Hệ phương trình và cách giải

Các dạng hệ phương trình và cách giải ..................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Trang 1

Cách 2: Giải bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân các vế của phương trình với một sô thích hợp sao cho 1 hệ số nào đó của 1 ẩn

ở hai phương trình là đối nhau

Bước 2: Cộng hai phương trình với nhau để quy hệ phương trình về phương trình bậc nhất một ẩn, rồi giải tìm ra một ẩn

Bước 3: Thay vào một trong hai phương trình để tìm nghiệm còn lại

Biện luận nghiệm:

Nếu D ≠ 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Trang 2

x =

D và

yD

y =DNếu D = 0 và Dx 0 hoặc Dy 0 thì hệ phương trình vô nghiệm

Nếu D = Dx = Dy = 0 có ba trường hợp:

a = a' = b = b' và (c  0 hoặc c'  0): hệ phương trình vô nghiệm

a = a' = b = b' và c = c' = 0: hệ phương trình có vô số nghiệm

a, a', b', b' không cùng triệt tiêu: hệ có vô số nghiệm

Các dạng toán thường gặp đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

Dạng 1: Giải hệ phương trình

Dạng 2: Tìm giá trị của tham số (m) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, có vô số nghiệm

Dạng 3: Tìm giá trị của tham số (m) sao cho nghiệm của hệ thỏa mãn biểu thức cho trước

Thông thường ta phải giải hệ theo tham số m để tim x(m), y(m)

Sau đó thay vào biểu thức để tìm giá trị m cần tìm

1y2

Từ phương trình (1), suy ra: x = 1 - 2y

Thay vào phương trình (2), ta được:

2(1 - 2y) + 3y = 3

 2 - 4y + 3y = 3

 y = -1

Với y = 1  x = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x, y) = (3, -1)

Bài tập 2: Cho hệ phương trình:

1my

x

4my3x

0m1

n

2

4m3

4

Vậy m = 0; n = 1 là hai giá trị cần tìm

Trang 3

Bài tập 4: Giải hệ phương trình:

2

2y2x

x

2

2y

2

 21

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2), ta được:

x - y = -1

 x = y - 1

Thay vào phương trình (2) ta có:

y =1  x = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (0, 1)

5py

2q4

p

4q214

Vậy q = 2; p = 4 là hai giá trị cần tìm

2

1my

2y

m1

m31

1m11

m

1m1m

1

m

1m

1

2

2m

4y2px

Tìm giá trị p và q để hệ phương trình có vô số nghiệm

Giải

Hệ phương trình có vô số nghiệm

Trang 4

Vậy p = 2; q = 6 là hai giá trị cần tìm

2ymx

Xác định giá trị m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn hệ thức:

x + y = 1 -

3m

m2

5m2

6m5

2 



= 1 -

3m

m2

2





3m

33

2

1my2mx

Định m là số nguyên dương sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) là số nguyên

Giải

Giải hệ phương trình có nghiệm:

2m

312m

1mx

322m

1m2y

01m

3m

1m

Trang 5

1my)1m(x

Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm

Giải

Áp dụng công thức CRAMER, ta có:

11

m

1m

2yqx

Tìm giá trị của p và q để hệ phương trình có nghiệm với mọi x R

Bài tập 12: Giải hệ phương trình sau

(

x

1myx)1m

1

11

m

2

11

1m

2

my2

x

Giá trị m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x < y là

Giải

Áp dụng công thức CRAMER, ta có:

Trang 6

x

2yx

 21

x

nmy

pn

1m

0n

p

0mp

n

01

2

1y2mx

Tìm giá trị m để hàm số có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x + y = 1

Trang 7

Và thoả mãn x + y = 1

12

x

2y1001

1x1000

(

x

1myx)1m

722

1m

2m

1mm

1m

0m

2 2

22

1m

x

1my2mx

(m > 0) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x > y + 2

1mm

2

7m4yx)3m

2

Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất là

Giải

Trang 8

Giải hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) = (2m +3, 4)

2ymx

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y)

3y)a2(ax6

Bài tập 3: Giải hệ phương trình theo tham số a

1yax

2 3

yx

7yx

yx

|x

1y

|x

7y5

yx4

717

yx27

yx

(Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong TPHCM 1990-1991 Ban B)

Trang 9

Bài tập 7: Giải và biện luận hệ phương trình:

1mymx

mymx

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x, y) sao cho tích P = x.y đạt giá trị lớn nhất

1y)1m(x

ym4

my2x

64

ymx2

a) Giải hệ phương trình khi a = 2

b) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất

b) Có vô sô nghiệm

x (m 1)y 2(m 1)x y m 1

Trang 10

mx + nxy + py = 0 Với a, b, c, m, n , p là các hằng số thực

5yx

2

2 2

5yx

2

2 2

7 7

Bài tập 2: Giải các phương trình:

04y5xyxyx

42y

x

2 2

42y

x

2 2

Phương trình này vô nghiệm, suy ra hệ vô nghiệm

8yx

5y4x

2

2 2

5y4x

2

2 2

Trang 11

7415

5

y3

x

9xy7x5

y

x

9xy7x

54

115 697y

18

115 697y

18

115 697y

3y

x

8x2y

Trang 12

a) Giải hệ phương trình với m = 4

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m

Trang 13

Xác định các giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

a) Giải hệ phương trình khi a = 1

b) Tìm a để hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

c) Gọi (x1; y1) , (x2 ; y2) là các nghiệm của hệ phương trình đã cho

a) Giải hệ phương trình khi m = 13

Bài tập 10: Gọi ( x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

Trang 14

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nhiều hơn hai nghiệm

b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

c) Gọi (x1; y1), (x2; y2) là các nghiệm của hệ đã cho

Trang 15

Hệ phương trình loại I theo ẩn x và y: Là hệ phương trình mà khi ta đổi vai trò của các ẩn x và y thì

hệ phương trình vẫn không thay đổi

Khi đó S và P là nghiệm của phương trình bậc hai

X2 - SX + P =0, Bước 3: Giải phương trình bậc hai theo ẩn X

5t

u

Suy ra u và t là hai nghiệm của phương trình: X2 - 5X + 6 = 0

Giải ra, ta được: X1 = 2; X2 = 3

2)yx

3

2)yx

Trang 16

3)yx( 2 2

x

4yxy

)1(4P

3S2 1

3S

1

1 hoặc

2S

2 2

Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm (x; y) là (2; 0) và (0; 2)

x

19yxxy

2 2

(

xy

19)yx(xy

12yx

7yx

12yx

y

426

426x

7yx

có nghiệm

Trang 17

Vậy hệ phương trình đã cho có bốn cặp nghiệm (x; y) là:

426x

3x

4x

5tu

Vậy u và t là hai nghiệm của phương trình:

3yx

Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình

2x

3)x.(

y

2)x(y

2 2

)2(

)1(

Từ (1) và (2) chứng tỏ y2 và -x2 là hai nghiệm của phương trình:

1x

Trang 18

4 4

5yx

Giải hệ phương trình trên, ta được:

2x

3x

5yx

(52 < 4.44) hệ phương trình này vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm là

2x

3x

my

( m là tham số) Tìm giá trị m để hệ phương trình vô nghiệm

Trang 19

Suy ra hệ phương trình đã cho có 1 cặp nghiệm (x; y) là (1, -1)

Trang 20

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (x; y) là x 1

xy1(x + y )(1 + ) = 49

Trang 21

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: Fxy 2 x  y

Bài tập 4: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x y xy 2 m 12xy x y 2 m 2

a) Giải hệ phương trình với a = 2

b) Các giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình vô nghiệm

c) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có nghiệm

d) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

e) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình vô nghiệm

c) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có nghiệm

d) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

e) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài tập 10: Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm:

2 2

x + y + x + y = 8xy(x + 1)(y + 1) = m

Trang 22

b) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có nghiệm

Bài tập 12: Giải biện luận các hệ phương trình sau theo tham số a, m:

Trang 23

x xy y m 1xy(x y) m

Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập được

Bước 3: Xét nghiệm của hệ phương trình là nghiệm của từng phương trong hệ ở bước 1

Trang 24

y2

Trang 25

Giải hệ phương trình:

x - 2y = 2x + y3x + 3y - 1 = 0





Bài tập 3: Giải phương trình:

Trang 26

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là x 1

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) là (-2, -2)

Trang 27

2 2

Suy ra hệ có nghiệm khi m  1

2 2

Phương trình này luôn luôn có nghiệm với mọi m

t2 - 1m(3 4m )t2 3 0

Ta có:  = m2(3 - 4m2)2 + 27 > 0

Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Suy ra không tồn tại m để hệ vô nghiệm

3 2 3 2

m

xm

Trang 28

Tìm giá trị a để hệ có nghiệm duy nhất

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất khi a ≠ 0

(x y)(x y 2) 0(x y ) 2(x y) 4(x y)

Hệ phương trình này vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (x; y) là x 1; x 5

y + 23y =

x

x + 23x =

Trang 29

3) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2

2yx

1 y2xy

Hướng dẫn: Biến đổi, rồi lấy hai vế trừ nhau

Trang 30

y1

2x 3y 122y 3x 12

Trang 31

25t

Trang 33

    

 

Thế (6) vào (5) ta được

Trang 34

 hệ này vô nghiệm

Bài tập 5: Giải hệphương trình:

Trang 35

y =241

y = 241

b) Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi giá trị của k

Bài tập 6: Chứng tỏ rằng với mọi m, phương trình sau luông có nghiệm:

Trang 37

Cách giải:

Cách 1: Có thể giải bằng phương pháp rút thế Chọn một phương trình có hệ số gọn nhất để rút ra và thay vào các phương trình còn lại

Cách 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp định thức cấp 3 SARRUS

y =DD

z =D

6.2 Bài tập áp dụng:

Trang 38

x

1zy

1 27z9y

x

8z4y

2

x

1zy

11y19z5y

7z3y

Thay vào hệ phương trình đã cho ta có: x = 6

 Nghiệm của hệ phương trình là (x, y, z) = (6, -11, 6)

Trang 39

4z3y

2

2xyx

2y - 3z = 4 2

- y = 32x + y 2

1y2

1z2y

4z3

141

y

1zy

x

7zy

1 3xz

y

1zy

x

7zy

3z4yx

1z3y2

1 5z5y

x

3z4y

x

1z3y

0y2zy

2

2z

Trang 40

bzbby

x

azaay

x

2 2

1 czccy

x

bzbby

x

azaay

x

2 2

x

2zy

x

0zy

1 0zy

x

2zy

x

0zy

6z3y2

x

3zy

1 8z4y

x

6z3y

2

x

3zy

1y2

z

y

3z2

Trang 41

2

8z3y2

x

Giải

Giải bằng phương pháp cộng đại số

Suy ra nghiệm của hệ phương trình là (x, y, z) = (1, 2, 1)

x

2zmy

x

1zymx

Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

1

m

(

01m

2

m

0m1

1

1m

1

11

x

3zmy

x

2zy

x

2Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

1

1m

1

11

y

5

1z

x

4

1y

Trang 42

 

 32

1 5x

z

y

3y

1x2x

z

4x

z

xz

y

zy

z

2z

y

1y

1 3x

z

2z

y

1y

1 7zy

x

z

x

2y

x

3z

x

1y

x

Trang 43

Giải

Lấy (3) - (2)  y = 1

Thay vào phương trình (1)  x = 2

Thay vào phương trình (2)  z= 1

3 2

3mmm53zyx

m2mm4z2yx

mmm3zyx

26z3yx2

28z3y2x

m4zmyx

1mmzmxy

2 2

azayx

azy

azayaax

azaayx

3 4 3 2

2 3 2 2

Trang 44

1zyx

3 2 2

mzmymx

1zmmyx

2zynx

1zynx

3

2 (n là tham số)

Tìm n để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2z3y2x

1z)m31(y)m21(x)m1(

Trang 45

Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của x, y, z trong hệ trên, nên có thể giả sử:

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; z) = (1; 1; 1)

Bài tập 3: Giải hệ phương trình sau:

Trang 46

Tương tự như bài tập 3, ta chứng minh được hàm f đồng biến

Hệ đã cho được viết lại dưới dạng:

Vì f là hàm đồng biến nên f(x)  f(y) hay y3 z3 Do đó y  z

Suy ra f(y)  f(z) hay z3 x3 Do đó z  x

Chứng minh tương tự, ta được x < y < z < z (loại)

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; z) = (2; 2; 2)

Vì f là hàm đồng biến nên f(x)  f(y) hay y  z

Suy ra f(y)  f(z) hay z  x

Khi đó: x  y  z  x

Suy ra: x = y = z

Trang 47

Từ đó ta được phương trình:

x3 + x2 + x - 2 = x  x3 + x2 - 2 = 0

 (x - 1)(x2 + 2x + 2) = 0  x = 1, (Vì x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 > 0)

Trường hợp 2: x < y

Chứng minh tương tự, ta có: x < y < z < x (loại)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x; y; z) = (1; 1; 1)

Trang 48

Bài tập 7: Giải hệ phương trình sau:

4 4 4

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	761,24 KB