PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A.. b Viết phương trình mặt phẳng β qua giao tuyến của xOy và Q và tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích bằng 36 125.. PHƯƠNG TRÌNH Đ
Trang 1CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
Chương 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Tọa độ vectơ: Cho ar=(a ,a ,a , b1 2 3) r=(b , b , b1 2 3) Ta có
a br r± =(a1±b ;a1 2 ±b ;a2 3±b3) k.ar=(ka ;ka ;ka1 2 3)
a b
a b
=
= ⇔ =
=
r r
ar cùng phương 1 2 3
a
a a b
r
a.b a br r= 1 1+a b2 2+a b3 3 ar⊥ ⇔br a b1 1+a b2 2+a b3 3=0
ar = a12+ +a22 a23 ( ) 1 1 2 2 3 3
a b a b a b cos a,b
a a a b b b
=
r r
2 Tọa độ điểm: Cho A(x y ;z ),B(x y ;z ),C(x y ;z )A; A A B; B B C; C C
ABuuur=(xB−x ; yA B−y ;zA B−zA)
ABuuur =AB= x −x + y −y + z −z
M là trung điểm của AB xA xB yA yB zA zB
G là trọng tâm tam giác ABC xA xB xC yA yB yC zA zB zC
3 Tích có hướng của hai vectơ: ar=(a , a ,a , b1 2 3) r=(b , b , b1 2 3)
Tích có hướng của hai vec tơ ar và br là một vectơ, k/h: 2 3 3 1 1 2
a a a a
b b b b b b
r r
- Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng: a,b,cr r r đồng phẳng ⇔ a, b c 0r r r =
- ar cùng phương br⇔ a, br r =0r
- Diện tích hình bình hành ABCD : SABCD = AB, AD
uuur uuur
- Diện tích tam giác ABC : ABC 1
uuur uuur
- Thể tích tứ diện ABCD : ABCD 1
V AB, AC AD
uuur uuur uuur
- Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': VABCD.A ' B'C ' D ' = AB, AD AA '
uuur uuur uuuur
B BÀI TẬP.
Bài 1 Cho tam giác ABC, biết A(2; 0; 1), B(1; -1; 2), C(2; 3; 1)
a) Tam giác ABC có góc A nhọn hay tù?
b) Tính chu vi tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho tam giác MBC vuông tại M
Bài 2 Cho tam giác ABC biết A(3;4; -1), B(2; 0; 3), C(-3; 5; 4) Tính độ dài các cạnh tam giác ABC Tính cosin
các góc A, B, C và diện tích tam giác ABC
Bài 3 Cho 3 điểm A(3 ; 1 ; -1), B(-2 ; 2 ; 3), C(0 ; 3 ; 2)
Trang 2CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
a Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC
b Xác định tọa độ điểm A' là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
c Gọi I là điểm chia đoạn HG theo tỉ số k = 3 Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 4 Cho 4 điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; 0 ; b), D(a ; a; b) với 0 a b< ≤
a Chứng minh AB vuông góc với CD
b Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD
Bài 5 Cho 4 điểm A(-1; 2; 0), B(-3; 0; 2), C(0; 2; -1) và D(1; 4; 0) Chứng minh ABCD là một tứ diện Tính thể
tích của nó
Bài 6 Cho A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D Oy∈ Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 5 Tìm
tọa độ của D Tìm tọa độ hình chiếu H của O lên mp(ABC)
Bài 7 Cho hình chóp S.ABC, biết A(1; 2; -1), B(5; 0; 3), C(7; 2; 2),SA⊥(ABC),S∈(Oyz) Tìm tọa độ điểm S
Bài 8 Cho 2 điểm cố định A(1 ; 1; 0), B(0 ; 0 ; 1) và 2 điểm di động M(m ; 0 ; 0), N(0 ; n ; 0) (m, n R )∈ *+
a) Tìm quan hệ giữa m, n để OA ⊥MN
b) Tính thể tích của hình chóp B.OMAN
c) M, N di động sao cho m.n = 1 Tính m, n để VB.OMAN nhỏ nhất
Bài 9 Cho 4 điểm A(1 ; 1; 1), B(2 ; -1 ; 3), C(2 ; 1; 1) và D(3 ; 0 ; 2)
a Chứng minh A, B, D, C đồng phẳng
b Cho E(1 ; 3 ; 3) Chứng minh EA⊥(ABC) Tính thể tích tứ diện E.ABC
c Tính khoảng cách từ B đến (ACE)
Bài 10 Cho 4 điểm A(2 ; -1 ; 3), B(1 ; 3 ; -2), C(-1 ; 2 ; 3) và D(0 ; m ; p) Xác định m và p để 4 điểm A, B, C, D
theo thứ tự tạo thành hình bình hành
Bài 11 Cho 2 điểm A(-2 ; 1 ; 2) và B(1 ; -2 ; 2)
a Chứng minh OAB là tam giác vuông cân
b Tìm M thuộc Ox nhìn đoạn AB dưới một góc vuông
c Tìm tập hợp những điểm N thuộc mp(Oxy) nhìn đoạn AB dưới một góc vuông
BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
* →n ≠→0là VTPT của mp(α) nếu: n→⊥( )α
Chú ý 1 Hai vectơ không cùng phương →a,→bcó giá chứa trong hoặc song song với (α) Khí đó: → →a b,
là vectơ pháp tuyến của (α)
Nhận xét: Một mp có vô số VTPT cùng phương với nhau.
2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 ≠0)
+ Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì có VTPT: →n =(A;B;C)
+ Mặt phẳng qua M(x0 ; y0 ; z0) và có một VTPT là →n =(A;B;C) thì có pt:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 + Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là:
1 c
z b
y a
x
= + + (phương trình theo đọan chắn) + MpOxy: z = 0 + Mp(Oyz): x = 0 + Mp(Ozx): y = 0
3) Khoảng cách từ M x y z đến (P) được tính theo công thức : ( 0; ;0 0) ( ) 0 0 0
2 2 2
Ax
d M P
=
+ +
Trang 3CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mp (Ptrình chùm mặt phẳng):
Ax+By + Cz +D = 0 và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = 0 (m, n không đồng thời bằng 0)
B CÁC DẠNG BÀI TẬP.
LOẠI 1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.
I Phương pháp: Để viết phương trình của mặt phẳng (P) ta thường tìm 1 điểm M x y z( ; ; ) ( )0 0 0 ∈ P và 1 VTPT
( ; ; )
nr= A B C của mặt phẳng (P): khi đó (P): A x x( − 0)+B y y( − 0)+C z z( − 0) =0
Nhận xét 1: Để tìm VTPT của mp ta thường sử dụng chú ý 1
Nhận xét 2 Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 Nếu (P)//(Q) thì (Q): Ax + By + Cz + D’ = 0 (D'≠D)
II Bài tập.
Bài 1: Viết PT mp (P) qua A(-2 ; -1 ; 0) và song song với mp (Q): x - 3y + 4z + 5 = 0
Bài 2: Viết PT mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) Qua ba điểm A(1 ; -1; 2), B(2 ; 3 ; 0) và C(-2 ; 2 ; 2)
b) (P) Là mặt trung trực của AB
c) Qua C và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + y - 2z = 0 và (R): x - z + 3 = 0
Bài 3: Cho A(1 ; -1 ; 3), B(3 ; 0 ; 1) và C(0 ; 4 ; 5)
a) Viết phương trình mp(ABC)
b) Viết phương trình mp qua O, A và vuông góc với (Q): x + y + z = 0
c) Viết phương trình của mặt phẳng chứa Oz và qua điểm P(2 ; -3 ; 5)
Bài 4 Trong không gian Oxyz, M(-4 ; -9 ; 12) và A( 2 ; 0 ; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, A và cắt
Oy, Oz lần lượt tại B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C khác O)
Bài 5: Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua F(4 ; -3 ; 2) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng: (Q): x
- y + 2z - 3 = 0 và (T): 2x - y - 3z = 0
Bài 6 Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua E(3 ; 4 ; 1) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng:(R):
19x - 6y - 4z + 27 = 0 và (K): 42x - 8y + 3z + 11 = 0
Bài 7 Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x - 2y = 0,
(Q): 3x - 2y + z - 3= 0 và vuông góc với mặt phẳng: (R): x - 2y + z + 5 = 0
Bài 8 Cho hai mặt phẳng: (P): 2x - y + z = 0, Q): x - 3y + 2 = 0
a) Viết phương trình của mặt phẳng (α) qua giao tuyến của (P), (Q) và song song với Ox
b) Viết phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của xOy và (Q) và tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích bằng
36
125
Bài 9 (ĐH- 2010D Phần riêng chương trình chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) :
x + y + z – 3 = 0 ; (Q) : x – y + z – 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho
khoảng cách từ O tới (R) bằng 2
Bài 10 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua G(-2 ; 3 ; 5) và cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm
của tam giác ABC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ)
LOẠI 2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
I Phương pháp: Cho hai mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 Khi đó:
- (P)//(Q)
- (P) cắt (Q)
⇔ ≠ hoặc
B ≠C hoặc
Chú ý 2 ( )P ⊥( )Q ⇔AA '+BB CC'+ ' 0=
II Bài tập
Trang 4CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
Bài 1 Xét vị trí tương đối giữa các mặt phẳng cho bởi các phương trình sau :
1) ( ) :2P x y z− + − =1 0;( ) :Q x y z− + − =5 0
2) ( ) :P x−2y+ − =3z 4 0;( ) : 2Q − +x 4y−6z+ =3 0
P x− y+ − =z Q − x y+ − z− =
Bài 2 Cho hai mặt phẳng ( ) :P mx+(10m−8) y−2z+ =2 0 ; ( ) : 2Q x m y z+ 2 − − =4 0 Tìm m để
LOẠI 3.CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN M PHẲNG Bài 1 Tính khoảng cách từ các điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến mặt phẳng
(α) : 2x –2y + z – 5 = 0
Bài 2 Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 1 = 0
Bài 3 Cho (P): 2x + y – z – 2 = 0, (Q): -4x – 2y + 2z + 1 = 0
a) Tính khoảng cách giữa (P) và (Q)
b) Viết phương trình mp(R) song song và cách đều 2 mặt phẳng (P) và (Q)
Bài 8 (ĐH- 2010B) Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó b, c dương và mặt phẳng
(P): y – z +1 = 0 Xác định b và c, biết mp(ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng 1
3
BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1) Các dạng phương trình đường thẳng:
-Phương trình tham số:
x x a t
y y a t
z z a t
= +
= +
, với a (a ;a ;a )r= 1 2 3 là vectơ chỉ phương của đường thẳng
-Phương trình chính tắc: 0 0 0
x x y y z z
(a a a1 .2 3 ≠0)
2) Vị trí tương đối, tìm giao điểm của hai đường thẳng:
Cho đường thẳng ∆1 qua điểm M x y z có VTCP 1( 1; ;1 1) uur1=(a a a1; ;2 3) và đường thẳng ∆2 qua điểm
2 2; ;2 2
M x y z có VTCP uuur2 =(b b b1; ;2 3) Khi đó:
- ∆1 và ∆2 đồng phẳng⇔u uur uur uuuuuur1; 2.M M1 2 =0
- ∆1 và ∆2 cắt nhau
1 1 2 1
1 2 2 2
1 3 2 3
' ' '
x a t x b t
y a t y b t
z a t z b t
+ = +
có nghiệm duy nhất ( ; ')t t0 0 hoặc 1 2 1 2
1 2
u u
≠
ur uur uuuuuur
đó để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng thì thay t0 và phương trình ∆1 hoặc thay '
0
t vào phương trình 2
∆
- ∆1/ /∆2 ⇔u uur uur1; 2 cùng phương và M1∉∆2 hoặc 1 2
1 2
u u M
∉ ∆
ur uur r
- ∆ ≡ ∆1 2 ⇔u uur uur1; 2 cùng phương và M1∈∆2 hoặc 1 2
1 2
u u M
∈ ∆
ur uur r
Trang 5CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
- ∆1 và ∆2 chéo nhau ⇔u uur uur1; 2 không cùng phương và hệ
1 1 2 1
1 2 2 2
1 3 2 3
' ' '
x a t x b t
y a t y b t
z a t z b t
+ = +
+ = +
vô nghiệm hoặc
1; 2 1 2 0
ur uur uuuuuur
B CÁC DẠNG BÀI TẬP
LOẠI 1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
Bài 1: Lập phương trình của đường thẳng d đi qua M(2; 3; -6) và song song với đường thẳng 1 x 1 y 2 z
d :
− = + =
Bài 2: Cho A(2; 3; 5) và mặt phẳng (P): 2x + 3y - 17 = 0
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P)
b) Tìm giao điểm của d với trục Oz
Bài 3 Cho (d1) :
2 1
3 4
= +
= − −
= +
; 2
( ) :
− và điểm A(1 ; 0 ; -3) Viết phương trình đường thẳng (d) qua
A vuông góc với (d1) và (d2)
Bài 4 Cho điểm A(2 ;1 ; -2), đường thẳng (d) : 1 1 3
, mặt phẳng ( ) :P x y z− − − =4 0 Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A, song song với (P) và vuông góc với đường thẳng (d)
Bài 5 Cho M(1 ; 1 ; -3) và đường thẳng
1 2 ( ) : 2
3 3
= +
= −
= +
Viết phương trình đường thẳng ( )∆ qua M vuông góc và
cắt (d)
Bài 6 Cho (P) : x - 2y + z – 5 = 0, đường thẳng ( )1 2
2
: 1 ;( ) :
3 2
= −
= +
Viết phương trình đường
thẳng ( )∆ chứa trong mp(P) và cắt (d1), (d2)
Bài 7 Cho A(2 ; -1 ; -1) đường thẳng ( )1 2
1
Viết phương trình đường thẳng (d) qua A
vuông góc với (d1) và cắt (d2)
Bài 8 Cho (P): x - y + z – 3 = 0, đường thẳng
1 2 ( ) : 2
1 2
= − +
= −
= − +
Viết phương trình đường thẳng ( )∆ Chứa trong
(P) vuông góc với (d) và đi qua giao điểm của (P) với (d)
Bài 9 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
2
4 z 1
3 y 3
1
x− = − + = +
và song song với đường
thẳng d':
x 1 t
y 2 t
z 1 2t
= +
= +
= +
Trang 6CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
Bài 10 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d:
x 1 t
y 2 t
z 1 2t
= +
= +
= +
và vuông góc với mp(Q): 2x - y - z = 0
Bài 11 Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A(0;1;1), vuông góc với đường thẳng
1
x 1 y 2 z
d :
− = + =
và cắt đường thẳng:
x 1 t
y 2 t
z 1 2t
= +
= +
= +
Bài 12 Lập phương trình đường thẳng d:
a) d qua A(1 ; 0 ; 3) và cắt hai đường thẳng: d1:
3
2 z 1
1 y 2
1
−
−
=
+
và d2:
3
2 z 2
2 y 1
x
−
−
=
+
=
−
b) d vuông góc với (P): x - y - z - 3 = 0 và cắt hai đường thẳng:
d1:
3
4 z 2
3 y 1
1
x− = + = −
và d2:
2
2 z 1
1 y 1
x
−
−
=
+
=
c) d là hình chiếu của 1 x 1 y 2 z
d :
− = + =
xuống măt phẳng: (P): x - y - z + 4 = 0
Bài 13 Lập phương trình đường thẳng d qua A(2 ; -5 ; 6), cắt Ox và song song với mp(P): x + 5y - 6z = 0
Bài 14 Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(1 ; -2 ; 1) lên mp(P): x + 5y - 6z = 0
Bài 15 Lập phương trình tham số của đường thẳng d cắt hai đường thẳng:
z 1
3 y 2
1 x
−
=
−
=
−
Bài 16 Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng:
+
=
+
=
−
=
+
−
=
+
−
=
−
=
t 2 2 z
t 1 y
t 6 x : d
; t 1 z
t 2 y
t 4 3 x :
Bài 17 Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(-4 ; -2 ; 4), cắt và vuông góc với đường thẳng:
x 3 y 1 z 1
d ' :
+ = − = +
−
Bài 18 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: 1: 1 3; 2: 3 1
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆1và song song với ∆2
b) Cho điểm M(2 ; 1 ; 4) Tìm tọa độ điểm H ∈∆2sao cho độ dài MH nhỏ nhất
Bài 19 Trong không gian cho hai điểm A(2 ; 3 ; 0), B(0 ; -2; 0) và đường thẳng d:
2
2 z 1
1 y 1
x
−
−
=
+
=
a) Lập phương trình mp(P) qua A và vuông góc với d
b) Tìm tọa độ N thuộc mặt phẳng (Q): x - 2y + z - 3 = 0 sao cho NA + NB nhỏ nhất
LOẠI 2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Tìm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên đường thẳng (d) và VTCP u r= ( a; b; c) của
Trang 7CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
(d) Tìm M’ 0 (x’ 0 ;y’ 0 ;z’ 0 ) trên (d’) và VTCP u ' ur= ( a’; b’; c’) của (d’)
(d) và (d’) đồng phẳng ⇔ '
0 0 u,u ' M M 0
uuuuuur
r ur
(d) và (d’) cắt nhau ⇔
'
0 0
u, u ' M M 0
u, u ' 0
≠
uuuuuur
r ur
r ur r
(d) // (d’) ⇔
0
u,u ' 0
M (d)
=
∉
r ur r
(d) ≡ (d’) ⇔
0
u,u ' 0
M (d)
=
∈
r ur r
(d) và (d’) chéo nhau ⇔ u, u ' M Mr ur uuuuuur0 '0 ≠0
2 Vị trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng:
Cho đường thẳng (d) qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), có VTCP u r= ( a; b; c) và mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT nr=(A; B;C)
Cách 1 (d) cắt (α ) ⇔n.u 0r r≠ ⇔ Aa +Bb +Cc ≠ 0
0
(d) / /( )
⊥
α ⇔ ∉ α
⇔
Aa Bb Cc 0
Ax By Cz 0
(d)⊂ α( )⇔
0
⊥
∈ α
⇔
Aa Bb Cc 0
Ax By Cz 0
Cách 2 Xét hệ phương trình
0
0
0
(*)
x x at
x y bt
x z ct
By Cz D
= +
= +
= +
- Nếu (*) vô nghiệm thì (d) / /( )α
- Nếu (*) có nghiệm đúng với mọi t thì (d)⊂ α( )
- Nếu (*) có nghiệm duy nhất (x y z thì (d) cắt (0; ;0 0) α ) và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm
Một số lưu ý:
4) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d).
5) Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d)
Trang 8CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
- Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d).
B BÀI TẬP.
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm :
a) d: x− = y+2=z
3
1
và d’
y t
x 1 t
= −
=
= +
b) d:
x 1 2t
y t
z 1 t
= −
=
= − −
và d’:x 2 y z 3
c) d:
3
3 6
2 9
1= − = −
x
và d’:
2
5 4
6 6
7 = − = −
x
Bài 2 Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng sau, nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm của
chúng:
a) d:
4
3 1
2 2
1
−
+
=
−
=
x
và (α) : 4x + 2y – 8z +2 = 0 b) d:
1
3 1
2 2
1
−
+
=
+
=
x
và (α) : 2x + y – z –3 = 0
c) d:
+
=
+
=
+
=
t z
t y
t x
1
3 9
4 12
(α) : 3x + 5y – z – 2 = 0
Bài 3 Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) :.
x 1 t
y 2 t
z 1 2t
= +
= +
= +
a) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d) b) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (d)
Bài 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; 1 ) và mặt phẳng (α) : x + 2y – z + 4 = 0
a) Tìm hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng b) Tìm điểm N’ đối xứng với N qua (α)
Bài 5 Cho mặt phẳng (α) : 2x + y + x – 2 = 0 và đường thẳng (d) :
3
2 1
2
1
−
+
=
=
x
a) Chứng minh (d) cắt (α) b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d) với (α)
c) Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mp(P)
Bài 6 Cho (d) : x 1 y 2 z 3
− , (α) : x +3y – 2z – 5 = 0 Định m để:
a) (d) cắt (α) b) (d) // (α) c) (d) ⊥ (α)
Bài 7 Cho 1
( ) :
− và ( )2
x 1 t
d y t
z 2 3t
= +
= −
= − +
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau
b) Lập phương trình tổng quát của mp(P) chứa (d1) và (d2)
Bài 8 Cho ( )1
x 3 2t
d y 1 t
z 5 t
= +
= −
= −
và ( )2
x 3 4k
d y 3 2k
z 1 2k
= −
= − +
= −
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) song song
b) Lập phương trình tổng quát của mp(P) chứa (d1) và (d2)
Bài 9 Cho ( )1
x 1
d y 4 2t
z 3 t
=
= − +
= +
và ( )2
x 3 3k
d y 1 2k
z 2
= −
= +
= −
a)Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau b)Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2)
Trang 9CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
BÀI 3 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Khoảng cách từ M(x0; y0; z0) đến mp (α): Ax + By + Cz = 0 là: ( ) 0 0 0
Ax By Cz D
d M ,( )
α =
2 Khoảng cách từ điểm M1 đến đt ∆ đi qua M0 và có vectơ chỉ phương ur là: ( ) 0 1
1
M M , u
d M ,
u
∆ =
uuuuuur r r
3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆' trong đó:
∆ đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương ur, ∆' đi qua điểm M0' và có vectơ chỉ phương u 'ur
( ) u,u ' M M '0 0
d , '
u, u '
∆ ∆ =
r ur uuuuuuur
r ur
4 Góc giữa hai mặt phẳng: Cho ( )P A x B y C z D: 1 + 1 + 1 + 1=0 và ( )Q A x B y C z D: 2 + 2 + 2 + 2 =0 Khi đó góc giữa (P)
và (Q) là α xác định bởi: 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
os
c
ur uur
Chú ý: 00 ≤ ≤α 900 nên dấu giá trị tuyệt đối trong công thức là bắt buộc
B BÀI TẬP
Bài 1 Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng ∆:
3
1 2
1 1
2
−
+
=
−
=
x
Bài 2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
(∆1):
1
1 1
2
1
−
−
=
−
=
x
và (∆2):
1
3 1
2 1
1
−
−
=
+
=
x
Bài 3 Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = 0
Bài 4 Cho đường thẳng (d):
x 1 2t
y 2 t
z 3t
= +
= −
=
và mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z +1 = 0
Tìm các điểm M ∈ (d) sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 3
Bài 5 Cho hai đường thẳng (d1):
5
4 3
3 2
2
−
+
=
−
=
x
và (d2):
1
4 2
4 3
1
−
−
=
−
−
=
x
Tìm hai điểm M, N lần lượt trên (d1) và (d2) sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất
Bài 6 (ĐH 2003-B) Cho A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho uuurAC=(0;6;0) Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA
Bài 7 (ĐH- 2005A) Cho đường thẳng ( ): 1 3 3
− và mp(P): 2x + y -2z + 9 = 0.
a) Tìm điểm I d∈ sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2
b) Tìm A là giao điểm của mp(P) và (d) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mp(P), biết ∆ qua A và vuông góc với d
Bài 8 (Dự bị ĐH- 2006D) Cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3)
a) Viết phương trình đường thẳng d qua O và vuông góc với mp(ABC)
b) Viết phương trình mp(P) chứa OA sao cho khoảng cách từ B đến mp(P) bẳng khoảng cách từ C đến mp(P)
Bài 9 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 5) và song song với mp 2x - y + z – 17 = 0 và mặt phẳng (Q)
qua điểm B(1; -2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) Tính góc hợp bởi (P) và (Q)
Bài 10 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz và tạo với ( )Q : 2x y+ − 5z=0 một góc 600
Trang 10CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
BÀI 4 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R:
+(S) : (x a)− 2+ −(y b)2+ −(z c)2 =R2
+Phương trình: x 2 + y 2 + z 2 -2ax -2by -2cz + d = 0 với a 2 + b 2 +c 2 - d > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(a ; b; c), bán kính R = a2+ + −b2 c2 d
2) Giao của mặt cầu và mặt phẳng - Phương trình đường tròn:
Cho mặt cầu (S) : (x a)− 2+ −(y b)2+ −(z c)2 =R2 với tâm I(a ; b; c), bán kính R và mặt phẳng
(P): Ax + By + Cz + D = 0.
+ d(I, (P)) > R: (P) và (S) không có điểm chung
+ d(I, (P)) = R: (P) tiếp xúc (S)tại H ( H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P) )
+ d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường tròn có tâm H là hình chiếu của I xuống (P), bán kính 2 2
r = R −d
( H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P) )
B BÀI TẬP.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C): 2x 2y z 9 02 2 2
x y z 6x 4y 2z 86 0
− − + =
Bài 2: Cho (S): x2 + y2 + z2 -2mx + 2my -4mz + 5m2 + 2m + 3 = 0
a) Định m để (S) là mặt cầu Tìm tập hợp tâm I của (S)
b) Định m để (S) nhận mặt phẳng (P): x + 2y + 3 = 0 làm tiếp diện
c) Định m để (S) cắt d:
x t 5
y 2t
z t 5
= +
=
= − +
tại hai điểm A, B sao cho AB 2 3=
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với hai mặt phẳng (Oyz)
và (P): 2x + y - 2z + 2 = 0
Bài 4 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz, cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;1), C(1;6;-1),
D(-1;6;2)
a CMR: ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau b Tính khoảng cách giữa AB và CD
c Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bài 5 Cho điểm I(1;2;-2) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0
a Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và mp (P) là đường tròn có chu vi bằng 8π
b CMR Mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng (Δ): 2x – 2y = 3 – z
c Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (CMN)
Bài 6 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình
( )
=
=
=
4
2
:
1
z
t
y
t
x
=
− + +
=
− +
0 12 3 4 4
0 3 :
2
z y x
y x d
a CMR: (d1) và (d2) chéo nhau b Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
c Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)
Bài 7 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song có phương trình
tương ứng là: ( )P1 :2x− y+2z−1=0 ( )P2 :2x−y+2z+5=0
Và điểm A(-1;1;1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó Gọi (S) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P1), (P2)
a.CMR: Bán kính của hình cầu (S) là một hằng số và tính bán kính đó
b.Gọi I là tâm hình cầu (S) CMR: I thuộc một đường tròn cố định xác định tâm và tính bk đường tròn đó
BÀI TẬP TỔNG HỢP