Tuyển tập các đê thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 2021 các trường chuyên trên toàn quốc

Chứng minh rằng bốn điểm A, E, P, F cùng thuộc một đường tròn.. b Gọi K là giao điểm của AB và ED, L là giao điểm của AC và F D, H là trung điểm của KL và I là tâm đường tròn ngoại tiếp

Trang 1

TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TRÊN TOÀN QUỐC 2020-2021

Phần 1: Tuyển tập các đề thi trên toàn quốc (từ trang 2 đến trang 75)

Phần 2: Phân loại theo chủ đề

• Chủ đề 1: Căn bậc hai và các bài toán liên quan trang 71

• Chủ đề 2:Hàm số và các bài toán liên quan trang 82

Trang 2

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN KHTN

Môn: Toán chungThời gian: 120 phút, không kể phát đề

Bài 1

1 Giải hệ phương trình

(

x2 + y2 + xy = 79x3 = xy2+ 70(x − y)

1 Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn

x2y2 − 16xy + 99 = 9x2+ 36y2+ 13x + 26y

2 Với a, b là các số thực dương thỏa mãn

2 ≤ 2a + 3b ≤ 5, 8a + 12b ≤ 2a2+ 3b2+ 5ab + 10

Chứng minh rằng

3a2+ 8b2+ 10ab ≤ 21

(O) Điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác [BAC Lấy các điểm M, N thuộc (O) sao chocác đường thẳng CM và BN cùng song song với đường thẳng AD

Trang 3

1 Chứng minh rằng tứ giác AM BO nội tiếp.

2 Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB ( N không trùng với A, B và trung điểm của đoạn thẳng AB) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng M N Chứng minh rằng N A

N B =

HAHB

1 + a2 + b

1 + b2 ≤1

√

1 + c2

—HẾT—

Trang 4

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021

Môn: Toán vòng II

Thời gian: 270 phút, không kể phát đề

Bài 1

((x + y)(x + 1) = 4(y2 + xy + x + y + 5) (x3+ y3+ 12y + 13) = 243

Gọi P là giao điểm của BE với trung trực BC Gọi K là hình chiếu vuông góc của P lên AB Gọi Q

là hình chiếu vuông góc của E lên AP Gọi giao điểm của EQ và P K là F

1 Chứng minh rằng bốn điểm A, E, P, F cùng thuộc một đường tròn

2 Gọi giao điểm của KQ và P E là L Chứng minh rằng LA vuông góc với LE

3 Gọi giao điểm của F L và AB là S Gọi giao điểm của KE và AL là T Lấy R là điểm đối xứngcủa A qua L Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AST và đường tròn ngoại tiếptam giác BP R tiếp xúc với nhau

—HẾT—

Trang 5

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN LAI CHÂU 2020-2021

Môn: Toán chungThời gian: 180 phút, không kể phát đề

(b) Tính giá trị của Q biết x = 4

Bài 3

1 Vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 (P)

2 Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d): y = −x + 3

đã định Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô này dừng lại nghỉ 10 phút Do đó để đến Nậm Nhùn đúng hạn

xe phải tăng tốc thêm 6 km/h Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết rằng quãng đường từ thành phố LaiChâu đi huyện Nậm Nhùn dài 120 km

không đi qua tâm tới đường tròn đó (B,C là hai tiếp điểm; D nằm giữa A và E) Gọi H là giao điểmcủa AO và BC

1 Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh AH.AO = AD.AE

3 Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K Qua điểm O kẻ đườngthẳng vuông góc với OA cắt AB tại P và cắt AC tại Q Chứng minh rằng: IP + KQ ≥ P Q

M = ap3b(a + 2b) + bp3a(b + 2a)

Trang 6

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN HƯNG YÊN 2020-2021

Môn: Toán chuyênThời gian: 180 phút, không kể phát đề

2x + 1

1 Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a M là điểm di động trên đoạn OB (M khác O và B )

Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếpxúc với CD tại D Đường tròn (I) và đường tròn (J ) cắt nhau tại điểm thứ hai là N

(a) Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

Trang 7

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2020-2021

song song với BC cắt (O) tại A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại B1 Từ C kẻđường thẳng song song với AB cắt (O) tại C1 Chứng minh rằng các đường thẳng qua A1, B1, C1 lầnlượt vuông góc với BC, CA, AB đồng quy

Kẻ đường kính EJ của đường tròn (I) Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng

J D cắt d, BC lần lượt tại L, H

1 Chứng minh: E, F, L thẳng hàng

2 JA, JP cắt BC lần lượt tại M, K, Chứng minh: M B = M K

—HẾT—

Trang 8

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN LAI CHÂU 2020-2021

x −√x

1 Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn biểu thức P

tròn (B, C là hai tiếp điểm) I là một điểm thuộc đoạn BC(IB < IC) Kẻ đường thẳng d vuông gócvới OI tại I Đường thẳng d cắt đường thẳng AB, AC lần lượt E và F

1 Chứng minh tứ giác OIBE và tứ giác OIF C là các tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh I là trung điểm của EF

3 Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q Tìm vịtrí của A để diện tích tam giác AP Q nhỏ nhất

Trang 9

TUYỂN SINH CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021

Môn: chuyên toánThời gian: 180 phút, không kể phát đề

trên đường tròn sao cho AB < AC và AC < BC Đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt AC và BClần lượt tại P và Q Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AC cắt AB và BC lần lượt tại M và N

1 Chứng minh rằng OM.ON = R2

2 Chứng minhrằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn

3 Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BM N và CP Q cắt nhau tại S và T , gọi H là hìnhchiếu vuông góc của B lên đường thẳng ST Chứng minh rằng H chạy trên một đường tròn cốđịnh khi A đi động

Chứng minh rằng a2− b2+ 2 là số nguyên và không chia hết cho 3

thức:

3a + 4b + 5c+

bc3b + 4c + 5a+

ac3c + 4a + 5b − 1

pab(a + 2c)(b + 2c).

—HẾT—

Trang 10

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021

Môn: chuyên Toán- tinThời gian: 180 phút, không kể phát đề

Bài 1

1 Thu gọn biểu thức: A = (4 +√

15)(√

5 −√3)p4 −√

M, N, E thẳng hàng

2 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giáctrong của [BAC cắt đường tròn (O) tại D khác A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đốixứng với D qua tâm O Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đường thẳng AC tại điểm Fkhác A

Trang 11

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021

Môn: Toán chuyên toánThời gian: 180 phút, không kể phát đề

2 Cho phương trình 2x2− 3x + 2m = 0 Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2khác 0 thỏa

1

x1 − 1

x2

(a) Chứng minh tứ giác AM DN nội tiếp

(b) Gọi K là giao điểm của AB và ED, L là giao điểm của AC và F D, H là trung điểm của

KL và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh HI ⊥ EF

Trang 12

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN SỞ HÀ NỘI NĂM 2020-2021

1 Chứng minh với mọi số nguyên dương n, số A = 11n+ 7n− 2n− 1 chia hết cho 15

2 Cho hai số nguyên dương m và n thỏa mãn √

và K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC Gọi D, E, F lần lượt là chân cácđường vuông góc kẻ từ điểm I đến các đường thẳng BC, CA, AB Đường thẳng AD cắt đường tròn ( I) tại hai điểm phân biệt D và M Đường thẳng qua K song song với đường thẳng AD cắt đường thẳng

BC tại N

1 Chứng minh tam giác M F D đồng dạng với tam giác BN K

2 Gọi P là giao điểm của BI và F D Chứng minh góc BM F bằng góc DM P

3 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác M BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng KN

1 × 1.Mỗi ô vuông kích thước 1 × 1 được tô bởi một trong hai màu đen hoặc trắng sao cho trong mọibảng ô vuông kích thước 2 × 3 hoặc 3 × 2 có ít nhất hai ô vuông kích thước 1 × 1 được tô màu đenchung cạnh Gọi m là số ô vuông kích thước 1 × 1 được tô màu đen trong bảng

1 Chỉ ra một cách tô sao cho m = 20

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của m

—HẾT—

Trang 13

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021

y − 1 =px + 3y + 1 − 4.

của biểu thức M = x + 2y

đường tròn ( B, C là các tiếp điểm, AD < AE,

1 Tứ giác BCOH nộp tiếp

2 KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3 \DBC = \HBC

ab + 2 là số nguyên.

—HẾT—

Trang 14

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN AN GIANG NĂM 2020-2021

+ 2 = 0

1 Vẽ đồ thị (d) của hàm số đã cho trên mặt phẳng tọa độ

2 Đường thẳng (d0) song song với (d) và đi qua điểm có tọa độ (0; 3) Đường thẳng (d) và (d0) cắttrục hoành lần lượt tại A; B, cắt trục tung lần lượt tại D; C Tính diện tích tứ giác ABCD

Từ B kẻ BE vuông góc với AC (E ∈ AC)

1 Chứng minh rằng hai tam giác ABD và BEC đồng dạng

2 Biết EC = 3cm Tính độ dài dây BD

của hai số ở hai đỉnh liền kề Biết hai số ở hai đỉnh A5 và A9 là 10 và 9 Tìm số ở đỉnh A1

A4A5

A6A7

A8A9

A10A11A12

A1A2A3

—HẾT—

Trang 15

ĐỀ TUYỂN SINH CHUYÊN BÀ RỊA- VŨNG TÀU NĂM 2020-2021

Bài 2

1 Cho đa thức

P (x) = (x − 2) (x + 4) x2+ ax − 8 + bx2với a và b là các số thực thỏa mãn a + b < 1 Chứng minh rằng phương trình P (x) = 0 có bốnnghiệm phân biệt

tiếp tuyến SC và SD( C, D là hai tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của hai đường kính AB và dây CD

Vẽ đường tròn (O0) đi qua C và tiếp xúc với đường thẳng AB tại S Hai đường tròn (O) và (O0) cắtnhau tại M khác C

1 Chứng minh tứ giác SM HD nội tiếp

2 Gọi K là hình chiếu vuông góc của C trên BD, I là giao điểm của BM và CK Chứng minh HIsong song với BD

3 Các đường thẳng SM và HM lần lượt cắt (O) tại các điểm L và T (L, T khác M ) Chứng minhrằng tứ giác CDT L là hình vuông khi và chỉ khi M C2 = M S.M D

cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC Biết AB

HF

2+ BCHD

2+ CAHE

2

= 36, hãy chứng minh rằngtam giác ABC đều

Trang 16

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2020-2021

(a) Rút gọn biểu thức A

(b) Tìm tất cả các giá trị x để A nhận giá trị là số nguyên

Cho parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = −mx + 2 − m ( m là tham số ) Tìm m

để đường thẳng (d) cắt parabol (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho biểu thức

(x1+ 1)4 +

1(x2+ 1)4 đạt giá trị nhỏ nhất.

2 Trong mặt phẳng cho 2020 điểm phân biệt sao cho từ ba điểm bất kỳ luôn chọn ra được hai điểm

có khoảng cách nhỏ hơn 1cm Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1cm chứakhông ít hơn 1010 điểm trong 2020 điểm đã cho

CF của tam giác ABC đồng quy tại H Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, K là giao điểm củahai đường thẳng BC và EF

1 Chứng minh rằng KB.KC = KE.KF và H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF

2 Qua điểm F kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AC, đường thẳng này cắt các đườngthẳng AK, AD lần lượt tại P và Q Chứng minh F P = F Q

3 Chứng minh rằng đường thẳng HK vuông góc với đường thẳng AM

a25a2+ (b + c)2 +

b25b2+ (c + a)2 +

c25c2+ (a + b)2 ≤ 1

3

—HẾT—

Trang 17

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM 2020-2021

2 Giải phương trình 2 (x − 2)√

x + 2 = −x2+ 3x + 3

Bài 3

1 Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho 2n + 2021 và 3n + 2020 đều là các số chính phương

2 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) sao cho x

2− 2

xy + 2 có giá trị là số nguyên.

đối với đường thẳng AB Đường thẳng d thay đổi đi qua B cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại

C và D (d không trùng với đường thẳng AB)

1 Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất

2 Gọi M là điểm di chuyển từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn (O); N là điểm dichuyển từ điểm A, cùng chiều kim đồng hồ trên (O’) sao cho góc∠AOM luôn bằng góc ∠AO0N Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(x + 1)2 +

8(y + 3)2 +

4z2(1 + 2z)2.

—HẾT—

Trang 18

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2020-2021

1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n (2n + 7) (7n + 1) luôn chia hết cho 6

2 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 4a + 1 và 4b − 1nguyên tố cùng nhau; a + b là ước của 16ab + 1

Bài 4

1 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OA Vẽ tia Ixvuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại C Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E 6= B; E 6= C)nối AE cắt CI tại F

(a) Chứng minh rằng BEF I là tứ giác nội tiếp

(b) Gọi K là giao điểm của hai tia BE và Ix Giả sử F là trung điểm của IC Chứng minh rằnghai tam giác AIF và KIB đồng dạng Tính IK theo R

2 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếptam giác ABC, ABH, ACH Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJ K và đườngtròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng nhau

bất kỳ của bảng Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho các ô được đánhdấu đều nằm trên n hàng và n cột này

—HẾT—

Trang 19

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN NĂM 2020-2021

2 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1 Chứng minh rằng

√16a + 9 +√

16b + 9 +√

16c + 9 ≥ 11

đường tròn ( B, C là hai điểm thuộc đường tròn tâm O) Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC ( Mkhác B, C ) Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC lần lượt tại E, F Đường thẳng BC cắt OE, OF lần lượttại P, Q

1 Chứng minh rằng [ABC = \ADC

2 Chứng minh rằng F P ⊥ OE

3 Chứng minh rằng P Q

EF không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R).

Trang 20

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH DƯƠNG NĂM 2020-2021

nằm trên cạnh BC (BM > CM ) Gọi D là giao điểm của AM và đường tròn (O) ( D khác A ), điểm

H là trung điểm đoạn thẳng BC Gọi E là điểm chính giữa cung lớn BC, ED cắt BC tại N

Trang 21

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021

Môn: chuyên ToánThời gian: 180 phút, không kể phát đề

A =

1 − 2

√a

a + 1

:

1

√

√a

4ax2+ 2(b + c)x + c = 0 (1); 4bx2+ 2(c + a)x + a = 0 (2); 4cx2+ 2(a + b)x + b = 0 (3)

cắt nhau tại trực tâm H

1 Chứng minh rằng tứ giác BF HD; ABDE nội tiếp và H là tâm đường tròn nội tiếp tam giácDEF

2 Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh tứ giác DF EM nội tiếp

3 Tia M H cắt đường tròn (O) tại I Chứng minh rằng các đường thẳng AI, EF, BC đồng quy

Bài 5

1 Giải phương trình nghiệm nguyên sau: y2 + 2y = 4x2y + 8x + 7

2 Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a; b) thỏa mãn b2+ 3a .a2b

Trang 23

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH THUẬN NĂM 2020-2021

Môn: không chuyênThời gian: 180 phút, không kể phát đề

1 Chứng tỏ phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) khi m = 3, không giải phương trình hãy tính giátrị biểu thức

Q = 8x21− 50x1− 70

8x22 − 50x2− 70 + 2094

A Kẻ tiếp tuyến CD với (O; R) ( D là tiếp điểm, D khác A )

1 Chứng minh rằng tứ giác OACD nội tiếp được một đường tròn

2 Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BD tại E Chứng minh rằng BD.BE = 2R2

3 Gọi F là trung điểm của OE Chứng minh rằng ba điểm B, F, C thẳng hàng

2 ≤ a

b + c.

—HẾT—

Trang 24

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH THUẬN NĂM 2020-2021

(

xy + x + y = 5

xy + x2+ y2 = 7

Bài 2

1 Cho p và p + 2 là các số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6

2 Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2p + 1 là lập phương của một số nguyên dương

ý trên cạnh BC ( K khác B, C) Kẻ đường kính KM của đường tròn ngoại tiếp tam giác BF K vàđường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK Chứng minh rằng M, H, N thẳng hàng

điểm đã cho bên trong và có đúng 8 điểm đã cho bên ngoài

—HẾT—

Trang 25

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN CAO BẰNG NĂM 2020-2021

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2 (m − 1) x −

m2+ 3 Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2)sao cho: y1+ y2 − x1x2 − 33 = 0

với các cạnh AB, AC, BC lần lượt tại D, E, F Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua Ksong song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N

1 Chứng minh tứ giác IEAF nội tiếp

2 Chứng minh hai tam giác IM N và IEF đồng dạng

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích IM N theo r

16 .

—HẾT—

Trang 26

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021

4√

x −

√x4

x − 2√

x + 9không nhận giá trị nguyên

Đường thẳng M N cắt trục Oy tại C, với O là gốc tọa độ Viết phương trình đường thẳng OM khi C

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OM N

và C lần lượt cắt đường thẳng AO tại D và E Gọi H là trực tâm tam giác ABC và O0 là tâm đườngtròn ngoại tiếp tam giác HDE Chứng minh rằng:

1 Tam giác HDE đồng dạng với tam giác ABC và AH là tiếp tuyến của đường tròn (O0)

2 Đường thẳng AO0 đi qua trung điểm của đoạn BC

AD (D ∈ BC) của tam giác đó Lấy điểm E đối xứng với D qua trung điểm của đoạn BC Đườngthẳng vuông góc với BC tại D cắt AO ở H, đường thẳng vuông góc với BC tại E cắt AD ở K Chứngminh rằng tứ giác BHCK nội tiếp

Trang 27

z2+ x2zx(z + x) + 3 ≤

!

—HẾT—

Trang 28

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN ĐẮK LĂK NĂM 2020-2021

1 Chứng minh rằng khi lấy 1011 số bất kỳ từ 2020 số nguyên dương đầu tiên, ta luôn tìm được hai

số x, y (x > y) từ 1011 số đó sao cho x chia hết cho y

2 Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn phương trình x3− x2y − 4y3− y = 1

P = 3(ab + bc + ca)

a2 + b2+ c2 + (a + b + c)

3abc .

góc của H lên AB, AC Đường thẳng DE cắt tia CB tại M Đường thẳng M A cắt đường tròn đườngkính AH tại I ( I khác A ) Các đường thẳng BI và AC cắt nhau tại N Chứng minh rằng:

1 Các tứ giác ADHE vàBCED nội tiếp đường tròn

2 ∆M BI đồng dạng với ∆M AC và ∆N AI đồng dạng với ∆N BC

3 M B.M C + N A.N C = M N2

—HẾT—

Trang 29

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN ĐẮK NÔNG NĂM 2020-2021

x − 1− 2x −

√x

2 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương (x; y) của phương trình 6x + 5y + 18 = 2xy

nên một phần tư quãng đường đầu ô tô phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là 15 km/h Để đến Bđúng thời gian dự định nên quãng đường còn lại ô tô phải tăng vận tốc hơn vận tốc dự định là 10km/h.Tính thời gian dự định của ô tô (Giả thiết xe chạy liên tục không nghỉ)

A và B, trên tia đối của tia AB lấy một điểm M Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến M C và M D với đườngtròn (O) (C; D là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB

1 Chứng minh bốn điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn

2 Đoạn thẳng OM cắt đường tròn (O) tại I Chứng minh điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tamgiác M CD

3 Vẽ một đường thẳng qua điểm O vuông góc với đoạn thẳng OM và cắt các tia M C, M D theothứ tự hai điểm P và Q Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác

Trang 30

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG NAI 2020-2021

Bài 1

1 Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 6x + 7y = 8 và |9x − 10y| < 200

2 Tìm các tham số nguyên n để phương trình x2+ nx + n = 0 có nghiệm nguyên

3 Cho a là số thực thỏa mãn a ≥ 0 và a 6= 9 Rút gọn biểu thức

P = 27 − a

√a

2 Trong mặt phẳng cho 1889 điểm thỏa mãn với 3 điểm bất kỳ tạo thành 3 đỉnh của một tam giác

có diện tích nhỏ hơn 1 Chứng minh trong các điểm đã cho tồn tại 237 điểm cùng nằm bên tronghoặc trên cạnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

2.

3 Có bao nhiêu cách bỏ 5 cây bút khác màu gồm xanh, đen, tím, đỏ, hồng vào 5 hộp đựng bút khácmàu gồm xanh, đen, tím, đỏ, hồng sao cho mỗi hộp chỉ có một bút và màu bút khác với màu hộp?

tâm H, biết AB < AC Gọi L là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của (O) Gọi K

là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng

BC, EF

Trang 32

Bài 1.

1 Không sử dụng máy tính bỏ túi, giải hệ phương trình

(3x + y = 5

Bài 3

1 Không sử dụng máy tính bỏ túi, giải phương trình x2− 4x − 5 = 0

2 Cho phương trình x2− 4(m + 1)x + 3m2 + 2m − 5 = 0, với m là tham số Xác định giá trị củatham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho

x21+ 4(m + 1)x2+ 3m2 + 2m − 5 = 9

một tô khởi hành từ B đến A Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến B Giả

sử vận tốc hai xe không thay đổi trên suốt quãng đường đi Biết vận tốc của xe máy nhỏ hơn vận tốccủa xe tô là 20 km/h Tính vận tốc của mỗi xe

C kẻ dây cung M N vuông góc với OA Gọi K là điểm tùy trên cung nhỏ BM ( K không trùng với

B và M ), H là giao điểm của AK và M N

1 Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp đường tròn

2 Chứng minh AK.AH = R2

3 Trên đoạn thẳng KN lấy điểm I sao cho KI = KM Chứng minh N I = KB

—HẾT—

Trang 33

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN GIA LAI NĂM 2020-2021

1 Cho phương trình x2− 2(m − 1)x + 2m − 4 = 0, ( với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt

x1; x2 Tìm giá trị của tham số m để x2

2x2 + 3x + 2 = x + 5

(

x2 + y2 = 4(x + y) (16 − x2y2− 4xy) = 2y3

di động trên cung lớn BC sao cho AB < AC và tam giác ABC nhọn Các đường cao BD và CE cắtnhau tại H Gọi T là giao điểm của DE với BC

1 Chứng minh tứ giác BCDE là nội tiếp đường tròn

2 Chứng minh T B2 = T D.T E − T B.BC

3 Cho BC = R√

3 Tìm giá tri lớn nhất của chu vi tam giác ADH theo R

—HẾT—

Trang 34

Bài 2.

1 Giải phương trình x2− 5x − 6 = 0

(3x − 2|y| = 1

cho AH < OH Kẻ dây cung M N vuông góc với AB tại H Gọi C là điểm tùy thuộc cung lớn M Nsao cho C không trùng với M, N và B Gọi K là giao điểm của AC và M N

1 Chứng minh tứ giác BCKH nội tiếp

2 Chứng minh tam giac AM K đồng dạng với tam giác ACM

3 Cho độ dài đoạn thẳng AH = a Tính AK.AC − HA.HB theo a

Trang 36

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN HÀ NAM NĂM 2020-2021

P = x + 3√x + 2

x +√

x − 2 − x +

√x

x − 1

:

1

tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M Gọi A0 là điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng M A0 cắt các đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại

N và K Gọi L là giao điểm của M A và BC Đường thẳng A0I cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai

D Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm S

1 Chứng minh tam giác AN A0 là tam giác cân và M A0.M K = M L.M A

2 Chứng minh M I2 = M L.M A và tứ giác N HIK là tứ giác nội tiếp

3 Gọi T là trung điểm của cạnh SA , chứng minh ba điểm T, I, K thẳng hàng

4 Chứng minh nếu AB + AC = 2BC thì I trọng tâm của tam giác AKS

Trang 37

ĐỀ TUYỂN SINH SỞ HÀ NỘI NĂM 2020-2021

Môn: chuyên tinThời gian: 180 phút, không kể phát đề

Bài 2

1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , số A = 59n− 17n− 9n+ 2n chia hết cho 35

2 Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện x2y − 3y − 4x − 1 = 0

H Gọi (S) là đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

1 Chứng minh đường tròn (S) đi qua trung điểm của đoạn thẳng AH

2 Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường tròn (S) với các đoạn thẳng BH và CH Tiếp tuyếntại điểm D của đường tròn (S) cắt đường thẳng M N tại điểm T Chứng minh đường thẳng HTsong song với đường thẳng EF

3 Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng BH và DF , Q là giao điểm của hai đường thẳng CH

và DE Chứng minh ba điểm T, P, Q là ba điểm thẳng hàng

lượt chơi, An sẽ chọn một hộp tùy và lấy ít nhất 1 viên kẹo ở hộp đó, còn Bình thì chọn một số hộp vàtrong các hộp đã chọn, mỗi hộp lấy đúng 1 viên kẹo Hai bạn luân phiên thực hiện lượt chơi của mình.Bạn đầu tiên không thể thực hiện được lượt chơi của mình là người thua cuộc Nếu An là người lấy kẹotrước, hãy chỉ ra chiến thuật chơi để Bình là người thắng cuộc

—HẾT—

Trang 38

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021

rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: phương trình (1) có nghiệm, số a2020b chia hết cho 12 ; số c3+ 3chia hết cho c + 3 Hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng a + b + c

đỉnh A, C của tam giác ABC lần lượt cắt các cạnh AB, BC tại hai điểm K, N ( K, N khác các đỉnhcủa tam giác ABC ) Giả sử đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt nhau tại giaođiểm thứ hai là M ( M khác B ) Chứng minh rằng:

1 Ba đường thẳng BM, KN, AC đồng quy tại điểm P

2 Tứ giác M N CP là nội tiếp

3 BM2− P M2 = BK.BA − P C.P A

1930 chữ số ngoài cùng về bên trái và 15 chữ số ngoài cùng về bên phải; số B có đúng 1954 chữ số khác

0 , bao gồm 1930 chữ số ngoài cùng về bên trái và 24 chữ số ngoài cùng về bên phải Chứng minh rằngƯCLN(A,B) là một số có không quá 1954 chữ số

—HẾT—

Trang 39

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN KHTN - ĐHQG HÀ NỘI NĂM 2020-2021

Bài 1

(

x2 + y2+ xy = 79x3 = xy2+ 70(x − y) .

1 Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn

x2y2− 16xy + 99 = 9x2+ 36y2+ 13x + 26y

2 Với a, b là những số thực dương thỏa mãn

2 ≤ 2a + 3b ≤ 5, 8a + 12b ≤ 2a2+ 3b2+ 5ab + 10

Chứng minh 3a2+ 8b2+ 10ab ≤ 21

(O) Điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác [BAC Lấy các điểm M, N thuộc (O) sao chocác đường thẳng CM và BN cùng song song với đường thẳng AD

Trang 40

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TRƯỜNG CHUN ĐỒNG NAI 2020- 2021< /b>

Mơn: Tốn chunThời gian: 180 phút, khơng kể phát đề

Bài

1 Tìm số nguyên x y thỏa mãn 6x + 7y = |9x − 10y| <... class="page_container" data-page="28">

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUN ĐẮK LĂK NĂM 2020- 2021< /b>

Mơn: chun TốnThời gian: 180 phút, không kể phát đề

1 Chứng minh lấy 101 1 số từ 2020 số nguyên dương đầu tiên,... 23

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH THUẬN NĂM 2020- 2021< /b>

Môn: không chuyênThời gian: 180 phút, không kể phát đề

1 Chứng tỏ

Định dạng
Số trang	129
Dung lượng	1,03 MB