Hàm Suy rộng CoLombeau 9

Luận văn Thạc Sĩ toán học-ngành Toán Giải Tích -Chuyên đề : Hàm Suy rộng CoLombeau

PHU CHUaNG

Bdi cac chung minh vila dai dong, vila n~ng v~ ky thu~t cua ca'u truc d£;li so' lien cac chung minh dinh ly 1.7 va dinh ly 1.12 cua chuang I du<;5c trlnh bay

d day.

I CHUNG MINH D1NH LY 1.7:

1 ~M za 1 vanh vlii phep cl)ng va nhiin anh X{l:

* ~o la 1 vanh cling vdi phep cQngva nhan anh X£;l (hi~n nhien)

* ~M C ~o va ~~ =I:-~vi chua anh X£;lkh6ng

* Gia sa Rl, R2 E ~M c~n chung minh Rl - R2 E ~M

Rl E ~M => ::INl, 'v'cp E ~dN l => ::ICl, 111> 0 d~ I R(CPE) I ~ ~ 'v'f E (0,111)

&'

R2 E ~M => ::IN2, 'v'cp E ,01N 2 => ::IC2, 112> 0 d~ I R(CPE) I ~ c;; 'v'f E (0,112)

& 2

ChQn N =max {Nl, N2}

=> vdi cP E udN => cP E udNl 'udN2

I(R1-R2)I(cpE)I~ &~+c;;~~ 'v'f.E(O,11)

I & 2 &

trong do C =2 max{CI, C2}

11=mill {111, 112, I}

R 1 - R2 E ~M

=>

* Gia sa RI, R2 E ~M cfin chung minh RI.R2 E ~M'

ChQn N =N1 + N2, ta co <PE uiN => <PE uiNl, uiN2

(0 )

trong do C =CIC2, 11=mill {11I, 112}.

2.Jlil Idean cua $'M:

*J "*~ vi chua anh x~ khong.

Gia sa: R EJ => :] N, day YE r sao cho yoi <PE Yiq (q ?: N) => :] C, 11>

?

C[;y(q)

Ode R«Pe) ~ 0 N ' '\1£ E (0,11)

[;

ChQn N* =max {N, M}, trong do y(q) > 0, '\Iq > M (do y ~ + 00)

la"y<PE Yiq (q?: N*) => q > N, ta co IR«Pe)1< ~., '\1£E (0, 1]*)(trong do

11*= min{11, I}, C* = C) => R E ~M

* Gia saRI - R2 EJ cfin chung minh RI - R2 EJ:

'\Iq > M2 La"y <PE ,Yiq (q?: N) => q > NI, N2 Ta co:

c[;y,(q) cc [;Y2(q) c[;y(q)

trong do y(q) = mill {Yl(q), Y2(q)} ~ + 00

M =mill {111, 112, I}

c =CI + C2

* Gia sll' R E:J, R 1 E ~M c~n chung minh RR I EJ

d~

cGy(q)

&

IRI(CPE)ls ~,VEE(0,111)

&1

ChQn N* = N + N1, r.(q) = y(q)

liy

C r,(q)

&.&1 &.&1 G'

voi C* = CC1, 11*= mill {11,111,I} =::;.RRI EJ

V~yJ la Idean.

II CHUNG MINH DfNH LY 1.12:

1 '$MlRu] la mf)t vanh vui phep cf)ng va nhlin anh Xt!-'

* D~ thiy ~M[R ll] la t~p can cua vanh g6m tit ca cac anh x~ tll.AI x Rll

vao <C(voi phep cQng, nhan anh x~, ph~n ill'kh6ng la anh x~ d6ng nhit 8:

8(cp,x) = 0 E C, V cPE AI, V X E R ll.

* ~M[R ll] * ~vi 8 E ~M[R ll] (hi~n nhien)

Gia su R1, R2 E ~M[R ll] c~n co RI - R2 E ~M[R ll]

Voi t~p comp~c K eRn, da chi sO'a.

Rl E ~M[R n] => 3Nl saG cho voi m6i cp E dNl d~u tlm duQc Cl, 111> 0

&'

R2 E ~M[R n] => 3N2 saG cho voi m6i cP E dN2 d~u !lm duQc C2, 112> 0

d~ I DO: R2( CPE'x) I ~ c~, 'v'E E (0, 112)0

& 2

Chc;mN =max {Nl, N2}

la'y cP E Y'iN => cP E Y'iNl ,.Y'iN2

=> I DO:(Rl - R2)(CPE, X) I ~ I DaR1(cpc'x) + DaR2(cpc'x) I

11=mill {11l, 112, I}

* Gia sa Rl, R2 E ~M[R n] cgn chung minh RIo R2 E ~M[R n] ,

Voi t~p compac K eRn va da chi s6 ~

Rj E ~M[R n] (i =1,2)=> 3Na,!. saG cho m6i cP E dNa,I d~u tlm duQc s6

'

'v'E E (0, 110:,i), X E K Ta co:

la'y <p E dN =><p E J~N~-a,l' ,dNa,2 'VO ~ a ~ p

O:::;a:::;13

L fJ NfJ-a.l C'Na.21 [;N

05,a5,fJ [; v

trong d6 11= mill {11P-a, 1, 110.,2,I}

0:::;0.:::;13

0:::;0.:::;13 0:::;0.:::;13

V~y $'M[R n] la vanh

2 Jll[RnJ za Idean cua $'M[R nJ

* Ta c6 e E A1R n] (hi6n nhien)

* A1R n] e $'M[R"] VI: N€u R E A1R n] lien vdi t~p comp~c KeRn va da

chI so a=>:3 so tlj nhien N, day Y E r sao cho m6i <PE dq (q 2::N) d€u c6 2 so

C, 11> 0 d6:

I

a

I

c[;y(q)

D R( <PE'x) ~ N ' \Ix E K, 'Vf- E (0, 11)

[;

ChQn N* = max{N, M} d d6 y(q) > 0, 'Vq > M la'y <PE dq(q > N*)

=> q > N

I

a

I < c.[;y(q) C.

trong d6 C* = C, 11*= min{ 11,I} => R E $'M[R n]

* Gia sa R1, R2 E A1R n] cftn chung minh Rl - R2 E A1R n]

Th~t v~y:

ChQnN =max{NI, N2, MI, M2}

trong do YI(q) > 0, Vq > MI, Y2(q)> 0, Vq > M2

(0 11) Vx E K

< 1 + 2 ::; ,vEE ,'.'

11=mill {111, 112, I}

* Gia su RI E ut[R n], R2 E ~M[R n] c~n chung minh RIR2 E ut[Rn],

th~t v~y: voi t~p compilc K eRn va da chI s6 ~

(q ;::::Na,I) d~u tlm duQc 2 s6 dudng Ca,I va 11a,1 d€

C [;Ya,1

[; a,1

. R2 E ~M[R n] => ::3Na,2 sao cho m6i cP E J?iNa 2 d~u Hm duQc s6,

Ca, 2 va 11a, 2 d€

IDa R2(CPE' X) I ~ C;,2, Vx E K, VE E (0, 11a, 2)

[; a,2

Ta co:

O~a ~/3

::; I C~-aIDI3-aRl«PE,X)IIDaR2«PE,X)1 O:<;;a:<;;13

{ y(q) }

O:<;;a:<;;13 O_a-j3 j3-a,1

I

=> D R1R2«PE,X) I::; I c;-a Cj3-a~I.&fl-a'l Ca,2

05.a5.j3 & fl-a,l &Na,2

Ey(g)

E

trong do C = I c;-aCj3-a,ICa,2

05.a 5.13

O:<;;a:<;;13

=> R1R2 E Jl1R ll]

V?y Jl1R ll] la Idean cua $'M[R ll].