Một số bất đẳng thức thuộc Loại Ostrowski và các áp dụng 6

Luận văn thạc sĩ toán học- ngành toán học-Chuyên đề :Một số bất đẳng thức thuộc Loại Ostrowski và các áp dụng

J~t ro 1u1LilJrl{J tJum Trang 23 @luitJ'nf,J3: @Lietip cltpuJ

CHUaNG III

CAC AP DT)NG VAO TICH PHAN SO

Trong chuang nay, chung Wi muO'ntrlnh bay cae ap dlJng vao tich phan sO'va cho mQt sO'cae danh gia sai sO'thong qua cae ph~n du trong cong thuc

khai tri6n giO'ng nhu cong thuc Taylor.

X6t phan ho~ch

I : a m =Xo<XI < <X m-I <X m = b

cua do~n [a,b],

va cae di6m trung gian

<; = «;o""'<;m-i)'

trong do

!;j E[Xj,Xj+I]' j=O,l, ,m-l.

(3.1)

Ta dinh nghla t6ng sau day

( J: ) k+1 + ( l) k ( J: ) k+1

Fm,k(J,Im,<;)=II Xj+I-':>j - , ':>j-Xj f(k)«;),

ma t6ng (3.1) co th6 xem nhu stj nhi~u cua tich phan Riemann

(3.2)

m-I

r(f,lm'!;) = If(!;)hj,

j=O

trong do

hj = Xj+1-Xi' j = O,I, ,m-l.

Khi do ta co dinh ly

JH4l ur ML ilhUJ t1uli.>- Trang 24 ~ 3: @Lietip dipuJ

Djnh Iy 3.1.

Cho f: [a,b] ~ IR co df;wham f(n-I) la lien t~c tuy~t dol tren [a,b]

va 1m la mf)t phtm hO(lch cua do(ln [a, b] nhu tren Khi do, ta co

(3.3)

b

ff(t)dt = Fm,k(f,Im,~) + Rm,k(f,Im,~), a

trong do Fm,k(f,Im'~) du(Jc dinh nghla nhu tren va phdn du Rm,k(f,Im'!~)

tho a mf)t ddnh giG

)I ~ Ilf(n)lloo ~[( J: _x. ) n+1 +( x _J:. ) n+l ]

m,k , m' '='

n + J=O

~ Ilf(n)t Ih/+I,

(n + I)! j=O wJi miJi ~, hj =Xj+l - Xj nhu tren.

Chung minh.

Ap dvng dinh 15'2.1 tren do;;tn [Xj,Xj+I]' ta thu du'(jc

(3.5)

Xi+!

ff(t)dt - ~L.J (Xj+1 - ~)k+1 + (-I)k ({ - x )k+1 J J f ile)

~ Ilf(n)IL [({ -x.y+1 +(x _J: ) n+l]

~ Ilf(n)t h~+I,j = 0,1, , m -1.

La'Yt6ng theo j tu 0 d6n m -1 va dung ba't d~ng thuc tam ghic, ta thu du'(jc

danh gia sail

(3.6)

b

IRm,k(f,Im ,~)I =Iff(t)dt - Fm,k(f,Im ,~)

a

J~l ur lufL lthUJlJuU Trang 26 ~ 3: @li£ tip dq.ng

(3.9)

I R (f 1 )1 ~ /lfcn)!Ioo~ h~+l

m,k , m 2n(n+I)!~ }

Chung minh.

Ap d\lng h~ qua 2.2 tren do~n [Xj,Xj+l]' ta thu dU<;1c

(3.10)

X 1+1 n-l 1+ (-I )k hk+l

f. f(t)dt - I ~ fCk) Xj +Xj+l

~ /lfcn)/loo hn+l.

2n(n+I)! }

Lay t6ng theo j tu 0 de'n m - 1 va dung bat dftng thuc tam giac, ta dU<;1c

(3.11 )

b

IRm,k(f,1 m)/ = Iff(t)dt - Mm,k (f,1m)

a

= II

[ Xf

.

+f(t)dt - I 1+ (-Il h;+l fCk)

(

Xj +Xj+l

)]

~ I Xlf

.

+1f(t)dt- I I+(-I)k ht1 fCk)

(

Xj +Xj+l

J

~ IlfCn)!Ioo m-l

2n(n+I)!~ h;+l.

Nhu V?y, h~ qua 3.2 dU<;1cchung minh

Bay gio, chung ta xet mOtd~ng nhi6u theo c6ng thuc hlnh thang

b

Do h~ qua 2.3, ta co xap Xltfch phan ff(t)dt theo Tm,JfJm).

a

J~ uf ht1L iliLrUJ tJum Trang 27 @luIdI1.fJ 3: @a£ lip ~

H~ qua 3.3

Cha f va 1mnhzt trang djnh ley3.1 Khi d6 ta c6

(3.13 )

b '"" '""

ff(t)dt = Tm,k(f,I m) + Rm,k(f,I m)'

a

trang d6 phdn dzt j(,k (f, 1m) thoa bitt acingthac

(3.14 )

IR (f I )

1

~ Cn

Il fcn)II ~ h~+1

trang d6

(3.15)

{

I,

Cn = 22r+1-1

22r+1 '

n = 2r + 1.

Chung minh

Ap d\lng h~ qua 2.3 tren do~n [Xi,Xj+I]'ta thu duqc

(3.16) XJf(t)dt - I h;+1 fCk) (x) + (-l)k fCk) (Xj+l)

C

< n

Ilf c )11

m-I

- (n+1)! n ooLh;+I, J=O

voi h va C nhu tren. .I n

Lay t6ng rhea j tIT0 de'n m -1 va dung bat d~ng thuc tam giac, ta thu duqc

danh gia

(3.17)

b

/Rm'k(f,Im)1 = Iff(t)dt - Tm'k(f,Im)

a

= II

[

Xl

f+f(t)dt - ~ h;+1 fCk) (x) + (-l)k fCk) (x

)]

J+I

J~ uf haLilkuJ tJum Trang 28 @Jurdng; 3: @Lietip cltpLg

~ I xlf+f(t)dt- ~ h;+' l(k)(x)+(-I)k l(k)(X,

)

}+I

c

< n

II/

( )

11

m-I

- (n + I)! n '" Ij=O h~+l}

Nhu V?y, h~ qua 3.3 du<jc chung minh

Cae tru'ong hQ'p rieng

(i) Truong hQp rieng cua h~ qua 3.2

ChQntrong (3.7) vdi

'+ X

} '+I - O m - 1

;:: =} , } - , ,

'-;,j 2

va

(3.19)

~

1m : a =Xo <XI < <Xm-I <Xm= b,

m

Ta du<jc c6ng thuc sau

1 ) J

H~ qua 3.4 (Truong h<jprieng h~ qua 3.2)

Cho I: [a,b]~ 1R co d(lOham I(n-I) la lien tl;lctuy?t dol tren [a,b]

~

va 1mnhu(3.19) Khi do ta co

(3.21)

b

fl(t)dt = Mm,k(/,1m) + Rm,k(/,1m) a

va phc1n du Rm,k (I, 1m) thoa ddnh gid

(3.22) - < mllf"'ILh'" = 1!f"'IL ,h",

Rm,k(l,Im)l- 2n(n+l)! 2 (n+l).

J~l ro IJdLltdntJ lJuLe Trang 29 ~J 3: @Lietip dtpuJ

(H) Truong hQ'p rieng cua h~ qua 3.3.

Voi 1m nhutrong (3.19) Khi do ta co tIT(3.12) ding

H~ qua 3.5 ( Truong hQprieng h~ qua 3.3)

~

va 1m nhu(3.19) Khi do ta co

(3.24)

ff(t)dt = Tm,k(f,lm) + Rm,k(f,lm) a

va phdn du i(,k (f, 1m) thoa ddnh gid

(3.25)

/R (f I )

1

~ mCn

Il f(nJ II hn+1= (b - a)Cn

m,k , m (n + I)! 00 (n + I)! 00'

trong do

(3.26)

{

I,

Cn = 22r+1-1,

22r+1

n=2r ,

n = 2r + 1.

(Hi)Truong hQ'prieng cua h~ qua 3.5

(a) n=2r.

va ph~n du

b

Rm,k(f,1m) = ff(t)dt-Tm,k(f,1m)

a

thoa danh gia

JJlijl.t£ haL (tklf,] tJui'e Trang 30 ~ 3: @ae lift dq.ng

(3.28) !iCU}.)! ~ (b-a)IIf""IL "(2r+I)! h.

(b) n=2r+l.

(3.29) Tm,k(f,Im) =I I hk+! f(k\a+ }h)+(-I)kf(k)(a+(}+l)h)

va ph~n du

b

i(,k(f,Im) = ff(t)dt-Tm,Jf,Im)

a

tho a danh gia

(3.30) IR , U,I.)I,; (2"" -1)111"""11

(2r + 2)! 22r+100(b - a)h2r+!.

Chu y 3.1.

if Neu chQn n = 1 trong cong thuc (3.4), ta thu duQc

(3.31)

ff(t)dt- I (Xj+1-x)f(c;)

m-l Xi+!

S I ff(t)dt - (Xj+1- Xj )f(C;j) j=O XI

:£ Ilf~1I. ~[(qJ -X)' + (Xj" -q)']

-(C; - Xj +Xj+l )

2

= Ilf/IL~ 4 + (Xj+l_X)2 I(Xj+l_X)2

Il f/IL ~ (x -X.)2.

< L j+1 J

- 2 j=O

J~ ufluiL itJ-I'uJtJum Trang 31 ~ 3: @Lietip dtpu]

iif N€u chQn n = 1 trong (3.10), ta thu du(jc

(3.32)

(

X +X

J

ff(t)dt-Iexj+i-Xj)f j+i j

<IlflQIeXj+l _X)2.

- 4 j:O

Cac k€t qua (3.31), (3.32) cho ta tim l,!i du(jc k€t qua trong [4] (S.S Dragomir va S Wang).

Chuy3.2.

if Trong (3.4), chQn n = 2 ta du(jc

(3.33) IfJ(t)dt - ~[(Xi" - x)J(!;) - (Xi'!- X)(!;; - Xi ~Xi" Jp(!;)]

2

X +i +X.

~ - ) }

S ~} 0 24 + 2 eXj+i - Xj )2 leXj+l -x)31Ifllt

< IlflilLIeXj+i _X)3.

iif N€u chQn n= 2 trong (3.10), ta thu du(jc

(3.34)

(

X +X

)

<Ilfllt IeXj+i _X)3.

Cac k€t qua (3.33), (3.34) cho ta tim l,!i du(jc cac ke't qua dft co trong [2].