aChứng minh IDE cân bTính các góc của tam giác IDE.. Chứng minh rằng n2004+1 không là số chính phơng.. --- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 1Phòng GD&ĐT Yên lạc
đề thi khảo sát học sinh giỏi
lớp 7 năm học 2010-2011
Thời gian: 90phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
2
9 25
2011 4022
11 2011
7 : 34
33 17
2010 4020
3 2010 2
b)Tìm hai số hữu tỉ a và b sao cho a+b =a.b= a:b
Câu 2: (2 điểm)
a)Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn
67 ) 6 2 (
2010 30
x y
b)Chứng minh rằng biểu thức Px8 x5 x2 x 1 nhận giá trị dơng với mọi giá trị của x
Câu 3: (2 điểm)
Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả món b2 = ac Chứng minh rằng:
c a = ( 2011 )22
( 2011 )
(Biết rằng cỏc tỉ số đều cú nghĩa) Câu 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có Â = 800 Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
CAD = 300.Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho ABE = 300.Gọi I là giao
điểm của AD và BE
a)Chứng minh IDE cân
b)Tính các góc của tam giác IDE
Câu 5: (1,5 điểm)
Cho n lẻ Chứng minh rằng n2004+1 không là số chính phơng
-( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2Đáp án
C
âu 1 : a) A =
5 1
b) Ta có a+b =a.b= a:b
a+b =a.b a=b(a-1) (1)
a+b= a:b a+b= a:b (2)
Từ (1), (2) a+b= a-1 b=-1
thay vào (2) ta đợc a =
2 1
Vậy a =
2
1
và b= -1
C
âu 2 :
a) 2011 30 (2 20106)2 67
x
Ta có: 2x 62 0 với xZ 2x 62 67 67với xZ
67
2010 67
) 6 2 (
2010
2
0
2011
y với y Z y 2011 30 30với y Z
Do đó (1) có nghiệm nguyên x,y khi và chỉ khi
0 2011
0 6 2
y x
2011 3
y x
b) Px8 x5 x2 x1
* xét x=0 ta có P 1 > 0
* xét x<0 ta có 5 0
P
* xét 0<x<1 ta có Px8 x5 x2 x 1 8 4 2 1
x
2
1 2
1 2
4
P
* xét 1<x ta có x8 x5;x2 x 8 5 2 1 0
P
Vậy Px8 x5 x2 x 1 có giá trị dơng với mọi giá trị của x
C
âu 3 :
2
Do đú: c a = ( 2011 )22
( 2011 )
C
âu 4 :a)
*ABC cân tại A có Â = 800 nên
B = (1800 - Â) : 2 =500
Lại có:
BAD = Â - CAD = 800 – 300 =500
A
E
D
I N K
30 0
30 0
10 0
Trang 3 B =BAD=500
ABD cân tại D
AD =BD
*ABD cân tại D có BAD=500
ADB=1800 - 2 BAD = 800
Lại có :
CBE = BAD- ABE = 500 – 300 =200
BID =1800 – (DBI+IDB) = 1800 – (CBE+ADB)=800
* BID =ADB(= 800)
BDI cân tại B
BI =BD
*DIE=1800 - BID =1000( 2 góc kề bù)
mà DIE=EAI+AEI (góc ngoài của AIE)
AEI =DIE-EAI=DIE-CAD=1000 – 300 =700
Trên đoạn BI lấy K sao cho BAK = 100 ta có :
KAE= Â-BAK= 800 – 100 =700
Do đó KAE=AEI=700
AKE cân tại K
AK = KE (1)
* KAI= BAD -BAK =500-100=400
Vẽ tia phân giác của KAI cắt KI tại N ta có :
KAN=DAN(=200)
BAN = BAK+KAN=300
Do BAN = ABN (=300) nên ABN cân tại N
AN = BN
* ADN và BDN có :
AN = BN
AD =BD
DN là cạnh chung
Suy ra ADN = BDN(c.c.c)
ADN = BDN( 2 góc tơng ứng)
Mặt khác ADN + BDN=ADB=800
ADN =400
Do đó :AND = 1800-(DAN+AND)=1200
*AKN =BAK+ ABK=400(góc ngoài của ABK)
ANK=1800-(AKN+KAN)=1200
* AKN vàADN có :
KAN=DAN(=200)
AN là cạnh chung
ANK=AND (=1200)
Suy ra AKN = ADN(g.c.g)
AK = AD(2) ( 2 cạnh tơng ứng)
Từ (1), (2) suy ra :
AD = KE(3)
*KAI= AKI(=400)
AKI cân tại I
AI =KI(4)
Trang 4Tõ (3), (4) suy ra :
AD –AI = KE – KI
hay DI = IE
VËy IDE c©n t¹i I
b)Theo a) ta cãIDE c©n t¹i I cã DIE=1000
Suy ra : IDE = IED =(1800 -DIE):2=400 C
©u 5 :
Gi¶ sö n2004+1 lµ sè chÝnh ph¬ng víi n lµ sè lÎ ta cã :
n2004+1 = a2 ( aN*)
a2 – (n1002)2 = 1
(a-n1002)(a+n1002)=1
1(a+n1002) (a+n1002) =1 ®iÒu nµy v« lÝ v× (a+n1002) >2 víi n lµ sè lÎ VËy n2004+1 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng víi n lµ sè lÎ