BÀI tập đại số tổ hợp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để viết cả 2 vế thành đa thức của ẩn x, đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc trong 2 vế, ta có thể viết ra được nhiều hệ thức về tổ hợp.

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPI/ Lý thuyết

1/ Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong n hành động Nếu hành động 1 có m1 cách thực hiện, hành động 2 có m2 cách thực hiện, , hành động thứ n có mn cách thực hiện; các cách thực hiện của hành động thứ k không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ p Vậy công việc đó được hoàn thành bởi m1+m2+ +mn cách thực hiện

(∀n m m; ;1 2; ;m k p n; ; ∈¥ )

2/ Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi một trong n hành động liên tiếp Nếu hành động 1 có m1 cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động 1 có m2 cách thực hiện hành động 2, , ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ 1;2; ;n-1 có mn cách thực hiện hành động thứ n Vậy công việc

đó được hoàn thành bởi (m1.m2 mn ) cách thực hiện

(∀n m m; ;1 2; ;m n∈¥ )

3/ Chỉnh hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử; n≥1 Một chỉnh hợp chập k các phần tử của A là một cách sắp xếp k phần tử khác nhau của A; 1≤ ≤k n k; ∈¥

• Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử: n k ( ! )!

n A

C a − b

=

=∑ (*) (∀ ∈n ¥*)

• Ta cũng có thể khai triển:

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP ( )n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n

n k

=

2 2

2 0

n k

n k

n k

+

=

II/ Tài liệu tham khảo số 1

Một số dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Niu-tơn

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

• Suy ra

1 0

Ta thường gặp bài toán với một trong hai cận của tích phân là 0 hoặc 1; -1

Trong một số trường hợp, ta phải xét đa thức g(x) = xk.(1+x)n với k = 1; 2; 3;

DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨNG MINH HỆ THỨC TỔ HỢP

• Còn hệ số của x2n trong khai triển ở VP(1) là =C2n n Vậy suy ra đpcm.

*** Lưu ý: Khi xét đẳng thức (x+1)n.(1+x)m = (x+1)n+m (2) Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để viết cả 2 vế thành đa thức của ẩn x, đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc trong 2

vế, ta có thể viết ra được nhiều hệ thức về tổ hợp

DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP

*** Lưu ý: Khi giải pt tổ hợp ta làm như sau: đặt điều kiện cho ẩn số; sử dụng các công thức về

hoán vị; chỉnh hợp; tổ hợp để biến đổi, rút gọn và giải pt; đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của bài toán để kết luận Tương tự như vậy khi giải bất phương trình

7/ Ví dụ 7: Tìm 3 số hạng liên tiếp lập thành một CSC trong dãy số sau: 0 1 23

=



⇔  =

• Vậy ba số hạng cần tìm là: C C C238; 239; 2310 và C C C2313; 1423; 2315

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPDẠNG 4: BÀI TOÁN TÍNH HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC

a x

=

∑ ; số hạng chứa xp ứng với g(k) = p; giải pt ta tìm được k Nếu k là số

tự nhiên và nhỏ hơn hoặc bằng n thì hệ số phải tìm là ak Nếu k ∉N hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa xp, hệ số phải tìm bằng 0

9/ Ví dụ 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức

P(x) = (2x+1)13 = a0.x13 + a1.x12 + +a12.x + a13

tự nhiên n lớn nhất thỏa mãn bất pt trên

III/ Tài liệu tham khảo số 2

Một cách khác giải quyết các bài toán liên quan đến nhị thức Niu – tơn

( Trích KNSK 2010 – GV: Lưu Hải Vĩnh – Trường THPT Ninh Giang)

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

 Trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát biểu thức

cần tính để đưa ra nhị thức Niu - tơn thích hợp

• Cách giải thứ nhất khá phổ biến, mang tính chất truyền thống nhưng học sinh thường lúng

túng khi đưa ra nhị thức Niu- tơn cần khai triển để áp dụng, nhất là đối với các tổng phức tạp hơn cần sử dụng đạo hàm bậc hai, bậc ba Mặt khác trong chương trình học: bài "Nhị thức Niu - tơn" học trước chương " Đạo hàm"

• Cách giải thứ hai: không là cách giải tổng quát cho tất cả các bài tương tự.

• Cách giải thứ ba:

 Phù hợp với nội dung chương trình đang học.

 Tự nhiên hơn.

 Áp dụng được nhiều dạng bài tập tương tự, phức tạp hơn.

• Sau đây là một số bài tập được giải quyết nhờ công thức (I); (II)

1 2

1 3

1 4

3 2008 5

• Giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ như:

chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức

• Nếu trong tổng cần tính xuất hiện biểu thức của k dưới dạng bậc hai hoặc bậc ba của k thì ta

giải quyết như thế nào?

*** Từ công thức (I); ta suy ra các công thức sau:

• Tương tự như bài tập 1; giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ

như:Chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức

• Và chúng ta đều nhận thấy rằng với cách giải các bài toán như trên giúp học sinh chủ động hơn trong quá trình lĩnh hội kiến thức; đồng thời giúp học sinh nhìn ra vấn đề tổng quát nhằm phát huy tính sáng tạo, chủ động của các em

Bài 4*: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 380/ 2009)

1 1 1 1

2 2

n x

Bài 5**: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 393/ 2010)

Cho p là một số nguyên tố, và các số tự nhiên m; n; q thoả mãn: 2≤ ≤n m; ( ; ) 1p q = Chứng minh

rằng: m

n

qp

C chia hết cho p m n− +1

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPGiải

 Ta viết số tự nhiên n dưới dạng: n k p= α với ( ; ) 1; ,k p = k α∈¥*

• Nếu α ≥n thì n k p= α ≥k p n ≥ p n Điều này vô lí Vì vậy α ≤ −n 1

• Khi đó theo công thức (I) : k k11 k k11

 Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

Bài 6***: ( Đề thi IMO năm 1980)

Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện: 1≤ ≤r n; n∈¥* Xét tất cả các tập con gồm r phần tử của tập hợp {1, 2, , n} Mỗi tập con này đều có phần tử bé nhất Gọi F(n,r) là trung bình cộng của

tất cả các phần tử bé nhất đó Chứng minh rằng: F( , ) 1

1

n

n r r

+

=+

Giải

 Gọi G(n,r) là số trung bình cộng của các phần tử lớn nhất của

các tập con đã nói ở đề bài

=+

*** Chú ý: Từ bài tập trên ta có thể rút ra số trung bình cộng G(n,r) và thiết lập một bài toán mới.

**** BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

I/ Đối với học sinh trung bình khá ta có thể ra các bài tập sau nhằm củng cố kiến thức và tạo

sự hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập.

Bài 1: Chứng minh rằng

1 1 2 2 ( 1) n 1 n 0 ; 1

Bài 2: (Đề thi ĐH khối A năm 2005)

Tìm giá trị n thoả mãn hệ thức sau:

II/ Một số bài tập nâng cao.

Bài 1: Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện: 1≤ ≤r n; n∈¥* Xét tất cả các tập con gồm r phần tử của tập hợp {1, 2, , n} Mỗi tập con này đều có phần tử lớn nhất Gọi G(n,r) là trung bình

Bài 2: ( Đề thi IMO năm 1987)

Cho S ={1;2; ;n}; n≥ 1 ta gọi p(k) là số các hoán vị của S có đúng k điểm cố định Chứng minh rằng:

0

n

n k

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

(Đề thi khối A năm 2007)

 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng

+ +

 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng

quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng

quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

1 ( ; ; *)

k n

 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng

quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

k n

 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng

quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

2 ( ;1 ; ; 1)

1

k n

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPChứng minh rằng

3/

10143/

n n

223/

24

n n

A f

−

− +

d/ Tìm hệ số của số hạng chứa x6.y2 trong (3 xy−4 )x y 10

e/ Tìm số hạng không chứa x trong (23 x 45 )7

+ , biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu bằng 79 Tìm số hạng không chứa x.

d/ Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+x2)n bằng 1024 Tìm hệ số của số hạng chứa x12

Bài 3:

a/ Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong (1+x+x2+x3)5

b/ Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong 1+x2(1−x)8

c/ Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong (1+2x+3x2)10

d/ Tìm hệ số của số hạng chứa x trong (1 2+ x−33 x)4

e/ Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong (x+1)10.(x+2)

f/ Tìm hệ số của số hạng chứa x9 trong P(x) = (1+x)9+(1+x)10+ +(1+x)14

g/ Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong P(x) = (1+x)+2(1+x)2+ +20(1+x)20

h/ Tìm hệ số của số hạng chứa x5 y3.z6.t6 trong (x+y+z+t)20

Bài 4 :

a/ Cho (x2+1)n.(x+2)n có a3n-3 = 26n Tìm n?

b/ Cho (2 21 2 )3

x x

b + a có số hạng chứa a;b có số mũ của a và b bằng nhau Tìm số hạng đó.

Bài 5: Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển

− +

DẠNG 4: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN

A/ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP SỐ KHÔNG CÓ SỐ 0

Bài 1: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7}

a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4

c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau

d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn và hai chữ số lẻ

e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 1;6

f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 1;6 đứng liền nhau.g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số; chữ số 1 xuất hiện 3 lần; các chữ số còn lại xuất hiện không quá 1 lần

h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó

i/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó

a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau

c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ

d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn đứng liền nhau và 3 chữ số lẻ đứng liền nhau

e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5

f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 và 0

g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 và 0 đứng liền nhau

h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho tổng các chữ số lẻ

i/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 4

k/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 và có 6 chữ số khác nhau

m/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 50.000

n/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt 1;6 và hai chữ số này không đứng cạnh nhau

p/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số đứng liền trước hoặc chữ số đứng liền sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước

22

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPBài 2: Cho A = {0;1;2;3;5}

a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số; chữ số 0 có mặt hai lần; chữ số 2 có mặt 3 lần; các chữ số còn lại có mặt 1 lần

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số; chữ số 0 có mặt một lần; chữ số 2 và 3 có mặt 3 lần; các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần

c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ số khác nhau

C/ LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SẮP XẾP NGƯỜI.

Bài 1: Có 8 học sinh ( 4 nam; 4 nữ) Có bao nhiêu cách sắp xếp:

a/ Xếp tùy ý vào một dãy bàn ghế có 8 vị trí

b/ Xếp vào hai dãy bàn đối diện nhau; mỗi hàng ghế 4 học sính sao cho cứ đối diện 1 nam là 1 nữ

Bài 2: Có 10 nam và 15 nữ Chọn ra 6 người đi lao động Hỏi có bao nhiêu cách nếu

a/ Chọn bất kỳ

b/ Chọn sao cho có đúng 2 nam

c/ Chọn sao cho có nhiều nhất 2 nam

d/ Chọn sao cho có 1 nhóm trưởng là nam

e/ Chọn sao cho có ít nhất 3 nam và có cả nữ

Bài 3: Có 6 nam và 9 nữ trong đó có bạn Hoa Chọn ra 7 bạn đi lao động.

a/ Có bao nhiêu cách chọn nếu trong đó không có mặt bạn Hoa

b/ Có bao nhiêu cách chọn nếu trong đó luôn có mặt bạn Hoa

Bài 4: Có 8 thầy dạy toán; 5 thầy dạy lý; 3 thầy dạy hóa Cần chon ra 4 thầy đi dự hội nghị Hỏi có bao nhiêu cách nếu:

a/ Có đủ 3 môn

b/ Có đúng 2 môn

Bài 5: Có 3 nhà toán học nam; 2 nhà toán học nữ; 3 nhà vật lý nam

Chọn một đoàn công tác gồm 3 người sao cho có cả nam và nữ, có cả toán và lý Hỏi có bao nhiêu cách?

Bài 6: Có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp.

Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người đi dự đại hội sao cho có ít nhất một cán bộ lớp

Bài 7: Có ba nước tham gia hội nghị bàn tròn; mỗi nước cử 3 đại biểu.

Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các đại biểu cùng một quốc gia thì ngồi gần nhau

Bài 8: Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp theo hàng dọc đi vào lớp.

a/ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho có đúng hai học sinh nam xếp xen kẽ 3 học sinh nữ

b/ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 6 học sinh nam đứng liền nhau.

Bài 9: Một lớp có 40 học sinh; chia thành 4 nhóm; mỗi nhóm có 10 học sinh.

a/ Có bao nhiêu cách?

b/ Có bao nhiêu cách nếu 4 nhóm tham gia lao động tình nguyện ở 4 tỉnh miền núi

D/ LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SẮP XẾP ĐỒ VẬT.

Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong : x(1-2x)5 + x2(1+3x)10

Bài 14: Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong 2 1

24

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPBài 16: D-2008

Bài 17: A-2008 Cho khai triển: (1+2x)n = a0 + a1x + a2x2 + + anxn

Các hệ số a0; a1; ;an thỏa mãn 1 2

n n

Bài 28: Tìm hệ số của x3 trong khai triển (1-x-3x2)4

Bài 29: Giải phương trình 1 2 2 3

C +C = C và số hạng thứ 6 trong khai triển ( 2log(10 3 ) − x +5 2(x− 2) log 3)nbằng 21

Bài 32: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển ( 2−43)100

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPBài 41: Tìm số lớn nhất trong các số 2 1 2 2 2 100

Có 30 câu hỏi gồm 5 khó; 10 trung bình; 15 dễ Lập một đề kiểm tra có 5 câu khác nhau; có

đủ 3 loại và số câu dễ không ít hơn 2 Hỏi có bao nhiêu đề?

Bài 54: B-2005

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người (12nam; 3nữ) Hỏi có bao nhiêu cách phân công

về 3 tỉnh miền núi, mỗi tỉnh 4 nam và 1 nữ

Bài 55: D-2006

Có 12 học sinh (5hs lớp A; 4 hs lớp B; 3 hs lớp C) Chọn 4 hs làm nhiệm vụ; không thuộc quá 2 trong 3 lớp trên Có bao nhiêu cách chọn

Bài 56: Từ 0;1; ;7 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và số đó chia hết cho 5.

Bài 57: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 3 chữ số; mỗi chữ số nhỏ hơn chữ số đứng ngay liến trước Bài 58: Cho 0;1;2;3;4;5

a/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó phải có mặt số 0 và 3

b/ Lập được bao nhiêu số tự nhien có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4

Bài 59: Có bao nhiêu cách chia A gồm 10 phần tử thành 2 tập hợp con khác rỗng.

a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số sao cho tổng của các chữ số là số chẵn

b/ Có bao nhiêu tập con khác rỗng có ít hơn 52 phần tử của A có 100 phần tử

Bài 64:

26

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Từ 0;1; ;7 Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số trong đó chữ số 6 có mặt 4 lần; các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần

Bài 65: Tính tổng các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ 1;2;3;5;6;8.

Bài 66: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 2158.