a Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1.. Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: với ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao
Trang 1GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
THPT NĂM HỌC 2013 - 2014 Ngày thi: 02/10/2013
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 (5,0 điểm).
a) Giải phương trình: 3x 2− − x 1 2x+ = 2 − −x 3
b) Giải hệ phương trình:
3
y
¡
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Cho dãy số (un) xác định bởi: 1
2
2014 u
2013
=
Đặt n
+ + + Tính: limSn
b) Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên ¡ thỏa mãn:
f(3x – y + α) = 3f(x) – f(y), ∀ x, y ∈ ¡
trong đó α là số thực cho trước
Câu 3 (5,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(với ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao vẽ từ A, B, C)
b) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi Gọi H và G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC Gọi E là điểm đối xứng với H qua G Tìm tập hợp các điểm A, biết rằng điểm E thuộc đường thẳng BC
Câu 4 (3,0 điểm).
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho:
a + 2b = c và a3 + 8b3 = c2 b) Cho đa thức f(x) có bậc n > 1, có các hệ số đều là các số nguyên và thỏa mãn điều kiện f(a + b) = a.b, với a, b là hai số nguyên cho trước (a, b khác 0)
Chứng minh rằng f(a) chia hết cho b và f(b) chia hết cho a
Câu 5 (3,0 điểm).
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 8
Chứng minh rằng với mọi k ∈ ¥*, ta có:
k 1
2 (a b)(a b )(a b ) (a − b − ) (b c)(b + c )(b c ) (b − c − ) (c a)(c + a )(c a ) (c − a − ) ≥ −
Hết
Trang 3-HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 THPT
a) Giải PT: 3x 2 − − x 1 2x + = 2 − − x 3
a)
2
+ Điều kiện: x 2
3
≥ (*) Khi đó:
⇔
1
x 1 (3)
− =
(2) ⇔ x = 3/2 (thỏa (*))
Vì x 2
3
≥ nên 3x 2− +1 x 1+ < 1 và x +
1 > 1
⇒ (3) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm
x = 3/2
0.2 5
1.0
0.2 5
0.2 5
0.2 5
0.2 5 0.2 5
Với mọi k ∈ N*, ta có :
k
u
u 2 = u (u 2) = u − u (u 2)
=
u − 2u + = u − u +
⇒ S n = 1/ u 1 − 1/ u n 1+
2
u + = (u + 2u ) / 2 1, n N * > ∀ ∈
⇒ un> 1, ∀ n ∈ N*
u + − u = u / 2 0, n N * > ∀ ∈
⇒ (un) tăng Giả sử (un) bị chặn trên thì (un) tồn tại giới hạn hữu hạn: limun = a (a ≥ 1)
⇒ 2a=a2 + 2a ⇒ a = 0 Mâu thuẫn với a≥1
⇒ limun = +∞ ⇒ lim(1/ u n 1+ ) 0 = Vậy: limS n = 1/ u 1 = 2013/ 2014
0.2 5
0.2 5
0.2 5
0.5
0.2 5
0.2 5
b) Giải hệ PT (I): 2.5
Trang 43 2
3
y y
0.2 5
+ Điều kiện: y ≠ 0 (*) Khi đó:
(I) ⇔
2
2
2 2
2 4
y y 4
y
Đặt a = x + 1, b 2
y
= (b ≠ 0), hệ trên trở thành:
2 ( 2 )
a(a 16) b b 4
⇔
⇒ a3 – b3 = (b2 – 5a2)(4a – b)
⇔ 21a3 – 5a2b – 4ab2 = 0
⇔ a = 0 hoặc a b
3
= − hoặc a 4b
7
= + Thay a = 0 vào (1) được b2 = 4 và
tìm được hai nghiệm (–1 ; –1), (–1 ;
1)
+ Thay a b
3
= − vào (1) được b2 = 9 và
tìm được hai nghiệm (–2 ; 2/3), (0 ; –
2/3)
+ Thay a 4b
7
= vào (1) được :
2
31
49
− = (vô nghiệm)
Kết luận đúng
0.2 5
0.2 5
0.2 5
0.2 5
0.2 5
0.2 5
b) f(3x – y + α) = 3f(x) – f(y),
∀x,y∈R (1)
2.0
Trong (1), thay x y 3x ' y '
2
−
được:
f (3x ' y ' ) 2f 3x ' y '
2
−
, ∀x’, y’∈R
2
−
, ∀x, y∈R (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
⇒f 3x 1y 3f x ( ) 1f y ( )
(3) Thay x = 0, y = 0 vào (3) ta được:
f(0) = 3f(0)/2–f(0)/2 ⇒ f(0) = b,
b tùy ý (3) ⇔ f 3x 1y f (0)
− −
3[f x ( ) f (0)] 1[f y ( ) f (0)]
∀x,y∈R Đặt g(x) = f(x) – f(0), ta có: g(0)
= 0 và:
⇒g 3x 3g x , g ( ) 1y 1g y ( )
∀x,y∈R
0.2 5
0.2 5
0.2 5
0.2 5
0.2
Trang 50.2 5
0.2 5
,∀x,y∈R
⇒g(x+y) = g(x) + g(y),∀x,y∈R
Vì g liên tục trên R nên:
g(x) = ax, ∀x∈R, với g(1) = a (a tùy ý)
⇒ f(x) = ax + b, ∀x∈R (4) (với a,
b tùy ý) Thay (4) vào (1) ta được: b = aα
Vậy f(x) = ax + aα, với a tùy ý
5
0.2 5
0.2 5
0.2 5
a) T MA.h = a + MB.h b + MC.h c 3.0 a) a + 2b = c (1), a 3 + 8b 3 = c 2 (2) 2.0
Ta có: a 2S 2 b 2S 2 c 2S 2
MA.GA MB.GB MA.GC
3
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a.m
2 3
+ +
0.2 5
0.2 5
0.2 5
(2) ⇔ (a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2) = c2
(3)
Từ (1) và (3) suy ra:
(2) ⇔ a2 – 2ab + 4b2 = (a + 2b) ⇔ 4b2 – 2(a + 1)b + a2 – a = 0 (4)
∆’ = (a + 1)2 – 4(a2 – a) = –3a2 + 6a + 1
(4) có nghiệm ⇔ ∆’ ≥ 0
0.2 5
0.2 5
0.2 5
Trang 6Tương tự b.mb a2 b2 c2, c.mc a2 b2 c2
6 3
+ +
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
MA.GA MB.GB MC.GC MA.GA MB.GB MC.GC + + ≥uuuuruuur uuur uuur uuur uuur+ +
(MG GA)GA (MG GB)GB (MG GC)GC
= uuuur uuur uuur+ + uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur+ + +
Đẳng thức xảy ra
⇔ MA, GA uuuur uuur
cùng hướng, MB, GB uuur uuur
cùng hướng, MC, GC uuur uuur
cùng hướng ⇔ M trùng G
Từ (1) và (2) suy ra: T 2 3 ≥
Vậy minT 2 3 = ⇔ ∆ABC đều và M
trùng G
0.2 5
0.2 5
0,2 5 0.2 5 0.2 5
0.2 5
0.2 5
0.2 5 0.2
⇔ 3a2 – 6a ≤ 1 ⇔ 3(a – 1)2≤ 4
⇔ a = 1 hoặc a = 2 (vì a ∈ N*) + a = 1 ⇒ b = 1, c = 3
+ a = 2 ⇒ b = 1, c = 4 Vậy (a;b;c) =(1;1;3) hoặc (a;b;c)
=(2;1;4)
0.2 5
0.2 5 0.2 5 0.2 5 0.2 5
f (x) a x = + a − x − + + a x + a
Ta có: f(a + b) – f(a) =
a [(a+b) − a ] a + − [(a+b) − − a − ]+ +a b
n
n 1 1
a b[(a+b) a(a+b) + +a (a b) a ] +a b[(a+b) a(a+b) + +a (a b) a ] + +a b
−
Suy ra: f(a + b) – f(a) chia hết cho b
Mà f(a+b) chia hết cho b nên f(a) chia hết cho b
Tương tự, f(b) chia hết cho a
0.2 5
0.2 5
0.2 5 0.2 5
Đặt P là vế trái của BĐT đã cho và :
Trang 7x E
H
O
C
B
A G
2 2 2 2 2 2 2 2
Q (a b)(a b ) (a − b − ) (b c)(b c ) (b − c − )
k
2
a (c a)(c a ) (c − a − )
+
Ta có: P – Q = (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0
2P P Q
(a b)(a b ) (a − b −) (b c)(b c ) (b − c −)
(c a)(c a ) (c − a − )
+ +
Ta có:
2(a2 + b2) ≥ (a + b)2
2(a4 + b4) ≥ (a2 + b2)2
………
2(a + b ) (a ≥ − + b − )
⇒
k 1 k 1
k
2 (a b)(a b ) (a − b − )
Tương tự với các số hạng khác của P+Q, suy ra: 2P a b b c c ak k k
P a b ck 3 abc3k k 13
+ +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
= c = 2
0.5 0.5 0.2 5
0.2 5
0.5 0.5
0.2 5
0.2 5
Xây dựng hệ tọa độ như
hình vẽ
Đặt BC = 2b (b>0),
ta có:
B(0 ; –b), C(0 ; b) Giả sử A(x0 ; y0) (x0
≠ 0)
Ta có: G(x0/3; y0/3) Tọa độ điểm H là nghệm
của hệ phương trình:
0
0 0
y y
x x (y b)(y b) 0
=
2 2 0
0
x
−
⇒ ÷÷
E là điểm đối xứng với H qua G khi
và chỉ khi:
2 2
0 0
E G H
0
E G H 0
E ∈ BC ⇔ xE = 0 ⇔ 0 2 02
0
0
−
2x + 3y = 3b ⇔ 02 20
1 3b / 2 b + =
Suy ra tập hợp các điểm A trong
mp Oxy là elip: x22 y22 1
3b / 2 b + = loại trừ
2 điêm B, C
0.2 5
0.2 5
0.2 5
0.2 5
0.2 5
0.2 5 0.5
Trang 8Vậy tập hợp các điểm A là elip có
trục nhỏ BC, trục lớn có độ dài bằng
