DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC http://math.vn BÀI GIẢI ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT 2011 Môn thi : Toán PHẦN CHUNG 7,0 điểm Cho tất cả thí sinh Câu I.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã c
Trang 1DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC
http://math.vn
BÀI GIẢI ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT 2011
Môn thi : Toán
PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Cho tất cả thí sinh
Câu I 1) (2 điểm) ————————————————————————————————
Cho hàm số y =2x + 1
2x − 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Bài giải:
Tập xác định D = R \ 1
2
Khảo sát:
lim
x→+∞y= lim
x→−∞y= 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang
lim
x→( 1 ) −y= −∞; lim
x→( 1 ) +
y= +∞ ⇒ x =1
2 là tiệm cận đứng
y0= − 4
(2x − 1)2 < 0; ∀x ∈ D
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
−∞;1 2
; 1
2; +∞
y 1
& −∞
+∞
& 1
Đồ thị
−2
−1
1 2 3 4
0
Câu I 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x + 2
Bài giải:
Phương trình hoành độ giao đỉêm:2x + 1
2x − 1 = x + 2
x6=1 2
⇔ 2x + 1 = (2x − 1)(x + 2) ⇔ 2x2+ x − 3 = 0 ⇔
"
x= 1
x= −3 2 (nhận) Toạ độ 2 giao điểm A(1; 3); B
−3
2;
1 2
Câu II 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Giải phương trình: 72x+1− 8.7x+ 1 = 0
Bài giải:
Đặt t = 7xthì ta có 72x+1= 7t2
Do đó phương trình có thể viết lại thành 7t2− 8t + 1 = 0, hay (7t − 1)(t − 1) = 0, hay t = 1 ∨ t =1
7. + Với t = 1, ta có 7x= 1, suy ra x = 0 + Với t =1
7, ta có 7
x=1
7, suy ra x = −1.
Vậy phương trình đã cho có tất cả hai nghiệm là x = 0 và x = −1
Câu II 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Tính tích phân I=
Z e 1
√
4 + 5 ln x
x dx
Bài giải:
Cách 1 Ta có I =
Z e 1
√
4 + 5 ln x d(ln x) = 2
15(4 + 5 ln x)
3 e
1= 2 15
93 − 43=38
15. Cách 2 Có
√
4 + 5 ln x
x =√4 + 5 ln x(ln x)0=√4 + 5 ln x
√
4 + 5 ln x2− 4 5
!0
=2
5
√
4 + 5 ln x2 √4 + 5 ln x0= 2
√
4 + 5 ln x3 15
!0 Vậy nên I = 2
√
4 + 5 ln x3 15
e
1
=38 15
Trang 2Câu II 3) (1 điểm) ————————————————————————————————
Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3− 2x2+ mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1
Bài giải:
Ta có y0= 3x2− 4x + m và y0(1) = m − 1
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 thì trước hết ta phải có y0(1) = 0, suy ra m = 1 Lúc này, ta có y0 = 3x2− 4x + 1 = (3x − 1)(x − 1) và y0= 0 ⇔ x = 1 ∨ x =1
3.
Dễ thấy y0đổi dấu từ âm sang dương khi x chạy qua 1 Do đó y đạt cực tiểu tại x = 1
Từ đây ta suy ra m = 1 chính là giá trị cần tìm
Câu III (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a, AB = 3a.Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 45◦ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài giải:
45o
a
3a a
C D
S
Vì ABCD là hình thang vuông tại A và D
⇒ dADC= 90◦
Mà AD = CD nên ADC vuông cân tại D
⇒ AC = AD√2 = a√2
SA⊥(ABCD) ⇒ SA⊥AC4SAC vuông tại A
SA⊥(ABCD) ⇒ A là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD)
⇒ góc giữa SC và (ABCD) bằng góc dACS(vì 4SAC vuông tại A nên dACSnhọn)
⇒ dACS= 45◦
Do đó 4SAC vuông cân tại A ⇒ SA = AC = a√2
Vì ABCD là hình thang vuông tại A và D nên AD là đường cao của hình thang
⇒ diện tích hình thang : SABCD= 1
2(AB + CD)AD = 2a
2 (đvdt)
Vậy thể tích khối chóp là VS.ABCD=1
3SA· SABCD=
1
3· a
√
2 · 2a2=2
√ 2a3
3 (đvtt)
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B
Phần A cho chương trình chuẩn
Câu IVa 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 1; 0) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y − z + 1 = 0 Tính khoảng cách từ điểm A đến mạt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song mặt phẳng (P)
Bài giải:
d(A; (P)) =|2 · 3 + 2 · 1 − 1 · 0 + 1|
p
22+ 12+ (−2)2 = 3 (đvđd) (Q) k (P) ⇒ vector pháp tuyến của (P) cũng là vector pháp tuyến của (Q)
⇒ phương trình của (Q) : 2(x − 3) + 2(y − 1) − (z − 0) = 0 ⇔ 2x + 2y − z − 8 = 0
Câu IVa 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P)
Bài giải:
Gọi H(a; b; 2a + 2b + 1) ∈ (P).−→AH= (a − 3; b − 1; 2a + 2b + 1)
Hlà hình chiếu vuông góc của A lên (P) ⇔−→AHvà−→n(P)cùng phương
⇔ a− 3
2 =
b− 1
2 =
2a + 2b + 1
(
a= 1
b= −1 Vậy hình chiếu của A lên (P) có tọa độ (1; −1; 1)
Câu Va (1 điểm) ————————————————————————————————
Giải phương trình (1 − i)z + (2 − i) = 4 − 5i trên tập số phức
Trang 3Bài giải:
Cách 1 PT ⇔ z =(4 − 5i) − (2 − i)
1 − i =
2 − 4i
1 − i =
(1 − 2i)(1 − i2)
1 − i = (1 − 2i)(1 + i) = 1 − i − 2i
2= 3 − i
Cách 2 Ta có (1 − i)z = 4 − 5i − (2 − i) = 2 − 4i Điều này tương đương với (1 + i)(1 − i)z = (2 − 4i)(1 + i) = 6 − 2i Tức
là 2z = 6 − 2i để rồi z = 3 − i
Phần B cho chương trình nâng cao
Câu IVb 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 3), B(−1; −2; 1) và C(−1; 0; 2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Bài giải:
−→
AB= (−1; −2; −2),−AC→= (−1; 0; −1) ⇒h−AB;→ −AC→
i
=
−2 −2
0 −1
;
−2 −1
−1 −1
;
−1 −2
−1 0
= (2; 1; −2)
Vì vậy mặt phẳng (ABC) có vector pháp tuyến−→n = (2; 1; −2)
⇒ phương trình mặt phẳng (ABC) : 2(x − 0) + (y − 0) − 2(z − 3) = 0 ⇔ 2x + y − 2z + 6 = 0
Câu IVb 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A
Bài giải:
Diện tích tam giác ABC : SABC=1
2
h−→ AB;−AC→
i = 3
2 (đvdt)
Độ dài đoạn thẳng BC : BC =p(−1 + 1)2+ (−2 − 0)2+ (1 − 2)2=√5
Gọi hAlà độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của 4ABC
Ta có SABC=1
2hA· BC ⇒ hA=
2SABC
BC =3
√ 5
5 (đvđd)
Câu Vb (1 điểm) ————————————————————————————————
Giải phương trình (z − i)2+ 4 = 0
Bài giải:
Cách 1 Ta có phương trình đã cho tương đương với (z − i)2= −4 = 4i2
Từ đây suy ra z − i = 2i ∨ z − i = −2i, hay z = 3i ∨ z = −i
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là z = 3i và z = −i
Cách 2 Đặt z = iu thay vào ta có (iu − i)2+ 4 = 0 ⇔ 4 − (u − 1)2= 0 ⇔ (1 + u)(3 − u) = 0 Vậy nên u = −1 hoặc u = 3
để có hai nghiệm cần tìm của chúng ta là z = −i và z = 3i
... ————————————————————————————————Giải phương trình (1 − i)z + (2 − i) = − 5i tập số phức
Trang 3Bài giải:
Cách...
Câu Vb (1 điểm) ————————————————————————————————
Giải phương trình (z − i)2+ =
Bài giải:
Cách Ta có phương trình cho tương đương với (z − i)2=... điểm A đến mạt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A song song mặt phẳng (P)
Bài giải:
d(A; (P)) =|2 · + · − · + 1|
p
22+ 12+