Một số bất đẳng thức thuộc Loại Ostrowski và các áp dụng7

Luận văn thạc sĩ toán học- ngành toán học-Chuyên đề :Một số bất đẳng thức thuộc Loại Ostrowski và các áp dụng

Trong chudng nay, chung Wi mu6n ap d\lng cac ba't d~ng thuc tich phan tren cac ham C\lth€.

4.1 Ham g(x) =ex.

khido

g<n)(x)=eX, nEZ+

va

(4.1) IIg<n+l)1100= sup!g<n+l) (o! = eY.

o$t$y

Ap d\lng ba't d~ng thuc (2.16), ta thu duQc

eY -eo -exI (Y_X)k+1 +(-l)k(x-a)k+l

(4.2)

eY

<

- (n+l)![(y-xY+l +(x-ay+l]

eY

S (y-ay+l, 'v'xE[a,y].

(n + I)!

Df;icbi~t, ne'u chQn a = 0 trong (4.2), khi do ta thu duQc

n-I(y - X)k+l + (-l)k Xk+l

eY -1 - exI

k=O (k + I)!

(4.3)

eY

<

- (n+l)![(y-xY+l +xn+l]

< e Y \:IxE [O,y].

- (n+I)!'

Han mIa, n6u chon x = Y , khi do ta co

(4.4 )

y n-l

1 ( I)k

k=O (k + I)! 2k+l

< eY yn+l

4.2 Ham g(x) = lux.

Ta xet ham g: (0,+00)~ IR, g(x)= Inx,

khido

n-l

( n -1 )'

xn

va

/I

-/

Ap dvng ba't d~ng thuc (2.16), ta thu du'qc

n-l (y_x)k+l+(-I)k(x-a)k+l (-I)kk!

(4.7)

< n!

- (n+I)!an+l [(y-xy+l +(x-a)n+l]

< (y - a)n+l

-(n+I)an+l' O<a~x~y.

Han nlia, ba't d~ng thuc nay tu'ang du'ang voi

y n-l 1 (x-a)k+l +(-I)k(y-x)k+l

In ,,-~

(4.8)

J~t uJ' lull (~ tJum." Trang 34 ~ 4: dilL ~ oiio- ,

~ (Y_Xy+1 +(x-ay+1

(n + 1) an+1

< (y - a y+1

- (n + l)an+" 0 < a ~ x ~ y.

D~c bi~t, ne'u chc.mtrong (4.8)

y =z + 1, x = w + 1, a = 1, 0:::;;w :::;;z,

khi do ta duQc

(4,9) In(z+l)- I ~ Wk+1 +(-I)k(z-w)k+l

~ (Z-wy+l +Wn+l

(n + 1)

<

-(n+l)' zn+!

Cu6i cling, n€u ch9n trong (4,8)

y = ua, x = wa, 1:::;;w ~ u,

ta duQc

(4.10) lnu - I ~ (w-l)k+l + (-l)k(u - W)k+l

~ (U-wy+l +(w-ly+l

(n + 1)

~ (u-ly+l

(n + 1)

4.3 Ham g(x) = xa,a E JR.

X6t ham g: (0,00) ~ JR, g(x) = xa, a E JR.

Khi do

(4.11) g(k) (x) = a(a -1) (a - k + l)xa-k = k!C;Xa-k, 0 < a ::;x ::;y ::;b,

Ck=a(a-l) (a-k+l) , a E, lR k = O12 , , ,

vdi

(4.12) Ilg(n+l)IL= suplg(n+l) (t)1 = (n + 1)!C;+1 max {aa-n-l ,ba-n-l}.

tE[a,b]

Ap dl;lng ba't dAng thuc (2.16), ta thu duQc

n-l

( ) k+l ( l)k( )k+l

ya -aa - I y-x + - x-a (k+l)!C;+lXa-k-l

k=O (k + I)!

(4.13)

::; C;+l max {aa-n-l , ba-n-l H(y - x)n+l + (x - a)n+l]

::; C;+l max {aa-n-l ,ba-n-l}(y - ay+l, '\Ix E [a, y].

Truong hQp rieng, nSu chQn trong (4.13) x = Y;a , ta duQc

(4.14)

n-l 1+ ( l)k

a-k-l ya-aa-I - (y-a)k+lCk+l y+a

( a)n+l

::;C;+l max {aa-n-l ,ba-n-l} Y ~n ' 0 < a ::;y ::;b.

Cl;lth€ I~i (4.14) vdi n chAn,Ie nhusau.

(a) NSu n =2r.

Ta co vdi 0 < a ::;y ::;b,

(4.15)

r-l 1

a-2k-l

ya -aa -" - .

C2k+l ( - )2k+l y+a

~

- a max {aa-2r-l,ba-2r-l} - a

(b) Ne'u n = 2r + 1.

Ta co vdi 0 < a ::;y ::;b,

(4.16) a a Ir 1

y -a - -C2k+l ( - ) 2k+1 y+a

2 2k a y a

2r+2

- a max {aa-2r-2 ,ba-2r-2} - a

4.4 Ham g(x) = sinx.

Ta xet ham g: JR -> JR, g(x) =sinx,

khid6

g(k)(X) = sin(x + k ;), \:Jk E Z+

va

(4.17) Ilg(n+I)IL = suplg(n+J)(t)1 ~ 1.

a~t~y

Ap dl;lng b~t dAng thuc (2.16), ta thu duQc

nI ( )k+l + ( l)k ( )k+1

< 1

- (n+l)![(y-x)n+1 +(x-ay+I]

< (y-ay+l

(n + I)! ' Y - a.

Truong hQp rieng, n€u chQn a = 0 trong (4.18), ta duQc

n-I

( - X)k+1 + (-I )k Xk+1

(

n J

(4.19)

< 1

- (n+l)![(y-xY+l +xn+l]

(n+l)!' y~O.

Hon mIa, n€u chon x = y , ta duoc

(y

1C

)

siny-" yk+lsin

~ yn+1 (n+1)!2n'YZO.

4.5 Ham g(x) = cosx.

g(k) (x) = cos(x+k"2)' Vk E Z+

va

(4.21) Ilg(n+l) t = sup/g(n+l) (t)/~ 1

a$l$y

Ap dl;lng b§t dAng thuc (2.16), ta thu duQc

(4.22)

n1

( )k+l + ( l)k

( )k+l

k=O (k + I)! 2

~ 1 [(y_x)n+l +(x-aY+']

(n + I)!

~ (y-ay+l

(n + I)! ' Y z a.

Trudng hQp rieng, ne'u chQn a = 0 trong (4.22), ta duQc

(4.23)

n-l

k=O (k+ I)! 2

< 1

~ yn+1

(n+1)!' yzO.

.J~ M ML {~ lJuk Trang 38 @Jutdn.g4: dip- ~ oao-

Hdn mIa, ne'u chon x = Y , ta dudc

n-l 1+ ( -I )k

(Y

n

)

cosy -1- '" yk+l cas -+ (k +

(4.24)

~ yn+l

(n + 1)!2n ' y 2 O.