Gọi H là giao điểm của BD và CE.
Trang 1Phòng Giáo Dục huyện Ngọc Lặc Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS
Trờng THCS Thị Trấn Năm học 2005 – 2006
Họ và tên: Môn thi: Toán học
Lớp: Thời gian làm bài:150 phút
Câu 1: Cho x,y z là các số nguyên dơng thoả mãn: xy + yz + xz = 3
a, chứng minh rằng: 3 + x2 = (x + y)(x - z)
b, Tính giá trị của biểu thức:
3
3 3
3
3 3
3
3 3
z
y x
z y
x z
y x
z y
x
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
(
Câu 2: Xét phơng trình:
6 9 6 9
a, giải phơng trình với m = 23
b, Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm
Câu 3: Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0 , ẩn x
a, CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b, Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị nguyên của m để biểu thức A =
3
4
4 2
2
2
2
1
−
−
+
m
m
x
Câu 4: a, chứng minh:
ab b
2 1
1 1
1
2
b, Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức B = 2 2
2 2
y xy x
y xy x
+ +
+
−
Câu 5: cho ∆ ABC có các góc đều nhọn, Aˆ=450 , vẽ các đờng cao BD và CE của ∆ABC Gọi H là giao điểm của BD và CE
a, Chứng minh: HD = DC
b, Tính tỉ số
BC
DE
c, Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh OA ⊥DE
Câu 6: a, Giải hệ phơng trình:
{
1
1 3
6 2 2
2
= +
−
= +
−
y x
y x
xy x
b, cho (x+ x2+5)(y+ y2 +5)=5 Tính tổng x + y
Đáp án môn toán 9
Câu 1:(3đ)
Trang 2a, Biến đổi VP = x2 +xz+xy+zy=x2+3 ( vì xz+xy+yz = 3)
Vậy VP = VT (1đ)
b, Tơng tự ta chứng minh đợc: 3+y2 =(y+x)(y+z)
3+z2 =(y+z)(z+x)
Thay vào biểu thức M ta đợc:
( )( ) ( )( ( )( )( )( ) ) ( )( (y z)( )(z x) )( )
z y x y z x y x z x
y z y
z x y x x z y z y z
x y x
x z z y z y x
y
x
M
+ +
+ + + + +
+ +
+ + + + +
+ +
+ + + +
(y z)2 y (x z)2 z (x y)2
=x(y+z) (+y x+z) (+z x+y)
=xy+xz+xy+yz+xz+zy
=2(xy+yz+zx)=2.3=6 (2đ)
Câu 2:(3đ)
Điều kiện x- 9 ≥0⇔ x≥9 (0,25đ)
Biến đổi phơng trình về dạng:
( x−9+3) (2 + x−9−3)2 = x−6m
Đặt t = x−9 khi đó x=t2 =9 (0,25đ)
phơng trình đã cho trở thành:
6 (t+3)2 + (t−3)2 =t2+9+m
⇔6(t+3 + t−3)=t2 +9=m (0,25đ)
⇔t2−12t+9+m=0 với t≥3
t2−27+m=0 với 0≤t≤3 (0,25đ)
a, Với m = 23 ta có: t2 −12t+32=0 với t≥3
t2 =4 với 0≤t≤3 (0,25đ)
giải ra ta đợc: t1 =8,t2 =4,t3 =2 ⇒phơng trình có 3 nghiệm:(0,25đ)
13 25
b, Với t ≥3 thì ⇔t2 −12t+9+m=0⇔(t−6)2 =−m+27 Phơng trình này có nghiệm khi -m + 27 ≥0 ⇔m≤27 (0,5đ)
Với 0≤t≤3 thì phơng trình t2 =27−mcó nghiệm khi 27−m≥0⇔m≤27(0,25đ)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm khi m≤27 (0,25đ)
Câu 3:(3đ)
a, ta có: ∆=(m−1) (2 − 2m−4)=m2 −2m+1−2m+4=(m−2)2 +1≥0 với ∀m
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt (1đ)
b, Theo hệ thức viét ta có: x1+x2 =2(m−1)
x 1x2 =2m−4 (0,25đ)
ta có : x12+x22 =(x1+x2)2 −2x1x2 =4(m−1)2−2(2m−4) (0,25đ)
Trang 3=4m2−12m+12
3 4
3 3 3
4
12 12 3
4
4 12 12 4
3 4
2
2
2
1
− +
−
=
−
+
−
=
−
− +
−
=
−
−
+
=
m m
m m
m m
m m
m x
x
A nguyên
3 4
3
−
⇔
m nguyên ⇔4m−3 là ớc của 3 (0,25đ) Giải ra ta đợc m= 0, m = 1
Vậy với m = 0, hoặc m = 1 thì A nguyên (0,5đ)
Câu 4:(2,5đ)
+
− + +
+
− +
= +
− +
+
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1
2 2
2
( )( )a b ( ab)
a b a b b a
b
a
+ +
+
+
− + +
−
=
1 1
1
1 1
2 2
2 2
(0,25đ)
( )1 ( 1) 0
1
1 2 2
2
≥ + +
+
−
−
=
ab b a
ab a b
)
( (0,25đ)
Vì a≥1,b≥1⇒ab−1≥0,1+ab〉0 (0,25đ)
b, Viết B dới dạng:
1
1 2
2
+ +
+
−
=
a a
a a
y
x = ) (0,25đ)
Do a2 +a+1≠0 nên (1) ⇔Ba2 +Ba+B =a2 −a+1 (0,25đ)
⇔(B−1)a2 +(B+1) (a+ B−1)=0(2) (0,25đ)
Nếu B−1=0⇔B =1 thì có nghiệm a = 0 => x = 0
Nếu B ≠1 thì để (2) có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là: ∆≥0
3
1 0 3 3 1 3 0 1 4
+
Với
3
1
=
B hoặc B =3 thì nghiệm của (2) là: 2( 1)
1
−
+
−
=
B
B a
Với
3
1
=
B thì a= 1, B =3 thì a= -1
Vậy
3
1
=
B
y
x =1⇔ = (0,25đ)
Max B =3khi và chỉ khi a = -1 hay x y
y
x =−1⇔ =− (0,25đ) Câu 5:(6đ)
Vẽ hình đúng
a, Tam giác vuông AEC có góc A = 45o => góc ACE = 45o
tam giác vuông HDC có góc DCH = 450 => góc DHC = 450 => tam giác DHC cân (1,5đ)
=> HD = DC (0,25đ)
b, Ta có CE ⊥AB, BD ⊥AC, góc BEC = 900 , BDC = 900 => tứ giác EDCB nội tiếo đờng tròn đờng kính BC
Trang 4=> góc DEC = DBC (cùng chắn cung DC) (0,5đ)
Mà góc AED + DEC = 900 và góc DCB + DBC = 900 => góc AED = ACB
=> ∆AED ~ ∆ACB (g.g) (0,5đ)
=>
2
2
2 =
=
=
AE
AE AC
AE
BC
c, Dựngk tia tiếp tuyến Ax với đờng tròn(O) nội tiếp tam giác ABC, ta có : góc BAx= BCA mà góc BCA = AED (1đ)
nên góc BAx = AED do đó DE//Ax (0,5đ)
mà OA ⊥Ax => OA ⊥DE (0,5đ)
Câu 6:(2,5đ)
a, Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với:
6x2 −2x−3xy+y+3x−1=0
x2+y2 =1 (0,25đ)
(3 −1)(2 − +1)=0
x2+y2 =1
0
1
3 − =
⇔ x
2x−y+1=0
x2 +y2 =1 (0,5đ)
Giải hệ trên ta đợc các nghiệm (x, y) là:
− −
−
5
3 5
4 1 0 3
2 2 3
1
3
2
2
3
1
;
;
;
; ,
;
b, Lần lợt nhân hai vế của đẳng thức với x− x2 +5và y− y2 +5
Ta đợc y+ y2+5= x2 +5−x (0,25đ)
x+ x2 +5 = y2+5−y (0,25đ)
Công từng vế ta đợc: x+y =−x−y⇔2(x+y)=0⇔ x+y =0 (0,5đ)