RÈN KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HÌNH PHẲNG OXY

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AC>ABcó đường cao AH, trên tia HC lấy điểm D sao cho HA=HD , đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E2;

Ví dụ 1: Giải bất phương trình

2

1

1 1

+ + +

x

Ví dụ 2: Giải bất phương trình

3 2

1

8 2 27 4

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AC>ABcó đường cao

AH, trên tia HC lấy điểm D sao cho HA=HD , đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E(2; 2− )

và AB tại F Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết phương trình CF x: +3y+ =9 0,đường

thẳng BC đi qua K(5;12) và điểm C có hoành độ dương

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có M( )6; 2 là trung điểm của BC ,

đường tròn tâm B bán kính AB cắt đường thẳng DM tại 21 22;

  Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông

ABCD biết rằng điểm A có hoành độ nhỏ hơn 3

Ví dụ 5 [Tham khảo]: Giải bất phương trình 2 ( ) ( )

4x+ +1 x −2x≥ 2 1+x x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện

( )

1

4

2

x x

x



+ ≥

⇔

− ≥

Cách 1:

Bất phương trình đã cho tương đương với

( )

2

4a+ =1 a; x −2x =b a≥0;b≥0 ta có

2

⇔ + = − ⇔ − − = ⇔ ∈ − +

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm S= −{3 10;3+ 10}

Cách 2:

Nhận xét bất phương trình không thỏa mãn với 1

4

x= − Ngoài trường hợp trên ta có 4x+ >1 0, bất phương trình đã cho tương đương với

( )

2

RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 7)

Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn

0

t t x

− = ≥

( )2

1+ ≥t 2t + ⇔ + + ≥2 t 2t 2 2t + ⇔ −2 t 1 ≤ ⇔ =0 t 1

⇔ + = − ⇔ − − = ⇔ ∈ − + Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm S= −{3 10;3+ 10}

Cách 3:

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

( )

2

2

1

4

⇒ + + − ≤ + ⇒ + + − ≤ + ∀ ≥ −  ∗

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi (*) xảy ra dấu đẳng thức

2

Quan sát điều kiện ta thu được nghiệm S = −{3 10;3+ 10}

Ví dụ 6 [Tham khảo]: Giải bất phương trình 3 2 21 2 1 5 ( )

1

2 5 2 6 5

x

Lời giải

Điều kiện

2

1

1 2

2

2 5 2 6 5

x

x



≥



⇔ >





2

∀ > ⇒ − + > ⇔ − − > ⇒ − + > ⇒ − + > Bất phương trình đã cho tương đương với

3 2x− +1 x + − ≤1 5 2 5x −2x+ − ⇔6 5 3 2x− +1 x + ≤1 2 5 x + −1 2x−1

2x− =1 a; x + =1 b a>0;b>0 ta thu được

⇔ − + ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ − ⇔ − + ≥ ⇔ ∈ℝ

Kết hợp tất cả các trường hợp ta thu được nghiệm 1;

2

= +∞

 

Ví dụ 7 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A (AB< AC)có

phương trình đường trung tuyến BM x: −2y− =2 0, đường thẳng qua trung điểm M của AC và vuông góc với BC cắt đường thẳng qua C vuông góc với AC tại điểm E(5; 6− ), tìm toạ độ các đỉnh của tam giác

ABC biết A thuộc đường thẳng x− + =y 1 0 và C có hoành độ dương,

Lời giải:

Gọi K là điểm đối xứng với E qua M khi đó AKCE là hình bình hành ( có

2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )

/ /

A B K



⇒



Dễ thấy M là trực tâm tam giác BKC do vậy BM ⊥KC⇒BM ⊥AE

Phương trình đường thẳng AE qua E và vuông góc với AM là

( )

2x+ − =y 4 0⇒ A 1; 2 , gọi M(2t+2;t)⇒C(4t+3; 2t−2)

Lại có CE AC  = ⇔0 (4t−2 4)( t+ +2) (2t+4 2)( t− = ⇔ = ±4) 0 t 1

Với t= −1⇒C(− −1; 4) ( )loai

Với t=1⇒C( )7; 0 ⇒AB: 3x− − =y 1 0⇒B=AB∩BI =(0; 1− )

Vậy A( ) (1; 2 ;B 0; 1 ;− ) ( )C 7; 0 là các điểm cần tìm

Ví dụ 8 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình

3

3

2

3

2 2 3 3 ,

3

2 3 2 1

2

6 5

y

x

x







Lời giải

Điều kiện 5

6

x> Từ đó dẫn đến x3+ >3 0⇒y3+ ≥3 0

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương

3

Vì

3

x xy y

+ +

Khi đó phương trình thứ hai trở thành

2

2

x

− + = ⇔ − + = − ⇔ − + = −

−

Đặt 2x− =1 t; 6x− =5 y (y>0) ta thu được hệ phương trình

2

2

t y



⇒ + = + ⇔ − + − = ⇔ − + + = ⇔

+ + =



•

3

2

• t+ + = ⇔y 4 0 2x+ +3 6x− =5 0 (Vô nghiệm do 5

6

x> )

So sánh với điều kiện ta có nghiệm ( ) ( ) 3 3

2 2

=  

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn

Ví dụ 9 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABCD là hình thang vuông tại A và D có

BC AB AD Trung điểm của BC là điểm M(1; 0), đường thẳng AD có phương trình

− + =

x y Tìm tọa độ điểm A biết DC > AB

Lời giải:

E

M N

D

C

Gọi N là trung điểm của AD, E là hình chiếu của B trên MN ⇒MN =d M AB( ; )=2

Theo giả thiết

2

,

= = = =a ⇒ = −a = a

2

+ = ⇔ +a = ⇔ = −

Gọi A∈ −x 3y+ =3 0⇒ A( 3m−3; )m

2

− + −

2

=



= −



m

m



⇒



Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) 3

7 1 14 2 3 8 5 10 4 5 4







Lời giải:

x≥ y − y− ≥

Xét phương trình (1) ta có ( ) 3

x+ x+ x= y − +y

( )3 ( )2 ( )3 ( )2 ( )

Xét hàm số f t( )= +t3 3t2 +2t với t>2⇒ f( )x = f y( −1)

Ta có f t'( )=3t2 + + >6t 2 0 với ∀ >t 2mà f ( )x = f y( −1)⇒ x = − ⇔ =y 1 y x+1

Thay y= x+1 vào phương trình (2) ta có 7 x− +1 14 y2−2y− − =3 8 5y2−10y+4 x2−5x+4 2

7 x 1 14 x 4 12 5x 9 4 x 5x 4

Đặt t= x− +1 2 x−4⇒t2 =5x− +9 4 x2−5x+4





⇒ − = ⇔ ⇔

1 1 4 1

⇒x2 −20x+68= ⇔ =0 x 10±4 2

Thử lại ta chọn x=10−4 2

Với x=10−4 2⇒ y= 10−4 2 +1

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm là (1; 2) và (10 4 2; 10 4 2− − +1)

Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC,

phương trình đường trung tuyến AM là: d x: −2y− =4 0, đường tròn ( )C có tâm thuộc cạnh AC đi qua

2 điểm A và M cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại 4;5

2

H 

  (H không thuộc AC) Tìm tọa độ các

đỉnh B,C của tam giác ABC biết diện tích tam giác ABC bằng 25

4

Lời giải:

Tâm I của đường tròn ( )C thuộc AC mà AB⊥AC nên AB là tiếp

C ⇒BAM =AHC ( cùng chắn AM )

Mặt khác tứ giác ABCH nội tiếp trong đường tròn ngoại tiếp tam

2

BHM = ⇒MB=MA=MH = BC

Do vậy 2 tam giác cân tại M là : MAB∆ = ∆MAH

Do đó AB= AH và MB=MH nên AM là trung trực của BH

Phương trình đường thẳng BH là: 2 21 0

2

x+ −y =

Trung điểm của BH là nghiệm của hệ

21

2

x y



+ − =

−



ABC

S

d B AM

( )

2 2

2

= − ⇒  − ⇒



+ ⇒ = − + +  = ⇔



 Vậy 3 ( ) ( )

6; ; 1;1 ; 7; 4

2

−