Định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng

Fujimoto cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát, W.. Ru đã thiết lập định lý cơ bản thứ hai chotrường hợp đường

Cột mốc quan trọng tiếp theo của Lý thuyết Nevanlinna là năm 1933khi mà H Cartan đã tổng quát kết quả của Nevanlinna cho đường congchỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức có ảnh giao với một họ các siêuphẳng ở vị trí tổng quát.

Trong gần một thế kỷ qua, Lý thuyết Nevanlinna liên tục thu hút được

sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học ở cả hai khía cạnh: phát triển

lý thuyết nội tại và tìm kiếm những mối liên hệ với các lĩnh vực khác củaToán học

Nội dung cốt lõi của Lý thuyết Nevanlinna tập trung ở hai định lýchính, được gọi là các Định lý cơ bản thứ nhất và Định lý cơ bản thứ hai.Định lý cơ bản thứ nhất được suy ra từ công thức Jensen và nói chúngchúng ta hiểu biết tương đối rõ về nó Tuy nhiên, Định lý cơ bản thứ haithì không như vậy Việc thiết lập Định lý cơ bản thứ hai là rất khó vàchúng ta mới chỉ thiết lập được nó trong một số ít trường hợp

Có thể nói lịch sử phát triển trong suốt gần một thế kỷ qua của Lýthuyết Nevanlinna gắn bó mật thiết với việc thiết lập các dạng của Định

1

lý cơ bản thứ hai với các kết quả tiêu biểu của H Cartan cho đường congchỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở

vị trí tổng quát, E Nochka cho đường cong chỉnh hình trong không gian

xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát, W.Stoll và H Fujimoto cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức vào không gian

xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát, W Stoll-M

Ru và M Ru cho đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phứcvới mục tiêu là các siêu phẳng di động

Gần đây, nhờ việc kết hợp các tiến bộ của Lý thuyết xấp xỉ Diophantinetrong các công trình của Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretii, với các kỹ thuậtcủa Hình học đại số và Đại số giao hoán, Ru, Dethloff-Tan, Dethloff-Tan-Thai đã thiết lập các dạng định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêumặt Các kết quả của các tác giả trên là nguồn cảm hứng và là định hướngcách tiếp cận cho nhiều tác giả đi sau trong việc nghiên cứu Định lý cơbản thứ hai của Lý thuyết Nevanlinna cũng như định lý không gian conSchmidt của Lý thuyết xấp xỉ Diophantine Trong bối cảnh đó chúng tôichọn hướng nghiên cứu thứ nhất của đề tài luận án là nghiên cứu Định lý

cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt

Song song với việc phát triển nội tại Lý thuyết Nevanlinna, việc tìmkiếm mối liên hệ của nó với các lĩnh vực khác của toán học cũng được nhiềunhà toán học quan tâm Năm 1926, R Nevanlinna thiết lập một ứng dụngcủa Lý thuyết phân bố giá trị trong bài toán về xác định duy nhất hàmphân hình trên mặt phẳng phức dưới một điều kiện về ảnh ngược của cácgiá trị phân biệt Cụ thể ông đã chứng minh rằng: Nếu hai hàm phân hìnhkhác hằng trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược (không tính bội) của

5 giá trị phân biệt thì chúng trùng nhau Năm 1975, H Fujimoto và sau

đó vào năm 1983, L Smiley đã lần lượt mở rộng kết quả của Nevanlinnatheo các hướng khác nhau sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào khônggian xạ ảnh phức có cùng ảnh ngược (với bội tính tới mức nào đó) củacác siêu phẳng ở vị trí tổng quát Vấn đề này được H Fujimoto, S Ji, W

Stoll tiếp tục quan tâm trong nhiều công trình sau đó Gần đây, bằng việccải tiến đáng kể các phương pháp của các tác giả đi trước và với các kỹthuật tinh xảo, các tác giả Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang,

G Dethloff, Z Chen và Q Yan đã thu được nhiều kết quả sâu sắc về chủ

đề này, theo hướng tinh giảm đáng kể các điều kiện đưa ra, đặc biệt là sốsiêu phẳng cần thiết

Tiếp nối các nghiên cứu này, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu thứ haicủa đề tài luận án là thiết lập các định lý về sự suy biến tuyến tính củatích các ánh xạ phân hình từ Cm vào CPn dưới điều kiện có cùng ảnhngược của một số ít các siêu phẳng

2 Mục đích nghiên cứu

Năm 1997, P Vojta và M Ru đã thiết lập định lý cơ bản thứ hai chotrường hợp đường cong nguyên không suy biến tuyến tính trong khônggian xạ ảnh với mục tiêu là các siêu phẳng tùy ý (thay vì ở vị trí tổngquát) Mục đích thứ nhất của chúng tôi là mở rộng kết quả trên sangtrường hợp đường cong chỉnh hình không suy biến đại số trong đa tạp xạảnh phức với mục tiêu là các siêu mặt

Năm 1985, H Fujimoto nghiên cứu phân bố giá trị của ánh xạ phânhình từ một đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu là cácsiêu phẳng ở vị trí tổng quát Mục đích thứ hai của luận án là mở rộng kếtquả trên sang trường hợp ánh xạ vào đa tạp đại số xạ ảnh với mục tiêu làcác siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát

Mục đích thứ ba của luận án là thiết lập định lý về tính suy biến tuyếntính của tích các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh có cùng ảnhngược của một số ít các siêu phẳng ở vị trí tổng quát

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Định lý cơ bản thứ hai của Lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng của Lýthuyết Nevanlinna vào việc nghiên cứu bài toán xác định duy nhất ánh xạphân hình

4 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi dùng các kỹ thuật của Giải tích phức, Hình học đại số, Xấp

xỉ Diophantine

5 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài

- Thiết lập được một dạng mở rộng của Định lý cơ bản thứ hai tớitrường hợp các siêu mặt tùy ý Kết quả này là một sự mở rộng kết quảcủa Vojta, Ru từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt

- Thiết lập được định lý về quan hệ số khuyết, phản ánh sự phân bốgiá trị của ánh xạ phân hình từ một đa tạp K¨ahler vào đa tạp đại số xạảnh với mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát Nó là một sự mởrộng kết quả của Fujimoto từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt

- Thiết lập được định lý về tính suy biến tuyến tính của tích các ánh xạphân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào CPn có cùng ảnh ngượccủa một số ít các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Kết quả này tổng quát kếtquả của Ji tới trường hợp có ít siêu phẳng hơn

Trước hết chúng ta điểm lại các sự kiện tiêu biểu của Lý thuyếtNevanlinna trong việc thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợpđường cong trong không gian xạ ảnh giao các siêu phẳng:

- Năm 1925, Nevanlinna thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho hàm phânhình khác hằng trên mặt phẳng phức, với mục tiêu là các điểm và cáckhông điểm được ngắt bội bởi 1 (nói cách khác không tính bội)

- Năm 1986, Steinmetz mở rộng kết của trên của Nevanlinna sangtrường hợp mục tiêu là các hàm phân hình "nhỏ" (so với hàm đang cầnxem xét sự phân bố giá trị) Tuy vậy, trong định lý cơ bản thứ hai củaSteinmetz, bội giao không được ngắt (nói cách khác, trong hàm đếm, tatính cả bội của các không điểm tương ứng) Năm 2006, Yamanoi đạt đượcđịnh lý cơ bản thứ hai cho trường hợp mục tiêu là các hàm phân hình

"nhỏ" và bội cũng được ngắt bởi 1 như trong kết quả của Nevanlinna

- Năm 1933, Cartan mở rộng kết của của Nevanlinna sang trường hợpđường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính trong không gian xạảnh phức và các mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Kết quảcủa Cartan không chỉ đánh dấu sự mở đầu cho việc nghiên cứu Lý thuyếtphân bố giá trị cho trường hợp chiều cao mà phương pháp của Cartan (cókhởi nguồn từ Nevanlinna) còn có ảnh hưởng trực tiếp tới cách tiếp cậnvấn đề của nhiều tác giả sau này Chúng tôi sẽ mô tả rõ hơn kết quả quantrọng này của Cartan phía sau

- Năm 1953, Stoll thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp ánh

xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ Cm (nhiều biến) vào khônggian xạ ảnh phức và các mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát

5

- Năm 1983, Nochka thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường congchỉnh hình khác hằng trong không gian xạ ảnh với mục tiêu là các siêuphẳng ở vị trí tổng quát (nói cách khác là đường cong chỉnh hình trongkhông gian xạ ảnh không suy biến tuyến tính và mục tiêu là các siêu phẳng

ở vị trí dưới tổng quát) Kết quả của Nochka giải quyết trọn vẹn giả thuyếtnăm 1933 của Cartan

- Năm 1985, Fujimoto nghiên cứu sự phân bố giá trị của ánh xạ phânhình từ một đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh phức và mục tiêu là cácsiêu phẳng di động ở vị trí tổng quát và dưới tổng quát

- Năm 1991, Ru-Stoll thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợpmục tiêu là các siêu phẳng di động nhỏ

- Năm 1997, Vojta, Ru thiết lập các dạng mở rộng của định lý cơ bảnthứ hai cho trường hợp họ các siêu phẳng tùy ý

- Năm 2004, Ru thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnhhình không suy biến đại số trong không gian xạ ảnh phức và mục tiêu làcác siêu mặt ở vị trí tổng quát

- Năm 2009, Ru thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnhhình không suy biến đại số trong đa tạp đại số xạ ảnh phức và mục tiêu

là các siêu mặt ở vị trí tổng quát

- Năm 2010, Dethloff-Tan thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạphân hình không suy biến đại số trong không gian xạ ảnh phức và mụctiêu là các siêu mặt di động

- Năm 2011, Dethloff-Tan-Thai thiết lập định lý cơ bản thứ hai chođường cong chỉnh hình không suy biến đại số trong đa tạp đại số xạ ảnhphức và mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát

Bây giờ chúng ta sẽ phân tích rõ khó khăn chính gặp phải khi nghiêncứu định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt Ta bắt đầu với kếtquả và cách tiếp cận của Cartan

Định lý 0.0.1 (Định lý cơ bản thứ hai của Cartan) Cho f là một ánh

xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ C vào CPn (có nghĩa ảnh của

f không nằm trong bất kỳ siêu phẳng nào) Giả sử Hj (1 ≤ j ≤ q) là cácsiêu phẳng trong CPn ở vị trí tổng quát Khi đó,

log |ϕ|dθ + O(1), với mọi r > 0,

ở đó Nϕ(r) là hàm đếm các không điểm của ϕ

Bổ đề 0.0.3 (Bổ đề đạo hàm Logarit) Cho f là ánh xạ không suy biếntuyến tính từ C vào CPn với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn), và cho

H1, , Hq là các siêu phẳng trong CPn ở vị trí tổng quát Khi đó toán tửWronskian W (f ) := W (f0, , fn) = det

Bổ đề 0.0.4 Cho f là một ánh xạ không suy biến tuyến tính từ C vào

CPn và H1, , Hq là các siêu phẳng trong CPn ở vị trí tổng quát Khi đó

ở đó νφ(z) là bội của không điểm z của φ

Thật không may, các bổ đề 0.0.3 và 0.0.4 không mở rộng được sangtrường hợp mà ở đó các siêu phẳng Hj được thay thế bởi siêu phẳng diđộng hay siêu mặt Gần đây, Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretii đạt đượccác kết quả thú vị trong nghiên cứu xấp xỉ Diophantine, nó đồng thời thúcđẩy việc nghiên cứu định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt Hướngnghiên cứu thứ nhất của luận án nằm trong chủ đề này

Một trong những ứng dụng đẹp đẽ của Lý thuyết Nevanlinna là nó cho

ta các tiêu chuẩn xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình (hay phân hình) từ

Cm vào CPn Năm 1926, Nevanlinna chứng minh rằng: Nếu hai hàm phânhình khác hằng trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược (không tính bội)của 5 giá trị phân biệt thì chúng bằng nhau Năm 1975, Fujimoto mở rộngkết quả trên của Nevanlinna sang trường hợp ánh xạ phân hình, cụ thểông chứng minh rằng, nếu hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính

từ Cm vào CPn có cùng ảnh ngược (tính cả bội) của 3n + 2 siêu phẳng ở

vị trí tổng quát thì hai ánh xạ đó trùng nhau Năm 1983, Smiley mở rộngkết quả của Cartan như sau:

Định lý 0.0.5 Cho f, g là hai ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyếntính từ C vào CPn Cho {Hj}qj=1 (q ≥ 3n + 2) là các siêu phẳng trong

Với các cách tiếp cận khác nhau, năm 1989 Stoll và năm 1998 Fujimototiếp tục nhận được kết quả trên Gần đây, khởi đầu từ các tác giả TrầnVăn Tấn, Sĩ Đức Quang, Gerd Dethloff, Đỗ Đức Thái và tiếp nối là một

số tác giả khác đã đạt được nhiều dạng của định lý xác định duy nhất đốivới trường hợp có ít siêu phẳng; các kết quả này mở rộng mạnh mẽ hầuhết các định lý trước đó về xác định duy nhất ánh xạ phân hình Chẳnghạn, định lý nêu trên của Smiley còn đúng cho trường hợp có 2n + 3 siêuphẳng Hướng nghiên cứu thứ hai của luận án là thiết lập định lý xác địnhduy nhất ánh xạ phân hình cho trường hợp có ít siêu phẳng

Chương 1

Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh, với mục tiêu là các siêu mặt tùy ý.

Năm 1997, Vojta mở rộng Định lý cơ bản thứ hai của Cartan sangtrường hợp mà ở đó đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh giao cácsiêu phẳng tùy ý (thay vì giả thiết ở vị trí tổng quát như trong kết quảcủa Cartan) Ngay sau đó, Ru cải tiến kết quả của Vojta bằng cách đưamột ước lượng rõ ràng hơn về đại lượng vô cùng bé và đưa sự ngắt bội vàohàm đếm các giao điểm Gần đây, Ru, Dethloff-Tan, Dethloff-Tan-Thai vàmột số tác giả khác đạt những kết quả thú vị về Định lý cơ bản thứ haicho trường hợp siêu mặt ở vị trí tổng quát Mục đích của chương này làthiết lập một Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp các siêu mặt tùy ý,nói cách khác là mở rộng các kết quả của Vojta và của Ru sang trườnghợp siêu mặt

Chương 1 gồm hai mục: Mục thứ nhất được dành để trình bày một sốkhái niệm và kết quả bổ trợ; mục thứ hai dành để trình bày cho việc phátbiểu và chứng minh định lý chính

Chương 1 được viết dựa trên bài báo [3] (trong mục các công trình đãcông bố liên quan đến luận án)

10

1.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm: Hàm đếm của mộtdivisor, hàm đặc trưng của một ánh xạ chỉnh hình, Hàm Hilbert HX của

đa tạp xạ ảnh X ⊂ CPN, trọng Hilbert thứ m của X Từ đó trình bàycác bổ đề cho ta một sự đánh giá dưới cho trọng Hilbert và cho phép tangắt bội các giao điểm trong các hàm đếm

Bổ đề 1.1.1 Cho X ⊂ CPN là một đa tạp đại số có chiều n và bậc

4 Cho m > 4 là một số nguyên và c = (c0, , cN) ∈ RN +1≥0 Giả sử

{i0, , in} là một tập con của {0, , N } sao cho {x = (x0 : · · · : xN) ∈

CPN : xi0 = · · · = xin = 0} ∩ X = ∅ Khi đó

1

mHX(m)SX(m, c) ≥

1(n + 1)(ci0 + · · · + cin) − (2n + 1)4

Bổ đề 1.1.4 Cho f là ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ

C vào CPN với biểu diễn thu gọn f = (f0 : · · · : fN) Đặt W (f ) =

W (f0, , fN) là Wronskian của f Khi đó

Định lý 1.2.1 Cho f là ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số từ Cvào CPn và cho {Hj}qj=1 là các siêu phẳng bất kỳ trong CPn Khi đó vớimỗi  > 0, ta có:

Z 2π 0

drrψ(r) < ∞ và

Z ∞ e

drφ(r) = ∞.

ở đó K là tập tất cả các tập con K ⊂ {1, , q} sao cho các siêu phẳng

{Hj, j ∈ K} là ở vị trí tổng quát và W (f ) là Wronskian của f

Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng trong các kết quả trên của Vojta và

Ru, các siêu phẳng H1, , Hq là tùy ý

Gần đây, định lý cơ bản thứ hai đã được thiết lập cho trường hợp cácsiêu mặt bởi Ru, Dethloff -Tan, Dethloff -Tan-Thai, An-Phuong

Năm 2009, Ru đã chứng minh rằng

Định lý 1.2.3 Cho V ⊂ CPN là đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn có chiều

n ≥ 1 Cho f là các ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số từ C vào V

Cho D1, , Dq là các siêu mặt trong CPN có bậc dj và ở vị trí tổng quáttrong V Khi đó với mỗi  > 0

Định lý 1.2.4 Cho V ⊂ CPN là đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn có chiều

n ≥ 1 Cho f là ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số từ C vào V

Cho D1, , Dq (V 6⊂ Dj) là các siêu mặt tùy ý trong CPn có bậc dj

Khi đó với mỗi  > 0, tồn tại một số nguyên dương M phụ thuộc vào

, dj, q, n, deg V sao cho

Chương 2

Sự phân bố giá trị của ánh xạ phân

tạp xạ ảnh, với mục tiêu là các siêu mặt.

Năm 1985, Fujimoto nghiên cứu về sự phân bố giá trị của ánh xạ phânhình từ đa tạp K¨ahler đầy vào không gian xạ ảnh phức mà ở đó ảnh củaánh xạ phân hình cắt các siêu phẳng Mục đích của chương 2 là nghiêncứu vấn đề trên cho trường hợp ánh xạ vào đa tạp xạ ảnh và có ảnh giaocác siêu mặt

Chương 2 gồm hai mục: Mục thứ nhất được dành để trình bày một

số khái niệm và kết quả bổ trợ; mục thứ hai nhằm trình bày các kết quảchính của chương

Chương 2 được viết dựa trên bài báo [2] (trong mục các công trình đãcông bố liên quan đến luận án)

14