C là một điểm thuộc tia phân giác Az của góc xAy.. Trên các đoạn thẳng AD, AB lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng AD+AB.. Trên tia Dx lấy điểm E sao cho DE=QB.. C
Trang 1PHÒNG GD&ĐT MỸ ĐỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Năm học 2010-2011 Môn thi: Toán 7
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm)
a, Tính : 1 1 1 1 1 1 1
3 18 54 108 180 270 378
b, Tìm các số nguyên tố x, y sao cho : 51x+26y=2000
c, Tìm số tự nhiên n, biết: (214:1024).2n=128
Bài 2 ( 4,0 điểm )
Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 108 m Tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn đó biết chúng lần lượt tỉ lệ với 4 và 3
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho a,b,c ∈ R và a,b,c ≠ 0 thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng:
c
a
=
2 2
( 2011 ) ( 2011 )
+ + (Biết rằng các tỉ số đều có nghĩa)
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho góc vuông xAy C là một điểm thuộc tia phân giác Az của góc xAy D là hình chiếu của C trên Ax, B là hình chiếu của C trên Ay Trên các đoạn thẳng AD, AB lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng AD+AB Trên tia Dx lấy điểm E sao cho DE=QB Chứng minh rằng:
a, ∆CDE=∆CBQ
b, PC là tia phân giác của góc DPQ
c, Góc PCQ có số đo bằng 450
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho đa thức f(x)= ax2+bx+c với a, b, c là các số thực thỏa mãn 13a+b+2c=0 Chứng tỏ rằng: f(-2).f(3)≤0
Hết./.
Đề chính thức
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1
6,0đ
a,
2,0
đ
3 18 54 108 180 270 378
3 18 54 108 180 270 378
3 3.6 6.9 9.12 12.15 15.18 18.21
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 6 6 9 9 18 21
1 1 1 1 1 1 6 1 2 5
3 3 3 21 3 3 21 3 21 21
A A A A A
= − − − − − −
= − − + − + + + −
= − − = − = − =
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b,
2,0
đ
Ta có: 51x+26y=2000; 26xM2; 2000M2 suy ra 51xM2
mà 51 và 2 là hai số nguyên tố cùng nhau nên xM2
Mặt khác x là số nguyên tố nên x=2
Do đó, ta có: 51.2+26y=2000=>y=73 là số nguyên tố Vậy x=2; y=73
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
c,
2,0
đ
(214:1024).2n=128 (214:210).2n=128
24.2n=27
24+n=27 4+n=7 n=3
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ
Bài 2
4,0 điểm
Gọi a,b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ta có:
4 3
a b
k
= = =>a=4k; b=3k Diên tích mảnh vườn là: a.b=4k.3k=12k2=108
=> k2=9=>k=3
=>a=12;b=9
1,0đ
1,0đ 1,0đ 1,0đ
Bài 3
2,0điểm
+
= ⇒ = = ⇒ = =
+
2
= + + ⇒ = + ÷
Do đó:
c
a
= ( 2011 )22
( 2011 )
+ +
0,75đ 1,0đ 0,25đ
Trang 3Bài 4
6,0 đ
0,25đ a,
1,75
a, Xét ∆CDE và ∆CBQ, có:
DC=CB(T/c điểm thuộc tia phân giác)
µ µ 90 0
D B= = DE=QB(gt)
b,
2,0
b, Ta có : AP+PQ+AQ=AD+AB(GT)(1) EP+AP+AQ=DP+AP+AQ+QB=AD+AB(2)
Từ (1)(2)=>EP=PQ Xét ∆CEP và ∆CQP, có:
CP chung CE=CQ(Cạnh tương ứng của hai tg bằng nhau∆CDE=∆CBQ) EP=PQ(c/m trên)
Vậy,∆CEP=∆CQP(c.c.c)
=>EPC CPQ· =· =>PC là tia phân giác của góc DPQ
0,5đ
1,0đ 0,5đ c,
2,0
c, Kẻ CI⊥PQ Chứng minh được các cặp tam giác bằng nhau:
∆CDP=∆CIP(Cạnh huyền-góc nhọn);∆CBQ=∆CIQ(Cạnh huyền-Cạnh góc vuông)
Từ đó chứng minh được CP,CQ lần lượt là tia phân giác của các góc DCI, ICB
Chứng minh được · 1· 1 0 0
.90 45
PCQ= DCB= =
1,0đ
0,5đ 0,5đ
Bài 5
2,0điểm
Ta có: f(-2)=a.(-2)2+b(-2)+c=4a-2b+c;f(3)=a.32+b.3+c =9a+3b+c
=>f(-2)+f(3)=13a+b+2c=0=>f(-2)=-f(3)
=>f(-2).f(3)=-[f(3)]2 ≤ 0
0,75đ 0,75đ 0,5đ Lưu ý:
+, Bài 4: Nếu học sinh không vẽ hình thi không chấm điểm
+, Học sinh giải theo cách khác đúng, phù hợp với chương trình thì vẫn cho điểm tối đa