Một số bất đẳng thức thuộc Loại Ostrowski và các áp dụng 4

Luận văn thạc sĩ toán học- ngành toán học-Chuyên đề :Một số bất đẳng thức thuộc Loại Ostrowski và các áp dụng

Jf~ J£ 11M ildny lJum Trang 5 @/uio'I'lLJ 1: @Lie ildny lJum

CHu'ONGI

eA e DANG THDe TieH PHAN

Chuang 1 di vao vi~c khflOsat cac dAng thuc tich phan bi~u di~n theo gia tri ham va cac dC;toham cua no tren cac khmlng tu'ang ung C6ng C\lchu

ye'u la vi~c sa dvng chung minh qui nC;tpva mQt s6 c6ng thuc trong phep tinh vi tich phan.

Truck he't, be)d~ sau day du<;5cthie't l~p

Bc3 d~ 1.1.

Cho f: [a,b] ~ IR co dqo ham din cap n -1 va f(n-l) lien tl:lCtuy~t deli tren [a,b] Khi do, ta co ddng thac rich ph an

(1.1)

b

ff(t)dt = I (b - X)k+f + (-I)k (x - a)k+l

b

+(-IY fKn(x,t)f(n)(t)dt, VxE[a,b],

a

(1.2)

Chung minh

Ta chung minh b~ng qui nC;tploan h9C

Voi n = 1, chung ta cftn chung minh dAng thuc

(1.3)

(t - ay

, tE[a,x],

-, t E (x,b],

n!

JlltJl w hilt i/d/llfJ tJule Trang 6 @tutmlfJ f: @de~ tJule

trong do

(1.4)

{

t - a, n€u t E [a, x],

Th~t v~y, tich ph an tung phfin ta duQc

( 1.5)

fK,(x,t)f/(t)dt= f(t-a)f/(t)dt+ f(t-b)f/(t)dt

= (t-a)f(t)I: - ff(t)dt+(t-b)f(t)I: - ff(t)dt

b

= (b - a)f(x) - ff(t)dt.

a

V~y d£ng thuc (1.3) duQc chung minh

Gia sa rang (1.1) dung voi "n" va ta cfin chung minh ding (1.1) dung

voi "n + 1", tuc la, ta chung minh d£ng thuc sail day dung

( 1.6)

b

ff(t)dt = :t (b- X)k+l + (-I)k (x - a)k+l

a k=O (k + I)! f(k) (x)

b

+ (-Iy+l fKn+l(X,t)f(n+l)(t)dt,

a

trong do

(t - ay+J

(n + I)! '

(t - bY+)

(n + I)! '

tE[a,x],

tE(x,b].

Ta co

(1.8) fKn+1(x, t)f(n+l) (t)dt = J(t - a Y:l f(n+l) (t)dt + f(t - b )n:l f(n+,) (t)dt.

Tich phan tung phfin ta duQc

Jf"ll Jif bill iMFlfJ lJule Trang 7 ~ 1: ~ i/kUJ tIule

(1.9) fKn+l(X,t)f(n+l)(t)dt = S(t-aY:1 a a (n + 1).f(n+l)(t)dt + f(t-bY:1 x (n + 1). f(n+l\t)dt

x

= (t-ay+l f(n)(t) - S(t-~Y f(n) (t)dt

b

+ (t - b y+1fen) (t) - f(t - bY fen) (t)dt

(n + I)! x x n!

n+l

( I) n+2 (b ) n+l

= (x-a) + - -x f(n) (x)

(n + I)!

b

- fKn(x,t)f(n)(t)dt, a

nghla Ia

(1.10)

b

fKnCx,t)f(n) (t)dt = (x-ay+l + (-Iy+2(b-xy+1 (n)

b

- fKn+I (x,t)f(n+l\t)dt.

a

Bay gio, dung gia thie"tqui n~p, ta thu du'<Jc

(1.11)

b

ff(t)dt = f (b-X)k+l +(-I)k(x-a)k+l

b

+ (-IY fKJx,t)f(n) (t)dt

a

k

( )k+l

n-l (b-X)k+l +(-1) x-a f(k) (x)

b

-(-IY fKn+l(X,t)f(n+l)(t)dt

a

JJU)l.uf bift itdTUJ Yul£ Trang 8 @hu'dng 1: @Lie~ tluLe

k

) k+l

n (b-X)k+l +(-1) (x-a f(k) (x)

b

+ (-ly+l fKn+l(X,t)f(n+l)(t)dt.

a

Nghla la, d£ng thuc (1.6) la dung va b6 d~ 1.1 dli<JCchung minh

T b~ d'"1 1 I"" a + b Kh.d' h d h" ?

rang 0 e , ay x = 2' Iota t u li<JC y qua sail

H~ qua 1.2.

Vai cae gia thief nhu: trong b6 di 1.1, ta co biiu diln rich ph an

(1.12)

b

)

b

+(-IY fMn(t)f(n)(t)dt,

a

trong do

H~ qua sail day cho mQt bi6u di~n tich phan d mQt dc;mgkhac vdi (1.12)

H~ qua 1.3.

(1.14)

Vai cae gia thief nhu: trong bd di 1.1, ta co dang thac rich phan

b n-l (b~a)k+l f(k)(a)+(-I)kf(k)(b)

b

+ fTn (t)f(n) (t)dt,

a

trong do

n!

(1.13)

n!

Jfll)-l ur luil lltbUJ tJule Trang 9 @luIdnLJ 1: @lie ilJ.nq tJui'e

(1.15)

1

[

]

, t E[a,b].

T (t) =

Chung minh

Trang b6 d~ 1.1, ta Iffy x =a

(1.16) ff(t)dt = f (b-a)k;l fk(a)+(-IY f(t-~Y f(n) (t)dt,

ff(t)dt = f (-I)k ~b- a)k+lfk (b) + (-IY f(t - aY f(n) (t)dt.

Lffy trung hint c(>ngcua hai ding thuc (1.16) va (1.17), ta thu du'<Jc

(1.17)

(1.18)

b

ff(t)dt = f (b - a)k+l f(k\a) + (-I)k f(k) (b)

+bf ~

[

]

=2:

b

+ fTn (t)f(n) (t)dt,

a

voi Tn(t) nhu'trang (1.15) V~y (1.14) du'<Jcchung mint xong .

Sau day Ia c6ng thuc gi6ng Taylor voi ph~n du' tich phan

H~ qua 1.4

Cho g : [a,y] -» IR co d(lo ham din cap n va g(n) lien tl:lCtuy~t dol tren [a,y] Khi do, ta co dang thuc

(1.19) gel) = g(a)+ ~L (Y_X)k+l + (-I)k(x a)k+l (k+l)(

k=O (k + I)! g x)

JfbJl w t,al ltJiny llule Trang 10 @Juco'nq 1: @LiEilLing lIule

y ~

+ (-lY fKn (x, t)g(n+l)(t)dt, 'v'x E [a, y],

a

~

trongd6nhan Kn :[a,y]x[a,y] +IR dU:(jcchobiJi

( 1.20)

Chung minh

Trang c6ng thuc (1.1), 1fty f = gl, b = y va Kn = Kn' ta thu du'<Jc

(1.21)

b

g(y) - g(a) = fgl (t)dt

a

n-I

( )k+l ( l) k( ) k+1

k=O (k + I)!

y ~

+(-l)n fKn (x,t)g(n+l) (t)dt.

a

Chu y 1.1.

if Trang (1.1), 1fty n = 1, ta du'<Jc

(1.22)

ff(t)dt = (b - a)f(x) - fKI (X,t)fl (t)dt, x E [a,b],

trang d6

(1.23)

{

t- a, t E [a,x],

K](x,t)= t-b, tE(x,b].

iif Trang (1.12), Ifty n = 1, ta du'<Jc

(1.24) b ff(t)dt =(b - a)f(-) a+b - fMt (t)fl (t)dt, b

trang d6

(t - ay

, tE[a,X],

" "

n.

Jf~l uf bill itdFLfJlhtk Trang 11 @luMtUJ 1: @Lie~ thtk

(1.25)

a+b]

b].

1

iiif Cling v~y, trong (1.14), Iffy n = 1, ta thu dU<;5ccong thuc hlnh thang

(1.26) ff(t)dt =f(a) + f(b) (b-a)+ f~(t)fl(t)dt,

trong d6

( 1.27) T (t)1 = a + b t

ivf Cu6i cling, trong (1.19), Iffy n = 1, ta thu dU<;5ccong thuc gi6ng Taylor

(1.28)

y ~

g(y) =g(a) + (y - a)gl (x) - SKI(X,t)gll (t)dt, x E [a,y],

a

~

trongd6nhan K] :[a,y]x[a,y]~IR dU<;5cchobdi

~

{

( 1.29)

Chti Y 1.2

if Trong (1.1), Iffy n = 2, ta dU<;5C

(1.30)

b

(

a+b

J

b

+ SK2(x,t)fll (t)dt, x E [a,b],

a

(1.31)

(t-a)2 tE[a,x],

b]

2

~ ,.'"::- J

0 H ~ H T,! NLi if i'-J/ 11Hl Vi~i~ I

"-'-"j

it (t , "', -., ""

J

,".t U U :;~;; l,

trong d6

J~ W Iffl'l ild/lLfJlJule Trang 12 @JutdFLfJ 1: @Lie iliiFLfJ lIule

ii/ Trong (1.12), la'y n = 2, ta du<;1c

(1.32)

b

(

a+b

)

b

trong d6

(1.33)

] (t-a)2 , tE[a'2'

b]

iii/ Cling v~y, trong (1.14), n€u la'y n = 2, ta du<;1cc6ng thuc hlnh thang

(1.34 )

b

b

+ fT2(t)f// (t)dt,

a

trong d6

(1.35) (b-t)2 +(t-a)2, tE[a,b].

iv/ Cu6i cling, trong (1.19), la'y n = 2, ta du<;1c

(1.36)

g(y) = g(a) + (y-a)gl (x) -(y -a{ x- a ~ y )gll (x)

y ""

+ fK2(x,t)g///(t)dt, XE[a,y],

a

""

trongd6nhan K2 :[a,y]x[a,y]~IR du<;1cchobdi

(1.37)

]

i,(X,tJ=i(t-YJ', tE(X,y],

2