đề thi thử môn tóan hay

Phương trình tương đương  2 c o s2 c o s Nhận xét: Bài toán lượng giác cơ bản , ta chỉ cần sử dụng bến đổi các công thức hạ bậc , cosin của một hiệu và phân tích nhân tử.. Megabook Ch

Trang 1

ĐỀ MEGABOOK SỐ 1 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2

2

y  x  x (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y m cắt đồ thị  C tại 4 điểm phân biệt E F M N, , , Tính tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị  C tại các điểm E F M N, , ,

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 2 c o s 1 c o s 2 1 c o t

b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau Tính số phần tử của S từ tập hợp S chọn

ngẫu nhiên một số, tính xác suất để trong 5 chữ số của nó có đúng 2 chữ số lẻ

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ O x y z, cho đường thẳng : 3 4 3

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y, cho hình thang A B C D vuông tại A và B Đường chéo A C nằm trên đường thẳng d: 4x 7y 2 8  0 Đỉnh B thuộc đường thẳng  :x y 5  0 , đỉnh A có tọa độ nguyên Tìm tọa độ A B C, , biết D2 ; 5 và B C  2A D

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2

Trang 2

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 2

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 ,y C D  0 Hàm số đạt cực tiểu tại x   1 ,y C T   1

+ Giới hạn: lim ; lim

Câu 1.b Từ đồ thị suy ra, để đường thẳng y m cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt khi   1 m 0

Hoành độ 4 giao điểm là nghiệm của phương trình 4 2 4 2

+ d cắt  C tại n n  1 điểm phân biệt

+ d và  C không có điểm chung

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

Trang 3

+Kiến thức cần nhớ: Điểm Q x Q,y Q  là tọa độ tiếp điểm của hàm số y f x  Phương trình tiếp tuyến tại

Q là y  f' x Q x x Q  y Q , hệ số góc tiếp tuyến là k  f' x Q

+ Tìm m để đường thẳng y m cắt  C tại 4 điểm E F M N, , , : Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng

y m song song với trục O x nên sẽ cắt  C tại 4 điểm phân biệt khi   1 m 0

+ Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến: Đổi biến 2

t  x ta có  d cắt  C tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Tham số các nghiệm theo ttính được 4 hệ số góc tiếp tuyến tại 4 hoành độ giao điểm ( đối xứng qua trục O y ) , từ đó tính được tổng hệ số góc

Lưu ý: Ngoài cách sử dụng dáng điệu đồ thị ta có thế làm như sau: Viết phương trình giao điểm

y x  m x  xm  Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị tại

điểm có hoành độ bằng 1 tạo 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2

Câu 2 Điều kiện x k ;kZ

Phương trình tương đương  2 c o s2 c o s

Nhận xét: Bài toán lượng giác cơ bản , ta chỉ cần sử dụng bến đổi các công thức hạ bậc , cosin của một hiệu

và phân tích nhân tử Tuy nhiên cần hết sức lưu ý việc xem xet điều kiện xác định của phương trình để tránh kết luận thừa nghiệm dẫn tới lời giải sai

-Công thức cosin của một tổng , hiệu :  

Trang 4

Nhận xét: Bản chất của bài toán là tách tử của biểu thức dưới dấu tích phân theo mẫu và đạo hàm của mẫu

Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta khó có thể sử dụng một trong hai phương pháp đổi biến số hoặc tích phân từng phần

Nhận xét: Đây là dạng toán toán tìm biếu diễn của số phức w theo số phức z thỏa mãn điều kiện nào đó

-Mọi số phức có dạng z ab i;a b, R

-Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của 2 số đó bằng nhau

- Từ số phức z : Thay z a b i vào phương trình z 3  2i  3 Tìm được mối quan hệ giữa phần thực và phần ảo

Trang 5

- Đặt w  x y i, thay lại biểu thức mối quan hệ phần thực và ảo của z ta tìm được tập hợp điểm biểu diễn -Các trường hợp biểu diễn cơ bản :

+Đưởng tròn:  2  2 2 2 2

xa  y b  R x  y  a x b y c +Hình tròn:  2  2 2 2

lẻ Ta tìm số phần tử của A như sau: Gọi y m n p q rA, ta có:

+ Trường hợp 1: Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0:

Nhận xét: Bài toán xác suất cơ bản , ta chỉ cần áp dụng công thức tính xác suất với biến cố theo dữ kiện

trong giả thiết

-Công thức tính xác suất của một biến cố A : P A   A





 ( trong đó  A là số trường hợp thuận lợi cho

A,  là tổng số kết quả có thể xảy ra )

- Ta tính tổng số kết quả có thể xảy ra

- Gọi A là biến cố số được chọn là số có 5 chữa số khác nhau và trong 5 chữa số của nó có đúng 2 số lẻ

- Tính số phần tử của A bằng cách gọi y m n p q r A Ta chia các trường hợp sau:

+Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0

+Trong 5 chữ số của số được chọn không có mặt chữ số 0

- Áp dụng công thức tính xác suất ta được P A 

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thế lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có

mặt chữ số 2 Đáp số: 204

b Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất có ít

nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn 5

6 .(Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D

2012-2013) Đáp số: Rút ít nhất 6 thẻ

Trang 6

Câu 5 Gọi A là giao điểm của d và   , suy ra A– 3 ; 2 ; 1 Gọi u a b c; ;  là một vectơ chỉ phương của

- Tìm tọa độ giao điểm Ad   : Tham số hóa Ad, thay vào mặt phẳng   ta tính được A

- Viết phương trình đường thẳng  : Tham số hóa u a b c; ; là một vector chỉ phương của  Do

  u n.   0

vector chỉ phương viết được 

- Lại có công thức tính góc giữa hau đường thẳng       '

Trang 7

Câu 6 Gọi H là trung điểm A C , suy ra S H A B C

Nhận xét: Đây là toán có sử dụng hình học không gian tổng hợp lớp 11,

yếu tố vuông góc của hai mặt phẳng , góc giữa hai mặt phẳng

-Công thức tính thể tích khối chóp 1 h

3

V  B -Dựng góc giữa hai mặt phẳng S B C , A B C: Goi H là trung điểm của A C Do mặt phẳng S A C  A B C

Trang 8

B và D ở khác phía đối với đường thẳng A C nên 4x B  7y B  2 84x D  7y D  2 8 0  3 0 1 1 b 6 3 0

Nhận xét: Để giải bài toán ta sử dụng kiến thức tham số hóa điểm thuộc đường thẳng cho trước, sử dụng

khoảng cách-tỉ lệ khoảng cách tìm tọa độ các đỉnh A B C, ,

-Phương pháp tham số hóa điểm theo đường thẳng cho trước: Điểm

Áp dụng cho bài toán:

- Tham số hóa tọa độ điểm B  Do  

Đáp số: A3 ; 0

Trang 9

b Trong mặt phẳng O x y , cho tam giác A B C có A  1; 3 , B 5 ; 1 Điểm M thuộc đường thẳng B C

sao cho M C  2B B Tìm tọa độ đỉnh C biết M A  A C  5 và đường thẳng B C có hệ số góc nguyên

Đáp số: C 4 ; 1

Câu 8 Phương trình thứ hai tương đương 2

3x  y  x  2y 3  3 y  2  y Đặt

Xét f t  3t t; ta có f' t  3 ln 3t   1 0 ;  t R, suy ra f t  đồng biến trên

Nhận thấy f u  f v  u v là nghiệm duy nhất cua phương trình

Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp hàm đặc trưng kết hợp phương pháp hệ số bất định

-Hàm số f x  đồng biến(nghịch biến) trên D  f u  f v  u  v

-Hàm số f x  đồng biến(nghịch biến) trên D  f x  0có nhiều nhất 1 nghiệm

-Hàm số f x đồng biến trên D , g x nghịch biến trên D  f x  g x  có nghiệm duy nhất

Ý tưởng: Từ phương trình thứ nhất tách hoặc bình phương sẽ ra phương trình khó bậc cao, khó tìm mối quan

thu được phương trình đẳng cấp bậc 2

Lần lượt giải 2 phương trình vô tỉ cơ bản ứng với 2 trường hợp kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm của

hệ

Trang 10

x z

 0

2

 '

f c  0 +

 

f c

52

- Ta thấy a b, đối xứng qua biểu thức

Trang 11

b Cho a b c ab, , :  b c ca 1 Chứng minh rằng

3 2

Trang 12

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x





 (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Tìm hệ số góc k của đường thẳng d đi qua điểm M 1; 2, sao cho d cắt  C tại hai điểm phân biệt A B, Gọi k A,k B là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị  C tại A và B Tìm các giá trị của k để A 1

B

k k

 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 1 s in  2 s in 2 6 c o s 2 s in 3

b) Trong một hộp gồm có 8 viên bi xanh và 6 viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên 5 viên bi Tính xác suất để 5

viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ O x y z, cho mặt phẳng (  ) :x  2y  2z 7  0 và đường

6 0 , tam giác S A B cân tại S thuộc mặt phẳng vuông góc với

mặt phẳng đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S A B C. và khoảng cách giữa hai đường thẳng

A B và S C

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho tam giác A B C nhọn nội tiếp đường tròn  C có phương trình 2 2

2 5

x  y  , A C đi qua K2 ; 1, hai đường cao B M và C N Tìm tọa độ các đỉnh A B C, , biết

A có hoành độ âm và đường thẳng M N có phương trình 4x 3y  1 0  0

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  2

y x

- Tập xác định: D R /  1

- Sự biến thiên:

Trang 13

+ Chiều biến thiên:

 2

1 ' 1

y x

+ Đồ thị hàm số giao điểm I 1; 2 của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm  2 ; 3 , 3; 4 , 1; 0 , 1;3

Câu 1.b Phương trình đường thẳng d là y k x  1 2

Để d cắt  C tại 2 điểm phân biệt khi phương trình 2 1 2

1

x

k x k x

Trang 14

Nên

2 2

1 1

-Phương trình đường thẳng đi qua điểm Q x Q,y Q hệ số góc k có phương trình: y k x  x Q  y Q

-Bất đẳng thức A M G M : a b,  0  ab 2 a b Dấu bằng xảy ra  ab

- Phương trình đường thẳng đi qua M hệ số góc k là y  k x  1 2

- Lập phương trình hoành độ giao điểm d cắt  C tại hai điểm phân biệt   2

A B  f x  k x  k xk 

có hai nghiệm phân biệt x  1

- Hệ số góc tiếp tuyến tại A B, lần lượt là ,

2

6

5

2 5

Nhận xét: Phương pháp sử dụng phân tích nhân tử, giải phương trình cơ bản Để giải phương trình ta sử

dụng công thức cơ bản nhân đôi, đặt nhân tử chung Lưu ý kiểm tra điều kiện để kết hợp nghiệm

Trang 15

-Sử dụng công thức góc nhân đôi s in 2  = 2 sin  c o s 

-Nhóm nhân tử chung , thu được phương trình bậc 2 cơ bản

-Giải phương trình bậc 2 ẩn duy nhất sin x tìm đươc x với công thức nghiệm:

-Kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm của phương trình

1 0

Nhận xét: Đặc điểm biểu thức dưới dấu tích phân khó có thể đổi biến số và sử dụng tích phân từng phần Ta

tách tích phân ban đầu thành 2 tích phân nhỏ

b b a a

I u v u v d u -Công thức tính

x v

Trang 16

z a b i a bR rồi thay vào các điều kiện để giải ra z

-Đặt zab i a b, R Số phức zlà số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0

- Thay vào đẳng thức 2z 3  z 1  1 Sử dụng tính chất modul của số phức

Nhận xét: Bài toán tính xác suất ta chỉ cần sử dụng công thức tính xác suất cho biến cố Abất kì

-Công thức tính xác suất của biến cố A bất kì: P A   A





 với  A là số trường hợp thuận lợi cho A ,

là tổng các trường hợp có thể xảy ra

- Tìm số cách chọn 5 viên bi từ 14 viên cho trước

- Gọi A là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả màu xanh và trắng , ta tính được  A theo các cách chọn

-Sử dụng công thức tính xác suất ta thu được đáp án

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

Trang 17

a Trong mặt phẳng O x y , ở góc phần thư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt, cứ thế ở các góc phần tư thứ hai , ba , bốn lấy 3,3,5 điểm phân biệt(các điểm không nằm trên các trục tọa độ) Tính xác suất để

đường thẳng nối 2 điểm đó cắt hai trục tạo độ Đáp số: 2 3

9 1

b Một hộp đựng 4 viên bi đỏ , 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên từ hộp đó Hỏi

có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 màu Đáp số: 645

Câu 5   có vectơ pháp tuyến là n  1; 2 ; 2  ;   có vectơ pháp tuyến là n A B C; ; 

d đi qua A2 ; – 1; 2 và có vectơ chỉ phương là a d 1; 2 ; 2  

-Một mặt phẳng có vô số vector pháp tuyến

-Mặt phẳng  P đi qua A a b c ; ;  nhận n m n p ; ;  là một vector pháp tuyến: m x an y b p z c 0

-Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng     ,  : c o s c o s ;  .

- Tham số vector pháp tuyến của   :n A B C; ; , d đi qua điểm Avà có vector chỉ phương là a d ,

Trang 18

Câu 6 A B C vuông tại B, nên đường tròn ngoại tiếp A B C có tâm K là trung điểm A C và bán kính 1

Kẻ đường thẳng d đi qua K và song song với S H Khi đó tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S A B C.

là giao điểm của đường trung trực đoạn S H và d trong mặt phẳng S H K và

Nhận xét: Dạng toán liên quan tới thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và góc giữa hai mặt phẳng

- Công thức tính thể tích khối cầu ngọa tiếp: 4 3

3

V  R -Dựng góc giữa hai mặt phẳng S A C , A B C

- Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp: K là trung điểm của A C thì K chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C

Kẻ đường thẳng dđi qua điểm K và song song S H , suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp S A B C. là O giao của đường trung trực S H và d trong mặt phẳng S A K

- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và S C : Dựng hình chữ nhật A B C D  d A B S C , d H S C D , 

1 0

S  a

b Cho hình chóp S A B C D. có đáy A B C D là hình thoi cạnh a , hình chiếu vuông góc của S lên

A B C D trùng với trung điểm H của A B Đường trung tuyến A M của tam giác A C D có độ dài là

Trang 19

3

3 ,

Với B– 3 ; – 4 thì B A – 1; 7 và B C 8 ; 4 B A B C  2 0  0 , suy ra góc B nhọn

Vậy A–4 ; 3 , B –3; –4  và C5 ; 0

Nhận xét: Hướng giải cho bài toán : Viết phương trình các cạnh tam giác , lấy giao phương trình các cạnh

viết được với đường tròn  C suy ra tọa độ A B C, ,

-Một đường thẳng có vô số vector pháp tuyến Để viết được đường thẳng  d ta cần tìm điểm M a b ;  , một vector pháp tuyến   2 2 

d

-Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác A B C  O A O BO C

- Viết phương trình O A  A là nghiệm của hệ

Trang 20

Nhận xét: Bài toán giải phương trình với phương pháp sử dụng hai ẩn phụ Tìm mối quan hệ giữa các ẩn

phụ giải được nghiệm của phương trình

-Nhận thấy biểu thức trong căn về phải có thể viết lại được như sau  2  2

x x

x v

Trang 21

- Sử dụng bất đẳng thức A M G M cho 3 bộ số và 2 bộ số

3 3 2

Trang 22

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2  

y x  x  m  x m (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C khi m 2

b) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị của hàm số  C đã cho vuông góc với đường thẳng

1 3

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S A B C D. có đáy A B C D là hình thoi tâm O, cạnh a, B Da Trên cạnh

A B lấy điểm M sao cho B M  2A M Biết rằng hai mặt phẳng S A C và S D M cùng vuông góc với mặt phẳng A B C D và mặt bên S A B tạo với mặt đáy một góc 0

6 0 Tính thể tích của khối chóp S A B C D. theo

a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng O M và S A

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho đường tròn  2 2

S x  y  x y  ngoại tiếp tam giác A B C có A4 ; 7 Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết H4 ; 5 là trực tâm của tam giác

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  2  2 

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	2,18 MB