MỘT LỜI GIẢI KHÁ HAY
Đề bài : Tính tổng sau :
) 2 )(
1 (
5 4 3 4 3 2
3
.
2
.
1
Bài giải :
Ta có n(n+1)(n+2) = (n + 2)(n2 + n) = n3 + 3n2 + 2n
Tương tự ta có :
n n
n n
n
.
.
2 2 2
3 2
4
3
.
2
1 2 1
3 1
3
.
2
.
1
2 2 3
2 3
Khi đó:
S = 1 3 2 3 3 3 3 3 ( 1 2 2 2 3 2 2 ) 2 ( 1 2 3 )
n n
Với việc sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta có thể chứng minh rằng :
2
) 1 (
3
2
1 n n
n (1)
6
) 1 2 )(
1 (
3
2
12 2 2 2
2 3
3
3
3
2
) 1 (
3
2
1 n n
n (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có :
4
) 3 )(
2 )(
1 ( 4
) 6 5 )(
1
(
4
) 1 ( 4 ) 1 2 )(
1 ( 2 )
1
(
) 1 ( 2
) 1 2 )(
1 ( 2
)
1
(
2
) 1 ( 2 6
) 1 2 )(
1 ( 3 2
)
1
(
2
2
2
2
n n n n n
n
n
n
n n n
n n n
n
n n n
n n n
n
n n n
n n n
n
S
Vậy
4
) 3 )(
2 )(
1 (
n n n n
S