Mối liên hệ giữa hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một với phương trình Hyperbolic cấp hai

Không gian nghiệm đối với ba loại phươngtrình này là một vấn đề cơ bản trong việc nghiên cứu về đạo hàm riêngtuyến tính.. Nghiệm cổ điển và nghiệm suy rộng có mối liên hệ mật thiếtvới nh

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của

GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòngbiết ơn sâu sắc tới GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng, người đã quan tâm,động viên tác giả và hướng dẫn tác giả trong quá trình hoàn thành luậnvăn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùngvới các thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốtđẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả chân thành cảm ơn Sở GD và ĐT Hà Nội, Trường THPTLiên Hà đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoànthành tốt luận văn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân và bạn bè đãđộng viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Bích Liên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Luận văn không hềtrùng lặp với đề tài khác

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Bích Liên

Mục lục

1.1 Không gian Sobolev 4

1.1.1 Trung bình hóa 4

1.1.2 Đạo hàm suy rộng 6

1.1.3 Không gian Wpm(Ω), 1 ≤ p < ∞ 9

1.1.4 Không gian o Wpm(Ω) , 1 ≤ p < ∞ 12

1.2 Thác triển yếu 13

1.3 Toán tử đóng 13

2 Hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 14 2.1 Định nghĩa hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 14 2.2 Nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 16

2.3 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của hệ phương trình

Hyper-bolic đối xứng cấp một 202.4 Sự duy nhất nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hy-

perbolic đối xứng cấp một 222.4.1 Toán tử tích phân ma trận 222.4.2 Sự duy nhất nghiệm suy rộng 30

3 Phương trình hyperbolic cấp hai 323.1 Định nghĩa phương trình hyperbolic cấp hai 323.2 Mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp

một và phương trình hyperbolic cấp hai 34

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng là một môn quan trọng của Toán học

Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai đặc thù cơ bản Thứ nhất

là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán Vật lý, vì quá trình nghiêncứu các bài toán Vật lý dẫn đến các bài toán phương trình đạo hàmriêng Những nhà tiên phong trong lĩnh vực này là: J.D’Alembert (1717-1783), L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli (1700-1782), J.Lagrange (1736-1813), P.Laplace (1749-1827), S.Poisson (1781-1840), J.Fourier (1768-1830) .Thứ hai là mối liên hệ mật thiết của phương trình đạo hàmriêng với các ngành Toán học khác như: Giải tích hàm, Lý thuyết hàm,Tôpô, Đại số, Giải tích phức Phương trình đạo hàm riêng tuyến tínhhiện đại gồm có: phương trình loại eliptic, phương trình loại parabolic,phương trình loại hyperbolic Không gian nghiệm đối với ba loại phươngtrình này là một vấn đề cơ bản trong việc nghiên cứu về đạo hàm riêngtuyến tính Nghiệm cổ điển và nghiệm suy rộng có mối liên hệ mật thiếtvới nhau.Với mỗi loại phương trình khi nghiên cứu bao giờ cũng đặt racâu hỏi: nghiệm suy rộng của phương trình có tồn tại không, có duy nhấtkhông, phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã cho của bài toán không?Trong phương trình loại hyperbolic cũng có nhiều dạng: hệ phương trìnhhyperbolic đối xứng cấp một, phương trình hyperbolic cấp hai, phương

trình hyperborlic mạnh Khi nghiên cứu về loại hyperbolic tuyến tính

ta thấy phương trình hyperbolic cấp hai có mối quan hệ mật thiết với

hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một

Để làm sáng tỏ mối quan hệ trên và góp phần giúp cho những ngườihọc phương trình đạo hàm riêng, những người yêu phương trình đạo hàmriêng hiểu rõ hơn, sâu hơn nên nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn của GS.TSKH.Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài

“Mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là tìm hiểu sâu hơn về phương trình đạo hàmriêng tuyến tính, cụ thể là: Mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolicđối xứng cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận vănlà:

- Nghiên cứu về hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một

- Nghiên cứu về nghiệm suy rộng của hệ phương trình hyperbolic đốixứng cấp một

-Nghiên cứu phương trình hyperbolic cấp hai

-Nghiên cứu về mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng

cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu về hệ phương trìnhhyperbolic đối xứng cấp một, nghiên cứu phương trình hyperbolic cấphai, nghiên cứu mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứngcấp một với phương trình hyperbolic cấp hai

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp hàm trung bình

- Phương pháp đánh giá bất đẳng thức

- Phương pháp đánh giá hội tụ

6 Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của

đề tài

Đề tài nghiên cứu về mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đốixứng cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai

0, |x| ≥ 1.

với hằng số C được chọn thích hợp để điều kiện trong định nghĩa1.1.1được thoả mãn

Với h > 0 , ta đặt

θh(x) = h−nθ

xh

, x ∈ Rn.Khi đó

u(y)dy

được xác định trong Rn và trơn vô hạn Khi đó, hàm uh(x) được gọi làtrung bình hóa hay hàm trung bình của hàm u

Định lý 1.1.1 Giả sử hàm u ∈ Lp(Ω) với p ≥ 1 Khi đó,

lim

h→0kuh− ukL

p (Ω) = 0

Chứng minh Đặt u(x) = 0 đối với x ∈ Rn/Ω Khi đó,

uh(x) = h−n

Z

Ω

θ x − yh

u(y)dy =

Sau khi lấy tích phân bất đẳng thức này theo x và đổi thứ tự lấy tíchphân nhờ Định lí Fubuni ta nhận được

2 Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩathông thường.Ví dụ xét hàm u(x) = |x|, x ∈ (−1, 1) Dễ thấy tại

x = 0, hàm số không tồn tại đạo hàm cổ điển Tuy nhiên ta có thểchỉ ra hàm số có đạo hàm suy rộng tại điểm x = 0

Vậy v (x) = signx là đạo hàm suy rộng của u(x) = |x|, x ∈ (−1, 1)

3 Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω thì nó cũng cóđạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω0 ⊂ Ω Thật vậy, giả sử u(x)

có đạo hàm suy rộng trong miền Ω là hàm v(x) và ψ(x) là một hàmbất kì thuộc

◦

C∞(Ω0), Ω0 ⊂ Ω Khi coi ψ(x) = 0 với x ∈ Ω\Ω0, ta

4 Dα+βv = Dα(Dβv), aDαv1+ bDαv2 = Dα(av1+ bv2), ở đó a, b là cáchằng số tuỳ ý.

5 Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suyrộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Nói chung, đạo hàmsuy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩathông thường Tuy nhiên không phải là tất cả, chẳng hạn từ sự tồntại đạo hàm suy rộng cấp α không suy ra được sự tồn tại đạo hàmsuy rộng cấp nhỏ hơn α

Định lý 1.1.2 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn, Ω0 là miềncon của Ω, sao cho khoảng cách giữa Ω0 và ∂Ω bằng d > 0 Khi đó, đốivới 0 < h < d và x ∈ Ω0, ta có

nên khi sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng, ta nhận được

Dαuh(x) = Dxαh−n

Z

Rn

θ x − yh

u(y)dy

= h−n

Z

Ω

θ x − yh

Không gian Wmp (Ω) là một không gian Hilbert cùng với tích vô hướng

Đối với mỗi α dãy {Dαuj}∞j=1 là dãy Cauchy trong Lp(Ω) Bởi vì Lp(Ω)

là không gian đầy, nên tồn tại một hàm uα ∈ Lp(Ω) sao cho

Điều đó chứng tỏ rằng, uα là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm u0 trongmiền Ω và

kuj − u0kWm

p (Ω) → 0, j → ∞

Định lí được chứng minh

Định lý 1.1.4 Giả sử Ω là một miền thuộc Rn và Ω0 là miền con của

Ω sao cho Ω0 ⊂⊂ Ω Nếu u ∈ Wm

C∞(Ω) trong chuẩn của không gian Wpm(Ω).

Định lý 1.1.5 Giả sử u(x) ∈ Wpm(Ω), p ≥ 1 và suppu(x) ⊂⊂ Ω Khi

1.2 Thác triển yếu

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử u ∈ (L2(Q))s , nếu tồn tại hàm υ ∈ (L2(Q))ssao cho

(u, T∗ω)2,Q = (υ, ω)2,Qvới mọi ω ∈

và JWs gọi là miền xác định của TW

T trở thành toán tử đóng

một nếu thỏa mãn:

aiαβ = aiβα, i = 1, , n + 1; α, β = 1, , s (2.2)

Hệ (2.1) được gọi là hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một nếu(2.1) là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một và thỏamãn thêm điều kiện:

hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một, còn nếu thêm giảthiết An+1 là xác định dương, thì (2.4) là hệ phương trình Hyperbolicđối xứng cấp một

2.2 Nghiệm suy rộng của hệ phương trình

∂aiαβ

∂xi , i = 1, , n + 1Khi đó có toán tử vi phân liên hợp hình thức của toán tử T :

ở đó A∗i và B∗ là các ma trận liên hợp tương ứng với Ai và B

Giả sử Q là miền bất kì trong Rn Ta đưa vào không gian (L2(Q))stích vô hướng

Tất cả các khái niệm đã đưa vào ở trên trong Rn+1 được chuyển vào

Q Khi đó toán tử T được cho bởi công thức (2.5) là một toán tử tuyến

tính từ (C∞(Q) ∩ L2(Q))s vào trong (L2(Q))s Tuy nhiên nó chưa phải

là toán tử đóng trên (C∞(Q) ∩ L2(Q))s Do đó ta có thể mở rộng miềnxác định của toán tử T

Bổ đề 2.2.1 Toán tử T được cho bởi công thức (2.5) là toán tử khảđóng

Chứng minh *Trước hết ta mở rộng miền xác định của toán tử T

= −Z

=Z

2.3 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của hệ phương

trình Hyperbolic đối xứng cấp một

Trong phần này ta giả thiết aiαβ liên tục trong Q còn ∂aiαβ∂xi, bαβ

là các hàm liên tục và bị chặn trong Q Kí hiệu ∂A = Pn+1

i=1 ∂Ai

∂xi vàgiả thiết tồn tại các số γ0, γ1 dương sao cho

ξAn+1ξ ≥ γ1|ξ|2, ξ ∈ Rs, (2.7)

ξ



B − 1

2∂A

ξ

≤ γ0|ξ|2, ξ ∈ Rs, (2.8)

Bổ đề 2.3.1 Giả sử thực hiện được các điều kiện (2.7)và (2.8) Nếu

λγ1 > γ0 thì

kωk2,Q ≤ (λγ1 − γ0)−1kT∗λωk2,Q (2.9)với mọi ω ∈

∂

∂yk

Ak(y)

|Ak(y) − Ak(x)| ≤ C1|x − y| (2.22)

khi |x − y| đủ nhỏ, C1 = const Do tính chất của nhân trung bình hóa

θδ(x, y) = 0 khi |x − y| ≥ δ , nên từ (2.20), (2.21) và (2.22) suy raZ

∂

∂ykθδ(x, y)

dx ≤ C2(2.23)

ở đây C2 là hằng số không phụ thuộc vào δ Hoàn toàn tương tự nhưvậy, ta nhận được

ở đây C3 là hằng số không phụ thuộc vào δ

Bây giờ ta chứng minh Aδk[u] 2,Ω → 0 khi δ → 0 với u ∈

với C4 là hằng số không phụ thuộc vào δ Do vậy từ Bổ đề 2.4.1 ta nhậnđược

Aδk[u] 2,Ω = (Ak(y) − Ak(x)) θδ ∂u

∂yk 2,Ω

≤ C4δk∂u/∂ykk2,Ω → 0, δ → 0 (2.26)Giả sử u ∈ L2(Ω) Khi đó với mỗi ε > 0 tồn tại υ ∈

Với ma trận B (x) = (bαβ(x))sα,β=1 trong (2.4) ta có bổ đề sau

Bổ đề 2.4.4 Giả sử bαβ(x) bị chặn và liên tục trong Ω Khi đó đối vớibất kì u ∈ (L2(Ω))s có

k(Bθδ − θδB) uk2,Ω → 0, δ → 0

ở đó Bθδ là toán tử tích phân với hạch B (x) θδ(x, y)

Chứng minh Trước tiên giả sử u ∈ C (Ω) Lấy một miền con Ωo 1 của Ωsao cho suppu ⊂ Ω1 và Ω1 compact nằm trong Ω Khi đó với δ đủ nhỏ,

ta có suppu ⊂ Ω1 và

k(Bθδ − θδB) uk2,Ω = k(Bθδ − θδB) uk2,Ω1

Nhưng Bθδ− θδB = (B (x) − B (y)) θδ, bαβ(x) liên tục đều trên Ω1 và

θδ(x, y) = 0 khi |x − y| > δ Nên với mỗi ε > 0 tồn tại δ sao cho

k(Bθδ − θδB) uk2,Ω1 = k(B (x) − B (y)) θδuk2,Ω1 ≤ εkuk2,Ω1

Như vậy, Bổ đề được chứng minh cho u ∈ C (Ω)o

Bây giờ giả sử u ∈ (L2(Ω))s Từ tính bị chặn của bαβ (x) suy ra toán

tử Bθδ− θδB bị chặn đều theo δ Điều đó có nghĩa là

k(Bθδ − θδB) uk2,Ω ≤ k(Bθδ− θδB) υk2,Ω + k(Bθδ− θδB) (u − υ)k2,Ω

≤ k(Bθδ − θδB) υk2,Ω + Cku − υk2,Ωvới υ ∈C (Ω) , C hằng là số không phụ thuộc vào δ Do có thể chọn υo

kθδu − uk2,Rm → 0, kT θδu − TWuk2,Rm → 0, δ → 0,

ở đây T = T0 + B

Hệ quả 2.4.1 Với giả thiết của định lý 2.4.1 tồn tại một dãy {uk} ⊂

 o

C∞(Rm)

s

.Chọn một hàm αj ∈ Co∞ sao cho αj(x) = 1 khi |x| ≤ 1, αj (x) = 1 khi

Hệ quả được chứng minh

2.4.2 Sự duy nhất nghiệm suy rộng

Sử dụng các kết quả của mục 2.4.1 ta có định lí duy nhất của nghiệm

suy rộng Giả thiết bây giờ m = n + 1 và Ω = Rn+1 Ta có định lý sau

Định lý 2.4.2 Giả sử điều kiện của định lí 2.3.1 được thỏa mãn Khi

đó phương trình

Tλu = f

có duy nhất một nghiệm suy rộng trong không gian L2 Rn+1

s

Chứng minh Sự tồn tại nghiệm suy rộng trong không gian L2 Rn+1

s

đã được chứng minh trong định lí 2.3.1 Bây giờ ta chứng minh tính duynhất của nghiệm này Bởi vì Tλ là toán tử tuyến tính nên ta chỉ cầnchứng minh: nếu f = 0, thì u = 0 Từ chứng minh của bổ đề 2.3.1 suyra

(Tλω, ω)2,Rn+1

...

Q trùng với tồn khơng gian Rn+1 nghiệm thiết lập

trình Hyperbolic đối xứng cấp một< /h3>

2.4.1 Tốn tử tích phân ma trận

Giả sử K (x, y) ma trận cấp s × s... Khi với ε > tồn υ ∈

Với ma trận B (x) = (bαβ(x))sα,β=1 (2.4) ta có bổ đề sau

Bổ đề 2.4.4 Giả sử bαβ(x) bị chặn liên tục Ω Khi đối. ..

λγ1 ≥ γ0 Khi hàm f (x, t) ∈ (L2(Q))s phương trình( 2.6) có nghiệm suy rộng khơng gian (L2(Q))s

Chứng minh Kí