Từ đó, chứng minh rằng đồ thị C có vô số cặp tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Trang 1KIỂM TRA 1 TIẾT LỚP 11C2
Thời gian làm bài: 60 phút
-Câu 1 (2,0 điểm): Cho hàm số
3 ( )
4
x
y f x
x
+
a) Tính ( 3)f- + ¢( 3)- b) Chứng minh rằng,
2
2( )y¢ =(y- 1).y¢¢
Câu 2 (3,0 điểm): Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau
đây tại x =0 0
a) y= x2+1 b) y=2sin3 cosx x
Câu 3 (5,0 điểm): Cho hàm số y=f x( )= - 2x3+3x2- 1 có đồ thị ( )C
a) Giải bất phương trình: ( ) 12f x¢ + ³ 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= - 36x+80
c) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình ( ) f x¢ = có m
nghiệm Từ đó, chứng minh rằng đồ thị ( )C có vô số cặp tiếp tuyến vuông góc với nhau
d) Chứng minh rằng, phương trình f(sin2x+tan )x =0 có nghiệm thuộc khoảng ( )0;p2
BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 Hàm số
3 ( )
4
x
y f x
x
+ có tập xác định D =¡ \ { 4}
( )
y f x
2
( )
y f x
¢
Trang 2a) Ta có, 2
b) Ta có,
2 2
y
x
- =ççç - ÷÷ê ú=ççç ÷÷ê ú=
Vậy,
2
2( )y¢ =(y- 1).y¢¢
Câu 2a Hàm số y= x2+1 có tập xác định D = ¡
2
1
1
x
y
¢
1
Câu 2b Hàm số y=2sin3 cosx x có tập xác định D = ¡
Ta có, y=2sin3 cosx x=sin4x+sin2xnên
(sin4 sin2 ) 4cos4 2cos2
Vậy, (0)y¢¢ = - 16sin4.0 4sin2.0- =0
Câu 3 Hàm số y=f x( )= - 2x3+3x2- 1 có tập xác định D = ¡
2
f x¢ = - x + x
a) Ta có, f x¢ +( ) 12³ 0Û - 6x2+6x+12³ 0Û xÎ -[ 1;2]
Vậy, bất phương trình ( ) 12f x¢ + ³ 0 có tập nghiệm S = -[ 1;2]
Trang 3b) Gọi d là tiếp tuyến của ( ) C song song với đường thẳng
:y 36x 80
D = - + và M x y là tiếp điểm của d và ( )0( ; )0 0 C Khi đĩ, d
cĩ hệ số gĩc
k=f x¢ = - Û - x + x = - Û x - x - =
0 0
3 2
x x
é = ê
Û ê =-ê
0 3 0 28
x = Þ y = - Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại (3; 28) A - là:
y+ = - x- Û y= - x+ (trùng với D )
0 2 0 27
x = - Þ y = Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại ( 2;27) B - là:
y- = - x+ Û y= - x- (song song với D )
Vậy, tiếp tuyến cần tìm là: y= - 36x- 45
c) f x¢ =( ) mÛ - 6x2+6x=mÛ 6x2- 6x m+ =0
Phương trình ( )f x¢ =m cĩ nghiệm khi và chỉ khi
3
2
¢
Đồ thị ( )C cĩ cặp tiếp tuyến vuơng gĩc với nhau khi và chỉ khi
có nghiệm
có nghiệm
3
k
k k
k
ìïï
ê
ï ë ïỵ Với mỗi giá trị
2 3
k £
hoặc
3 0
2
k
< £
, ta tìm được ít nhất một cặp
tiếp tuyến của ( )C vuơng gĩc với nhau Nhưng k £ - 23 và
3
0
2
k
< £
cho ta vơ số giá trị của k, do đĩ ( ) C cĩ vơ số cặp tiếp
tuyến vuơng gĩc với nhau
d) Nhận xét: u = là 1 nghiệm của phương trình0 1
3 2
f u = - u + u - =
Trang 4Do đó, nếu có sin2x0+tanx0= thì 1 f(sin2x0+2tan )x0 =f(1)= 0 Xong rồi! Vậy là x nghiệm đúng phương trình (sin2 tan ) 00 f x+ x = rồi!
Vấn đề là: có sin2x0+tanx0= hay không? Và số 1 x sẽ thuộc vào0
khoảng nào, thoả mãn điều kiện của đề bài như thế nào?
Hãy xem bài giải của câu 4d ngay sau đây:
Bài giải câu 4d
Xét phương trình: sin2x+tanx= hay sin21 x+tanx- 1=0
Hàm số ( )u x =sin2x+tanx- là hàm số lượng giác xác định trên1 đoạn é ù0;4p
ê ú
ë û nên liên tục trên đó, hơn nữa u(0).u( )4p = - 1.1 0<
Vậy, phương trình ( )u x = hay sin20 x+tanx- 1= có nghiệm0 ( )
0 0;4
x Î p
0
x là một nghiệm của phương trình sin2 tan x+ x- 1= nên0
sin2x +tanx - 1 0= hay sin2x0+tanx0=1 Bây giờ ta có, f(sin2x0+2tan )x0 =f(1)= 0
Xong rồi! x là một nghiệm của phương trình 0 f(sin2x+tan )x =0 Tất nhiên x0Î ( )0;p2
vì x0Î ( ) ( )0;p4 Ì 0;2p
Vậy, phương trình f(sin2x+tan )x =0 có nghiệm thuộc khoảng ( )0;p2