3/ PT chứa ẩn ở mẫu: B1: Đặt ĐK của ẩn B2: Qui đồng khữ mẩu B3: Biến đổi PT đa về dạng ax +b = 0 rồi giải B4: Đối chiếu ĐK và trả lời nghiệm 4/ Phơng trình vô tỷ chứa ẩn ở biểu thức dới
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP CUỐI NĂM TỐN LỚP 9
Năm học 2010 -2011 Giáo viên: Đồn Xuân Hùng
ĐẠI SỐ I CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
1/ Định nghĩa căn bậc hai số học x a x2 0
x a
≥
2/ So sánh các căn bậc hai số học.
Với hai số a và b khơng âm, ta cĩ
a b< ⇔ a< b
3/ Hằng đẳng thức A= A
- Với A là một biểu thức, ta cĩ:
: Õ 0 : Õ 0
A n u A
A n u A
4/ Quy tắc khai phương một tích.
AB = A B ( với A≥0;B≥0)
5/ Quy tắc nhân các căn thức bậc hai.
A B = AB ( với A ≥ 0; B ≥ 0)
6/ Quy tắc khai phương một thương.
B = B ( với A≥0;B>0)
7/ Quy tắc chia các căn thức bậc hai.
B
B = ( với A≥0;B>0)
8/ Đưa thừa số ra ngồi dấu căn
2
A B = A B ( với B O≥ )
9/ Đưa thừa số vào trong dấu căn.
( với A≥0;B≥0)
( với A<0;B≥0)
10/ Khử mẫu của biểu thức lấy căn
B = B
( với AB≥0;B≠0)
11/ Trục căn thức ở mẫu.
( với B > 0 ) ( với A≥0;A B≠ 2)
( vớiA≥0;B≥0;A B≠ )
12 Căn bậc ba: 3 A3 = A ( ∀ ∈ A R )
II CHƯƠNG 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT
A./ Hàm số tổng quát : y = f ( x )
a/ TXĐ : Các giá trị của x để f(x) có nghĩa
b./ Sự biến thiên :
Hàm số đồng biến : x 1 > x 2 ⇔f(x 1 ) >
f(x 2 )
Hàm số nghịch biến : x 1 > x 2 ⇔f(x 1 ) <
f(x 2 )
B/ Hàm số bậc nhất : y = ax + b (a ≠0 )
1./ Sự biến thiên (Xét hàm số trên TXĐ R)
Nếu a > 0 hàm số đồng biến
Nếu a < 0 hàm số nghịch biến
2./ Đồ thị
* Đồ thị hàm số y = ax (a≠0) là đường thẳng đi
qua gốc tọa độ
* Đồ thị hàm số y = ax + b (vớia≠0 b≠0 ) là
đường thẳng song song với
Đường thẳng y = ax và cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng b ( a: hệ số góc ; b: tung độ
gốc )
3./ Hệ số góc (a) : Cho đ.thẳng y = ax + b cắt trục Ox tại A αlà góc hợp bởi chiều dương đ.thẳng và tia Ax
* Nếu a > 0 αnhọn ; a 1 > a 2 thì α1 >α2
* Nếu a < 0 αtù ; a 3 > a 4 thì α3 >α 4
4./ Vị trí 2 đường thẳng trên hệ trục : Cho (d) ; y = ax + b và (d’) : y = a’x + b’
(d ) cắt (d’) ⇔a ≠a’
(d ) // (d’) ⇔a = a’ và b ≠b’
(d ) ≡ (d’) ⇔a = a’ và b = b’
(d ) ⊥ (d’) ⇔ a a’= – 1
III/ CHƯƠNG 3 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH :
I/ Kiến thức cơ bản : Dạng 2 : Tìm tham số để hệ PT thoả đk của đề bài
=
=
−
±
=
−
±
m m 2
B B
A B
A B
A B
B A B
A
B A B A
2
2
−
=
=
Trang 2* Với hệ phương trỡnh : 1
2
( ) ' ' '( )
ax by c D
a x b y c D
số nghiệm là :
Số nghiệm Vị trớ 2 đồ thị ĐK của hệ số
Nghiệm duy
nhất D 1 cắt D 2
' '
a b
a ≠b
Vụ nghiệm D 1 // D 2
' ' '
a =b ≠c
Vụ số nghiệm D 1 ≡ D 2
' ' '
a =b =c
II/ Cỏc dạng bài tập cơ bản :
Dạng 1 : Giải hệ phương trỡnh (PP cộng hoặc thế )
1) 2 3 6(1) 4 6 12(3)
2 3(2) 3 6 9(4)
Cộng từng vế của (3) + (4) ta được :
7x = 21 => x = 3
Thay x = 3 vào (1) => 6 + 3y = 6 => y = 0
Vậy ( x = 3; y = 0) là nghiệm của hệ PT
2).PP theỏ
7 2 1(1)
3 6(2)
x y
x y
+ =
Từ (2) => y = 6 – 3x (3)
Thế y = 6 – 3x vào phương trỡnh (1) ta được :
7x – 2.(6 – 3x) = 1 => 13x = 13 => x = 1
Thay x = 1 vào (3) => y = 6 – 3 = 3
Vậy ( x = 1; y = 3) là nghiệm của hệ phương trỡnh.
1) Cho hệ phương trỡnh: 5
4 10
x my
mx y
Với giỏ trị nào của m thỡ hệ phương trỡnh :
- Vụ nghiệm - Vụ số nghiệm Giải :
♣ Với m = 0 hệ (*) cú 1 nghiệm là (x =5; y= 5
2
−
♣ Với m 0≠ khi đú ta cú :
- Để hệ phương trỡnh (*) vụ nghiệm thỡ :
1 5
4 10
m
m= ≠
−
<=>
2 2
10 20
m m
m m
m
= ±
− ≠ ≠ −
Vậy m = 2 thỡ hệ phương trỡnh trờn vụ nghiệm
- Để hệ phương trỡnh (*) cú vụ số nghiệm thỡ :
1 5
4 10
m
m= =
−
<=>
2 2
10 20
m m
m m
m
= ±
− = = −
Vậy m = - 2 thỡ hệ phương trỡnh trờn cú vụ số nghiệm
2) Xỏc định hệ số a; b để hệ phương trỡnh :
5
x by
bx ay
+ = −
− = −
(I) cú nghiệm (x = 1; y = -2)
Giải : Thay x = 1; y = -2 vào hệ (I) ta được :
3 4
b a
=
⇔ = −
Vậy a = -4 ; b = 3 thỡ hệ cú nghiệm (1;-2
Kiến thức cần nhớ
-Hàm số y= a x2 (a # 0)
TH1 a >0 hàm số đồng biến khi x > 0
hàm số nghịch biến khi x < 0
TH2 a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0
hàm số nghịch biến khi x > 0
- Đồ thị : là một pa ra bol nhận Oy là trục đối
xứng
Nếu a >0 có bề lõm quay lên vày y= 0 là giá trị
nhỏ nhất
Nếu a < 0 có bề lõm quay xuống và y= 0 là giá
trị lớn nhất
- Sự tơng giao giữa đồ thị hai hàm số y = a x2 (P )
và y= m x+ n (d)
Ta xét phơng trình hoành độ a x2 = m x +n
- Nếu phơng trình có hai nghiệm thì ( P) và (d) cắt nhau tại hai điểm
- Nếu phơng trình có nghiệm kép thì ( P) và (d) tiếp xúc nhau
- Nếu phơng trình vô nghiệm thì ( P) và (d) không giao nhau
PT bậc hai một ẩn a x2+ bx + c = 0 (a # 0)
Phơng trình khuyết a x2+ bx = 0
a x2+ c = 0
Đièu kiện nghiệm của phơng trình bậc hai 1/ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu: ac<0 2/ PT có 2 nghiệm cùng dấu:
>
≥
− 0
0 4 2 1
2
x x ac b
Trang 3a x2= 0 Cách giải không dùng công thức nghiệm
Phơng trình bậc hai đầy đủ dùng công thức nghiệm
hoặc công thức nghiệm thu gọn
Hệ thức Viét và ứng dụng
Nếu phơng trình a x2+ bx + c = 0 (a # 0) có hai
nghiệm x1, x2
Khi đó 1 2
1 2
b
x x
a c
x x
a
+ = −
=
Nhẩm nghiệm nếu a+ b+c =0 phơng trình có hai
nghiệm x1 =1 , x2 = c
a Nếu a- b+c =0 phơng trình có hai nghiệm x1 =-1,
x2 = -c
a
* ứng dụng Vi_ét tìm 2 số khi biết tổng và tích
3/ PT có hai nghiệm dơng
2
1 2
1 2
0 0
b ac
x x
x x
+
f
4/ PT có hai nghiệm âm
2
1 2
1 2
0 0
b ac
x x
x x
+ 〈
5/ PT có 2 nghiệm đối nhau:
= +
>
− 0
0 4 2 1
2
x x
ac b
6/ PT có 2 nghiệm nghịch đảo:
=
≥
− 1
0 4 2 1
2
x x
ac b
CáC DạNG pt QUY Về pt BậC HAI Để GIảI:
1/ Phơng trình trùng phơng a x4+ bx2+ c = 0 đặt t = x2 (t≠ 0)
2/ PT dạng tích : A(x) B(x) =0 ⇔ A(x) =0 Hoặc B(x) = 0
3/ PT chứa ẩn ở mẫu:
B1: Đặt ĐK của ẩn
B2: Qui đồng khữ mẩu
B3: Biến đổi PT đa về dạng ax +b = 0 rồi giải
B4: Đối chiếu ĐK và trả lời nghiệm
4/ Phơng trình vô tỷ (chứa ẩn ở biểu thức dới căn bậc hai)
Cách 1: Đặt điều kiện để khử căn ta bình phơng hai vế
Cách 2: Đặt điều kiện để khử căn ta đa về PT chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách 3: Đặt điều kiện rồi đặt ẩn phụ
Giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT B1: Lập hệ phơng trình
-Chọn 2 ẩn thích hợp và đặt điều kiện cho ẩn
-Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết
-Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ các đại lợng
B2: Giải hệ phơng trình trên
B3: Kiêm tra xem các nghiệm của hệ phơng trình có thoả mãn điều kiện với bài toán và kết luận
PHAÀN 2 ; HèNH HOẽC
I) HEÄ THệÙC LệễNG TRONG TAM GIAÙC VUOÂNG :
1 Hoaứn thaứnh caực heọ thửực lửụùng trong tam giaực vuoõng sau :
1) AB 2 = BH.BC ; AC 2 = HC.BC 2) AH 2 = BH.HC 3) AB AC = BC.AH4).
2 Hoaứn thaứnh caực ủũnh nghúa tổ soỏ lửụng giaực cuỷa goực nhoùn sau :
1 sinα = D
H 2 cosα = K
H
3 tgα = D
K 4 cot gα = K
D
3 Moọt soỏ tớnh chaỏt cuỷa tổ soỏ lửụùng giaực :
Caùnh keà
Caùnh ủoỏi α
Huyền
Trang 4* Nếu α và β là hai góc phụ nhau :
1 sinα = cos β 2 cosα =sinβ
3 tgα = cotgβ 4 cot gα =tgβ
4 Các hệ thức về cạnh và góc
b a sin B acosC ctgB ccot gC
c acosB asinC bctgB btgC
HƯ thøc më réng
sin cos 2) 0 sin 1; 0 cos <1; tg ; cotg
cos sin
< α < < α α = α =
3) sin cos 1; tg cotg 1; 1 cotg ; 1 tg
sin cos
II) ĐƯỜNG TRÒN :
1) Quan hệ đường kính và dây : 2) Quan hệ giữa dây và k/cách từ tâm đến dây :
5 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d & R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
(OH = d)
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
(OH = d)
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
(OH = d)
6.Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa OO’ với R & r
AB⊥CD tại I ⇔IC ID= ( CD < AB = 2R ) - AB = CD OH = OK
- AB > CD OH < OK
a là ttuyến a⊥OA tại A
MA; MB là T.tuyến
=> ¶ ¶
µ ¶
1 2
1 2
MA MB
=
=
Trang 5
2) Hai ủửụứng troứn tieỏp xuực nhau :
OO’ = R – r > 0
3) Hai ủửụứng troứn khoõng giao nhau :
Ngoaứi nhau ẹửùng nhau ẹoàng taõm
0
OO’ > R + r OO’ < R – r OO’ = 0
Góc với đờng tròn 1-Góc ở tâm :
Đ/n: Góc có đỉnh trùng với tâm của đờng tròn gọi là góc ở tâm
Chú ý: Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn ; Sđ cung lớn bằng 3600 - Sđcung lớn còn lại
2- Góc nội tiếp :
Đ/n: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh chứa hai dây của đờng tròn
T/c: Số đo góc nội tiếp bằng số đo cung bị chắn
Hệ quả: Trong một đờng tròn :
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp ≤ 900 thì bằng nữa góc ở tâm cùng chắn cung đó
- Góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn thì bằng 900
2- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
T/chất : Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa
Số đo cung bị chắn
Hệ quả:
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó
Tứ giác nội tiếp Các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp:
- Tổng 2 góc đối của 1 tứ giác bằng 1800
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều 1 điểm
- Tứ giác có 2 đỉnh nằm cùng phía nhìn cạnh còn lại dới góc không đổi bằng nhau (Bài toán quỹ tích)
OO’ laứ trung trửùc cuỷa AB
Ba ủieồm O; A; O’ thaỳng haứng
B
C