Phân hoạch xích đối xứng trên một vành Bool hữu hạn

Luận văn tiến sĩ:: Phân hoạch xích đối xứng trên một vành Bool hữu hạn

Phân hoạch xích đối xứng trên một vành Bool hữu hạn: Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành đại số và lý thuyết số

Tống Minh Hải

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn luận văn

TS Trần Huyên, vì sự động viên tinh thần trong suốt quá trình nghiên cứu, cũng như những tri thức mới mẻ trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là lối tư duy độc đáo, sắc sảo khi xem xét một vấn đề dù trong lĩnh vực toán học hay ngoài cuộc sống

Kế tiếp tôi vô cùng biết ơn PGS.TS Bùi Tường Trí vì sự hiểu biết và cảm thông sâu sắc, đã động viên và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành bản luận văn này

Qua những bài giảng trên lớp tôi xin bày tỏ sự khâm phục trước tài năng và lòng nhiệt tình trong nghiên cứu khoa học của thầy Mỵ Vinh Quang

Tôi có ấn tượng rất sâu sắc với phong cách làm việc cởi mở, gần gũi, nghiêm túc và khoa học của TS Bùi Xuân Hải

Cuối cùng tôi xin chân thành cám người bạn tốt và thông minh, Ths Lê Cao Tú vì những nhận xét sâu sắc về một số vấn đề liên quan tới đề tài và sự động viên tinh thần trong lúc khó khăn

Tác giả luận văn

Tống Minh Hải

LỜI MỞ ĐẦU

Kể từ khi Spenner đưa ra kết quả nghiên cứu về số cực đại các phần tử của một đơn xích trên tập P (X) (X hữu hạn) thì rất nhiều những khám phá trong lĩnh vực lý thuyết tổ hợp được các nhà toán học tìm ra

Trong đó có một cấu trúc rất đẹp là cấu trúc đối xứng trong P (X)

Đặc biệt cấu trúc này có thể được ứng dụng để giải quyết một số vấn đề khác của lý thuyết tổ hợp

Bản luận văn này gồm hai chương

Chương I trình bày một số tính chất cơ bản của vành bool, xây dựng quan hệ thứ tự, chứng minh sự tồn tại của các phần tử tối tiểu từ đó chỉ ra sự đẳng cấu của

Chương II chúng tôi khảo sát một cấu trúc khá đẹp trên một số các poset đó là cấu trúc đối xứng Nhờ tính chất đối xứng trong các xích, mà ta có thể dễ dàng kiểm tra được số lượng của các antichain trong một poset tính được số lượng của một họ các tập hợp thỏa tính chất bao hàm chứa trong, rời nhau Chúng tôi sẽ xây dựng các phân hoạch xích đối xứng cho các poset thường gặp là (hay P(S)), poset các ước của một số nguyên dương in cho trước và tích trực tiếp của các poset với nhau Ngoài ra, với một phân hoạch xích đối xứng của một poset P, chúng tôi đi sâu vào tìm hiểu cấu trúc của phân hoạch này ở khía cạnh này ở khía cạnh số xích đối xứng, các độ dài các xích, số lượng các xích cùng chiều dài i Sau đó là một số bài toán giải quyết bằng xích đối xứng kết thúc phần này bằng một cách xây dựng khác của phân hoạch xích đối xứng BCO và những ứng dụng của cách xây dựng này để tính số antinh trong P(S) và tính số đường trong mặt phẳng tọa độ

MỤC LỤC CHƯƠNG 1 : CẤU TRÚC THỨ TỰ TRÊN VÀNH BOOL HỮU HẠN

§1.1Các khái niệm về vành bool……… 3

1.1.1Định nghĩa vành bool……… 3

1.1 2Các tính chất cơ bản của vành bool ……… 5

1.1.3 Quan hệ thứ tự trên vành bool……… 6

§1.2Vành bool hữu hạn……… 7

1.2.1 Sự tồn tại của các phần tử tối tiểu……… 7

1.2.2 Sự đẳng cấu giữa vành B(n) với vành Z2xZ2x…xZ2 ………… 11

§1.3Một số định nghĩa liên quan đến xích đối xứng 1.3.1 Định nghĩa quan hệ thứ tự trên P……… 12

1.3.2 Hàm hạng r(x)……… ……… 12

1.3.3 Định nghĩa xích đối xứng ……… 12

CHƯƠNG 2 : PHÂN HOẠCH XÍCH ĐỐI XỨNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG §2.1Một số định nghĩa……… 13

2.1.1 Định nghĩa xích trong B(n)……… 13

2.1.2 Ví dụ về xích đối xứng……… 14

§2.2 Cấu trúc đối xứng của một số poset thường gặp……… 14

§2.3 Cấu trúc của một xích đối xứng……… 26

§2.4 Xây dựng trực tiếp phân hoạch xích đối xứng cho P (S) …… 33

2.4.1 Ứng dụng của cấu trúc xích đối xứng……… ………… 42

Chương I CẤU TRÚC THỨ TỰ TRÊN VÀNH BOOL HỮU HẠN

phần tử, nên P(X) đẳng cấu với B mặt khác các đẳng cấu này bảo toàn quan hệ thứ tự do đó để thuận tiện cho việc trình bày Trong một số trường hợp, chúng tôi

niệm và kết liên quan đến quan hệ thứ tự trên B cần thiết cho chương sau

§1 Các khái niệm về vành Bool

Định nghĩa 1.1 Một vành B có đơn vị được gọi là vành Bool nếu mọi phần

Một ví dụ quen thuộc về vành Bool là tập P(X), tập tất cả các tập con của tập X khác rỗng, cùng với hai phép toán ∩ và Δ ; trong đó ∩ là phép giao thông thường của hai tập hợp và Δ là phép cộng đối xứng xác định như sau: ∀ A, B ∈ P(X) AΔB = (A \ B) ∪ (B \ A) Và để thuận tiện cho việc trình bày về sau ta viết ∩ theo lối nhân (.) và Δ theo lối cộng (+)

Bây giờ ta chứng minh (P(X),+ ) là một vành Bool Ta cần kiểm tra các tiên đề của vành:

∀A, B, C ∈ P(X), ta cần kiểm tra: (A + B) + C = A + (B + C)

i) Chứng minh (A + B) + C ⊂ A + (B + C)

Lấy x ∈ (A + B) + C, khi đó ta có:

x ∈ C \ [(A \ B) ∪ (B \ A)] hoặc x ∈ [(A \ B) ∪ (B \ A)] \ C

+ Nếu x ∈ [(A \ B) ∪ (B \ A)] \ C thì x ∈ (A \ B) ∪ (B \ A) và x ∉ C

tức là x ∈ A \ B ; x ∉ C hoặc x ∉ B \ A ; x ∉ C

+ Trong trường hợp thứ nhất ta có : x ∈ A ; x ∈ B ; x ∈ C

do đó x ∈ A và x ∉ (B \ C) ∪ (C \ B)

∀ A ,A + A = (A\A) ∪ (A\A) ∈ (A\A) = φ

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) neân (AB)C = A(BC)

Vậy P(X) là vành Bool

Nhận xét :

Trong vành Bool P(X), ta đã chứng minh A ∈ P(X) thì phần tử đối là A và P(X) là một vành giao hoán Ta cũng mở rộng tính chất này lên cho vành Bool tổng quát, cụ thể ta có :

Định lý 1.2 Trong vành Bool B, mọi phần tử đều có phần tử đối là chính nó,

nghĩa là : ∀x ∈ B -x = x

Chứng minh : Do B là vành nên ∀x ∈ B ⇒ -x ∈ B

Nhận xét : Do kết quả này, vành Bool là vành có đặc số 2

Định lý 1.3 Mọi vành Bool đều giao hoán

Chứng minh : ∀x, y ∈ B ta có :

nên xy + yx = 0

Suy ra : xy = -yx = (-y)x = yx (do -y = y) định lý 1.1)

Vậy B là vành Bool giao hoán

Ta biết rằng, trong vành Bool P(X) có quan hệ thứ tự tự nhiên như sau :

A ⊆ B ⇔ AB = A, ∀A, B ∈ P(X)

Quan hệ này cũng được tổng quát lên cho mọi vành Bool như sau :

Định lý 1.4 Trong vành Bool B, định nghĩa quan hệ :

∀x, y ∈ B : x ≤ y ⇔ xy = x

khi đó : ≤ là một quan hệ thứ tự trên B

Chứng minh :

+ ∀x ∈ B ta có : x.x = x nên x ≤ x, tức có tính chất phản xạ

+ ∀x, y ∈ B sao cho : x ≤ y và y ≤ z, ta có :

xy = x và yz = y Do vành Bool giao hoán nên xy = yx hay x = y tức quan hệ ≤ có tính phản đối ứng

+ Với x, y, z ∈ B sao cho x ≤ y và y ≤ z ta có :

xy = x và yz = y Suy ra : xz = (xy)z = x(yz) = xy = x, tức là : x ≤ z

Nên ≤ có tính chất bắc cầu

Vậy ≤ là một quan hệ thứ tự của B

Chú ý :

1 Khi x ≤ y ta nói : x nhỏ hơn hoặc bằng y hay y lớn hơn hoặc bằng x

2 Với x, y ∈ B ta nói : x, y so sánh được với nhau nếu x ≤ y hoặc y ≤ x Trở lại vành Bool P(X), ta biết P(X) có phần tử đơn vị là X và phần tử không là rỗng và ta cũng có : mỗi A ∈ P(X) thì tồn tại CA = X + A thỏa :

Nên x* là duy nhất

Khi đó : x + x* = x + (1 + x)

và xx* = x (1 + x) = x + xx = x + x =0

Chú ý : Phần tử x* trong định lý cũng gọi là phần tử bù của phần tử x ∈

B và x* = 1 + x Khái niệm phần bù có một số tính chất đơn giản là :

1* = 0 và 0* = 1 và (x*)* = x, ∀x ∈ B

Thực ra là sự mở rộng các kết quả trong P(X): CX = Φ, CΦ = X và C(CA) =

A, ∀A ∈ P(X)

§2 Vành Bool hữu hạn

Trong mục này ta sẽ mô tả vành Bool hữu hạn thông qua các phần tử cực tiểu Vì thế trước tiên ta nghiên cứu các phần tử cực tiểu của vành Bool hữu hạn

Ta có định nghĩa sau :

Định nghĩa 2.1 Cho vành Boll hữu hạn B với quan hệ thứ tự ≤ được định

nghĩa trong mục 1, phần tử a ∈ B \ {0} gọi là phần tử cực tiểu của B nếu mọi phần tử x ∈ B \ {0} mà x ≤ a thì x = a

i=1, n Bây giờ trong vành Bool hữu hạn B ta chứng minh sự tồn tại của phần tử cực tiểu

Định lý 2.1 Trong vành Bool hữu hạn thì tồn tại phần tử cực tiểu

Chứng minh :

Xét x ∈ P(X) \ {0}

+ Nếu x là phần tử cực tiểu của B thì x là phần tử cần tìm Nếu không x có

phần tử x2 ∈ B \ {0} sao cho x2 < x1

phần tử x3 ∈ B \ {0} sao cho x3 < x2

Như vậy, tập hợp tất cả các phần tử cực tiểu của vành Bool hữu hạn là khác rỗng Để tiện lợi cho việc trình bày, từ đây về sau ta giả sử B là vành Bool hữu hạn có tập các phần tử cực tiểu là M = {x1, x2, xn}

Bằng cách chứng minh tương tự định lý 2.1, ta có kết quả sau :

Định lý 2.2 Mọi x ∈ B \ {0} thì tập N các phần tử cực tiểu của B nhỏ hơn

hoặc bằng x là khác rỗng

Chúng ta xét các đặc trưng của phần tử cực tiểu của B, dựa vào từ tổng quát của vành Bool hữu hạn P(X) Trong P(X), tập các phần tử cực tiểu là :

và A ∩ B = Φ thì AΔB = A ∪ B Điều này sẽ được tổng quát cho vành Bool bất kỳ như sau :

Định lý 2.4 Mọi ∀ x ∈ B \ {0} đều có thể viết dưới dạng :

m

k k

rỗng

}x

k1 2

2

k + + +

2 1

i

k

Khi đó: ya = yx k i = x k i ≠0 (do x k i là phần tử cực tiểu)

Va øyx k i=xx k i+(xk +xk + +xkm

2

⇒ mâu thuẫn, vậy y=0 ⇔x=xk +xk + +xkm

2 1

Kết luận : Mỗi phần tử khác không của B luôn biểu diễn thành tổng các phần tử cực tiểu của B nhỏ hơn hoặc bằng x bây giờ, chúng ta khẳng định cách biểu diễn qua các phần tử cực tiểu trên là duy nhất sai khác một hoán vị thứ tự của các phần tử cực tiểu

Định lý 2.5 Nếu , là các phần tử cực tiểu của B sao cho :

giả sử tồn tại y l k ∈D và

Đến đây ta có thể khẳng định : Tổng các phần tử cực tiểu của B đều thuộc vào B và ngược lại x B \ {0} đều được viết thành tổng các phần tử cực tiểu của B nhỏ hơn hoặc bằng x Vậy ta có :

=

∈εεn

i i i i

},{lx1

10

n

i i i n

), ,(x1

Rõ ràng ψ là một song ánh nên ta có hệ quả sau :

Hệ quả Nếu B là một vành Bool hữu hạn, có tập các phần tử cực tiểu là

Hơn thế nữa, ánh xạ ψ còn bảo toàn các phép toán trong B, bảo toàn quan hệ thứ tự trong B Sau đây chúng ta sẽ chứng minh điều đó :

Định lý 2.6 Nếu (ε1, , εn), (ε’1, , ε’n) thì

(ε1, , εn) + (ε’1, , ε’n) = (ε’1+ ε1, , ε’n + εn) với ε1 + ε’i = 0 nếu ε1 + ε’i và bằng 1 nếu ε1 ≠ ε’i

Chứng minh :

Giả sử B có tập các phần tử cực tiểu là {x1, , xn}

=εn

i i i

x

=εn

i ii ' x1Xét x + y = (ε1 + ε’1) x1 + (ε2 + ε’2)x2 + + (εn + ε’n)xn

i i n i

x)(

1

Định lý 2.7 Nếu (ε1 , εn), (ε'1 , , ε’n) ∈ B thì

(ε1 , , εn) (ε’1, , ε’n) = (ε1 ε’1, , εnε’n)

với εiε’i bằng 1 nếu εi = ε’i = 1 và bằng 0 nếu εi = 0 hoặc ε’i = 0

Chứng minh. Giả sử B có tập các phần tử cực tiểu là {x1, , xn}

=εn

i i i

x

εn

i i ix'1Từ hai định lý trên ta có :

Định lý 2.8 Vành Bool hữu hạn B có tập các phần tử cực tiểu là thì B đẳng cấu với vành (tổng của n số hạng Z ) trong đó vành có phép toán + và

như trong định lý 2.6 và định lý 2.7.

Chúng ta đã biết trong P(X) với x = {x

Hệ quả 2.9 Mọi vành Bool B hữu hạn bất kỳ đều đẳng cấu với vành P(X)

với X là tập có n phần tử nào đó

Ngoài sự chuyển các phép toán trên B qua vành (tổng của n số hạng Z ) y còn chuyển các phần tử bù và quan hệ thứ tự như sau :

Định lý 2.10 Nếu x = ∑ ∈ B thì (ε1 , , εn)* = (ε*1 , , ε*n)

=εn

i i i

x1Với ε*i = 1 nếu εi = 0 và ε*i = 0 hoặc εi = 1, i = 1, , n

Chứng minh Với mọi (ε1 , , εn) = ψ (∑ ) và (ε1 , , εn)* = ψ (x*)

=εn

i i i

x1Thì x* = 1 + x = 1 + ε1 x1 + + εnxn = (x1 + + xn) + (ε1 x1 + + εnxn)

i i i

x

1 ∑

=εn

i i ix'1

ε1 ≤ ε’i , i = 1, n

Chứng minh Giả sử (ε1 , , εn) ≤ (ε’1 , , ε’n)xn = (ε1x1 + + εnxn)

Do x ≤ y ⇔ xy = x tức : (ε1ε’1)x1 + + (εnε’n)xn = (ε1x1 + + εnxn)

Suy ra εi (1 + ε’i) = 0, i = 1, , n

Tóm lại, trong chương này ta thu được kết quả sau : Cho một vành Bool hữu

đẳng cấu với vành P(X), trong đó X là một tập hữu hạn phần tử nào đó Và hơn nữa khái nệim phần tử bù, các quan hệ thứ tự đều tương ứng với nhau giữa B và P(X)

3.1 Một số khái niệm cơ bản

Cho một tập có thứ tự P bất kỳ, (P, ≤) Chúng ta có một số khái niệm sau :

y phủ x

• Nếu tồn tại duy nhất phần tử z ∈ P sao cho z ≤ x, với mọi x ∈ P thì ta gọi

z là phần tử không và được kí hiệu là 0

phần tử tối tiểu. Ngược lại, nếu phần tử x ∈ P thỏa không tồn tại y ∈ P

nào sao cho x < y thì x gọi là phần tử tối đại

• Nếu x1 < x2 < < xn thì ta gọi x1, x2, , xn lập nên xích Một xích bảo

hòa là xích x1 < x2 < < xn sao cho xi+1 phủ xi, ∀i < n

nghĩa độ dài của một xích là lực lượng của xích trừ đi 1 Khi đó : ta có thể

định nghĩa hạng của phân tử x là r(x), là độ dài của một xích bảo hòa từ

0 đến x Với khái niệm hạng r(x), ta có định nghĩa hàm hạng như sau :

Định nghĩa 3.2: Hàm số r : P → R+ gọi là hàm hạng của P

x r(x) trong đó : r(x) là độ dài của một xích bảo hòa bất kỳ từ 0 đến x như định nghĩa trên Để dễ dàng trong việc sử dụng hàm hạng của một tập có thứ tự P ta tìm các tương đương của nó như sau :

Mệnh đề 3.1.2 Cho (P, ≤) với hàm hạng r Khi đó :

(i) r(x) ∈ N và r(0) = 0, N : là tập các số tự nhiên

(ii) Nếu x phủ y thì r(x) = r(y) + 1

Chứng minh

(i) Theo định nghĩa hàm hạng r ta có r(x) là độ dài của một xích bảo hòa bất kỳ từ 0 đến x nên r(x) là một số tự nhiên và r(0) = 0

(ii) Giả sử x phủ y, vì y ∈ P nên xét một xích bảo hòa bất kỳ từ 0 đến y là

0 < x1 < x2 < < xr(y)-1 < y nên ta có một xích bảo hòa từ 0 đến x là

0 < x1 < x2 < < xr(y)-1 < y < x nên theo định nghĩa hạng của một phần tử, ta có r(x) = r(y) + 1

3.3 Một số kết quả cơ bản trên tập có thứ tự

Trước hết ta có thêm một số định nghĩa cơ bản sau :

gọi là lập nên một xích đối ứng x1 < x2 < < xn nếu :

(i) xi+1 phủ xi, ∀i < h

P : gọi là có thứ tự xích đối xứng nếu P có thể phân hoạch thành các xích

đối xứng

CHƯƠNG II : PHÂN HOẠCH XÍCH ĐỐI XỨNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Trong chương này, chúng tôi sẽ khảo sát một cấu trúc khá đẹp trên một số các poset đó là cấu trúc đối xứng Nhờ tính chất đối xứng trong các xích, mà ta có thể dễ dàng kiểm tra được số lượng của các antichain trong một poset tính được số lượng của một họ các tập hợp thỏa tính chất bao hàm chứa trong, rời nhau Chúng tôi sẽ xây dựng các phân hoạch xích đối xứng cho các poset thường gặp là (hay P(S)), poset các ước của một số nguyên dương in cho trước và tích trực tiếp của các poset với nhau Ngoài ra, với một phân hoạch xích đối xứng của một poset P, chúng tôi đi sâu vào tìm hiểu cấu trúc của phân hoạch này ở khía cạnh này ở khía cạnh số xích đối xứng, các độ dài các xích, số lượng các xích cùng chiều dài i Sau đó là một số bài toán giải quyết bằng xích đối xứng kết thúc phần này bằng một cách xây dựng khác của phân hoạch xích đối xứng BCO và những ứng dụng của cách xây dựng này để tính số antinh trong P(S) và tính số đường trong mặt phẳng tọa độ

I MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

Trong poset P(S), tập tất cả các tập con của n-tập S chúng ta có một thứ tự bao hàm A ≤ B ⇒ A ⊂ B Tương ứng trong poset B(n) có thứ tự là : a ≤ b ⇔ a.b =

a, trong đó :

I.1 Định nghĩa :

Trong poset B(n) tập tất các vectơ Bool n chiều

a) Một xích các phần tử trong B(n) là một dãy các phần tử

c) Xích (1) được gọi là xích đối xứng nếu nó là xích bảo hòa và thỏa thêm

II.2 Nhận xét :

• Khi n lẻ thì độ dài m của xích là số chẵn

Ví dụ : Trong poset B (5) thì :

00100 < 10100 < 10110 < 10111 là một xích đối xứng

Trong poset B (4) thì

0010 < 1010 < 1011 là một xích đối xứng

II CẤU TRÚC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT SỐ POSET THƯỜNG GẶP

1 Cấu trúc đối xứng của poset B(n) (hay P(S)

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng trong poset B(n) có cấu trúc đối xứng trước tập B(n) là hợp của các xích đối xứng rời nhau bằng cách xây dựng quy nạp theo n bởi định lý sau :

1.1 Định lý II.1 Poset B(n) các vectơ Bool n chiều có một phân hoạch thành các xích đối xứng

Chứng minh: Chứng minh bằng quy nạp theo số chuẩn n của vectơ

Với n = 1, trong B(1) có một phân hoạch xích đối xứng là 0 < 1, do đó định lý đúng cho trường hợp n = 1 Bây giờ, giả sử định lý đúng cho trường hợp n = k, tức là trong B(n) có một phân hoạch ra thành các xích đối xứng Xét vành Bool B(n) + a, ta chỉ ra B(n) + 1) cũng có phân hoạch xích đối xứng bằng thủ tục như sau : lấy một xích đối xứng bất kỳ trong phân hoạch xích đối xứng của B(n) là :

Và 2 xích (1) và (2) là 2 xích đối xứng Thật vậy :

là xích bảo hòa nên (1) là xích đối xứng trong B(n)+1)

là một xích đối xứng trong B(n+1)

Hơn nữa, B(n+1) {a.o ⎜ a ∈ B(n)} ∪ { an ⎜ a ∈ B(n)}

Do đó cứ lần lượt, lấy từng xích trong B(n) bằng cách làm trên ta có được B(n)+1) có phân hoạch xích đối xứng

Để minh họa cho cách xây dựng phân hoạch xích đối xứng của B(n) ta xét ví dụ xây dựng cho B(5) Để xây dựng được cho B(5) ta phải xây dựng cho B(1), B(2), B(3) và B(4) trước

1.2 Ví dụ II.2 Xây dựng phân hoạch xích đối xứng cho B(5) như sau :

00011 < 10011 < 11011

00000 < 10000 < 11000 < 11100 < 11110 00001< 10001 < 11001 < 11101 < 11111

Ta có phân hoạch xích đối xứng cho B(5) là :

2 Cấu trúc đối xứng cho ta tập M(m) :

M(m) - hợp tất cả các ước của số nguyên dương m cho trước Ta đã biết M(m) có thể được xem như là tổng quát hóa của poset P(S) Bằng cách tương tự như B(n) (hay P(S) tức bằng phương pháp quy nạp thì liệu M(m) có được cấu trúc

đối xứng như P(S) hay B(m) hay không ? Để tìm lời khẳng định cho câu hỏi này, trước hết ta nhắc lại một số khái niệm

2.1 Định nghĩa : Trong đa tập M(m)

a) Một xích trong M(m) là n dãy phần tử dạng :

d1 < d2 < < dh

trong đó : di < di+1 ⇔ di / di+1 ∀i = 1, h+1

nguyên tố

c) r(d) là hạng của phần tử d là số các thừa số nguyên tố của d

d) Xích (2) được gọi là xích đối xứng nếu nó vừa là xích bảo hòa và thỏa

s < 2.3 < 2.32 ⊂ 2.22 5 là một xích đối xứng hay nb (22.32.5)

2.2 Định lý 2 : Poset M(m) tập tất cả các ước của một số nguyên dương m cho trước có phân hoạch xích đối

Chứng minh: Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo n số các ước nguyên tố khác nhau của m :

xứng Ta cần chứng minh rằng định lý cũng đúng trong trường hợp n = k + 1, tức m

:

d1 < d2 < < dh

xếp tất cả các ước này theo hình chữ nhật sau :

d1pα-1 < d2pα-1 < < dh-2pα-1 < dh-1pα-1 < dhp α-1

d1pα < d2pα < < dh-2pα < dh-1pα < dhp α

và “bóc” các xích như đã chỉ ra trên hình chữ nhật trên

Lớp ngoài cùng của hình chữ nhật cho ba xích

d1 < d2 < < dh-2 < dh-1< dh < dhp < dhp2 < dhp2-1 < dhpα (1) Xích (1) là một xích đối xứng trong M(m) Thật vậy

dh α dhp và dhp2 α dhp2+1 ∀ 1 ≤ i ≤ x-1 hay xích (1) là một xích bảo hòa

Vậy xích (1) là một xích đối xứng trong M(m)

d1p < d2p < < dh-2p dh-1p2 < < dh-1pα-1 < dh-1pα (2)

là xích đối xứng trong M(m)

nhật trên là dhα−1 < d2pα−1 và d1pα

sinh ra từ xích đó (như xây dựng trên) Cứ như vậy ta có được 1 phân hoạch xích đối xứng cho poset M(m)

Vậy M(m) có phân hoạch xích đối xứng, ∀m

Để minh họa cho ý tưởng của định lý 2.1 ta xét ví dụ sau :

2.3 Ví dụ : Xây dựng 1 phân hoạch xích đối xứng cho M(800) = M(22.32.52)

xứng là 1 < 2 < 22

1.3 < 2.3 < 22.3 1.32 < 2.32 < 22.32

3 Cấu trúc đối xứng cho tích trực tiếp các poset :

Một trong những cách để sinh ra các poset mới đó là tích trực tiếp của các poset Chúng ta bắt đầu xây dựng các khái niệm tích trực tiếp các poset

3.1 Định nghĩa : Nếu P, Q là poset với các hàm hạng tương ứng là r, h’ thì poset tích trực tiếp ký hiệu là : P x Q = {(p.q) p ∈ P, q = Q} với thứ tự là :

(P1 q1) ≤ (P2 q2) ⇔ P1 ≤ P2 trong P và q1 ≤ q2 trong Q

P.Q có hàm hạng là p định nghĩa bởi :

hay Q = { 1, 2, 22} khi đó :

Tức poset tích trực tiếp của P và Q là :

Trong ví dụ 2: nếu chúng ta đồng nhất: (a, b) là a.b thì:

3.2 Mệnh đề 3.2 : Cho p.q là 2 số nguyên tố khác nhau Với m, n số nguyên

n m

m P P

2 1

3.3 Mệnh đề 3.3 : Nếu m = với P1, , Pn là các số nguyên tố khác nhau thì poset M(m) là poset

n

m n m

m P P

2 1

)P(M

x)p(Mx)P(

n m

m1 2

2 1

Chú ý : Trong đó poset tính trực tiếp được định nghĩa tương tự như định nghĩa

trực tiếp với quan hệ :

(P1, P2 Pn) ≤ (P’1, P’2 P’n} ⇔ qi ≤ p’i trong poset Ri, ∀i = 1, m

và hàm hạng : ρ(P1, Pn) = d1 (P1) + r2(P2) + rn (Pn)

giờ hiện cho P, Q là 2 poset có phân hoạch xích đối xứng thì P x Q có phân hoạch xích đối xứng hay không ? và nếu có thì chúng có thể được xây dựng như thế nào ? Mệnh đề 3.4 Nếu P, Q là 2 poset có hàm hạng tương ứng là r, r’ và đều có phân hoạch xích đối xứng thì poset tích trực tiếp P x Q cũng có phân hoạch xích đối xứng

có: Ci < Co < C1 < C2 < < Ck trong đó : r(Co) = r và r(Ck) = R và r + R = r(R)

Dj : do < d1 < d2 < < dh trong đó : r’(do) = s và r’(dh) = S và s + S = r(Q)

chú ý : phần từ (c, d) ∈ P x Q được viết cho là cd

tiếp P x Q, ∀j = 1, h

xứng cho poset tích trực tiếp P x Q

Một hệ quả trực tiếp từ mệnh đề 3.4 bằng cách sử dụng mệnh đề 3.4 nhiều lần ta được

3.5 Hệ quả 3.5 : Nếu P2, P2, Pn là các poset có phân hoạch xích đối xứng

minh họa cho mệnh đề trên ta xét ví dụ sau :

(0100, 3) < (0110, 3) < (0111, 3)

(0010, 3) < (1010, 3) < (1011, 3) (0010, 2.3) < (1010, 2.3) < (1011, 2.3)

(0011, 2) (0011, 22)

(0011, 22.32) (0101, 1) < (0110, 1) < (0111, 1)

(0100, 22.3) < (0110, 22.3) < (0111, 22.3)