Biết khoảng cách AB là 540km và M là trung điểm của AB.. Kẻ BH, CK vuông góc với AE H và K thuộc đờng thẳng AE.. c ∆MHK là tam giác vuông cân... Gọi t là khoảng thời gian từ lúc khởi hàn
Trang 1Phòng GD&ĐT
Huyện yên định kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 7 THCS cấp trờngnăm học 2010 - 2011
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 2 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
A =
11
4 7
4 9
1 7
1 9 1
−
−
−
−
+
625
4 125
4 16 , 0 5
3 125
3 25
3 6 , 0
−
−
−
−
−
−
B =
343
4 7
2 7
4 2 64
) 7 7 (
1 49
1 49
1 1
2 2
−
+
−
− +
−
Câu 2: ( 2 điểm) Tìm các số a1, a2, a3, a9 biết
1
9
7
3 8
2 9
a và a1 + a2 + a3 + + a9 = 90 Câu 3: ( 4 điểm)
a) Tìm x, y thoả mãn: x2 + 2x + y2 − 9 = 0
b) Tìm x, y, z thoả mãn: (x− 2 ) 2 + (y+ 2 ) 2 + x+y+z = 0
Câu 4 (2 điểm) Cho a c
c =b chứng minh rằng: b22 a22 b a
+ Câu 5 ( 3 điểm)
x + 1 với x ≥ -1
a Cho hàm số: y = f(x) =
-x – 1 với x < -1
- Viết f(x) dới dạng 1 biểu thức
- Tìm x khi f(x) = 2
b Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2
Tìm m biết P(1) = Q(-1)
Câu 6 (2 điểm)Tìm x, y để C = -18- 2x− − 6 3y+ 9 đạt giá trị lớn nhất
Câu 7 (2 điểm)
Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng lúc đó một xe máy
chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h Biết khoảng cách AB là 540km và M là trung
điểm của AB Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ô tô cách M một khoảng bằng 1
2 khoảng cách từ xe máy đến M
Câu 8 (3 điểm) Cho ∆ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa
M và C Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đờng thẳng AE) Chứng minh rằng:
a) BH = AK
b) ∆MBH = ∆MAK
c) ∆MHK là tam giác vuông cân
Hết Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi toán 7
Năm học 2010 - 2011
Câu 1
1đ
đề thi chính thức
Trang 2B =
4
1
Câu 2 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta tính đợc
a1 = a2 = = a9 = 10 2đ Câu 3
a) Vì x2 + 2x ≥ 0 và y2 − 9 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x = 0 và y 2 – 9 = 0 từ đó tìm đợc các
cặp (x;y) = {(0;3);(0; 3);( 2;3);( 2; 3) − − − − }
b) Vì (x− 2 ) 2 ≥ 0 với ∀ x ; (y+ 2 ) 2 ≥ 0 với ∀ y ; x+y+z ≥ 0 với
∀ x, y, z
Suy ra đẳng thức đã cho tơng đơng
= + +
= +
=
−
0
0 ) 2 (
0 ) 2 (
2 2
x y x y
x
⇔
=
−
=
= 0 2 2
z y x
1đ 1đ 1đ 1đ
Câu 4: Ta có
Từ a c
c =b suy ra c2 =a b. khi đú 22 22 22 .
.
+ = +
+
+
Từ b22 c22 b b22 c22 1 b 1
vậy b22 a22 b a
+
0,5đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Câu 5:
a Biểu thức xác định f(x) = x+ 1
Khi f(x) = 2 ⇒ x+ 1 = 2 từ đó tìm đợc x = 1; x= -3
b) Thay giá trị tơng ứng của x vào 2 đa thức , ta tìm đợc biểu thức P(1)
và Q(-1) theo m
giải phơng ẩn m mới tìm đợc => m =
-4 1
1,5 đ
1,5 đ
Câu 6
Ta có C = -18 - (2x− + 6 3y+ 9 ) ≤ -18
Vì 2x− 6 ≥0; 3y+ 9≥0
Suy ra C đạt giá trị lớn nhất bằng -18 khi 2 6 0
x y
− =
+ =
=> x = 3 và y = -3
0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Câu 7
A M B
Quãng đờng AB dài 540km, nửa quãng đờng AB dài 270km
Gọi t là khoảng thời gian từ lúc khởi hành cho đến khi ô tô và xe máy
lần lợt cách M bằng a và 2a (km, a>0)
Khi đó ô tô và xe máy lần lợt đi đợc các quãng đờng là: 270 – a và
270 – 2a
0,5 đ
S2
S1
2a a
Trang 3=> t=270 270 2
− = −
t=
270 3
90
VËy sau khi khëi hµnh 3 giê th× « t« c¸ch M mét kho¶ng b»ng 1
2 kho¶ng c¸ch tõ xe m¸y tíi M
0,5 ®
0,5 ® 0,5 ®
C©u 8
M
K H
B
E
a) Theo bµi ra cã: BAH + KAC = BAH+ HBA => KAC= HBA
mµ AB = CA (gt)
=> ∆ HAB = ∆ KCA (ch – gn) ⇒ BH = AK
b) Cã MBH + HBA=45 0 = MAK + KAC mµ KAC = HBA (c/m trªn)
=> MBH = MAK
XÐt ∆ MBH vµ ∆ MAK cã:
MB=MA (t/c tam gi¸c vu«ng)
MBH = MAK (c/m trªn)
BH = AK (c/m trªn)
=> ∆ MBH = ∆ MAK (®pcm)
c) Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn => ∆ MHA = ∆ MKC (c.c.c) vµ MH = MK (1)
⇒ KMC = HMA => KMC + CMH = HMA + CMH =90 0
⇒ HMK = 90 0 (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒∆MHK vu«ng c©n t¹i M (®pcm)
0,5® 0,5® 0,25®
0,75® 0,25® 0,25® 0,5®