Số Tổ Hợp Suy Rộng Và Một Vài Phương Pháp Xây Dựng Bài Toàn Tổ Hợp

iii BaccauVóimoix,y,z ∈ X,neucóxSyvàySzthìcũngcó ii Vóimoiy,z ∈Cxcóy ∼z,y∼xvàz ∼x.. iii BaccauVóimoix,y,z ∈ X,neucóxSyvàySzthìcũngcó xSz.. KhiSlàm®tquanh¾thútntrongXthìtathưòngviet™thayc

ĐAIHOCT H Á I NGUYÊNTRƯè

NGĐAIHOCKHOAHOC

PHAMTH±THUHIEN

TOHePSUYR®NG VÀM®TVÀIPHƯƠNGPHÁPXÂ YDUNGBÀITOÁNTOHeP

Mnclnc

Máđau 3

Chương1 Tohapsuyr®ng 6 1.1 Phépchúngminhquynap 6

1.1.1 Quanh¾tươngđươngvàquanh¾thú tn 6

1.1.2 Nguyênlýquynap 9

1.2 Hoánv%,chínhhopvàtohop 12

1.2.1 Quytacđem 12

1.2.2 Hoánv%vàchínhhop 13

1.2.3 Tohop 17

1.2.4 Côngthúckhaitriennh%thúcNewton 20

1.3 Hoánv%,chínhhopvàtohopsuyr®ng 22

1.3.1 Chínhhopcól¾p 22

1.3.2 Tohopcól¾p 22

1.3.3 Hoánv%cnat¾phopcócácphantúgiongnhau 25

1.3.4 Socáchphânbocácđov¾tvàotrongh®p 26

1.4 Xâydnngbàitoántohop 27

1.4.1 Phươngphápđaohàmvàtíchphân 27

1.4.2 Phươngpháph¾phươngtrình 30

1.4.3 Phươngphápsophúc 38

1.4.4 Phươngphápsongánh 41

Chương2 M®tvàibieudienquatohap 45 2.1 Đ%nhlýHilbertvàĐ%nhlýCantorvebieudienso 45

2.2 Khaitrienđađơnthúc 48

2.3 Súdungchísovàcôngthúcchuyenđoingưoc 50

2.4 ĐongnhatthúcNewton 56

2.5 Đ%nhlýFermatvàĐ%nhlýWilson 60Ketlu¾n 64Tàili¾uthamkháo 65

Tohoplàm®tphanratquantrongc n a Toánhocròirac,chuyênnghiêncúusnsapxepho¾cphânbocácđoitưongvàtínhsocáchsapxepay.Chnđenàyđãđưocnghiêncúutùlâu,theký17,khixétcáctròchơimayrni.Thôngthưòng,socácphantúlàhuuhanvàvi¾cphânbochúngpháithóamãnnhungđieuki¾nnhatđ

%nhnàođay,tùytheoyêuc a u cnavanđenghiêncúu.Dovi¾cđemcácđoitưongho¾cdienđatbàitoándưóidangsapxep,cókethútnho¾ckhông,cácphantúcnam®tt¾phop,nêntathưòngg¾pbàitoántohopdưóidangsau:

1 Bàitoánđem:Đâylàbàitoánnhamtrálòicâuhói"cóbaonhiêucáchsapxepcácphantúthóamãnđieuki¾nđãnêu?"Phươngphápđemthưòngdnavàom®tsonguyênlývàm®tsotínhtoánkhôngquáphúctap

2 Bàitoánli¾tkê:Đâylàbàitoánxéttatcácáckhánăngnhamtrálòicâuhói"thu¾ttoánnàovéthetcáckhánăngsapxepvàcóbaonhiêucáchsapxepcácphantúthóamãnđieuki¾nđãnêu?"

3 Bàitoántoiưu:Đâylàbàitoánxétnhungcáchsapxeptotnhat,theom®tnghĩanàođó,trongsonhungcáchsapxepcóthe

4 Bàitoántontai:Đâylàbàitoánxétsntontaihaykhôngtontaicáchsapxepcácphantútheoyêucauđãđưocđ¾tra

toántohopcũngthưòngxuathi¾ntrongcáckỳthiĐaihocvàCaođang,cáckỳthiHocsinhgióicapquocgiahayquocte.Chúnglànhungbàitoánkhó.Đ¾cbi

¾t,đephucvutotchovi¾cgiángday

chương"TohopvàXácxuat"ólóp11,giúphocsinhthiĐaihocvàCaođangvàvóimongmuonđưoctìmhieusâuhơnnuavenhungbàitoántohopnênchúngtôic

honđetài"Toh a p suyr®ng

vàm ® t v à i p h ư ơ n g p h á p xâyd U n g bàitoántoh a p " Lu¾nvănt

Chương2.M®tvàiNngdnngcúatohap.

Trongchươngnàychúngtôit¾ptrungtrìnhbàym®tsoúngdungcnatohopđebieudienm®tvàibàitoán.Muc2.1trìnhbàycáchv¾ndungtohopvàhoánv

%đebieudiensoquaĐ%nhlíHilbertvàĐ

%nhlíCantor.Muc2.2trìnhbàycôngthúckhaitrienđađơnthúc.Nólàcôngthúckhaitriennh

%thúcNewtontongquát.TrongM u c 2.3chúngtôitrìnhbàyphươngphápsúdungchísovàcôngthúcchuyenđoingưoc.ĐongnhatthúcNewtonđưoctrìnhbàyóMuc2.4vàcuoicùnglàvi¾cchúngminhĐ%nhlíFermatvàĐ%nhlíWilson

Lu¾nvănnàyđưochoànthànhvóisnhưóngdanvàchíbáot¾ntìnhcnaPGS-TS.ĐàmvănNhí-TrưòngĐHSP1-

Hàn®i.Tùđáylòngmình,emxinđưocbàytólòngbietơnsâusacđoivóisnquantâm,đ®ngviênvàsnchíbáohưóngdancnaThay

Emxintrântrongc á m ơ n tóic á c ThayC ô trongTrưòngĐaiHocKhoaHoc-

ĐaiHocTháiNguyên,phòngĐàoTaoTrưòngĐaiHocKhoaHoc.Đongthòitôixingúilòic á m ơ n tóit¾pthelópC a o HocToánK5ATrưòngĐaiHocKhoaHocđãđ®ngviêngiúpđõtôitrongquátrìnhhoct¾pvàlàmlu¾nvănnày

TôixincámơnSóGiáoducvàĐàotaoTínhHàGiang,BanGiámhi¾u,cácđongnghi¾pTrưòngTHPTHùngAn-

Huy¾nBacQuangđãtaođieuki¾nvàgiúpđõtôihoànthànhkehoachhoct¾p

TháiNguyên,ngày02tháng04năm2013

Tácgiá

PhamTh%ThuHien

Tohapsuyr®ng

N®idungchươngm®tt¾ptrungbànvetohopsuyr®ng.Chúngtabatđauchươngbangcáchtrìnhbàyphươngphápquynap

nóthóamãnbađieuki¾nsauđây:

(i) (Phánxa)Vóimoix ∈Xc ó xSx.

(ii) (Đoixúng)Vóimoix,y ∈X,neucóxSythìcũngcóySx.

(iii) (Baccau)Vóimoix,y,z ∈ X,neucóxSyvàySzthìcũngcó

(ii) Vóimoiy,z ∈C(x)cóy ∼z,y∼xvàz ∼x.

(iii) Vóimoix , y ∈X,cóho¾cC(x)∩C(y)=∅ho¾cC(x)=C(y).

(iv) T¾pthươngX/ ∼làt¾pcáclóptươngđươngkhônggiaonhau.

Vídn1.1.Tínhtongcúatatcácácsogom9chusophânbi¾tđưocl¾ptùcácso 1,2 , ,8,9.

(ii) (Phánđoixúng)Vóimoix,y ∈X,neucóxSyvàySxthìx=y.

(iii) (Baccau)Vóimoix,y,z ∈ X,neucóxSyvàySzthìcũngcó

xSz.

T¾pXđưocgoilàm®tt¾pxapthútnneucóm®tquanh¾thútntrongX KhiSlàm®tquanh¾thútntrongXthìtathưòngviet™thaycho

S.Vóix,y∈X,thaychovi¾cvietxSythìtavietx™yvàđoclàxnhó

hơnho¾cbangy ho¾cviety“xvàđoclàylónhơnho¾cbangx Tùđâytacóthe

đ%nhnghĩax<ykhivàchíkhix ™y,xƒ=y;ho¾cy>x khivàchíkhiy“x,yƒ=x.

{2012+52}∪{2012}thóamãnđebài.

Khik ≡ 0(mod4)vàk> 92.TavietX= { 2012,2012+1, ,2012+92}

k ≡0(mod4)vóik“92.

1.1.2 Nguyênlýquynap

Hainguyênlýdưóiđâythưòngđưocgoilànguyênlýthúnhatvànguyênlýthúhaicnaquynaptoánhoc

M¾nhđe1.3.

[NguyênlýthNnhat]Neum¾nhđeP (n),phnthu®cvàosotnnhiênn,thóamã n:

1

√

3+···+

1

√ n< 2

<

√ n+1

T= 1− 1 1− 1 1− 1 ···.1− 1 < 1+1

Bàigiái:Tùa1=3=a0+2,a2=6=a1+3,a3=10=a2+4,a4=

15=a3+5,a5= 21=a4+6suyraa n =a n−1 +n+1vàđieunàydedàng

(n+1)(n+2) cóđưocquaquynap.V¾ya n= 1+2+3+···+n+n+1=

2

1vàsuyra1−

21=3.5+6,22=2.5+2.6,23=3.6+5,24=4.6đưocgiánbanghailo aitemtrên.Bâygiòtachíra,moibưuphí> 24xucũngđưocgiánbanghailoait

n n

Đ

%nhnghĩa1.6.Moicáchsapxepcóthútncnat¾pTgomnphantúkhácnhauđ

ưocgoilàm®thoánv

%cnat¾pnphantúđó.Moicáchxapxepcóthútnkphantúcnat¾pTgomnpha ntúkhácnhauđưocgoilàm®tchsnhhopch¾pkcnat¾pnphantú.

Vídn1.12.VóisonguyêndươngnvàP n =n!hãychúngminhrang

P P

+ +···+

Vídn1.16.Giásúcácsoa1,a2, ,a n đưocđ%nhnghĩanhưsau

đây:a1= 0 ,a2= 1 vàa n+1 = ( n+1)a1 n +(−1) n+1 vói moisonguyên

Dođóan =P n. − +

−···+(−1) n .vóin “1.

n

Vídn1.18.Có30emthamgiacu®cthitiengháthoctrò.Ngưòinhatsenh¾nđưochuyc

hươngvàng,ngưòinhìsenh¾nđưochuychươngbacvàngưòibasenh¾nđưochuych ươngđong.Cóbaonhiêucáchtraobahuychươngneutatcácácketcnccúacu®cthiđe ucóthexáyra.

1 1 1 1V¾y2Sn

= 2

−(

n−1)n hayS n = 4−2( n−1)n .

%nhnghĩa1.7.Moit¾pcongomkphantúcnam®tt¾pgomnphantúkhácnha

uđưocgoilàm®ttohopch¾pkcnat¾pnphantúđó.

n k

120 80

80!

nap.K i e m tratrnctiepa 0=1 = C0 vàa1= 1=C0+1 .K e t

lu¾nđúng.G i á s ú ketlu¾nđúngchoa2n vàa2n+1 ,c ó nghĩa:a2n =

2n+1

0

2n+2

n n+1 n+1

tươngtn,neuketlu¾nđúngchoa2n−1v àa2nthìtacũngchúngminhđưocketlu

¾n đúngchoa2n+1 Tómlai,tacóđieupháichúngminh.

n n 25 neuvàchíneuk< 7 .Tươngtn,xétCh+12h+15n−h−1 <C h hn −h 2n− 5 2n−5

.7

.Tù

7hainh¾nxétsuyrah¾solónnhatbangmax{Cr 2 r5n−r ,C r+12r+15n−r−1 }.

3k = (1−3.3+

1.3 Hoánv%,chínhhapvàtohapsuyr®ng

Trongnhieubàitoánđem,cácphantúcótheđưocsúdungl¾plainhieulanho¾ccácphantúgiongnhautrongm®tt¾pcùngđưocsúdung.Vídu,cácchusovàcácchucáiđưocsúdungnhieulantrongm®tbiensoxemáyho¾ctrongm

®ttù.Dov¾y,trongmucnàytatrìnhbayphươngphápxâydnngbàitoántohopcól¾pđegiáim®tlópratr®ngcácbàitoánđem

h¾làC 1999.

k+n−1

n−1+ k

Dov¾yCn =C k

Bàigiái:Moinghi¾mcnaphươngtrìnhx1+x2+x3+x4+x5=2011thóam

ãnđieuki¾nnguyênkhôngâmvàx2“3,x4“6,x5“7seúngvóicáchchon2011phantútùt¾p5loai,trongđóloai2cóítnhat3

phantú,loai4cóítnhat6phantúvàloai5cóítnhat7phantú.Nhưthe,trưóctiênchon3phantúloai2,6phantúloai4và7phantúloai

∗∗∗|∗|∗|∗∗|∗

bieuth

%tohopl¾pchúađúng3phantúthúnhat,1phantúthú2,1phantúthú3,2phantúthútưvà1phantúthúnăm

Vídu2:Tohopl¾pch¾p6tùm®tt¾p4phantúđưocbieudienbang3thanhđúngvà6ngôisao

∗∗∗|∗|∗|∗∗|∗

bieuth

%tohopl¾pchúađúng3phantúthúnhat,1phantúthú2,2phantúthú3,vàkhôngcóphantúthútưnào

ChNngminh:Kýhi¾ucácphantúlàa1,a2, ,a s ,trongđóa1xuathi¾nn1lan

,a2xuathi¾nn2lan, ,a s xuathi¾nn s lan.n1phantúbangnhaua1đưockýhi¾u

quaa11, ,a1n1;n2phantúbangnhaua2đưockýhi¾uquaa21, ,a2n2; ;n s pha

ntúbangnhaua s đưockýhi¾uqua

a s1 , ,a sn s Vóin =n1+n2+···+n s phantúa ij tacón!hoánv%.Khi

cođ%nhcáca i1 , ,a in i ,iƒ=1,cònn1phantúbangnhaua11, ,a1n1

hoánv%vóinhautacũngchíđưocm®thoánv

%.Trongtrưònghopnày,thnctemoiphantúđãđưoctínhn1!

lan.Tươngtn,xétcáctrưònghopkhác.Vìcáctrưònghopđ®cl¾pvóinhaunêntheoquytacnhântathay

thetaorađưoc,tanh¾nthay,cóC3 cáchchon3chocho3chusos.Ta

M¾nhđe1.13.Kýhi¾uT làsocáchphânchian đov¾tkhácnhauvàotrongkh®

Bài giái: Trưóc tiên ta chia n v¾t thành s phan sao cho

phan thú i có m i n i v¾t Khi đó so cách phân chia là S =

1.4.1 Phươngphápđaohàmvàtíchphân

Vídn1.42.Vóisonguyênn “1,tínhT n =12C1+22C2+···+n2Cn.

x)n−1 −2(n−1)C1(2

x)n−2 +···+ n

(−1

)

2Cn Chox=2tanh¾nđưoch¾thúcdưóiđâyn4 Cn −(n−1)4n−2C1+···+(−1) n−1Cn−1=n3n−1

n k=0

n+α n

i=1 vóix=-1

(n 1)! n (−1) n−2Q(2+αi

)

i=1

vóix=-2

1!(n 2)! n (−1) n−3Q(3+αi

x2

x1 x2

+ +···+ x n − 4 = c (x−α1)(x−α2) (x−αn)1+

x 2+

x n+x 2x+

1 (2x+1)(x+1)(x+2) (x+n)

c

2n (n!)2. i=1 2i−1

(−1) k

k2−1)

k=2 n

vóix=i



Tanh¾nđưoccácnghi¾m −x2+ iy2=



a (−1) n

nπ n4π

0=(1−1) n = T1−T2+T3−T4tasuyrah¾ T

2−T4=2n/2sin

T1+T2+T3+T4=2n

nπ ,

1 2010 1

Vídn1.60.Giásúhaidãysonguyên (a n)và(bn)xácđ%nhnhưsau:

|A1∪A2 ∪A k |(1)

Bàigiái:Đetránhnhamlan,tagoiFlàFk vàSlàS k GoiT(i,k)

làsocácc¾p(A1,A2, ,A k)∈Fk s a o cho|A1∪A2∪ ∪A k |=i.Ta

tínhS k thôngquavi¾ctínhT (i,k).Vóii phantún1,n2, ,n i thu®c

{1,2, ,n}tađemxemcóbaonhiêub®(A1,A2, ,A k)thóamãnđieuki¾nA1∪A

2∪ ∪A k ={n1,n2, ,n i }(2),tùđótínhđưocT(i,k)và

S k

Tachocácphantún1,n2, ,n i " đ ă n g kí"cóm¾ttrongcáct¾pA i theoquyt

ac:neu,changhann1đăngkícóm¾ttrongA1,A2vàkhôngcóm¾ttrongcáct¾

pcònlaithìphieuđăngkíghilà(1,1,0, ,0),cònneun1chícóm¾ttrongA k thìghi

phieulà(0,0, ,1).Phieuđăngkílà

hopl¾neucóítnhatm®tso1(neukhôngphantútươngúngsekhôngcóm¾ttro

ngA1∪A2∪ ∪A k).Vóiiphieuđăngkícnan1,n2, ,n i ta

l¾pđưocb®(A1,A2, ,A k).Dethayrangvóihaib®phieuđăngkíkhácnhau,tac

óhaib®t¾phop(A1,A2, ,A k)khácnhauvànhưthesob®(A1,A2, ,A k)thóamã

n(2)bangsob®phieuđăngkíhopl¾.Vìphieu

đăngkícnan p ,p=1,2, ,igomks o 0ho¾c1vàpháicóítnhatm®t i

so1nênn p có.2k − 1. b®phieuđăngkíhopl¾khácnhau.

Cuoicùng,chúýrangcóCi cáchchoniphantútùnphantúnên

n k tacóT (i,k)= C i .2k −1.i v

àtùđâysuy raS =n .2k −1.2k(n−1)

pthúhaivàot¾phopthúnhat:Socónchusogomcácchuso1,2,3,4vàcácchuso1bangcácchuso2đưoc"nhânđôi"thànhsocó2nchusotheoquytacsau:Đautiênhaiphiênbáncnasonàyđưocvietkenhauthànhsocó2nchuso,sauđócácc

huso3ónchusođauđưocđoithànhchuso1,chuso3ónchusosauđưocđoithành chuso2.Tươngtn,cácchuso4ónchusođauđưocđoithànhchuso2,cònchuso 4ónchusosauđưocđoithànhchuso1.VíduvóiA =123412(n=6)talanlưo

332341

chuso2.i≤ . n .CóCi C i cáchchonv%tríchoichuso1vàichu

so 2này.Cònlain-2iv%trítrongcótheđ¾t3hay4tùyý.Nhưv¾ycó

2]tatcá2n−2icác hđ¾tchon-2iv%trícònlai.V¾yN =.Ci in−1

2n−2i và

i=0

vi¾cbienđoibieuthúctrênđâyvedangrútgontưòngminhCn khôngpháilàvanđeđơngián

Trongvídutrên,thnctelàchúngtađãchúngminhđưocm®tđang

2]thúckháthúv%:

cópn( k )hoánv%vóikđiemcođ%nhvàúngvóimoim®thoánv%snày

tacókc ¾ p (x,s)khácnhau.

Quacácvídutrên,tacóthethayrangphươngphápsongánhcótheápdungrathi¾uquátronglíthuyetgiáitíchtohop,nhatlàtrongcácbàitoántínhtoántohop,cũngnhưvi¾cthietl¾pcácđangthúcliênquanđencácsotohop

s

d i

−

i d

2.1 Đ%nhlýH i l b e r t vàĐ % n h lýCantorvebieudienso

Đ%nhlý2.1.

[Hilbert]Chosonguyêndươngd> 1.Khiđómoisonguyêndươngnđeucóth ebieudienduynhatthànhtongn =.h d.+

Tacònpháichírah d > h d−1 Theocáchchonchoh d tacó. =.h

h d >h d 1>···>h1“0

i=1 thìh d làsolónnhatthóamãn.h d.™

k k−1 r

ga=a n n !+an−1(n−1)!+···+a22!+a11!,

óđócáca i nguyênvói0™a i ™ivàa n >0.

ChNngminh:Kýhi¾upn =n!.Khiđó1p1+2p2+···+np n =p n+1 −1.Giá

súa =a1p1+a2p2+···+a n p n vóia n ƒ=0và0™a k ™k,k=1, ,n.Tathayngay b=a1p1+a2p2+···+a n−1 p n−1 ™1p1+2p2+···+

(n−1)pn−1 =p n −1.Dođób<p n M¾tkhácp n ™a n p n ™np n Tómlai,ta

cópn ™ a n p n ™ a<p n+1 V¾y,chomoisotnnhiênacóthetìmthayduynhatm

®tsotnnhiênnđep n ™ a<p n+1 Tùbatđangthúcnàysuyratontaiđúngm®ts

oa n đea n p n ™a<(a n +1)p n Tùđâytasuyraa=a n p n +bvói0™b<p n L¾plai

quátrìnhtrênđoivóib.Tùđó

suyrasnbieudiena =a n n !+a n−1 (n−1)!+···+a22!+a11!,óđócác

a i nguyênvói0™a i ™ivàa n >0.Tínhduynhatlàhiennhiên.

2!

1bangnhau.Đ®dàimoiđoanbang .Tieptucnhưv¾y,bưócthún:

3!

m a n b n nguyêndươngbnthóamãna= =

Bàigiái:(i)suytù.n+3.= 3.n+2.−

3.n+1.+.

n

.+ n ..

(ii)Neuathóamãnđaubàithìp5(a3)=10+a3chiahetcho9.V¾y

a≡ −1(mod3).N g ư o c lai,neua ≡ −1(mod3)thìa3+ 1≡ 0(mod9).

2.2 KhaitrienđađơnthNc

Đ

%nhnghĩah¾sotohopđathúcthuannhatdưóiđâynhưm®tsntongquátchotohopvàkhaitrienNh%thúcNewton

Trưóctiêntanêuram®tvàiketquás a u đưocs u y ratrnctieptùđ%nhnghĩa

trien.Sođóđúng bangsonghi¾m nguyênkhôngâmcnaphươngtrình

r1+···+r k = n.V¾ysođóbang.n+k−1.theoBođe1.1.Súdungket

quánàyvàovi¾cxétchínhhopvóitansol¾p.M®tphantúx i cnam®tdãykphan túchotrưócx1x2 x k đưocgoilàcótansol¾pr i neunóxuathi¾ntrongdãyđúng

trongkhaitrien(x1+x2+···+x k) n .V¾yT(r1,r2, ,r k)=. n ..

r=0 n

(i)V = A1∪A2∪···∪A k

(ii)A i ∩A j =∅vóimoii,j,iƒ=j.

Vídn2.7.Giású | V|=nvà|A j |=r j vóimoij Khiđósophépchia

kieu(A1,A2, ,A k)cúat¾pVđúngbang . n ..

Bàigiái:M o i x i đưocthaybang2 y i +1vóiy i nguyênkhôngâm.Khi đóy1

+ y2+ y3+ y4.=1003.V¾ys o c á c b®bonc a n tìmbang

yf n = ( g+1) n đúngvói∀ n ∈ N.

k=0

V¾y( f+x)n = ( g+1+x) n ,∀x Nhós a u khikhaitrienó haive

sevietf k vàg k thaychonhungf k v àg k Vóix = 1tanh¾nđưoc

j

j j

k k

dàngsuyrađưoccôngthúcL n= .(−1) n−j . n.(L2j −2).

j=1 n

Vídn2.11.Chodãy . D n = .(−1) k.n.(n−k)! .vói n “1.Chúng

k=0 n

k k

Bàigiái:Tacó(x+1)n+1 − x n+1= n+1 n+1.

x n+1−j Chox=1, ,m,

c®ngtatc á lai,đưoc( m+1)n+1 − 1=(n+1)[. a n+1 1]+m (m+1) n+1 −(m+1) n

n+1−j ,g(n)= (m+1)

n+1 −(m+1) n+1 tac ó a n = f (n)= m+1 n .n+1.

(1)n+j

xuatphátcnamìnhbangC1q n 1. Tươngtn,socácphépthetrongđócóđúnghaiphantúchiemlaiv%tríxuatphátcnamìnhbangC2q n2,

v.v Cuoicùng,socácphépthetrongđócótatcácácphantúchiem

n

laiv%tríxuatphátcnamìnhbangCnq0= 1.V¾yp n= Ck q

n k=0 k Theo

iƒ=j.Xácđ%nhsocácsohangkhác0trongkhaitrienđ%nhthúcdet(A).

n phantúvàot¾pr phantúvàs o đóđúngbangr n K ý hi¾usocáchxepnchuc

áivàorôsaochomoiôcóítnhatm®tchucáiq n Trongsor ncáchxepóphanđa

k=1 n (x+1)

q

.Layđaohàmhaivevàchox =0ta

n

n

− k

n

k=2 n

=.(k−1)2np n(k)−qn +.(k−1)C k q n−k k=0

=.(k−1)2np n(k)+ .k C k q n−k −.C k q n−k

k=0 n

n k=0

n k=0

m®tcáchhìnhthúca k vàb k =k!quaa k v àb k tương únga n =(b−1) n

vóimoisonguyênn “0vóiquyưóca0=1 Xétquanh¾đathúc

n sau:x(b−1+x) n = x (a+x) n = .Ck a n−k x k+1 Layđaohàmhaive,

k=0 n

vóimois =1,2, ,n.Khiđócóphéphoánv%π thu®c

nhómđoixúngS n đea k =b π(k) vóik =1,2, ,n.

nhómđoixúngSn đea k =b π(k) vóik=1,2, ,n.

Đ%nhlý2.7.Đ¾t u i =( −1) i+1 δ i vói1 ™ i ™ n Tacóđongnhat

)

t=0

x t+1 t=0 x t+1 f(x) =x n − u1x n−1 − u

λ1!λ2! λn!x h+1 x −···−

x n−1

1âm.Sosánhh¾socna óhaivetacóh¾socnau λ1u λ

N4+N2δ2=N1(N3+δ3)=0vành¾nđưocđongnhatthúctrên.

đósuyraδ3=detp2 p1 1

p3 p2 p1



p1 1 0Quavi¾c tínhh¾s o c n a 1 tas u y ra quan h¾detp2

Aa2−Ba1+Ca0=A3− 3AB+3C=Ak3+3CAa3

−Ba2+Ca1=Ak4+2B2

Đ%nhlý2.8.Vóisonguyêntopvàmoisonguyênnthóamãn (n,p)=1,

taluôncó

(i) [Fermatnhó]n p−1 ≡ 1(modp).

(ii) [Wilson](p−1)!+1≡0(modp).

(iii) Neusonguyêntop códang 4 k+1thì p−1.

Bàigiái:Neuphươngtrìnhcónghi¾mtrongZthìnócũngcónghi¾mtrongZ7

.Khiđótontaix,y,z∈Z8thóamãnx2+4y4=z6+6.Trong

+6=6ho¾c1+6=7.Đieunàychúngtóphươngtrìnhvônghi¾m.

Lu¾nvănđãđatđưocm®tsoketquásau:

1 Trìnhbàym®tsokienthúccơbánvetohopvàtohopsuyr®ngvóichúngminhđayđnvàvíduápdung

2 Trìnhbàyđưocm®tsophươngphápxâydnngbàitoántohop,changhan:Súdungđaohàmvàtíchphân;súdungh¾phươngtrình;súdungsophúcvàsúdungsongánhvóinhungvíduminhhoa

Lu¾nvănđãđưocchínhsúađúngtheoýkiencnah®iđongchamlu¾nvănngày22tháng6năm2013.TaitrưòngĐaihocKhoahoc-ĐaihocTh ái Nguyên.

Hàn®i,ngày22tháng06năm2013Ng

ưòihưóngdankhoahoc

PGS.TSĐ à m VănNhí