câu hỏi phụ khảo sát hàm số

Tìm m để đường cắt tại hai điểm phân biệt sao cho bốn điểm là bốn đỉnh của một hình bình hành?. Nhưng bạn hãy tập suy luận bằng cách vẽ nháp dạng đồ thị hàm bậc ba và biện luận số nghiệm

Chuyên đề

§ 1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ

I – Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải

 Dạng toán 1 Tìm tham số m để hàm số y=f x; m( ) đơn điệu trên D ?

Trong đó D có thể là (−∞ α; ) (, α +∞; ) (, α β; ) (, α β; , α β; ), ……

 Bước 1 Ghi điều kiện để y=f x; m( ) đơn điệu trên D Chẳng hạn:

Đề yêu cầu y= f x; m( ) đồng biến trên D ⇔ y '=f ' x; m( )≥0

Đề yêu cầu y= f x; m( ) nghịch biến trên D ⇔ y '=f ' x; m( )≤0

 Bước 2 Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là g x( ) được: ( )

 Bước 3 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g x( ) trên D

 Bước 4 Dựa vào bảng biến thiên kết luận:

 Bước 4 Giải ( )ii và giao với ( )i để suy ra giá trị m cần tìm

II – Thí dụ minh họa và bài tập rèn luyện

1/ Các thí dụ về tìm m để hàm số đơn điệu trên D mà dễ độc lập m

2/ Các thí dụ tìm m để hàm số đơn điệu trên D mà không độc lập được m

Thí dụ 7 Tìm m để hàm số: y=2x3−3 2m( +1 x) 2 +6m m( +1 x) +1 đồng biến trên khoảng (2; +∞) ?

Đề thi thử Đại học năm 2014 – THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang

3/ Các thí dụ về hàm bậc ba đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l

y=2x +9mx +12m x+ nghịch biến trên khoảng 1 ( )2; 3 ?

Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An

BT 5 Tìm m để y=x3−(m+1 x) 2−(2m2−3m+2 x) +2m 2m( −1) đồng biến trong khoảng (2;+∞) ? ĐS: m 2;3

C : y=x +3mx +3 m+1 x+ nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 2 4 ?

Đề thi thử Đại học 2014 lần II – TT BDVH Hoa Sen

I – Tương giao giữa đồ thị hàm số nhất biến và đường thẳng

Bài toán tổng quát

Cho hàm số y ax b

cx d

+

=+ có đồ thị ( )C Tìm tham số m để đường thẳng d : y= α + β cắt x ( )C tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn điều kiện K ?

Phương pháp giải

 Bước 1 (Bước này giống nhau ở các bài toán tương giao của hàm nhất biến)

+ Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa d và ( )C : ax b x

cx d

+

= α + β+

Giải hệ này, ta sẽ tìm được m∈D1 ( )i

+ Gọi A x ; x( 1 α 1+ β) (, B x ; y2 α 2+ β) với x , x1 2 là 2 nghiệm của g x( )=0 Theo Viét:

+ Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của x , x1 2 ( )iii

+ Thế ( )ii vào ( )iii thu được phương trình hoặc BPTvới biến số là m Giải tìm được m∈D2 ( )∗

Đề thi thử Đại học lần I khối B năm 2014 – THPT Ngô Gia Tự

Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ

Học sinh giỏi tỉnh Tiền Giang năm 2013

ĐS: d : y1 =x+1 hoặc d : y2 = −x 5 là hai đường thẳng cần tìm

Thí dụ 20 Cho hàm số y x 2

2x 1

+

=+ có đồ thị ( )C Đường thẳng d : y1 =x cắt ( )C tại hai điểm phân biệt

A, B Tìm m để đường d : y2 =x+m cắt ( )C tại hai điểm phân biệt C, D sao cho bốn điểm

A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình bình hành ?

Đề thi thử Đại học năm 2014 khối B – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc

Đề thi thử Đại học lần III năm 2013 – THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh

Đại học khối D năm 2011

Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Nguyễn Văn Trỗi – Hà Tĩnh

k +k đạt giá trị lớn nhất ?

Đề thi thử Đại học 2014 lần I khối D – THPT Chu Văn An – Hà Nội

ĐS: m 13

2

=

Tìm m để đường cắt tại hai điểm phân biệt sao cho bốn điểm là bốn đỉnh của một hình bình hành ?

ĐS: m=10

vuông tại O với O là gốc tọa độ ?

Đề thi thử Đại học lần I năm 2014 – THPT Chuyên Quốc Học – Huế

giao điểm hai đường tiệm cận ?

Đề thi thử Đại học năm 2014 lần I khối A – THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh

3x 2y

ĐS: m= ± 5

phân biệt Xác định m để đường thẳng d cắt các trục lần lượt tại C và D sao cho

nằm hai phía của trục tung sao cho góc nhọn (với O là gốc tọa độ) ?

Đề thi thử Đại học khối A năm 2013 – THPT Số 1 Tuy Phước

Đề thi thử Đại học 2014 khối A, B lần III – THPT Chuyên Vĩnh Phúc

II – Tương giao giữa đồ thị hàm số bậc ba và đường thẳng

Bài toán tổng quát

kiện K cho trước ?

d : 2x− +y m=0 ( )C : y 2x 3

−

=+

+ Gọi với là hai nghiệm của Theo Viét,

 Bước 2

+ Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của

+ Thế biểu thức tổng – tích vào sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m Giải nó

sẽ tìm được

+ Từ và kết luận những giá trị m cần tìm



 Lưu ý

Có thể dùng phương pháp cực trị nếu không đoán được trước nghiệm

Cụ thể ta có các trường hợp sau: (với n là số giao điểm phân biệt)

Còn nhiều công thức nữa, chẳng hạn ba nghiệm dương, âm,… Nhưng bạn hãy tập suy luận bằng cách vẽ nháp dạng đồ thị hàm bậc ba và biện luận số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm của nó với trục Ox

Thí dụ 29 Gọi d là đường thẳng đi qua và có hệ số góc k Tìm giá trị của k để đường thẳng d cắt đồ thị

tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn ?

Đề thi thử Đại học lần I khối D năm 2014 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc

ĐS: k= 1

ba điểm phân biệt, trong đó có đúng một điểm có hoành độ âm ?

Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Số I Tuy Phước

ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng ?

Đề thi thử Đại học năm 2014 khối D – THPT Chuyên – Vĩnh Phúc

Trong các thí dụ trên, tôi đã tìm ra được cả ba nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm bằng nguyên tắc nhẩm nghiệm Còn nếu không tìm ra được nghiệm hoặc không đủ ba nghiệm, sẽ làm như thế nào ? Ta cùng xét hai bài tập nhỏ sau:

 Bài toán không tìm được nghiệm nào của phương trình hoành độ giao điểm :

Tìm m để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với các hoành độ lập thành cấp

số cộng ?

Phương trình hoành độ giao điểm:

Giả sử cắt trụ Ox tại ba điểm phân biệt có thì là ba nghiệm của

và đồng nhất hệ số của ta được: Do lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó nên Thế vào ta được:

Thế vào được Do đây chỉ là điều kiện cần, ta xét thêm điều kiện đủ, nghĩa là khi

là giá trị cần tìm của bài toán

 Bài toán không tìm đủ ba nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

Tìm m để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng ?

Nhận thấy phương trình có nên luôn có hai nghiệm trái dấu nhau luôn có

ba nghiệm phân biệt là: Để ba nghiệm này theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng thì

là giá trị cần tìm

biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân ?

Thí dụ 33 Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc đều cắt đồ thị

tại ba điểm phân biệt đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB ?

Đại học khối D năm 2008

phân biệt, sao cho điểm nằm giữa A và B đồng thời AB có độ dài bằng ?

ĐS: m 0 m 8

9

điểm phân biệt sao cho cân tại O (với O là gốc tọa độ) ?

Đề thi thử Đại học năm 2014 khối B – Chuyên Quốc Học – Huế

3

Đề thi thử Đại học 2010 – THPT Minh Khai – Hà Tĩnh

ĐS: m 1 137

2

±

Thí dụ 37 Tìm tham số m để đường thẳng cắt đồ thị tham số

tại ba điểm phân biệt sao cho A cố định và ?

ĐS: m 3

4

=

Thí dụ 38 Hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I là tâm đối xứng của đồ thị

và cắt tại ba điểm phân biệt sao cho ?

Thí dụ 39 Viết phương trình đường thẳng d đi qua và cắt đồ thị hàm số

tại ba điểm phân biệt sao cho là trọng tâm của với O là gốc tọa độ ?

ba điểm phân biệt sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị tại B và C đạt giá trị nhỏ nhất ?

Đề thi thử Đại học 2014 – Đề số 2 – Tạp chí Toán Học & Tuổi Trẻ

ĐS: m= − 1

điểm A cố định Xác định giá trị của m để d cắt tại ba điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của tại A và B vuông góc với nhau ?

3

− ±

Học sinh giỏi tỉnh An Giang năm 2014

A 0; 4 , B, C S∆KBC =8 2

1: y mx

BT 27 Cho hàm số 3 2 ( )

y=2x −3mx + m−1 x+ có đồ thị 1 ( )Cm Tìm m để đường thẳng d : y= − cắt 1 x( )Cm tại ba điểm phân biệt ?

Đại học khối D năm 2013

BT 29 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A 2; 2( − ) có hệ số góc bằng k Tìm k để d cắt đồ thị hàm số

( )C : y= −x3 +3x tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn 2− ?

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần I – Dương Đình Nghệ – Thanh Hóa

BT 32 Tìm m để : y∆ =mx−2m+ cắt đồ thị 5 ( )C : y=2x3−6x+ tại ba điểm phân biệt và khoảng cách 1

từ điểm cực đại của ( )C đến ∆ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C) đến ∆ ?

Đề thi thử Đại học 2014 lần I – THPT Chu Văn An – Hà Nội

BT 35 Tìm m để d : y=mx−m− cắt đồ thị 1 ( )C : y=x3−3x2+ tại ba điểm phân biệt 1 A, B, C

(xA <xB <xC) sao cho AOC∆ cân tại O ?

Đề thi thử Đại học 2013 lần IV – THPT Chuyên – ĐH KHTN

13

BT 38 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

và C sao cho Trong đó lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với tại B và C ? ĐS: m= − ∨1 m= 2

ba điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của tại B và C vuông góc nhau ?

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A – THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa

sao cho các tiếp tuyến của tại B và C vuông góc với nhau ?

ĐS: m= ± 5

Học sinh giỏi cấp trường năm 2014 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An

ĐS: m≠ 1

III – Tương giao giữa đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương và đường thẳng

Bài toán tổng quát

Tìm m để đường thẳng cắt tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước ?

Phương pháp giải

 Bước 1

+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và

+ Đặt thì

+ Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị cụ thể:

○ Để điểm phân biệt có bốn nghiệm phân biệt có hai nghiệm thỏa:

 Bước 2

+ Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của

+ Thế biểu thức tổng – tích vào sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m

+ Từ và kết luận những giá trị m cần tìm

ĐS: m 7

4

= −

phân biệt sao cho với ( được xếp theo thứ tự hoành độ tăng dần) ?

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần III – THPT Quỳnh Lưu I – Nghệ An

ĐS: m= 4

sao cho ? ĐS: m= − 5

hạn bởi đồ thị và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau ?

4

=



 Bài tập rèn luyện về sự tương giao giữa hàm số bậc bốn và đường thẳng

BT 43 Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành

phẳng giới hạn bởi với trục hoành mà có phần phía trên trục hoành có diện tích bằng ?

ĐS: m= ± 2

BT 49 Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị ( )C : y x4 x2 2

= + − tại hai điểm phân biệt sao cho

là tam giác đều, trong đó D là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số ?

Đề thi thử Đại học 2013 lần III – THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh

ĐS: : y 7

3

§ 3 BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Bài toán tổng quát

Cho đồ thị hàm số Tìm tham số m để đồ thị hàm số có n cực trị thỏa mãn điều kiện K cho trước ?

Phương pháp giải

 Bước 1 Hàm số có n cực trị có n nghiệm phân biệt

Giải và tìm được giá trị

 Bước 2 Biến đổi điều kiện K và giải, sẽ tìm được

I – Cực trị của hàm số bậc ba

 Hàm số có cực đại, cực tiểu (hai cực trị) có hai nghiệm phân biệt

 Hoành độ của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình

 Để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị, ta thường sử dụng phương pháp tách đạo hàm:

+ Phân tích (bằng chia đa thức ):

+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: (phần dư bậc nhất trong phép chia đa thức )

Đề thi thử Đại học 2010 lần I – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội

Tìm m để các điểm cực trị của hàm số cùng với điểm tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng ?

Đề thi thử Đại học 2014 lần I khối A – THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa

I 1; 3

điểm cực trị tạo với đường thẳng một góc ?

tọa độ O đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng ?

ĐS: m= ± 1

vuông tại O ? ĐS: là các giá trị cần tìm

cực trị của hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân ?

ĐS: m 3

2

= −

độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng ?

Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp

bằng Tìm m để khoảng cách từ điểm cực tiểu của đến đường thẳng lớn nhất ?

Đề thi thử Đại học 2013 lần IV – THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội

ĐS: m 1

2

= ±

tròn tâm bán kính bằng tại hai điểm phân biệt sao cho đạt giá trị lớn nhất ?

m

C : y=x −3mx+2( )

BT 50 Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại hai điểm sao cho:

? ĐS: m= − 4

?

Đề thi thử Đại học 2013 lần I – THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội

thức với là các điểm cực trị của hàm số ?

7

< −

cực trị phân biệt đồng thời trung điểm I của AB luôn chạy trên một đường thẳng cố định ?

Đề thi thử Đại học 2014 lần I – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội

ĐS: I m; 2m chạy trên đường ( ) y=2x cố định

có các điểm cực trị cách đều trục tung ?

ĐS: m= 0

đại và cực tiểu cách đều gốc tọa độ O ?

Đại học khối B năm 2007

ĐS: m 1

2

= ±

Đề thi thử Đại học 2013 khối D lần I – THPT Ngô Gia Tự – Bắc Ninh

Đề thi thử Đại học 2013 khối A lần I – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc

đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cùng với điểm tạo thành góc ?

Đề thi thử Đại học 2013 khối A – THPT Lê Hữu Trát I

ĐS: m=0 ∨ m= − 1

thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất ?

tam giác có diện tích bằng ?

Đề thi thử Đại học 2014 khối A lần II – THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Thí dụ 71 Tìm m để có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác

dài cạnh đáy bằng lần độ dài cạnh bên ?

Đề thi thử Đại học 2014 – THPT Nguyễn Khuyến – TP HCM

và điểm O nằm trên một đường tròn, trong đó O là gốc tọa độ ?

Đề thi thử Đại học 2013 lần I khối A, B – THPT Quốc Oai

Đề thi thử Đại học 2013 khối D lần I – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc

Thí dụ 80 Cho đồ thị hàm số và đường thẳng đi qua điểm cực đại của của và

có hệ số góc k Tìm k để tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đến nhỏ nhất ?

Đề thi thử Đại học 2013 lần II – THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội

 Bài tập rèn luyện về cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

một tam giác đều

một tam giác có diện tích bằng ?

Đề thi thử Đại học 2014 khối A lần I – THPT Hùng Vương – Bình Phước

ĐS: m= 2

O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là điểm hai cực trị còn lại ?

Đại học khối B năm 2011

các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất ?

Đề thi thử Đại học 2013 khối A lần I – THPT Chuyên Amsterdam – Hà Nội

ĐS: d≡Oy : x= hoặc 0 d : y= 1

ngoại tiếp đi qua điểm ?

Đề thi thử Đại học 2014 khối B lần I – THPT Lạng Giang số I – Bắc Giang

nghiệm (nhớ: "hàm = hàm, đạo = đạo")

II – Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp



 Viết PTTT ∆ của ( )C : y=f x ,( ) biết ∆ có hệ số góc k cho trước

 Gọi M x ; y là tiếp điểm Tính ( o o) y '⇒y ' x( )o

 Do phương trình tiếp tuyến ∆ có hệ số góc k ⇒ y ' x( )o =k ( )i

 Giải ( )i tìm được xo →yo =f x( )o → ∆: y=k x( −xo)+yo

 Lưu ý Hệ số góc k=y '(x )o của tiếp tuyến ∆ thường cho gián tiếp như sau:

 Phương trình tiếp tuyến ∆ // d : y=ax+b⇒k=a

 Phương trình tiếp tuyến

1

d : y ax b k

a

 Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với trục hoành góc α ⇒ k =tanα

 Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với d : y=ax+ góc b k a tan

 Viết PTTT ∆ của ( )C : y=f x ,( ) biết ∆ đi qua (kẻ từ) điểm A x ; y( A A)

 Gọi M x ; y là tiếp điểm Tính ( o o) yo =f x( )o và k=y ' x( )o theo x o

 Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M x ; y là ( o o) ∆: y=k x( −xo)+yo

Với là hệ số góc tiếp tuyến

Để viết phương trình tiếp tuyến ta cần tìm ba thành