Bài tập ðại Số Tuyến Tính Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân - Dương Minh Thành - GV Khoa Vật Lý – ðHSP Tp.HCM 1 Bài tập SỐ PHỨC LÝ THUYẾT:Cần làm rõ các vấn ñề sau 1.. Thế nào là liên hợp
Trang 1Bài tập ðại Số Tuyến Tính
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân - Dương Minh Thành - GV Khoa Vật Lý – ðHSP Tp.HCM
1
Bài tập SỐ PHỨC
LÝ THUYẾT:Cần làm rõ các vấn ñề sau
1 Số phức là gì? Thế nào là liên hợp của một số phức? Khi nào hai số phức bằng nhau?
2 Các phép toán của số phức và số phức liên hợp? Modun của số phức?
3 a Các dạng biểu diễn của số phức?
b Có thể viết dạng lượng giác của số phức là cosu – isinu; sinu ± icosu?
c Khi nào thì sử dụng dạng ñại số của số phức; khi nào sử dụng dạng lượng giác?
d Nâng số phức lên lũy thừa và khai căn số phức? Có thể tìm lũy thừa p của z với p bất kỳ?
4 Hàm số mũ với số mũ phức? Tính chất? Công thức Euler?
BÀI TẬP
Bài 1 Tính:
1 (-3 + i)(14 + 2i) ð/s -40 + 20i 2
i
i 4 1
3 2
−
+
ð/s:
17
11
10 + i
−
3 ( )
i
i
−
+
1
2
ð/s:
2
7 + i
−
4 ( ) ( )
( ) (3 )2
3 2
2
2
3
1
2
1
i i
i i
+
−
+
−
−
+
ð/s 5 ( )
( )7
9
1
1 i
i
−
+
ð/s: 2 6 3 − 4 i ð/s: ± ( 2 – i)
7 ( )3442
1 i − ð/s: -21721 i 8 2 2
i
− + ð/s:
3 2 2
i
3 1 3
1 + i + + i
Bài 2 Biểu diễn các số phức sau dưới dạng ñại số x + iy; x, y ∈ R
a (1 + i)12 ð/s: -64 b 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)99 ð/s(1 + 250)i
c
6
2
1 −
− i
ð/s: –i d cos z Từ ñó suy ra cos (1 – 2i) e sin z Từ ñó suy ra sini
4 cos
6 cos
Tìm dạng lượng giác của:
a zw; b z/w; c w/z ; d z5/w2
Bài 4 Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a z = − 2 + 2 i 3 ð/s:
+
=
3
2 sin 3
2 cos
i
i
+
−
1
1
ð/s:
2
3 sin 2 3
Trang 2Bài tập ðại Số Tuyến Tính
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân - Dương Minh Thành - GV Khoa Vật Lý – ðHSP Tp.HCM
2
c
7
sin
7
cosπ +i π
7
6 sin 7
6
d
3
cos 3 sinπ +i π
ð/s:
3
2 sin 3
2
e
7
sin 7
cos
ð/s: f z = (1 + i)(1 + i 3)( 3 - i) ð/S: ( sin5 12)
12 5 cos
f z =( ) ( )
5 5
3
3 1
1
i
i i
+
− +
ð/s: ( sin11 12)
12 11 cos
g z = cos 450 + isin 300 ð/s
2
3 (cosα + isinα) ; cosα =
3
2 , sinα =
3 1
Bài 5 Tìmznếu:
( i)( i)
i 7 2 6
1
− +
+
3
3 1
6 2
+
+
−
i
i
c ( )( )( ) ( i)( )i i
i i
i
+ +
−
− + +
5 4 3
2 3
1
Bài 6: Tìm modun và argument chính của các số phức:
a 4 + 3i, -4 + 3i, -4 – 3i, 4 – 3i b.4 + i ð/s: ( 17 arctg; 14)
c
2
3 i −
−
+
; 2 10
17
1
3
+
+
i
i ð/s: (217/2; 7π/12)
Bài 7 Tìm z thoả:
1 z2
= 1 + i 2 iz + (2 - 10i)z = 3z + 2i ð/s: z = -9
41 -
i
41
2 z2
= -8 - 6i ð/s: z = ±(1 - 3i) 4 z2 - (3 + i)z + 4 + 3i = 0.ð/s: z = 2 - i; 1 + 2i
5 z − 1 − i = 2 z − 5 − 2 i ð/S: (x–19/3)2 + (y–7/3)2 = 68/9
6 z2 =z
ð/s: z = 0; 1;
2
3 2
1
±
− 7 cosz = 2 ð/s: z = - i ln(2 ± 3)
Bài 8 Tìm các giá trị của căn những số phức sau: 3 i, 41, 1 − i, 3 + 4 i
Bài 9 Chứng minh |z1 + z2| ≤| |z1 +| |z2 Giải thích khi nào có dấu ñẳng thức?
Bài 10 Chứng minh
z
| |z -1 ≤|arg z & giải thích ý nghĩa hình học |
Bài 11.Chứng minh 1 - z1 z22 - |z1 - z2|2 = (1 - | |z12 )(1 - | |z22 )
Bài 12 Với mọi z ∈ C, chứng minh rằng: Rez + Imz ≤ 2 z