Mối liên hệ giữa hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một với phương trình Hyperbolic cấp hai

HàN®i,tháng6năm2012 Tácgiá NguyenTh%BíchLiên... HàN®i,tháng6năm2012 Tácgiá NguyenTh%BíchLiên... Snduynhatnghi¾msuyr®ng...30 3 Phươngtrìnhhyperboliccaphai 32 3.1... MncđíchnghiêncNu Mucđí

LèICÁMƠN

Lu¾nvănnàyđưocthnchi¾nvàhoànthànhdưóisnhưóngdancnaGS.TSKH.NguyenManhHùng.Tácgiáxinbàytólòngkínhtrong,lòngbietơnsâusactóiGS.TSKH.NguyenManhHùng,ngưòiđãquantâm,đ®ngviêntácgiávàhưóngdantácgiátrongquátrìnhhoànthànhlu¾nvăn

TácgiáxinchânthànhcámơnBanGiámhi¾uTrưòngĐaihocSưphamHàN®i2,PhòngSauđaihoc,KhoaToánvàToGiáitíchcùngvóicácthaycôđãtaomoiđieuki¾nthu¾nloichotácgiáketthúctotđepchươngtrìnhcaohocvàhoànthànhlu¾nvăntotnghi¾p

Tácgiáchânthànhc á m ơ n SóG D vàĐTHàN®i,TrưòngT H P T LiênHàđãtaomoiđieuki¾ngiúpđõđetácgiáantâmhoct¾pvàhoànthànhtotlu¾nvăn.Tácgiáxinbàytólòngbietơntóigiađình,ngưòithânvàbanbèđãđ®ngviênvàtaođieuki¾nđetácgiáhoànthànhlu¾nvănnày

HàN®i,tháng6năm2012

Tácgiá

NguyenTh%BíchLiên

LèICAMĐOAN

Tôixincamđoanlu¾nvănlàcôngtrìnhnghiêncúucnariêngtôidưóisnhưóngdancnaGS.TSKH.NguyenManhHùng.Lu¾nvănkhônghetrùngl¾pvóiđetàikhác

HàN®i,tháng6năm2012

Tácgiá

NguyenTh%BíchLiên

p

3

Mnclnc

1.1 KhônggianSobolev 4

1.1.1 Trungbìnhhóa 4

1.1.2 Đaohàmsuyr®ng 6

1.1.3 KhônggianW m (Ω)Ω)),1≤p<∞ 9

o 1.1.4 KhônggianWm(Ω)Ω)) ,1≤p<∞ 12

1.2 Tháctrienyeu 13

1.3 Toántúđóng 13

2 H¾ phươngtrìnhHyperbolicđoixNngcapm®t 14 2.1 Đ%nhnghĩah¾phươngtrìnhHyperbolicđoixúngcapm®t 14 2.2 Nghi¾msuyr®ngcnah¾phươngtrìnhHyperbolicđoixúng capm®t 16

2.3

Sntontainghi¾msuyr®ngcnah¾phươngtrìnhHyper-bolicđoixúngcapm®t 202.4 Snduynhatnghi¾msuyr®ngcnah¾phươngtrìnhHy-

perbolicđoixúngcapm®t 222.4.1 Toántútíchphânmatr¾n 222.4.2 Snduynhatnghi¾msuyr®ng 30

3 Phươngtrìnhhyperboliccaphai 32

3.1 Đ%nhnghĩaphươngtrìnhhyperboliccaphai 323.2 Moiliênh¾giuah¾phươngtrìnhhyperbolicđoixúngcap

m®tvàphươngtrìnhhyperboliccaphai 34

MéĐAU

1 Lýdochonđetài

Phươngtrìnhđaohàmriênglàm®tmônquantrongcnaToánhoc.Lýthuyetphươngtrìnhđao

hàmriêngcóhaiđ¾cthùcơbán.Thúnhatlàmoiliênh¾trnctiepvóic á c bàitoánV¾tlý,vìquátrìnhnghiêncú u cácbàitoánV¾tlýdanđencácbàitoánphươngtrìnhđaohàmriêng.Nhungnhàtiênphongtronglĩnhvncnàylà:J.D’Alembert(1717-1783),L.Euler(1707-1783),D.Bernoulli(1700-

1782),J.Lagrange(1736-1830) Thúhailàmoiliênh¾m¾tthietcnaphươngtrìnhđaohàmriêngvóicácngànhToánhockhácnhư:Giáitíchhàm,Lýthuyethàm,Tôpô,Đaiso,Giái tíchphúc.Phươngtrìnhđaohàmriêngtuyentínhhi¾nđaigomcó:phươngtrìnhloaieliptic,phươngtrìnhloaiparabolic,phươngtrìnhloaihyperbolic.Khônggiannghi¾mđoivóibaloaiphươngtrìnhnàylàm®tvanđecơbántrongvi¾cnghiêncúuveđaohàmriêngtuyentính.Nghi¾mcođienvànghi¾msuyr®ngcómoiliênh¾m¾tthietvóinhau.Vóimoiloaiphươngtrìnhkhinghiêncúubaogiòcũngđ¾trac â u hói:nghi¾msuyr®ngcnaphươngtrìnhcótontaikhông,códuynhatkhông,phuthu®cliêntucvàocácduki¾nđãchocnabàitoánkhông?

1813),P.Laplace(1749-1827),S.Poisson(1781-1840),J.Fourier(1768-Trongphươngtrìnhloaihyperboliccũngcónhieudang:h¾phươngtrìnhh y p e r

bo li c đoixúngcapm®t,phươngtrìnhhyperboliccaphai,phương

trìnhh y p e r b o r l i c manh Khinghiênc ú u veloaih y p e r b o l i c tuyentínhtathayphươngtrìnhhyperboliccaphaicómoiquanh¾m¾tthietvóih¾phươngtrìnhhyperbolicđoixúngcapm®t.

Đelàmsángtómoiquanh¾trênvàgópphangiúpchonhungngưòihocphươngtrìnhđaohàmriêng,nhungngưòiyêuphươngtrìnhđaohàmriênghieurõhơn,sâuhơnnênnhòsngiúpđõ,hưóngdancnaGS.TSKH.NguyenManhHùngtôichonnghiêncúuđetài

“Moiliênh¾giÑah¾phươngtrìnhh y p e r b o l i c đoi xNngcapm®tváiphươngtrìnhh y pe rb o lic caphai”.

2 MncđíchnghiêncNu

Mucđíchcnađetàilàtìmhieusâuhơnvephươngtrìnhđaohàmriêngtuyentính,cuthelà:Moiliênh¾giuah¾phươngtrìnhhyperbolicđoi

-Nghiêncúuphươngtrìnhhyperboliccaphai

-Nghiêncúuvemoiliênh¾giuah¾phươngtrìnhhyperbolicđoixúng

4 ĐoitưangvàphamvinghiêncNu

Đoitưongnghiêncúucnađetàilànghiêncúuveh¾phươngtrìnhhyperbolic đoixúngcapm®t,nghiêncúuphươngtrìnhhyperboliccaphai,nghiêncúumoiliênh¾giuah¾phươngtrìnhhyperbolicđoixúngcapm®tvóiphươngtrìnhhyperboliccaphai

r®ng

◦

batkìthu®c C ∞(Ω)Ω)r),Ω)r⊂Ω).K h i c o i ψ(Ω)x)=0vóix ∈ Ω)\Ω) r,ta

Tùđótanh¾nđưocu(Ω)x)cóđaohàmsuyr®ngtrongmienΩ)rcũngchínhlàh àmv(Ω)x).Đaohàmsuyr®ngtrongmienΩ)rđưocgoilàthuhepcnađaohàm

ôngpháilàtatcá,changhantùsntontaiđaohàmsuyr®ngcapαkhôngsuy rađưocsnton taiđaohàmsuyr®ngcapnhóhơnα.

Đ

%nhlý1.1.2.Giású Ω)làm®tmientrongkhônggianR n ,Ω)rlàmienconcúa Ω),sa

ochokhoángcáchgiuaΩ)rvà∂Ω)bangd> 0.Khiđó,đoi

x

p(Ω) Ω) )

p

p(Ω) Ω)r)

p(Ω) Ω)r)

Đieuđóchúngtórang,u αlà đaohàmsuyr®ngcapαcnahàmu0trongmienΩ)và

"u h −u" W m →0,h→0.

Đ%nhlíđưocchúngminh

W W

Chương2

H¾phươngtrìnhHyperbolicđoixNng capm®t

%nhnghĩah¾phươngtrìnhH y p e r b olicđoixNng capm®t

Kíhi¾u(Ω)x,t)=(Ω)x1 , ,x n ,t)∈R n+1.Giású

αβ =a αβ (Ω)x,t),i=1, ,n+1;

b αβ =b αβ (Ω)x,t);α,β=1, ,s, làcáchàmđãchophuthu®cvàobien(Ω)x,t) ∈R n+1.Xéth¾phươngtrìnhđaohàmriêngcapm®tsau:

a n+1

α β

i=1Q n+1

∂ u

α,β=1Q ∂x i

∂ω

2, Q

2, Q λ

λ

≤(Ω)λAγ1−γ0)−1 "f" "υ" 2,Q

nênψ flàphiemhàmtuyentínhb%ch¾ntrênF.M¾tkhác,doFlàkhông

gianconcna(Ω)L2(Ω)Q)) s ,nêncóthetháctrienψ fkhôngthayđoichuanđenm®tphi

emhàmtuyentínhtrên(Ω)L2(Ω)Q)) sv àvankíhi¾uphiemhàmnàylàψ f.Khiápdung

m

A k ∂/∂x k ,óđóA k =A k (Ω)x)làmatr¾n caps ×s,vóicácphantúa αβ(Ω)x)đãđưocchoótrên.Đ¾t

k (Ω)x,y)= ∂ ∂y

k

{[A k (Ω)y)−A k (Ω)x)]θ δ (Ω)x,y)} (2.15)

óđâyθ δ (Ω)x,y)=δ −m θ (Ω)(Ω)x,y)/δ)vóiθ(Ω)x)lànhântrungbìnhhóavà

W W

θ δ T0u, ω. 2,Ω) =.T0u, ω δ . 2,Ω) =.u,T 0∗ ω δ

W W

W

k

α β

Ω) Ω) ∂y k (Ω) A k (Ω)y)−A k (Ω)x)) |θ δ (Ω)x,y)|dx (2.20)

+¸| (Ω)A k (Ω)y)−A k (Ω)x))| . ∂ θ δ (Ω)x,y).dx

Ω)Tùgiáthietcnabođetanh¾nđưoc

Chúngminh.Trưóctiêngiásúu ∈C(Ω)Ω)).Laym®tmienconΩ)1cnaΩ)

saochosuppu ⊂Ω)1vàΩ)1compactnamtrongΩ).Khiđóvóiδđnnhó,tacósupp

u⊂Ω)1và

"(Ω)Bθ δ −θ δ B)u"2,Ω) ="(Ω)Bθ δ −θ δ B)u"2,Ω)1

α β

∂ υ

vóiω ∈ C ∞

Rn+1. .Giásúu∈ . L2.Rn+1 ,T λW u=f∈ . L2.Rn+1 TheoH¾quá2.4.1,tontaim®tdãy{u k }⊂

"u k −u" 2,R n+1 → 0,"T λ u k −T λW u" 2,R n+1 → 0,k→∞ (2.28)

Dobatđangthúc(2.27)đưocthnchi¾nvóiω = u nnêntù(2.28)tanh¾nđưoc

"u"≤(Ω)λAγ1−γ0)−1 " T λW u".

Dov¾yneuT λW=f=0thìu=0.Đ%nhlíđưocchúngminh

àphươngtrìnhHyperbolictaimoiđiemthu®cmienQ Chúýrang,khôngtheđ ưađưocphươngtrình(3.1)ve(3.3)trongtoànmienQtrongtrưònghoptongqu

át,th¾mchítrongm®tlâncânđnnhócnađiemx0nàođóthu®cmienQkhin>1.

+c(Ω)x,t)u

a ij (Ω)x,t)=a ji (Ω)x,t) vói i,j =1, ,n

Tù(3.5),(3.6)tacó

∂2u .n

∂2u

f=  

Vídn3.2.1.TrongR3chophươngtrình:

Bàigiái

∂ u

2

2 2

∂ u

=0

=0

=0+

f=  

Lu¾nvănđãtrìnhbàym®tcáchngangon,cóh¾thong.Cuthe:Chương1:Trìnhbàym®tsokienthúccơbánvekhônggianSobolev,

tháctrienyeu,toántúđóng,toántúkháđóng

Chương2:Trìnhbàyveh¾phươngtrìnhHyperbolicđoixúngcapm®t,s n tontaivàduynhatnghi¾msuyr®ngcnah¾phươngtrìnhHyperbolicđoixúngcapm

®t

Chương3:TrìnhbàyvephươngtrìnhHyperboliccaphai,moiliênh¾giuah¾phươngtrìnhHyperbolicđoixúngcapm®tvàphươngtrìnhH y p e r b o l i

c caphai

Vóiphamvithòigianvàkienthúccóhan,chacchanlu¾nvănkhôngtránhkhóinhungthieusót.Mongquýthaycô,cácbanvàđ®cgiágópýđelu¾nvănđưochoànthi¾nhơn.Tácgiáxinchânthànhcámơn!