d Viết pttt của đồ thị hàm số tại giao điểm của nó với trục tung.. c Viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 = 0 d Viết pttt của đồ thị hàm số tại giao điểm của nó với trục h
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II NĂM HỌC 2010 - 2011
A) ĐẠI SỐ:
I) GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC:
Bài 1) Tính các giới hạn sau:
1)
2
2
3 4
1
x
Lim
x
→
− −
−
2 4
( 1)
x
x
Lim
x
→
−
−
3)
3
2 1
3
x
x
Lim
x
+
→
+
−
4)
2
1
1
1
x
x
Lim
x
−
→
+
−
5)
2
2
2 3
2
x
Lim
x
+
→−
+
6) 22
1
2 1
x
Lim
→
+ + −
7)
2
1
1
x
Lim
x
→
−
8)
2
2
3 2
2
x
Lim
x
→−
+
9)
2
3
9
3
x
x
Lim
x
→−
−
+
10)
2
2
1
5 4
x
Lim
→−
+
11)
2
1
4 3 1
x
Lim
x
→
−
12)
5
2 11 1
5
x
x
Lim
x
→−
+ −
+
13) 172
1
x
Lim
x
→+∞ +
14) 1 2 2
x
x
Lim
x
→−
+
15) x Lim x→+∞( 4− −3x 4)
16) x Lim→−∞( 3− x3−2x2−4)
17)
2
1 2
x
Lim
x
→−∞
−
x
x
→−∞ − +
20)
6
3 3 6
x
x Lim
x
→
+ −
−
2
4 1 3 4
x
x Lim
x
→
+ −
−
3
3
x
Lim
x
→
−
23)
0
x
x Lim
x
→
24)
2 3
x
Lim
→−∞
−
25)
3 3
3 4
x
Lim
x
→+∞
−
26)
4 3
3 4
x
Lim
x
→+∞
−
x
x
29) ( 4 2 2 )
x
x
x
→+∞ + − +
1
x
2
x Lim
→−∞
x Lim
2
x
x Lim
→+∞
36)
2 4
4 1
x
Lim
x
→−∞
37)
2
2 1
x
Lim
x
→+∞
38)
2 2
3 1
x
Lim
x
→−∞
39)
2 3 4
2 1
x
Lim
x
→−∞
−
1
x
x Lim x
→−∞
− +
41)
3
2
8 2
x
x Lim x
→
−
−
42)
2 3 3
27
x
Lim x
→−
+
43)
2 2 2
3 2
x
Lim
→
− +
Bài 2) Tính các giới hạn sau:
1)
3 2
1
1 1
x
Lim
x
→
− − −
3
x
Lim
→
3 2 2 2
4
3 2
x
Lim
→
− −
− +
Trang 24
2
2
16
x
Lim
x
→−
+
3
2
3 2 2 2
x
x Lim
x
→
+ −
2 7 3
x
x Lim
x
→
+ −
7)
0
x
Lim
x
→
2
2
x
Lim
x
→
2
2
2
x
Lim
x
+
→
−
1
x
Lim
x
Lim
3 2
2 1
1 1
x
Lim
x
→
− − +
−
Bài 3) Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =
2
1 1
khi x x
−
tại x =1
b) f(x) =
2
3 3
1
9
khi x x
<
tại x =3
c) f(x) =
2 2
khi x x
−
tại x =2
d) f(x) =
2 3 2
2 2
khi x x
khi x
−
tại x =2
e) f(x) =
2
2
2
1 1
1
khi x x
+ + <
tại x =1
f)f(x) =
3 2
2 3 3 2
2 2
khi x x
+ − − > −
+
tại x = -2
Bài 4) Tìm m để hàm số sau:
a)
2
2
ìï - +
ïï
ïïî
liên tục tại x 0 =2
b)
2
2
x x neáu x
mx neáu x
<-ïï
-ïïî
liên tục tại x0 = -2
c)
2
ïï
-ïï
ïî
liên tục tại x 0 = 3
d)
2
ìï
ïï
=í
-ïï
ïî
liên tục tại x0 = 2
Trang 3e)
3
2
ìï +
-ïï
=í +
=-ïïî
liên tục tại x0 = -2
Bài 5) Tìm m để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó:
a)
2
2
ìï
ïï
=í
ïïî
b)
2
3
ìï + +
-ïï
=-ïïî
Bài 6) Chứng minh các phương trình sau đây có nghiệm thỏa các điều kiện sau:
a) 3 2
4 3 12 0
x − x − + =x có ít nhất một nghiệm dương
b) 5
5 1 0
x − x− = có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1; 0)
c) 3
2x −6x+ =1 0 có ít nhất 2 nghiệm
d) 5 4
x − x + x− = có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)
e) 3
3 1 0
x − − =x có ít nhất một nghiệm âm
f) 4 3
3 1 0
x − x + = có nghiệm trong khoảng (-1;3)
g) 2x5- 5x + = có 2 nghiệm trái dấu.2 0
h) x5- 7 x + = 3 0 có 1 nghiệm âm lớn hơn -2
i) x5- 5 x + = 2 0 có 1 nghiệm dương nhỏ hơn 1
j) (1−m x2) 5− − =3x 1 0 có nghiệm với mọi m
k) (m2−4)(x−1)6+5x2−7x+ =1 0 có nghiệm với mọi m
Bài 7) Cho hàm số: y = f(x) = 2 1
1
x x
+
− có đồ thị (C)
a) Tính f ’(2)
b) Viết pttt của (C) tại điểm M(2;5)
c) Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1
d) Viết pttt của (C) tại điểm có tung độ bằng 0
e) Viết pttt của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
4
−
f) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (a): 3x + y + 2011 = 0
g) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (b): y = 3x - 2011
h) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến qua A(0; 2)
II) ĐẠO HÀM
Trang 4Bài 8) Cho hàm số: y = 2 3
1
x x
− +
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1
b) Viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 1
2
−
) c) Viết pttt của đồ thị hàm số tại giao điểm của nó với trục hoành
d) Viết pttt của đồ thị hàm số tại giao điểm của nó với trục tung
e) Viết pttt của đồ thị hàm số tại giao điểm của nó với đường thẳng (a): y = 4x – 6
f) Viết pttt của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (b): y = 5x + 2011
g) Viết pttt của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (c): 5x + y + 2011 = 0
h) Viết pttt của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(-2;2)
Bài 9)Cho hàm số: y = f(x) = x3−3x2+2 có đồ thị (C)
a) Tính f ’(-1)
b) Viết pttt của (C) tại điểm M(-1; -2)
c) Viết pttt của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
d) Viết pttt của (C) tại điểm có tung độ y0 = 2
e) Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f ’(x) = 0
f) Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f ’’(x) = 0
g) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (a): 3x + y = 0
h) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (b): y = 1
9
−
x i) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến qua A(0;2)
Bài 10) Cho hàm số: y = x4−2x2−3
a) Tính y’( -1)
b) Viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm M(-2;5)
c) Viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 = 0
d) Viết pttt của đồ thị hàm số tại giao điểm của nó với trục hoành
e) Viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f ‘(x) = 0
f) Viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f “(x) = 0
g) Viết pttt của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 24
h) Viết pttt của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (b): y = 0
i) Viết pttt của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (a): y = 1
96
−
x +2 j) Viết pttt của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(0;2)
Bài 11) Cho hàm số y = f (x) =
3
x
− −
− có đồ thị (C).
a) Tính f ‘(1)
b) Viết pttt của (C) tại M(1; 1)
c) Viết pttt của (C) tại giao điểm của nó với trục tung
d) Viết pttt của (C) tại giao điểm của nó với trục hoành
e) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (a): y = 0
f) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (b): x - 24 y + 1 = 0
Trang 5g) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến qua A(4;1).
Bài 12) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y x= 2+7x+10 2) y= −2x2+8x−6 3) 2 4 5
2
x
4) y x = −3 x2 − 2x 5 −
7)y x= 4−3x2+2 8) y= −3x4+ +x2 2x 9)
2 2
13) y 3
2x 1
=
2x 1 y
1 3x
+
=
−
= +
3x 4 y
2x 2
16) y x2 3x 3
x 1
=
2
y
x 3
=
−
=
− +
2
3x 2 y
1
y x
x
= +
1 3
2 5
x
= − +
1
3 1
y x
x
−
Bài 13) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
2x 1 y
x 1
(x 1)
+
=
1 y
=
− + 6) y = −(3 2x2)2011
7) y = 2x 2 − 5x 2 + 8) y = x2− 4x 3 + 9) y = x + x
+
=
2
4 x y
x
+
=
13) y x3
x 1
=
3
16) y = x + x2+ 1 17) y = (x2+ 1) (2 3x )4 − 5 3 18) y = (x2+ 1) x4 3+ 2
Bài 14) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
4) y = cos x 2sinx2 + 5) y = sin 2x2 +1cos4x
2 6) y = 1 cos8x cos 4x− 2
2
7) y =tan x cot x2 + 2 8) = π−
2
3 9) y = sin x cos 2x2 − 2
10) y = 1 − 1
Trang 616) y = π+ + π−
2
x
6 2 3 15) y = (3x + 2) sin2x 18) y = (1 + sinx)(1 – sinx)
19)
2
sinx y
1 cosx
25) y tanx = +2tan x3 +1tan x5
x
1 cos
2
28) y (2 sin 2x) = + 2 3 29) y tan sinx = ( ) 30) y cos2 x 1
x 1
−
31) y = cos(sin2x) 32) y = sin(cos(5x3− 4x 6) + 2011) 33) y =sin (tan(x2 4+ 1))
34) y =
+
sinx
cosx
−
cosx sinx sinx+cosx
Bài 15 : Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx= + .
a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''( ), f '' ,f ''(1)
2
π
Bài 16 : Giải các phương trình và các bất phương trình sau :
3 2
5 3
c)
3 2
3 2
y ≤ y= + − x+ d) y' 0 cho≥ y x= 4−2x2
e) 'y < −6 với y = 3 5 2 1
x − x + f) ' 0y ≥ với y = 4 2 1
4 2
g) ' 0y ≤ với y = −2x4+8x2−6 h) ' 0y > với y = x3−3x2+3x−6
i) ' 0y < với y =
1
x
+ +
− j) ' 0y ≥ với y =
2 3 1
x x
+ +
k) ' 0y ≤ với y = 22 1
4
x
− + + l) ' 1y ≤ với y = x2−2x−8
m) 'y ≤ y với y = x2−2x n) '( )f x ≤g x'( ) với f(x) =x3+ −x 2 và g(x) = 3x2+ +x 2
Bài 17) Giải các phương trình f’(x) = 0 biết:
1) f(x) = -cosx + 3 sinx – x 2) f(x) = 3 cosx + sinx + x
3) f(x) = sinx + cosx + 2 x + 1 4) f(x) = 3sinx + 4cosx +5x + 1
5) f(x) = sin x cosx2 + +2 6) f(x) = cos x sinx2 +
7) f(x) = sin2x + cos2x - sin 2x 2 + 2x 8) f(x) = 2 cos17 3 sin 5 os5 2
Trang 79) f(x) = sin 3 cos 3(sinx os3 )
x
+ − + 10) f(x) = sin2x – 2sinx -5 11) f(x) = sin2x + cox2x - 2x
Bài 18: Chứng minh rằng:
1) y’ không phụ thuộc x với y = cos x2 −1cos2x
2
2) y’ không phụ thuộc x với y = sin 2x2 +1cos4x
2
3) y’ không phụ thuộc x với y = cos x sin x 2sin x4 − 4 + 2
4) y’ không phụ thuộc x với y = cos (2 π− +x) cos (2 π+ +x) cos (2 2 π− +x) cos (2 2 π+ −x) 2sin x2
5) y’ không phụ thuộc x với y = cos x sin x 3sin xcos x6 + 6 + 2 2
6) y'−y2− =1 0 với y = tanx
7) y' 2+ y2+ =2 0 với y = cot2x
8) '( ) 3 ( ) 3
với
2 2
os
1 sin
y
x
= +
9) f x'( )=g x'( ) với ( ) sin4 os ,4 ( ) 1 os4
4
10) xy−2 'y xy+ ''= −2sinx với y = xsinx
11) ''y + +y 2sinx=0 với y = xcosx
12) 2(cosx y− ')+x y( ''+y) 0= với y = xcosx
13) ''' 8 '' 16 ' 16y + y + y + y− =8 0 với y =cos 2x 2
14) 3
'' 1 0
y y + = với y = 2
2x x−
15) 2 'y 2=(y−1) ''y với y = 3
4
x x
− +
16) 2
2 x +1 'y = y với y = x+ x2+1
17) 4(1+x y2) '' 4 '+ xy− =y 0 với y = 2
1
Trang 8CÁC CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM THƯỜNG DÙNG
Các quy tắc tính đạo hàm
1.(u v w+ − )'= + −u v w' ' ' 4.( )k u '=k u.( ) ' ( k là hằng số ) 7. ax ' 2
2.( )u v '=u v uv' + ' 5.
'
2
−
=
÷
(v≠0)
3.( )k ' 0= ( k là hằng số ) 6.( )x ' 1=
Đạo hàm các hàm số thường gặp Đạo hàm hàm hợp của các hàm số thường gặp
1.( )n ' n 1
2.
'
2
= −
÷
3.( )' 1
2
x
x
=
4.( )'
sinx =cosx
5.( )'
cosx = −sinx
2
1
cos
x
2
1
sin
x
8.( )' 1
'
9.
'
2
1 u'
= −
÷
10.( )' '
2
u u
u
=
11.( )' sinu =u'.cosu
12.( )' cosu = −u'.sinu
13.( )'
2
' tan
cos
u u
u
=
14.( )'
2
' cot
sin
u u
u
= −
sinn u =n.sinn− u.(sin ) 'u
osn osn ( os ) '
tann u =n.tann− u.(tan ) 'u
cotn u =n.cotn− u c u.( ot ) '
Trang 9D
A S
M
O
S
B) HÌNH HỌC:
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy (ABCD),
SA = a 2.CMR:
a) BD⊥(SAC), BC⊥(SAB),CD⊥(SAD),AD⊥(SAB),AB⊥(SAD)
b) (SAB)⊥(SBC), (SAB)⊥(SBC), (SAD)⊥(SCD), (SAC) (⊥ SBD),
(SAC) (⊥ ABCD), (SAB)⊥(ABCD), (SAD)⊥(ABCD)
c) SC ⊥BD , SB⊥BC , SD CD⊥ ,
SA⊥BD, SA⊥BC, SA CD⊥
d) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC, SD
CMR: AH ⊥(SBC), AK ⊥(SCD),
SC⊥(AHK), CD⊥(SAD)
e) (SAC) (⊥ AHK), (SBC) (⊥ AHK), (SCD) (⊥ AHK)
f) Gọi J là hình chiếu vuông góc của O lên SC
CMR: (JBD) (⊥ SAC)
g) Tính góc giữa SC và mp(ABCD), SC và mp(SAB),
SC và mp(SBD), SB và mp(SAC), SB và mp(SAD), AB và mp(SAC), BC và (SBD)
h) Tính: d(C; SAD), d(B; SAC) d(A; SBC) d(C; SBD) d(B; SAD) d(O; SAB)?
i) Tính: d(BC; SAD), d(AB; SCD), d(CD; SAB), d(AD; SBC)?
j)Tính: d(SC; BD), d(SC; AB), d(SC; AD), d(SA; BD), d(SA; CD), d(SB; CD)?
k) Tính góc giữa mp(SBD) và mp(ABCD), mp(SBC) và mp(ABCD), mp(SAC) và mp(SBC)
2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a Gọi O là tâm của mặt phẳng đáy.CMR:
a) BD⊥(SAC), AC⊥(SBD), SO⊥(ABCD)
b) (SAC) (⊥ SBD), (SAC) (⊥ ABCD), (SBD)⊥(ABCD)
c) AC⊥SB , AC⊥SD , SC⊥BD , SA⊥BD , SO⊥BD , SO⊥AC , SO⊥AB , SO⊥AD
d Tính góc giữa SC và mp(ABCD), SC và mp(SAB), SC và mp(SBD)
SB và mp(SAC), SB và mp(SAD), AB và mp(SAC), BC và (SBD)
e) Tính d(S; ABCD), d(A; SBD), d(B; SAC), d(O, SCD)
f) Tính d(AB; SCD), d(MN; ABCD), d(BC; SAD)
Với M, N lần lượt là trung điểm của SC, SN
g) Tính d(SB; AC), d(SO;AB), d(SA, BC)
h) CMR: (SAC) (⊥ MBD)
i) Tính góc giữa mp(SBD) và mp(ABCD),
mp(SBC) và mp(ABCD), mp(SAC) và mp(SBC)
Trang 11A C
B
S
H
O I
B S
O'
O
O1
C B
D
B'
A
3) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H là hình chiếu của A lên SB, SA = a 2, AB = a, AC = a 3
a) BC⊥(SAB), AH ⊥(SBC)
b) (SAB)⊥(ABC), (SAC)⊥(ABC),
c) (SAB)⊥(SBC), (AHC)⊥(SBC)
d) AH ⊥BC , SB⊥BC , SA⊥BC
e) Tính góc giữa SB và mp(ABC), AH và mp(ABC),
SA và mp(SBC), BC và mp(SAC)
f) Tính d(C; SAB), d(A, SBC)
g) Tính d(SA; BC), d(BC, AH)
h) Tính góc giữa mp(SAB) và (SBC), mp(SBC) và mp(ABC)
4) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2 Gọi I là trung điểm của BC, O
là trọng tâm của tam giác ABC
a) BC⊥(SAI) , SO⊥(ABC)
b) SO⊥BC, SO⊥ AI
c) (SBO)⊥(SAC), (SAI) (⊥ SBC)
d) Tính: d(S, ABC), d(A, SBC), d(A; SBO)
e) Tính d(SO; BC), d(SA; BC)
f) Tính góc giữa SB và mp(SAB), BC và mp(SAB)
g) Tính góc giữa mp(SAB) và mp(ABC), mp(SOA) và mp(SOB),
mp(SOA) và mp(SAC)
5) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a và tâm 2 đáy lần lượt là O và O’ CMR:
a) AC⊥(BB D D' ' ), BC' ( ' '⊥ A B CD), AC' ( '⊥ A BD), 'B D⊥(BA C' ')
b) BD⊥ AC', CC'⊥BD, AD CD⊥ '
c) (ACC A' ') (⊥ BDD B' '), (ACC A' ')⊥(BDD B' '),
(ACC A' ')⊥( 'A BD)
d) Tính d(B, AC’), d(B’; AC’), d(A’; BC), d(B’; BC)
e) Tính d(B; ADC’B’), d(C; ADC’B’), d(B, ACC’A’)
f) Tính: d(A’C’; ABCD), d(A’B; CDD’C’), d(O1O2; ABCD)
g) Tính: d(ABB’A’; CDD’C’), d(ABCD; A’B’C’D’),
d(BA’C’; ACD’), d(ABCD; D’AC), d(ABCD; ADC’D’)
h) Tính: d(AB; CC’), d(A’D’; C’D), d(BB’; AC’)
d(A’B; AC’), d(BC’; CD’), d(AB’; C’D)
Trang 12CHÚC CÁC EM LÀM BÀI TỐT!!!