ĐỀ CƯƠNG ôn tập môn TOÁN HKI lớp 11

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A,B cố định, I là giao điểm của hai đường chéo thay đổi di động trên O tìm tập hơp trung điểm BC.. Câu 2: Cho tứ diện ABCD, lấy điểm E trên AB đ

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN HKI LỚP 11

PHẦN 1 : ĐẠI SỐ

A PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

I LÝ THUYẾT:

1 Phương trình cơ bản.

1.1, Phương trình: sinx  a (1)

Trường hợp 1 : a  1, Pt (1) vô nghiệm

Trường hợp 2: a  1, Pt (1) có nghiệm

Nếu

2

3

; 2

2

; 2

1









a thì đặt a sin  (với

a

arcsin



 ) rồi giải theo công thức nghiệm:

Z k k x

k x

















2

2 sin

sin













Các phương trình đặc biệt:

* sinx0  xk

2 1

sinx   x k

2 1

sinx  x k

1.2, Phương trình: cosx  a (2)

Trường hợp 1 : a  1, Pt (2) vô nghiệm

Trường hợp 2: a  1, Pt (2) có nghiệm Nếu

2

3

; 2

2

; 2

1









a thì đặt acos (với

a

arccos



 ) rồi giải theo công thức nghiệm:

Z k k x

k x

















2

2 cos

cos











Các phương trình đặc biệt:

* x  x k

2 0

cos

* cosx  1  x  k2 

* cosx 1  xk2 

1.3, Phương trình tanx  a (3)

3

3

; 1

;



a thì đặt a tan  (với

a

arctan



 ) rồi giải theo công thức nghiệm:

1.4, Phương trình cotx  a (4)

3

3

; 1

;



a thì đặt a cot  (với

a arc cot



 ) rồi giải theo công thức nghiệm:

2 Phương trình bậc hai đối với 1 HSLG.

 sin 2 sin 0





b x c x

 acos 2 xbcosxc 0 (6)

 tan 2 tan 0





b x c x

 cot 2 cot 0





b x c x

Cách giải: Đặt t  sinx, t cos x, t  tanx, t  cotx

sau đó giải pt bậc hai theo t

Chú ý: nếu t  1thì pt (5), (6) vô nghiệm

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinxbcosxc (9) 2 2 0



b a

Cách giải: Nếu a2 b2 c2 thì pt (9) vô nghiệm

Nếu a2 b2 c2 thì pt (9) có nghiệm Khi đó chia cả 2 vế pt (9) cho a 2 b2 và biến đổi pt (9)  sin(x  )  sin , (với sin 2 2 , cos 2 2 , sin 2 2

b a

c b

a

b b

a

a









Ngoài ra HS có thể sử dụng các CTLG để biến đổi về các PTLG cơ bản rồi giải

Z k k x

tan    cotx cot   x  k ,kZ

II BÀI TẬP CƠ BẢN:

1 PT bậc nhất với một HSLG:

Bài 1 Giải các PT LG (đối với sin)

a sinx sin3 b sin 2x sin4 c sin 2 sin

  d sin55 0  x sin 20 0

e

2

2











2

1 sin   x 

i

4

3 sin x j sin 0,1

2

x

 k sin x 2 l sinx  2013 0 

m 3sin 2x  1 0 n 0

4











 x



o sin 4 x 1 0  p 2sin x sin 60 0.

Bài 2 Giải các PT LG (đối với cos)

a cosx cos3 b cos3 cos 5

7

x   c cos23

8

cos   













5

cos

2

x

e cos 5x21 f.cos 2 3



  g cos x 97 h cosx 11 0 

i cos 3x 0 j  cosx  1 0 k cos x cos 72 0 l

2cos(5  x) 1 0  

Bài 3 Giải các PT LG (đối với tan)

a tanx tan6 b   0

















5

2 tan

tanx x  d tanx 3

e tan 2x   1 f tan cot

  g tan x 0 h

7

tan x

i 2 tanx 5 j 3 tanx 1  0 k 2014 tanx 2013 0  l 3  3 tan 2x 0

Bài 4 Giải các PT LG (đối với cot)

a cotx cot4 b cot 3x cot3 c cot 2x cotx 2  d cot5  x cot 

e

3

3

3

x





i cot x 0 j cot x 52 k cot 6x38 l 3cot 3 0

2

x

2 PT bậc hai với một HSLG:

Bài 1 Giải Pt bậc 2 đối với sin.

a 2 sin 2 sin 1 0















d sin 2x 4 sinx 6  0 e sin 2 x sinx 0 f 2  4 sin 2 x 0

Bài 2 Giải Pt bậc 2 đối với cos.

a cos 2x 5 cosx 6  0 b  2 cos 2 x cosx 4  0 c cos 2 x 3 cosx 5  0

d 4 cos 2 4 cos 1 0











x

Bài 3 Giải Pt bậc 2 đối với tan và cot.

a tan 2 tan 4 0











x

d 2015 cot 2 2025 cot 0



x e cot 2 x1  3cotx 3  0 f cot 2 0



x

3 PT bậc nhất đối với hai hàm số sinx và cosx:

a 3 sinx cosx 2 b  sinx 3 cosx 3 c sinx 2 cosx 3

d sinx 3 cosx 1 e 3 sinx 4 cosx 5 f 2 sinx 3 cosx 4

III BÀI TẬP THAM KHẢO VÀ NÂNG CAO:

Bài 1: Tìm TXĐ của hàm số:

a y = tanx + cot2x b y = tan

cos 1

x

x  c y =

tan(x-3

 )

d 3 sin 2

1 cos 2

x y

x





 e

sin

x y

x

 f y = cos 2 1

3

x x





Bài 2 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số :

a y 2cosx 8 b y = 2sin(x+

3

 ) + 1 c y sin 2x 4

d 2sin(2 3) 7 1

3

x

y    e os3 2 1 1

3

yc x  d y = 4cos2x – 4cosx +2

Bài 3: Giải các PT sau :

a sinx + cosx +1 = 0 b sin 2x cos 2x 3sinx cosx 1=0

c 2

sin 4x 2cos x 1 d (1 sin 2  x c os2 ).sinx 2x 2 2.sin cos 2x x

e sinx c os2x 0 f (1 sinx os2 ).sin(x+ ) 1 osx

4 1 t anx 2

c

Bài 4 : Giải các phương trình lượng giác sau :

a 5 sinx+cos3 sin 3 cos 2 3

1 2sin 2

x x





  ( A2002 )

b sin 3 2 x cos 4 2 x sin 5 2 x cos 6 2 x ( B2002 )

c cos 2 2 1

x

x

 ( A2003 )

d cot tan 4sin 2 2

sin 2

x

   ( B2003 )

e sin tan 2 os 2 0

x c



  ( D2003 )

f 5sinx 2 3(1 sin ) tan   x 2 x ( B2004 )

g 2cosx 1 2sin  x cosx sin 2x sinx ( D2004 )

h cos 3 cos 2 2 x x cos 2x 0 ( A2005 )

i 1 sin  x c x os  sin 2x cos 2x 0 ( B2005 )

x x x    x   

    ( D2005 )

k 2 cos 6 sin 6 

0

2 2sin

x





 ( A2006 )

l cot sin 1 tan tan 4

2

x

  ( B2006 )

m cos3x cos 2x cosx 1 0  ( D2006 )

n 1 sin  2xcosx1 cos  2xsinx  1 sin 2x ( A2007 )

o 2

2sin 2x sin 7x 1 sin  x ( B2007 )

p

2

sin cos 3 cos 2

x

  ( D2007 )

B TỔ HỢP

I LÝ THUYẾT :

1 Quy tắc cộng.

Một công việc được hoàn thành bởi 2 phương án Nếu phương án 1 có m cách làm, phương án 2

có n cách làm thì công việc đó có: (m+n) cách làm

2 Quy tắc nhân:

Một công việc được hoàn thành bởi 2 công đoạn Nếu công đoạn 1 có m cách làm, công đoạn 2

có n cách làm thì công việc đó có: (m.n) cách làm

3 Hoán vị.

Từ tập có n phần tử, mỗi cách lấy n phần tử xếp vào n vị trí là 1 hoán vị của phần tử.

.

P n

4 Chỉnh hợp.

Từ tập có n phần tử, mỗi cách lấy k phần tử và xếp vào k vị trí là 1 chỉnh hợp chập k của n phần

tử

 !

!

k n

n

A k n





5 Tổ hợp.

Từ tập có n phần tử, mỗi cách lấy k phần tử và không sắp xếp là 1 tổ hợp chập k của n phần tử.

 !

!

!

k n k

n

C k n





II BÀI TẬP CƠ BẢN:

Bài 1: Tổ 3 có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 1 học sinh để làm

tổ trưởng?

Bài 2: Trong hộp có 3 viên bi đen và 5 viên bi trắng Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 1 viên bi, mà:

a Viên bi đó màu đen

b Viên bi đómàu trắng

c Viên bi màu bất kì

Bài 3: Tổ 4 có 9 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh làm tổ trưởng và tổ phó? Bài 4: Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh vào 1 ghế dài 5 chỗ (có đánh số thứ tự)?

Bài 5: Có bao nhiêu cách chọn ra 3 viên bi khác nhau từ 1 túi có 7 khác viên bi khác nhau?

Bài 6: Một bó hoa gồm: 3 bông hồng đỏ, 5 bông hồng trắng và 4 bông hồng vàng Hỏi có bao

nhiêu cách để chọn ra 3 bông hoa khác màu?

Bài 7: Có 7 con thỏ khác nhau và cái 5 cái chuồng Hỏi có bao nhiêu cách để nhốt 5 con thỏ vào

5 chuồng, mỗi chuồng 1 con, sao cho:

a Năm cái chuồng giống nhau

b Năm cái chuồng sơn màu khác nhau

III BÀI TẬP THAM KHẢO:

Bài 1: Từ các chữ số: 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số là:

a Số chẵn có 3 chữ số?

b Số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 500?

Bài 3: Một nhóm có 6 nam và 4 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người sao cho trong đó chỉ có

1 nữ?

Bài 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh: A,B,C,D,E,F trên 1 ghế dài sao cho B và D ngồi ở 2

đầu?

Bài 5: Một cuộc khiêu vũ gồm 10 nam và 8 nữ Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép

thành 3 cặp Hỏi có mấy cách chọn?

Bài 6: Lớp phụ đạo A có 30 học sinh, 18 nam và 12 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a Hai bạn, gồm 1 nam và 1 nữ làm lớp trưởng và lớp phó

b Hai bạn (2 nam hoặc 2 nữ) đi trực xung kích

c Ba bạn ( ít nhất có 1 nữ) tham gia đại hội thanh niên

Bài 7: Tính xác suất để xảy ra sự kiện trong các trường hợp đã nêu ở câu a,b,c của bài 6?

Bài 8: Tìm x, biết:

a !  1!1!61







x

x x

b 2 2 101



x x

A

C NHỊ THỨC NEWTON.

I LÝ THUYẾT:

1 Công thức khai triển:

n n n n

n n

n n

n

n a C a b C a b C ab C b C

b

a 2  0  1 1  2 2 2  1 1

= 





n

k

k k n k

C

0

2 Tính chất:

 Số các số hạng trong khai triển là: n+1 số hạng

 Số hạng tổng quát (số hạng thứ k+1): k n k k

n

1 

 Đặc biệt:

n n n

n n n

n











0

3 2 1 0











C

II BÀI TẬP:

Bài 1: Cho khai triển  15

3

2 x Tìm số hạng thứ 9 theo lũy thừa tăng của 3

Bài 2: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:

a 110













x

12 4















x

5

2















x















x x

Bài 3: Tìm số hạng chứa x4 trong khai triển câu 2a

Bài 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển: 215













x x

Bài 5: Cho biết tổng 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển x n











 3

2

2 là 97 Tìm số hạng chứa x4

Bài 6: Tìm hệ số của x12y13 trong khai triển: 2x 3y25

Bài 7: Tổng hệ số của các số hạng thứ nhất, thứ 2, thứ 3 trong khai triển:

n

x











 2

3 1 là 11

Tìm hệ số của x2

Bài 8 : Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của :  5 2 10

x  x x  x ( D2007 )

Bài 9 : Tìm số ngyên dương n thỏa mãn hệ thức: 1 3 2 1

2 2 2n 2048

n

C là số tổ hợp chập

k của n ) ( D2008 )

D XÁC SUẤT

I LÝ THUYẾT:

1 Biến cố: Các khái niệm SGK.

2 Xác suất:

Xác suất của biến cố A:     

n

A n A P

II BÀI TẬP:

Bài 1: Gieo 1 con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần Tính xác suất của biến cố:

a Tổng 2 mặt xuất hiện bằng 8

b Tổng 2 mặt xuất hiện bằng 7

c Tích 2 mặt xuất hiện là 1 số lẻ

d Tích 2 mặt xuất hiện là 1 số chẵn

e 2 lần xuất hiện có số chấm bằng nhau

Bài 2: Gieo cùng lúc 4 đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất của biến cố:

a Cả 4 đồng xu đều ngửa

b Có đúng 3 đồng xu ngửa

c Có ít nhất 2 đồng xu ngửa

Bài 3: Có 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 Rút ngẫu nhiên 2 tấm thẻ Tính xác suất để tích 2

số trên 2 tấm thẻ đó là 1 số chẵn

E DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN.

I LÝ THUYẾT:

1 Dãy số:

a Dạng khai triển:  u n u1,u2,u3, ,u n

b Dãy số tăng, dãy số giảm.

1 u , n N

u n  n  

1 u , n N

u n  n  

c Dãy số bị chặn

 u n là dãy bị chặn trên  M:u n M, nN*

 u n là dãy bị chặn dưới  m:u n m, nN*

 u n là dãy bị chặn  m,M:mu n M, nN*

2 Cấp số cộng.

a Định nghĩa:  u n là cấp số cộng *

1 u d,n N

u n  n 

  (với d là công sai)

b Số hạng tổng quát: u n u1n 1d, n 2

c Tính chất các số hạng:

2

1

k

u u

2

1 2

3 2 1

d n n nu u u n u u

u u

n n





















3 Cấp số nhân:

a Định nghĩa:  u n là cấp số nhân  u n1 u n q ,n  N*( q là công bội và

n

n

u

u

b Số hạng tổng quát: 1

1



n u q u

c Tính chất: 1 1

2





 k k

k u u

u hay: u k  u k 1u k 1 với k 2

d Tổng n số hạng đầu tiên:  

1

1

1







q

q u S

n

n với q 1

II BÀI TẬP

Bài 1: Bằng phương pháp quy nạp, hãy chứng minh các đẳng thức sau:

3

1 4 1

2

5 3 1

2 2

2 2











3

1 2 1 2 2

6 4









n

Bài 2: Chứng minh với n  N*, ta có:

a n2n2  3n 1 chia hết cho 6 b n 5 n chia hết cho 30

Bài 3: Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau:

a

1

1 2

2 2







n

n

u n b  1

3

1 ,

2 1

1  u n  u n 

u c u1  15 ,u2  9 ,u n2 u n  u n1

Bài 4: Trong các cấp số nhân sau đây, tìm các số hạng đã được chỉ ra.

a ,

4

1 , 2

1 , 1 ,

2 Tìm u8 b  3 , 6 ,  12 , 24 , Tìm u11

Bài 5: Cho dãy số (u n) với u n= 9 – 5n

a Viết 5 số hạng đầu tiên

b CM: (u n) là 1 cấp số cộng

c Cho u n = - 106 Tìm n ?

d Tính tổng của 100 số hạng đầu ?

Bài 6: Cho cấp số nhân có u1= -3, q = -2 Số -768 là số hạng thứ bao nhiêu ?

Bài 7: Tìm số hạng đầu và công bội của CSN, biết :

a 3

5

3 27

u u









 b 4 2

25 50





 c 1 4

27 72

u u









PHẦN 2 : HÌNH HỌC Chương 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG.

1 Phép biến hình: Định nghĩa SGK

2 Phép tịnh tiến

'

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Biểu thức tọa độ: M(x;y);M’(x’:y’);v

(a;b)

x y'' x a y b

 



3 Phép quay:

( , )

'

( , ')

O

OM OM













4 Phép dời hình Định nghĩa và tính chất SGK 5.Phép vị tự

V( , )O k ( )M M'  OM              '               kOM

6 Phép đồng dạng:

Định nghĩa, tính chất: SGK

I Kiến thức trọng tâm:

II Bài tập:

1 Bài tập cơ bản:

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;3),B(2;-3) và đường thẳng d có phương

trình :

(d): 2x-3y-5=0

a Tìm tọa độ ảnh của A,B.

b Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v(1;-4)

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:

Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo v(-2;5)

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x-y-5=0

Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tỉ số k = -2.

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:(x 3) 2  (y 1) 2  9

Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k

= 3

2 Bài tập tham khảo:

Câu 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) và hai điểm cố định A,B Tìm lần lượt trên hai đường

tròn 2 điểm I,K sao cho AB=IK

Câu 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, một cát tuyến di động cắt (O) tại

M và cắt (O’) tại N Tìm quỹ tích trung điểm MN

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A,B cố định, I là giao điểm của hai đường chéo

thay đổi di động trên (O) tìm tập hơp trung điểm BC

Chương II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẲT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ SONG SONG

I Kiến thức trọng tâm:

1 Hai đường thẳng chéo

nhau và hai đường thẳng

song song

 Các khái niệm, định

nghĩa, tính chất, định lí:

SGK

Cần khắc sâu:

( ) ( )

( ), ( ) / / ( )

/ /

d















 Các dạng bài tập:

+Tìm giao tuyến

+Chứng minh 2 đường

thẳng song song

2 Hai đường thẳng chéo nhau

và hai đường thẳng song song

 Các khái niệm, định nghĩa, tính chất, định lí: SGK

Cần khắc sâu:

( ) ( )

/ /

d















 Các dạng bài tập:

+Tìm giao tuyến +Chứng minh 2 đường thẳng song song

3 Đường thẳng và mặt

phẳng song song

 Các khái niệm, định nghĩa, định lí : SGK

Cần khắc sâu:

a) / /( ) ( )

/ / ' ( )

d d











 





b)  

 

/ /( )

'/ /

d

d















c)

( ) / / ( ) / / / / ' ( ) ( ) '

d

d













4 Hai mặt phẳng song

song

 Các định nghĩa, định lí

và tính chất :SGK

Cần khắc sâu

( ), ( ) ( ) / /( )

/ /( ), / /( )











II Bài tập:

1 Bài tập cơ bản:

Câu 1: Vẽ hình:

a Hình chóp SABC, đáy là tam giác ABC

b Tứ diện ABCD, Tứ diện đều ABCD

c Hình chóp SABCD:Đáy là tứ giác ABCD,đáy là hình bình hành ABCD,là hình chữ nhật ABCD,là hình vuông ABCD, hình thang ABCD,hình thoi

Câu 2: Cho tứ diện ABCD, lấy điểm E trên AB điểm F trên CD Xác định giao tuyến của từng

cặp mặt phẳng sau:

a (ABC) và (ECD)

b (ABF) và (BCD)

c (ABF) và (ECD)

Câu 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song

song Lấy điểm M thuộc miền trong tam giác SCD

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

a (SBM) và (SCD)

b (ABM) và (SCD)

c (ABM) và (SAC)

Câu 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành.Tìm giao tuyến của các cặp mặt

phẳng:

(SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC)

Câu 5: Cho tứ diện ABCD Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm

nằm trên cạnh AD, P là giao điểm của CD với (MNQ) Chứng minh PQ//MN và PQ//AC

Câu 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thoi ABCD.

a Chứng minh AB//(SCD)

b Gọi M là trung điểm của Sc, xác định giao tuyến của (BAM) và (SCD)

Câu 7: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành G là trọng tâm của tam giác

SBD, I là trung điểm của DC

a Chứng minh: SD//(AIG)

b Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua AG song song với SD và hình chóp

SABCD

c Xác định giao tuyến (AIG) và (SAD)

2.Bài tập nâng cao:

Câu 1: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm I và điểm J,K lần lượt là điểm thuộc miền

trong của tam giác BCD và ACD.Gọi L là giao điểm của JK và (ABC)

a Xác định điểm L

b Tìm giao tuyến của (ỊK) và các mặt của tứ diện ABCD

Câu2: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình thang ABCD và đáy lớn là AD, AD=2BC Gọi O

là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD

a Chứng minh OG//(SBC)

b Cho M là trung điểm của SD Chứng minhCM//(SAB)

c Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho SC = 3

2SI Chứng minh rằng SA//(BID)

Câu 3: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của hai đường

chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD đều I là điểm di động trên đoạn AC với AC=x(0<x<a), (

) là mặt phẳng đi qua I và song song (SBD)

a Xác định thiết diện của ( ) với hình chóp S.ABCD.

b Tìm diện tích của thiết diện ở câu a theo a,b,x.Tìm x để diện tích lớn nhất