Lý thuyết polya và ứng dụng

Lời nói đầuLuận văn này trình bày lại một số kết quả về lý thuyết Polya và một vài vận dụng.Luận văn được chia ra làm hai chương.. Trong Mục 1.2 tập trung viết về nhóm các phép hoán vị.M

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ HÀ THU

LÝ THUYẾT POLYA VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ HÀ THU

LÝ THUYẾT POLYA VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Khái niệm nhóm 2

1.1.1 Quan hệ tương đương 2

1.1.2 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương 3

1.1.3 Định lý Lagrange và các hệ quả 6

1.2 Nhóm các phép hoán vị 7

1.2.1 Nhóm các phép hoán vị 7

1.2.2 Chu trình của hoán vị 10

1.3 Bổ đề Burnside 15

1.3.1 Tác động nhóm lên một tập 15

1.3.2 Vận dụng giải bài toán tô màu 19

1.4 Đa thức xích các chỉ số 22

1.4.1 Khái niệm đa thức xích chỉ số 22

1.4.2 Đa thức xích chỉ số của Cn, Dn, Sn 23

1.5 Định lý Polya 26

2 Vận dụng Định lý Polya 28 2.1 Vận dụng Định lý Polya trong bài toán tô màu 28

2.2 Một vài bài toán tô màu khác 36

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực

và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan mọi thông tin tríchdẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 4 năm 2015

Học viên

Bùi Thị Hà Thu

Lời nói đầu

Luận văn này trình bày lại một số kết quả về lý thuyết Polya và một vài vận dụng.Luận văn được chia ra làm hai chương Chương 1 gồm năm mục Mục 1.1 trìnhbày về khái niệm nhóm Trong Mục 1.2 tập trung viết về nhóm các phép hoán vị.Mục 1.3 được dành để chứng minh lại Bổ đề Burnside Mục 1.4 được dành để viết

về xích các đa thức chỉ số Trong Mục 1.5 chúng tôi chứng minh Định lý Polya.Chương 2 gồm hai mục Mục 2.1 trình bày một vài vận dụng Định lý Polya trongbài toán tô màu Mục 2.2 trình bày một vài ví dụ về việc vận dụng Định lý Polyatrong bài tóan tổ hợp

Trong thời gian sưu tầm tài liệu, làm đề cương và viết luận văn, tôi đã nhậnđược sử góp ý và chỉ dẫn tận tình của người hướng dẫn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành tới thầy của mình, PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Nhân đây, tôi cũng xin chânthành cảm ơn Khoa Toán- Tin, Khoa Sau đại học Trường Đại học Khoa học- Đạihọc Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập của tôi.Tôi cũng xin được cảm ơn sự nhiệt tình giảng dạy của các giảng viên trong suốtthời gian tôi học tập Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Hải An đã luôntạo điều kiện tốt cho tôi công tác và học tập, để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tậpcủa mình Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình, vìnhững động viên khích lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên ngày 16 tháng 04 năm 2015

Bùi Thị Hà Thu

Chương 1

Lý thuyết Polya

1.1 Khái niệm nhóm

1.1.1 Quan hệ tương đương

Giả thiết tập X 6= ∅ Tích đề các X × X được định nghĩa như sau:

X × X = {(x, y)|x, y ∈ X}

Định nghĩa 1.1.1 Tập con S của X × X được gọi là một quan hệ hai ngôi trong

X.Nếu (x, y) ∈ S thì ta nói x có quan hệ S với y và viết xSy.

Định nghĩa 1.1.2 Giả thiết X 6= ∅ và S 6= ∅ là một quan hệ hai ngôi trong X.

Quan hệ S được gọi là một quan hệ tương đương trong X nếu nó thỏa mãn ba điều

kiện sau đây:

(1) (Phản xạ) Với mọi x ∈ X có xSx

(2) (Đối xứng) Với mọi x, y ∈ X, nếu có xSy thì cũng có ySx

(3) (Bắc cầu) Với mọi x, y, z ∈ X, nếu có xSy và ySz thì cũng có xSz

Khi S là một quan hệ tương đương trong X thì ta thường ký hiệu ∼ thay cho S

Đặt C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} và gọi nó là một lớp tương đương với x làm đại diện.

Dễ dàng chỉ ra các tính chất sau:

Mệnh đề 1.1.3 Với quan hệ tương đương ∼ trong X 6= ∅ ta có

(1) Với mọi x ∈ X có x ∈ C(x).

(2) Với mọi y, z ∈ C(x) có y ∼ z và y, z ∼ x.

(3) Với mọi x, y ∈ X, có hoặc C(x) ∩ C(y) = ∅ hoặc C(x) = C(y).

(4) Tập thương X/ ∼ là tập các lớp tương đương không giao nhau.

1.1.2 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương

Trước tiên, ta nhắc lại một số khái niệm và ký hiệu về nhóm

Định nghĩa 1.1.4 Tập G 6= ∅ với phép toán hai ngôi G × G → G, (x, y) 7→ x.y

được gọi là một nhóm nếu nó thỏa mãn ba điều kiện

(1) (x.y).z = x.(y.z) với mọi x, y, z ∈ G

(2) Có phần tử e ∈ G, được gọi là đơn vị, thỏa mãn e.x = x.e = x với mọi

x ∈ G

(3) Với mỗi x ∈ G có phần tử x0 ∈ G để x.x0 = x0.x = e

Do tính duy nhất của x0cho mỗi x nên x0được ký hiệu qua x−1và được gọi là phần

tử nghịch đảo của x Nhóm G được gọi là một nhóm giao hoán hay nhóm abel nếu

x.y = y.x với mọi x, y ∈ G Để đơn giản, nhiều khi thay cho tích x.y ta viết đơngiản xy và đôi khi để biết phép toán hai ngôi trong nhóm G ta cũng thường viết(G, ).Đôi khi người ta cũng thường ký hiệu phần tử đơn vị của nhóm G bởi 1

Định nghĩa 1.1.5 Cho hai nhóm (G, ) và (G0, ◦) Ánh xạ φ : G → G0 được gọi

là một đồng cấu nếu φ(xy) = φ(x) ◦ φ(y) thỏa mãn cho mọi x, y ∈ G Đồng cấu

φđược gọi là một đẳng cấu nếu nó là một song ánh.

Định nghĩa 1.1.6 Cho nhóm G Lực lượng của G, ký hiệu |G|, được gọi là cấp

của G Nếu |G| < ∞ thì G được gọi là nhóm hữu hạn.

Định nghĩa 1.1.7 Tập con H khác rỗng của nhóm G thỏa mãn x.y ∈ H và x−1 ∈

H,khi x, y ∈ H, được gọi là một nhóm con của G Nhóm con A của nhóm G được gọi là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu xax−1 ∈ Avới mọi a ∈ A, x ∈ G.Giả thiết A là một nhóm con của nhóm G Ta ký hiệu hai tập sau:

xA = {xa|a ∈ A}, Ax = {ax|x ∈ A}

Tập xA được gọi là lớp ghép trái của A trong X; Tập Ax được gọi là lớp ghép phải

của A trong G Ký hiệu tập thương của G trên A qua

G/A = {xA|x ∈ G}

Tiếp tục, định nghĩa quan hệ ∼ trong nhóm G như sau: Với x, y ∈ G, quan hệ

x ∼ y nếu x−1y ∈ A

Bổ đề 1.1.8 Quan hệ ∼ trong G là một quan hệ tương đương.

Chứng minh: Vì e ∈ A nên x−1x = e ∈ G Vậy x ∼ x với mọi x ∈ G Giả sử

x, y ∈ G thỏa mãn x ∼ y Khi đó x−1y ∈ A Vì A cũng chính là một nhóm nên

y−1x = x−1y
−1 ∈ A Do vậy y ∼ x Cuối cùng, giả sử x, y, z ∈ G thỏa mãn

x ∼ y và y ∼ z Khi đó x−1y, y−1z ∈ Avà ta có x−1z = x−1y.y−1z ∈ A Từ đâysuy ra x ∼ z Tóm lại, quan hệ ∼ trong G là một quan hệ tương đương

Hệ quả 1.1.9 Với x, y ∈ G, xA = yA khi và chỉ khi x−1y ∈ A

Chứng minh: Kết quả được suy ra từ Bổ đề 1.1.8.

Bổ đề 1.1.10 Với quan hệ tương đương ∼ trong G, mỗi lớp C(x) = xA với x ∈ G.

Chứng minh: Thật vậy, vì ∼ là một quan hệ tương đương theo Bổ đề 1.1.8 nên

ta có các lớp C(x) Lấy y ∈ C(x) Khi đó x ∼ y và ta có x−1y ∈ A Vậy, tồntại a ∈ A để x−1y = a Từ đây suy ra y = xa ∈ xA Do y được lấy tùy ý nênC(x) ⊂ xA Lấy y ∈ xA Khi đó có a ∈ A để y = xa Vậy x−1y = a ∈ Ahay y ∼ x và suy ra y ∈ C(x) Do y được lấy tùy ý nên C(x) ⊃ xA Tóm lạiC(x) = xA

Định lý 1.1.11 Nhóm con A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G khi và chỉ khi

xA = Ax với mọi x ∈ G.

Chứng minh: Giả thiết A là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Lấy y = xa ∈

xA.Vì A là một nhóm con chuẩn tắc nên xax−1 ∈ A.Vậy có b ∈ A để xax−1 = b

và suy ra y = xa = bx ∈ Ax Do y được lấy tùy ý từ xA nên xA ⊂ Ax Tương tự

có xA ⊃ Ax Tóm lại, xA = Ax với mọi x ∈ G

Ngược lại, Giả thiết xA = Ax với mọi x ∈ G Với x ∈ G, a ∈ A có xa ∈ xA = Ax

và như vậy, tồn tại b ∈ A để xa = bx hay xax−1 = b ∈ A.Điều này chỉ ra A lànhóm con chuẩn tắc của nhóm G

Định lý 1.1.12 Với nhóm con chuẩn tắc A của nhóm G, ánh xạ G/A × G/A →

G/A, (xA, yA) 7→ xyA là một phép toán hai ngôi và tập thương G/A = {xA|x ∈ G} cùng phép toán hai ngôi trên lập thành một nhóm Nhóm này được gọi lànhóm

thương của G trên A.

Chứng minh: Ta có kết quả từ Bổ đề 1.1.10 và Định lý 1.1.11.

Có nhiều nhóm con quan trọng được sinh ra bởi một tập con của G Giả sử A là

một tập con khác rỗng của nhóm G Chuẩn tắc hóa của A trong G là một nhóm

con của G được định nghĩa bằng

NG(A) = {x ∈ G|xax−1 ∈ A, ∀ a ∈ A}

Tâm hóacủa A trong G là một nhóm con của G được định nghĩa bằng

CG(A) = {x ∈ G|xa = ax, ∀ a ∈ A}

Tâmcủa G là một nhóm con của G được định nghĩa bằng

Z(G) = {x ∈ G|xa = ax, ∀ a ∈ G}

Chú ý rằng, Z(G) = CG(G)và Z(G) là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G

Cấp của phần tử x ∈ G là số tự nhiên dương nhỏ nhất r để xr = e.Nếu ta ký hiệunhóm cyclic do x sinh ra qua < x > thì ta có ngay < x >= {e, x, , xr−1}và

r = | < x > |.Chú ý cấp của e bằng 1

1.1.3 Định lý Lagrange và các hệ quả

Trong phần này chúng ta chứng minh một vài kết quả quan trọng về lý thuyết nhóm

Giả sử A là một nhóm con của nhóm hữu hạn G Chỉ số của A trong G, ký hiệu

qua |G : A| hoặc ind(A), được định nghĩa bằng |G/A|

Định lý 1.1.13 [Lagrange] Với nhóm con A của nhóm hữu hạn G ta luôn có

|G| = |A||G : A|

Chứng minh: Giả thiết G là nhóm hữu hạn cấp n = |G| và A là nhóm con của

G với m = |A| và k = |G : A| Với mỗi x ∈ G ta định nghĩa ánh xạ fx :

A → xA, a 7→ xa Hiển nhiên, ánh xạ fx là một toàn ánh Từ xa = xb suy

ra a = b Vậy fx còn là một đơn ánh Do vậy, fx là một song ánh và suy ra

m = |A| = |xA| Vì các xA = C(x) là tách biệt theo Mệnh đề 1.1.3 nên Gđược phân ra thành k lớp phân biệt và mỗi lớp đều chứa đúng m phần tử Do vậy

|G| = mk = |A||G : A|

Hệ quả 1.1.14 Cấp của mỗi phần tử thuộc nhóm hữu hạn G là một ước số của

n = |G|

Chứng minh: Xét nhóm con A sinh ra bởi phần tử a Cấp của a bằng |A| Vì |A|

là một ước của |G| theo Định lý 1.1.13 nên cấp của phần tử A thuộc nhóm hữu hạn

Glà một ước số của n = |G|

Hệ quả 1.1.15 [Cauchy] Với nhóm abel hữu hạn G và số nguyên tố p chia hết cấp

n = |G| luôn có phần tử của G cấp p.

Chứng minh: Quy nạp theo cấp n của nhóm G Lấy phần tử x ∈ G, x 6= e Nếu

n = pthì G là nhóm cyclic cấp p với phần tử sinh là x theo Định lý 1.1.13 Vậy x

có cấp p Bây giờ giả thiết n > p và tất cả các nhóm con của G đều có cấp nhỏ hơn

n và xét những nhóm con với cấp chia hết cho p Ta chỉ ra những nhóm con nhưvậy sẽ có phần tử cấp p

Trước tiên, xét trường hợp cấp m của phần tử x chia hết cho p Khi đó m = | <

x > | = kp.Vậy e = xm = (xk)p Từ đây suy ra | < xk > | = pvà xk có cấp p

Tiếp theo, xét trường hợp cấp m của phần tử x không chia hết cho p Đặt A =< x >

và thấy ngay |A| > 1 Vì G là nhóm abel nên A là nhóm con chuẩn tắc của G TheoĐịnh lý 1.1.13, ta có |G/A| < |G| Hơn nữa, ta còn có |G/A| chia hết cho p VìG/A là một nhóm abel, theo Định lý 1.1.12, với cấp r, r < |G| Theo giả thiếtquy nạp, G/A chứa phần tử cấp p, chẳng hạn yA Do vậy yp ∈ A Vì y /∈ A nên

< yp >6=< y > Theo Định lý 1.1.14, cấp | < yp > | chia hết cấp | < y > | Từđây suy ra cấp |y| chia hết cho p Trở lại trường hợp trên, ta có phần tử của G vớicấp p theo giả thiết quy nạp

Ví dụ 1.1.16 Xét tập tất cả các song ánh f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} Biểu diễn

mỗi song ánh f qua

10 , k = 1, 2, , 10} Với phép nhân các số phức, G là một nhóm giao hoán

cấp 10 = 2.5 Phần tử đơn vị e = z10 = cos 2π + i sin 2π = 1 Một phần tử cấp 2

là z5 = cos π + i sin π = −1 Các phần tử cấp 5 là zk = cosk2π

Ký hiệu T = {1, 2, , n} Mỗi song ánh từ T lên T được gọi là một hoán vị

(permutation) Ký hiệu Fn,n là tập tất cả các song ánh từ T lên T Khi đó mỗi ánh

xạ f ∈ Fn,ncó thể biểu diễn được qua dãy (f(1), f(2), , f(n)) hoặc ta cũng cóthể biểu diễn thành bảng sau:

Chứng minh: Việc kiểm tra các tiên đề nhóm cho Snlà tầm thường Vì mỗi phần

tử f ∈ Sn được xác định hoàn toàn khi biết dãy f(1), f(2), , f(n) Đây là mộthoán vị của 1, 2, , n và có tất cả n! hoán vị Như vậy, cấp của nhóm Sn bằng n!

Vì hợp thành của hai ánh xạ không thỏa mãn luật giao hoán nên nhóm Sn không lànhóm abel

Về mặt hình học của nhóm S3.Ký hiệu ba đỉnh của một tam giác đều là 1, 2, 3 Khi

đó phép quay δ tâm O, tâm tam giác, góc quay 1200 theo chiều dương và ba phép

đối xứng µ1, µ2, µ3qua các đường cao đi qua đỉnh 1, 2, 3, tương ứng Ta có

Về mặt hình học của nhóm con này Ký hiệu bốn đỉnh của một hình vuông là

1, 2, 3, 4 Khi đó phép quay δ tâm O, tâm hình vuông, góc quay 900 theo chiều

dương và bốn phép đối xứng µ13, µ24, ν3, ν4 qua hai đường chéo (13), (24) và hai

đường trung trực của hai cặp cạnh đối tương ứng Ta có

Bổ đề 1.2.4 Giả sử p ∈ Sn Khi đó có số dương k nhỏ nhất để pk = id Với bất kỳ

số nguyên dương m, pm = id khi và chỉ khi m˙:k.

Chứng minh: Việc tồn tại số nguyên dương k để pk = id được suy ra từ Hệ quả

1.1.14

Nếu m = sk thì pm = psk = (pk)s = id Ngược lại, nếu m 6 ˙:k thì có biểu diễn

pr+6n = pr với mọi số nguyên không âm n, r.

1.2.2 Chu trình của hoán vị

Xét nhóm các phép hoán vị Sn của tập T = {1, 2, , n} Giả sử t ∈ T và phéphoán vị p ∈ Sn

Bổ đề 1.2.6 Giả sử dãy các phần tử t = t1, t2, ∈ T được xác định như sau: t1 =

t và ti+1 = p(ti) với i > 1 Nếu k là số tự nhiên nhỏ nhất để tk+1 ∈ {t1, t2, , tk}

được gọi là một k-chu trình của hoán vị p, (cycle of permutation), chứa t k được gọi là độ dài của chu trình Cp(t)hoặc ta cũng có thể gọi Cp(t)là k-chu trình của

p Hai chu trình Cp(t)và Cq(t0) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng độ

dài và chứa cùng các phần tử và theo cùng một trật tự, có nghĩa: Nếu p(r) = s thìq(r) = svà ngược lại

Định nghĩa 1.2.8 Hai chu trình được gọi là rời nhau nếu chúng không có phần tử



,



33



 Ta biểu diễn p =

(1)(3)(254) hoặc đơn giản p = (254).

Giả thiết p ∈ Sn và t ∈ T = {1, 2, , n} Giả sử x ∈ Cp(t) = (t1t2 tk).Khi đó tồn tại i 6 k để x = ti.Ta sẽ có Cp(x) = (titi+1 tkt1 ti−1).Hai chutrình Cp(t)và Cp(x)tương đương

Bổ đề 1.2.11 Giả sử p, q ∈ Sn Nếu t, t0 ∈ T = {1, , n} thì ta có

(1) Hoặc Cp(t) và Cp(t0) rời nhau hoặc chúng tương đương.

(2) Hoặc Cp(t) và Cq(t) trùng nhau hoặc chúng không tương đương.

Chứng minh: (1) Nếu Cp(t) và Cp(t0) rời nhau thì ta đã có được điều cần chứngminh Giả sử hai lớp này không ròi nhau Khi đó có x ∈ Cp(t) ∩ Cp(t0) và suy ra

cả hai chu trình Cp(t), Cp(t0) cùng tương đương với Cp(x) Do vậy, chúng tươngđương với nhau

(2) được chứng minh tương tự trên

Bổ đề 1.2.12 Hai chu trình rời nhau thì giao hoán.

Chứng minh: Xét hai chu trình rời nhau Cp(t) = {t1, t2, , tk} = U và Cp(x) ={x1, x2, , xh} = V Ký hiệu f = p|U, g = p|V Ta phải chỉ ra fg = gf hay(f g)(y) = (gf )(y)với mọi y ∈ T Do tính rời nhau của hai chu trình nên ta có thểviết tập T như sau:

T = {t1, t2, , tk, x1, x2, , xh, y1, y2, , yr}

Ta có (fg)(ti) = f (g(ti)) = f (ti) = ti+1 = g(ti+1) = g(f (ti)) = (gf )(ti) Tacũng có (fg)(xi) = f (g(xi)) = f (xi+1) = xi+1 = g(xi) = g(f (xi)) = (gf )(xi).Hiển nhiên (fg)(yi) = f (g(yi)) = f (yi) = yi = g(yi) = g(f (yi)) = (gf )(yi).Tóm lại (fg)(y) = (gf)(y) với mọi y ∈ T

Những k-chu trình tương đương được coi là một, chẳng hạn: Phép hoán vị p =

một Khi đó ta có kết quả sau

Định lý 1.2.13 Mỗi phép hoán vị p ∈ Sn đều có thể phân tích thành tích các chu trình rời nhau Sự phân tích ấy là duy nhất sai khác các 1-chu trình.Kiểu chu trình

của p là dãy độ dài các chu trình trong biểu diễn tích.

Chứng minh: Trước tiên ta chứng minh sự tồn tại của phân tích Giả sử t1 = 1.Định nghĩa theo kiểu truy hồi ti+1 = p(ti).Gọi k là số tự nhiên dương nhỏ nhất

để p(tk+1) = t1 Số k luôn tồn tại vì tập {1, 2, , n} là hữu hạn Ký hiệu δ =p|{t1, ,tk}và q = pδ−1.Ánh xạ này cố định các phần tử thuộc tập {t1, , tk}.Bằngquy nạp, ta có thể giả thiết δ đã biểu diễn thành tích r−1 chu trình q = δ1δ2 δk−1.Vậy p = qδ = δ1δ2 δk−1δk với δk = δ.Ký hiệu Cp(x) = δ1, , Cp(z) = δk.Ta

có biểu diễn p = Cp(x) Cp(y) Cp(z)

Tiếp theo, ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn Giả sử p có biểu diễn thànhtích các chu trình rời nhau thứ hai p = µ1µ2 µs.Giả sử µ1(i) = j Khi đó có l

để δl(i) 6= i.Vì tính rời nhau nên δl(i) = j Ta xét µ1(j).Vì lý do như trên ta có

δl(j) = µ1(j).Cứ tiếp tục như vậy, ta suy ra µ1 = δl Do tính giao hoán giữa các

chu trình rời nhau theo Bổ đề 1.2.12, ta loại bỏ µ1 = δl ở hai bên ta có

µ2 µs = µ−11 p = δ−1l p = δ−1l δ1δ2 δk−1δk

và bằng quy nạp ta suy ra các chu trình tương thích bằng nhau Ta có điều cầnchứng minh

Hệ quả 1.2.14 Cấp của một phép hoán vị với biểu diễn thành tích các chu trình

rời nhau bằng bội chung nhỏ nhất của độ dài các chu trình Đặc biệt, nếu phép hoán vị p có cấp k thì p−1 = pk−1

Chứng minh: Kết quả suy ra từ Bổ đề 1.2.9 và Định lý 1.2.12.

Ví dụ 1.2.15 Xét p = (123)(45) Khi đó p có cấp 6 = 3.2 Kiểm tra lại:

thuộc S7 ta có biểu diễn p = (16)(24)(357) và q = (124)(357)(6) ∈ S7 Khi đó

Cq(3) = (357) tương đương Cp(5) = (573) và Cp(7) = (735); nhưng nó không

tương đương với Cq(4) = (412) Cấp của phép hoán vị p bằng bcnn(2, 2, 3) = 6

và cấp của của phép hoán vị q bằng bcnn(3, 3, 1) = 3.

Mệnh đề 1.2.17 Giả sử phép hoán vị p ∈ Sn Nhóm xiclic sinh ra bởi p là <

p >= {pi|1 6 i 6 k}, ở đó k bằng cấp của p Khi đó < p > là một nhóm con của

Sn

Chứng minh: Do < p > chứa p nên < p >6= ∅ Giả sử f, g ∈< p > Khi

đó có hai số nguyên dương i, j ∈ {1, , k} để f = pi, g = pj và ta nhận được

f g = pi+j.Với i + j ≡ s(mod k) ta có fg = ps∈< p >,trong đó s ∈ {1, , k}

Từ kết quả này suy ra < p > là một nhóm con của Sn

Định nghĩa 1.2.18 Giả sử T = {1, , n} và phép hoán vị p ∈ Sn Nếu Cp(x),

Cp(y), , Cp(z) là những chu trình không tương đương của p thì phân tích nhân

tử chu trình rời nhaulà biểu diễn dạng

p = Cp(x)Cp(y) Cp(z)

Đặc biệt, trong nhóm Sn ta quan tâm đến hai nhóm con Qn, Dn Phép hoán vị

ν = (123 n)và nhóm con xiclic Qn cấp n do ν sinh ra:

n của một n-giác đều

Nhóm con Dn gồm các phép quay như trên và các phép đối xứng trục của mộtn-giác đều Nhóm con Dn có cấp 2n Ví dụ nhóm con D5 :

D5 = {id, (12345), (13524), 14253), (15432), ((25)(1)(34)}

∪ {(13)(2)(45), (15)(3)(24), ((12)(4)((35), ((14)(5)(23)}

Định nghĩa 1.2.19 Giả sử G và H là hai nhóm con của nhóm Sn Nếu H ⊂ G

thì H cũng được gọi là một nhóm con của G và tập con pH = {ph|h ∈ H} của G được gọi là một lớp trái của H.

Mệnh đề 1.2.20 Giả sử phép hoán vị p ∈ G ⊂ Sn Nếu p(i) = j với i, j ∈ T = {1, 2, , n} thì nhóm xiclic sinh ra bởi p là < p >= {pi|1 6 i 6 k}, ở đó k bằng

cấp của p Khi đó < p > là một nhóm con của Sn

Chứng minh: Do < p > chứa p nên < p >6= ∅ Giả sử f, g ∈< p > Khi

đó có hai số nguyên dương i, j ∈ {1, , k} để f = pi, g = pj và ta nhận được

f g = pi+j.Với i + j ≡ s(mod k) ta có fg = ps∈< p >,trong đó s ∈ {1, , k}

Từ kết quả này suy ra < p > là một nhóm con của Sn

1.3 Bổ đề Burnside

Trong mục này, chúng ta chứng minh một kết quả quan trọng làm cơ sở để xâydựng Lý thuyết Polya Kết quả này sẽ cho ta công thức xác định số các quỹ đạo củamột nhóm tác động lên một tập Trước tiên ta định nghĩa nhóm tác động lên mộttập

1.3.1 Tác động nhóm lên một tập

Định nghĩa 1.3.1 Cho nhóm G với phần tử đơn vị 1 và tập hữu hạn Ω Ta nói

rằng, nhóm G tác động lên tập Ω nếu với mỗi a ∈ Ω và g ∈ G có phần tử xác định

g(a) ∈ Ωthỏa mãn hai điều kiện:

(1) (hg)(α) = h(g(α)) với mọi g, h ∈ G và mọi α ∈ Ω

Chứng minh: Với a, b ∈ Ω, nếu φ(a) = φ(b) thì g(a) = g(b) Vì g−1 ∈ G nên

g−1(g(a)) = g−1(g(b))hay (g−1g)(a) = (g−1g)(b).Do vậy 1(a) = 1(b) hay a = btheo định nghĩa và suy ra φ là một đơn ánh Vì Ω là một tập hữu hạn và φ là mộtđơn ánh từ tập Ω vào tập Ω nên φ là một toàn ánh Do vậy, φ là một song ánh Từ

đó suy ra rằng, tương ứng φ : α 7→ g(α) trên tập Ω xác định một phép hoán vị củatập Ω

Bây giờ Ký hiệu một Orbit, (quỹ đạo), của phần tử a ∈ Ω dưới tác động của nhóm

Gqua OrbitG hoặc Orbit là tập

OrbitG(a) = {g(a)|g ∈ G}

Bổ đề 1.3.3 Xét hai quỹ đạo Orbit(a) và Orbit(b) Nếu a ∈ Orbit(b) thì b ∈

Orbit(a)

Chứng minh: Vì a ∈ Orbit(b) nên tồn tại p ∈ G để p(b) = a Vậy p−1 ∈ G để

p−1(a) = b.Do vậy b ∈ Orbit(a)

Bổ đề 1.3.4 Dưới tác động của mỗi nhóm con G ⊂ Sn, hai quỹ đạo Orbit(a) và Orbit(b) hoặc là rời nhau hoặc là bằng nhau.

Chứng minh: Trường hợp Orbit(a) = Orbit(b), ta đã có điều cần chứng minh.

Xét trường hợp Orbit(a) 6= Orbit(b) Giả sử có c ∈ Orbit(a) ∩ Orbit(b) Ta thấyngay sự tồn tại của p, q ∈ G để p(b) = c và q(a) = c Vậy a = q−1(c) = q−1(p(b))

Từ đây dễ dàng suy ra Orbit(a) = Orbit(b), mâu thuẫn

Ký hiệu Stabilizer, (Ổn định hóa), Ga của a ∈ Ω và Cố định hóa FixΩ(g) của

g ∈ Glà các tập

Ga = {g ∈ G|g(a) = a} và FixΩ(g) = {a ∈ Ω|g(a) = a}

Hiển nhiên, Orbit(a) và FixΩ(a) là những tập con của Ω; Còn Ga là một nhómcon của nhóm G qua kết quả sau đây

Bổ đề 1.3.5 Tập Ga là một nhóm con của nhóm G.

Chứng minh: Ta thấy ngay 1 ∈ Gatheo định nghĩa tác động nhóm Với g, h ∈ Ga

ta luôn có (gh)(a) = g(h(a)) = g(a) = a nên gh ∈ Ga.Vì g−1(a) = g−1(g(a)) =(g−1g)(a) = anên g−1 ∈ Ga.Do vậy, Ga là một nhóm con của nhóm G

Tiếp theo, chúng ta sẽ thấy mối liên hệ giữa lực lượng của Orbit(a) và cấp củanhóm con Ga và của nhóm G

Bổ đề 1.3.6 Với mỗi phần tử a thuộc Ω ta luôn có hệ thức liên hệ

có biểu diễn g = hik với k ∈ Ga Do vậy g(a) = (hik)(a) = hi(k(a)) = hi(a)

Từ đây suy ra Φ là một toàn ánh Tóm lại, Φ là một song ánh và ta có |G| =

|Ga)|| Orbit(a)|

William Burnside sinh vào ngày mùng 2 tháng 7 năm 1852 tại London Ông họctập, nghiên cứu và sau này giảng dạy luôn tại trường Đại học Tổng hợp Cambrigdge.Sau một thời gian, ông chuyển sang trường Royal Naval College ở Greenwich.Trong suốt cuộc đời mình, ông đã viêt hơn 150 bài báo khoa học thuộc nhiều lĩnhvực Đặc biệt, ông đã có nhiều kết quả đặc sắc trong Lý thuyết nhóm Định lý dướiđây sẽ chứng minh lại một kết quả nổi tiếng của ông Đó là Định lý Burnside hay

Bổ đề Burnside, tùy theo cách gọi của những ai quan tâm đến nó

Định lý 1.3.7 [Burnside’s Lemma] Số các Orbit của một nhóm hữu hạn tác động