạng ξ, a2j phần rời nhau mỗi phần đều đồngdạng với E2 với tỉ số đồng dạng ξ, , và amj phần rời nhau mỗi phần đều đồng dạng với

Em với tỉ số đồng dạng ξ Nghĩa là, Ej được thiết lập bởi

2.1.3.2 Định nghĩa ([10]) Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K Một số

λ ∈ K được gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ khác không u ∈ Kn, saocho A(u) = λu Khi đó vectơ u được gọi là vec tơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng