Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, các bất đẳng thức hoặc tính tổng chứa các số C k n... Cần chú ý : + Kỹ năng sử dụng tổng, tích của khai triển 2 nhị thức + Cách xử lý đối với khai triển củ
Trang 1Bài 3.4/ Chứng minh rằng ∀n∈N*, ta có:
1 3 1 2
+
−
n n
4
3 3 3 − + − + + n= n−
n
n n
n
c
Hướng dẫn: áp dụng với f (x)= (3 + x)n lấy đạo hàm 2 vế và chọn x =1
Bài 3.5/ Chứng minh rằng
c + + + + + + = + −
Hướng dẫn áp dụng với f (x)= (1 + x)n lấy tích phân 2 vế từ 0 đến 1
Bài 1.2/ Khai triển f(x) = (1 + + +x x2 x3 5 ) và viết lại dưới dạng : f(x) = 15
0 1 15
Tính a 9
HD:(1 + + +x x2 x3 5 ) = + (1 x) (1 5 +x3 5 ) = 5 5 3
( )
5 5
0 0
k l k l
= =
Giải k+3l = 9 tìm được (k,l) là (3,2) hoặc (3,0) => a9 = 3 2 0 3
ở dạng này các bài toán thường gặp là:
• Tìm các số hạng không chứa x
• Tính số hạng ,hệ số nào đó
• Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (hoặc của đa thức khai triển)
Bài 1.3/ (ĐH KB - 2007)
Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n , biết rằng
3n 0 3n 1 1 3n 2 2 3n 3 3 ( 1)n n 2048
Bài 1.4/ (ĐH KD - 2007)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức sau:
P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320
Bài 1.5/ (ĐH KA - 2006)
Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của 7
4
x x
biết rằng 12 1 22 1 23 1 2n 1 220 1
C + +C + +C + + +C + = − ĐS: n =10 , hsố = 210
Bài 1.6/ (ĐH KA - 2004)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức
P = 1+x2(1−x)8 ĐS: 238
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, các bất đẳng thức hoặc tính tổng chứa các số C k
n .
Trang 2Cần chú ý : + Kỹ năng sử dụng tổng, tích của khai triển 2 nhị thức
+ Cách xử lý đối với khai triển của tam thức
+ Nhận dạng loại toán có sử dụng đạo hàm, tích phân
Bài 2.1/:Chứng minh đẳng thức:
1 2 3 2 3
C + C + + C + +C + =C ++ +C ++
Giải: Ta có: c c c ( c c ) ( c ck )
n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
2 1 1
2 1
2 + + + = + + + + + +
n
k n
2 1
1 1
+ +
+ + +
=> c c c ck
n
k n
k n
k n
2 2 2 1
2 + + + = ++ + (1)
Mặt khác ta có: k 3 k 1 3 k 2 k 3
n
k n
k n
k n
k n
k n
3 2 2
1 1
+
n
k n
k n
3 1
2 1
1
1 2 ++ ++
+ + + + = ( c c ) ( c c ) c c ck
n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
3 3
3 2
2 2
3 1
2 1
2 1
1 1
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
Từ (1) và (2) ta suy ra kết quả
Bài 2.2/Chứng minh rằng: ∀ ∈n ¥ ,ta có:
1 2 + 2 2 + + n 2 = 2 ( 2 2 2)
c + + c c+ − + +c .
Giải: VT = 12+22+ + n2 =
6
) 1 2 )(
1 (n+ n+
n
(quy nạp)
Do: c c 11 ck 1,
n
k n
k n
+ + + −
c c
cn n n
3 3
1 2
−
3 1 3 2
− = − ; ; c c c3
3
3 4
2
3 = − ; c c3
3
2
2 = => cn cn c c cn
3 1
2 2
2 3
2 1
2
− + + + = +
6
) 1 2 )(
1 ( 6
) 1 ( ).
1 ( 2 2
) 1 (
2 3 1
2 1
n n
n n
n n n
n
c
Bài 2.3/ Cho n là số tự nhiên, n≥2 Chứng minh đẳng thức sau:
n C + −n C + −n C + + C − + C − =n n+ −
( Đề thi HSG 12 Nghệ An 2008 2009)
0
n
n k
=
Đạo hàm hai vế của (1) ta được ( ) 1 1 1
0
n
n k
=
0
n
n k
=
Đạo hàm hai vế của (2) ta được
Trang 3( ) 1 ( ) ( ) 2 1( )2 1 ( )
0
n
n k
=
Thay x= 1vào (3) ta được đpcm
+/ Dạng tổng liên quan đến tích của hai khai triển ∑
=
n k
k n c
0
.cp k
m−
Bài 2.4/ Chứng minh rằng với m,n,k là các số tự nhiên, m ≤k≤n , ta có:
n m m k m
m m
k n m
k n
−
0
b/ (cn
0
) 2 +(cn
1
) 2 + + (cn
n ) 2 = cn
n
c/ (c n
0
2 ) 2 -(c n
1
2 ) 2 +(c 2
2n ) 2 - + (c n
n
2
2 ) 2 = (-1) n
cn
n .
Giải: a/ Xét tích (1 + x)m (1+x)n = (1 + x)m+n
m m
m+ 1 x+ +
0
n n
c0+ 1 + + )
Do giả thiết m ≤k≤nnên hệ số của xk trong VT này là c c c c c ck m
n
m m
k n m
k n m
−
− + +
0
n m n
m n
+ +
+ + 1 + +
0
) Hệ số của xk trong khai triển của VP là ck
n
m+ => đfcm b/ Đẳng thức đã cho chính là: c c c c c c cn
n n
n n
n n n
n n
0 1
/ 0
.
.
n
k n
−
Bài toán hoàn toàn giống câu a/ với m = n
c/ Để ý dấu của vế trái trong đẳng thức đã cho, xét đẳng thức: (1+x)2n(1-x)2n= (1-x2)2n
(*)
Tổng các chỉ số trên trong mỗi số hạng bằng 2n Vậy ta chỉ cần xác định hệ số của x2n
trong khai triển của đẳng thức (*)của 2 vế và đồng nhất hệ số đó ở 2 vếc, ta sẽ được đẳng thức cần c /m
1
n
n k
=
∑ có liên quan đến công cụ đạo hàm
Bài 2.5/ Chứng minh đẳng thức:
n
n n
n
n n
n n
n n
n
0
2
4
) 1 (
4 ).
2 ( 4 ).
1
−
Xét khai triển:
Lấy đạo hàm 2 vế ta được:
Trang 42n(2x - 1)n-1 = 2n.cn
0
(2x)n-1 - 2(n-1) 1( 2 ) 2 2 ( 2 ) 2( 2 ) 3 ( 1 ) 1 2 1.
c c
n n n
n
n
Cho x = 2 , ta được đfcm
Nếu cần chứng minh có liên quan đến tổng∑
=
n
k 2
k(k-1)ck
nan-k.bk-2
ta phải dùng đến đạo hàm cấp 2
+/ Tính tổng nhờ sử dụng tích phân :
Bài 2.6/ Chứng minh rằng:
1
1
2 1
1 ) 1 (
2 3
1 2
2
0
− + +
= +
− +
− +
n
c c
n n n
n n
n
Giải: Ta có: (1 - x)2 = n n
n
n n
n
c0 1 2 2 ( 1 )
− +
− +
−
Lấy tích phân 2 vế (từ 0 đến 2) ta có:
dx x dx
x dx
x dx
dx
n
n n
n n
n
c c
c
0
2
0
2 2 2
0 1 2
0 0 2
0
) 1 (
)
1 (
= 2 c c c cn
n n n n
n
1 2
3 2
1 0
2 1
) 1 (
2 3
1 2 2
+
− +
− +
− (1)
Mặt khác ta có: Đặt 1 - x = u => du = -dx Đổi cận:
−
=
=
<=>
=
=
1
1 2
0
u
u x
x
) ) 1 ( 1 ( 1
1 1
1 ) ( 1
1 )
1
1
1
2
0
+ +
−
−
− +
=
− +
=
−
=
n
u n du u dx
1
So sánh (1) và (2) ta có đpcm
Bài 3.3/ Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn
sách toán,
4 cuốn sách lý và 3 cuốn sách hóa Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học
sinh A,B,C,D,E,F mỗi em 1 cuốn.
a/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại toán và lý Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?
b/ Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 loại sách trên đều còn lại ít nhất 1 cuốn Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Giải : a/ Có 6
9
C cách lấy 6 từ 9 cuốn toán và lý ; Với mỗi cách lấy đó có 6! cách trao 6 cuốn
sách cho 6 học sinh khác nhau Vậy có cả thảy 6
9
C 6! = 60480 cách tặng
Trang 5Ta tính xem có bao nhiêu cách chọn sách mà hết tất cả 1 thể loại nào đó
Số cách chọn 6 từ 12 cuốn sách là 6
12
Số cách chọn sao cho không còn sách toán là 5 1
5 7
C C
Số cách chọn sao cho không còn sách lý là 4 2
4 8
C C
Số cách chọn sao cho không còn sách hóa là 3 3
3 9
C C
Số cách chọn ra 6 cuốn thỏa mãn yêu cầu là : 6
12
5 7
4 8
3 9
C C ) = 805 Đem 6 cuốn đó tặng cho 6 học sinh có 6! cách
Vậy có cả thảy 6!805 = 579600 cách tặng thỏa mãn yêu cầu
BàI TậP THÊM:
3.6/ Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4 ?
3.7/ Cho A là một tập hợp có 20 phần tử Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A
mà có số phần tử là số chẵn ?
3.8/ Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam 3 nữ Hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội thanh niên đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh
có 4 nam và 1 nữ ?
3.9/ Một đội văn nghệ gồm 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một
nhóm 5 người sao cho trong đó có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ ?
3.10/ Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6
học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội
đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn ?
Bài 4.2 / Môt hôp co 16 viên bi gôm 7 bi xanhbi đo, 4 bi đen Sau khi đa trôn đêuây
A
⇒ la biên cô đươc 7 bi không co đu ca 3 mau sô kêt qua thuân lơi cho biên cô ố kết quả thuận lợi cho biến cố A
+ Ca 7 bi chi 1 mauco 1 cach lây 7 bi toan mau xanh đung 2 mau xanh va đo cach lây la ách lấy là 7
C − (không tinh lây 7 bi xanh)
+ Co đung 2 mau xanh va đen cach lây la cách lấy là 7
11 1
C − (không tinh lây 7 bi xanh) + Co đung 2 mau đen va đo cach lây la ách lấy là 7
9
C
Vây sô kêt qua thuân lơi cho y số kết quả thuận lợi cho A la: 1 + 7
C − + 7
C − + 7
9
C
= 1157
ngâu nhiên cung môt luc 7 viên bi
Tinh xac suât đê cac bi đươc lây ra co đu ca ba
mau cach lây tuy y 7 bi tư 16 bi la cách lấy tùy ý 7 bi
Suy ra sô kêt qua thuân lơi cho biên cô: 11440 1157 = 10283
Trang 6Vây xac suât đê cac bi đươc lây ra co đu ca 3 mau băng y xác suất để các bi được lấy ra có đủ cả 3 màu bằng ( ) 10283
11440
P A =
Bài 4.3/ Có 2 hộp, mỗi hộp đựng các quả cầu trắng và đen giống hệt nhau về kích thước
và hình dạng Tổng số quả cầu ở hai hộp là 25 Từ mỗi hộp lấy ra 1 quả cầu Biết xác suất lấy được 2 quả trắng là 0,54 , hãy tính xác suất để lấy được 2 quả cầu đen
Giải :
Gọi m1, m2 lần lượt là số quả cầu trong hộp I và hộp II (m1 ≤ m2 ) => m1+ m2 = 25
(1)
k1, k2 lần lượt là số quả cầu trắng trong hộp I và hộp II
Điều kiện là: m1, m2, k1, k2 ∈ ¥ ; 0 ≤ ≤k1 m1 ;0 ≤k2 ≤m2
Xác suất để lấy được 2 quả cầu trắng là 1 2
1 2 (2 ) k k 0,54
P T
m m
= × = => 50k1k2 = 27m1m2 (2)
Từ (2) 1
2
5 5
m
m
⇒
M
M ; từ (1) ⇒ (m1 +m2 ) 5 M Vậy phải có m M1 5 và m M2 5 1 2
5 , 20
10 , 15
TH1 m1= 5 , m2 = 20 từ (2) => k1k2 = 54 Do ĐK nên suy ra k1 = 3 , k2 = 18
số quả cầu đen trong 2 hộp đều là 2 => XS lấy được 2 quả đen là 2 2 0,04
5 20 × =
TH1 m1= 10 , m2 = 15 từ (2) => k1k2 = 81 Suy ra k1 = k2 = 9 =>: số quả cầu đen tương ứng trong hộp I và II là 1 và 6 => XS lấy được 2 quả đen là 1 6 0,04
10 15 × =
KL: Xác suất để lấy được 2 quả cầu đen là 0,04
Bài 4.4/ Hai máy bay ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném 1 quả với xác suất trúng mục tiêu tương ứng là 0,7 và 0,8 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng bom ? Giải :
Gọi A là biến cố máy bay 1 ném trúng mục tiêu
B là biến cố máy bay 2 ném trúng mục tiêu
=>A B∪ là biến cố mục tiêu bị trúng bom
Do hai máy bay ném bom độc lập nên P A B( ) =P A P B( ) ( )= 0,7.0,8 = 0,56
Vậy P A B( ∪ ) =P A( ) +P B( )−P AB( ) = 0,94
Đề thu hoạch:
1/ Khai triển và rút gọn biểu thức 1− +x 2(1−x)2 +3(1−x)3+ + n(1−x)n
ta thu được đa thức 2
n
P x = +a a x a x+ + +a x
Hãy tính a8 biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 2 3
C +C = n
2/ Có 2 xạ thủ loại 1 và tám xạ thủ loại 2, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ theo thứ tự là 0, 9 và 0,8
Lấy ngẫu nhiên ra một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn Tìm xác suất viên đạn