Nếu gọi M’ và đường thẳng d’ là ảnh của M và đường thẳng d qua phép đối xứng ĐOx... c Tìm đường thẳng ∆ có ảnh qua phép đối xứng trục Ox là d.. e Tìm đường tròn C1 có ảnh qua phép đối xứ
Trang 1PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Bài 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 3 − ) , đường thẳng d x: − 3y+ = 1 0 và đường tròn ( ) ( ) (2 )2
C x− + y+ =
a) Tìm ảnh của A, d và (C) qua phép đối xứng ĐOx
b) Tìm ảnh của A, d và (C) qua phép đối xứng ĐOy
Giải
a)
Ảnh của điểm A qua phép đối xứng Đ Ox
Gọi A x y'( '; ') là điểm sao cho ĐOx(A) = A’
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox:
( )
' 1;3
A
Ảnh của đường thẳng d x: − 3y+ = 1 0 qua phép đối xứng Đ Ox .
Gọi ĐOx(d) = d’
Gọi M x y( ; )∈d M x y, '( '; ')∈d' sao cho ĐOx(M) = M’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox:
( '; ') : 3 1 0 ' 3( ') 1 0 ' 3 ' 1 0
M x −y ∈d x− y+ = ⇒ − −x y + = ⇒ +x y+ = . Vậy d x' : + 3y+ = 1 0.
Nhận xét: Đường thẳng d đi qua điểm M(2;1) và có vecto pháp tuyến nr=(1; 3 − ) Nếu gọi M’ và đường thẳng d’ là ảnh của M và đường thẳng d qua phép đối xứng
ĐOx Khi đó, đường thẳng d’ đi qua M’ và có vecto pháp tuyến nr=(1; 3 − ) Điều này
có đúng không ? Vì sao ?
Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng Đ Ox
Cách 1.
Đường tròn ( ) ( ) (2 )2
C x− + y+ = có tâm I(2; 1 − ) và bán kính R= 3 Gọi I x y'( '; ') là điểm sao cho ĐOx(I) = I’
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox:
( )
' 2;1
x x
I
= =
= − =
Gọi ĐOx((C)) = (C’)
Đường tròn (C’) có tâm I' 2;1( ) và bán kính R= 3
( ) ( ) (2 )2
Cách 2.
Gọi ĐOx((C)) = (C’)
Gọi M x y( ; ) ( )∈ C , M x y'( '; ') ( )∈ C' sao cho ĐOx(M) = M’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox:
( ) ( ) ( ) (2 )2 ( ) (2 )2 ( ) (2 )2
Trang 2Vậy ( ) ( ) (2 )2
C x− + y− =
b) Giải tương tự câu a
Bài 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2; 5 − ) , đường thẳng d: 2x y− + = 3 0 và đường tròn ( ) ( ) (2 )2
C x+ + y+ =
a) Tìm điểm N có ảnh qua phép đối xứng trục Ox là M
b) Tìm điểm A có ảnh qua phép đối xứng trục Oy là M
c) Tìm đường thẳng ∆ có ảnh qua phép đối xứng trục Ox là d
d) Tìm đường thẳng ∆ 1 có ảnh qua phép đối xứng trục Oy là d.
e) Tìm đường tròn (C1) có ảnh qua phép đối xứng trục Ox là (C)
Giải
Câu a, c dành cho độc giả
b) Theo đề bài M(2; 5 − ) là ảnh của A x y( ; ) qua phép đối xứng trục Oy
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Oy:
2; 5
A
d) Theo đề bài d: 2x y− + = 3 0 là ảnh của ∆1 qua phép đối xứng trục Oy
Gọi M x y( ; )∈ ∆ 1 , M x y'( '; ')∈d sao cho ĐOx(M) = M’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Oy: =x y''= −y x
M −x y ∈d x y− + = ⇒ − − + = ⇒x y x y+ − = . Vậy ∆ 1 : 2x y+ − = 3 0.
e) Theo đề bài ( ) ( ) (2 )2
C x+ + y+ = là ảnh của (C1) qua phép đối xứng trục Oy Gọi M x y( ; )∈( )C1 , M x y'( '; ') ( )∈ C sao cho ĐOy(M) = M’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Oy: =x y''= −y x
( ) ( ) ( ) (2 )2 ( ) (2 )2 ( ) (2 )2
Vậy ( ) ( ) (2 )2
C x− + y+ =
Bài 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(− 2; 4), đường thẳng d x: + 4y+ = 5 0 và đường tròn ( ) 2 ( )2
C x + y+ =
a) Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox, tìm điểm A” là ảnh của A’ qua phép đối xứng trục Oy
b) Viết phương trình đường thẳng d” là ảnh của d qua liên tiếp theo thứ tự hai phép đối xứng trục Oy và trục Ox
c) Viết phương trình (C”) là ảnh của (C) qua liên tiếp phép đối xứng trục Ox và phép tịnh tiến T ur với ur=(2; 3 − )
Giải.
a) Ta có A x y'( '; ') là ảnh của A(− 2; 4) qua phép đối xứng trục Ox.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox: ' 2 ' 2; 4( )
x x
A
= = −
= − = −
Theo đề bài A x y" "; "( ) là ảnh của A' 2; 4(− − ) qua phép đối xứng trục Oy.
Trang 3Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Oy: " 2 " 2; 4( )
" 4
A
y y
= − =
b) Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy
Gọi M x y( ; )∈d M x y, '( '; ')∈d' sao cho ĐOy(M) = M’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Oy: x y''= −y x⇒x y= −y x''
( '; ') : 4 5 0 ( )' 4 ' 5 0 ' 4 ' 5 0
M −x y ∈d x+ y+ = ⇒ −x + y+ = ⇒ − +x y+ = ⇒d' : − +x 4y+ = 5 0. Gọi d” là ảnh của d’ qua phép đối xứng trục Ox
Gọi N x y( ; )∈d N x y', '( '; ')∈d" sao cho ĐOx(N) = N’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox: x y''=x y⇒x y=x'y'
( '; ') ' : 4 5 0 ' 4( ') 5 0 ' 4 ' 5 0
N x −y ∈d − +x y+ = ⇒ − + −x y + = ⇒ +x y− = ⇒d" :x+ 4y− = 5 0. c) Gọi (C’) là ảnh của ( ) 2 ( )2
C x + y+ = qua phép đối xứng trục Ox
Gọi M x y( ; ) ( )∈ C , M x y'( '; ') ( )∈ C' sao cho ĐOx(M) = M’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox: x y''=x y⇒x y=x'y'
( ) ( ) 2 ( )2 2 ( )2 2 ( )2
Vậy ( ) 2 ( )2
C x + y− =
Theo đề bài (C”) là ảnh của (C’) qua phép tịnh tiến T ur với ur=(2; 3 − )
Gọi N x y( ; ) ( )∈ C' , 'N x y( '; ') ( )∈ C" sao cho T N ur( ) =N'.
Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến T ur : x y''= +x a y b⇒x y= −x a y b'' ⇒x y= −x y' 2' 3
( ) ( ) 2 ( )2 ( ) (2 )2 ( ) (2 )2
N x− y+ ∈ C x + y− = ⇒ x− + y+ − = ⇒ x− + y+ = Vậy ( ) ( ) (2 )2
" : 2 1 1
C x− + y+ =
Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d x: + 4y+ = 5 0
a) Tìm ảnh của các điểm A(2; 3 , − ) (B − − 1; 1) qua phép đối xứng trục d
b) Tìm ảnh của đường thẳng ∆ :x y− + = 3 0 qua phép đối xứng trục d.
c) Tìm ảnh của đường tròn ( ) 2 ( )2
C x + y+ = qua phép đối xứng trục d
Giải
a) Gọi d1 là đường thẳng qua A(2; 3 − ) và vuông góc với d x: + 4y+ = 5 0.
( ) ( )
Gọi I là giao điểm của d và d1 Giải hệ
39
;
17
x
x y
I
x y
y
=
Gọi A x y'( '; ') là ảnh của A qua phép đối xứng trục d Suy ra I là trung điểm AA’
Trang 4d M
A'
A
B N
H'
M H
E F
O
A
Vậy ' 44; 11
17 17
A −
b) Hướng dẫn: Gọi I là giao của ∆ :x y− + = 3 0 với d Chọn điểm M tuỳ ý thuộc
:x y 3 0
∆ − + = Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục d Đường thẳng IM’
là ảnh cần tìm
c) Hướng dẫn: Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C) Tìm ảnh I’ của I qua
phép đối xứng trục d Đường tròn (C’) cần tìm có tâm I’ và bán kính R
Bài 5 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d nhưng nằm cùng phía đối với
d Tìm M thuộc d sao cho MA + MB bé nhất
Giải.
Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục d
Gọi N là điểm tuỳ ý thuộc d Ta có
NA NB+ = NA NB+ ≥ A B
Suy ra tổng NA NB+ bé nhất bằng độ dài A B' Khi
đó, N nằm giữa A’B Mặt khác N lại thuộc đường thẳng
d Vậy N trùng với M là giao điểm của A’B và d
Vậy M là điểm cần tìm
Bài 5 này có thể mở rộng thành bài toán sau.
Bài 6 Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó Hãy xác định điểm B trên
Ox và điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất
Hướng dẫn: Gọi A1, A2 lần lượt là ảnh của A qua phép đối xưng trục Ox, Oy Bằng cách lập luận tương tự như trên ta sẽ tìm được 2 điểm B, C
Bài 7 Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B, C cố định và điểm A lưu động Gọi H là trực
tâm của tam giác ABC Tìm tập hợp điểm H khi A lưu động trên (O)
Bài này có nhiều cách giải: dùng phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm Ở đây, tôi chỉ trình bày cách dùng phép đối xứng trục:
Giải.
Gọi H’ là giao điểm thứ hai của AH và đường tròn (O)
Trang 5Xét hai góc ·BCF và ·BAH có CF ⊥ AB CB, ⊥AH Suy ra hai góc ·BCF và ·BAH có
các cạnh tương ứng vuông góc nên ·BCF =BAH· 1( )
Mặt khác, vì hai góc ·BAH và ·BCH cùng chắn cung BH trong đường tròn (O) nên
· · 2( )
BAH =BCH
Từ (1), (2) suy ra ·BCF =·BCH Khi đó, tam giác HCH’ có CM vừa là đường phân giác, vừa là đường cao Suy ra M là trung điểm của HH’
Vậy H’ là ảnh của H qua phép đối xứng trục BC
Mặt khác, H’ nằm trên đường tròn (O) Vậy tập hợp điểm H nằm trên đường tròn (I) đối xứng với đường tròn (O) qua trục BC, ngoại trừ hai điểm B, C
Các bạn hãy suy nghĩ xem vì sao loại trừ hai điểm B, C ?
ThS Đinh Xuân Nhân