chuyên đề phương trình lượng giác hay

PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC: Để giải một phương trình lượng giác, ta biến đổi đưa phương trình cần giải về một hay một tập hợp cá phương trình cơ bản.. Trước hết ta

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC:

Để giải một phương trình lượng giác, ta biến đổi đưa phương trình cần giải về một hay một tập hợp cá phương trình cơ bản Trước hết ta cần nhận dạng được phương trình:

1, Nếu phương trình ở dạng chuẩn mực (cơ bản, bậc 1, 2 đối với một hàm lượng giác, cổ điển, đối xứng, đẳng cấp,…), ta chọn cách giải ứng với mỗi phương trình đó

2, Nếu phương rình không chuẩn mực, ta dùng biến đổi lượng giác đưa về phương trình tương đương dễ giải hơn, thường đưa về dạng tích Trong một số trương hợp, bằng cách đặt ẩn phụ đưa về phương trình đa thức, việc giải tương đối dễ dàng hơn

B CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

VẤN ĐỀ I:

Phương trình cơ bản

Giả sử u, v là những biểu thức theo x Ta có:

1

2

1

2

2

2

2

2

,

,

u v k

u v k

k Z

u v k

u v k

k k Z

u v k

π

π π

π π π

π π

= +



= ⇔ = − + ∈

= +



⇔ = − + ∈

 ≠ +



 = +



≠



⇔ = + ∈

cotu = cotv

Áp dụng: Giải và biện luận phương trình bậc nhất của một hàm số lượng giác.

b ,asin u+b=0(a 0) sin u=- (1)

a b

* - 1:

a

b

(1) sin u= sin

,acos u+b=0:

a

b a b

π π

α α α

≠ ⇔

>

 

⇔

tan

2 -b

tan tan

(2)

2

b cotu=- cot ( ( , ))

b u a

u

o

d ac

u k

π π

π π

α α

α

π π

α α π π

 = −



+ = ≠ ⇔ 

 ≠ +



=





⇔  ≠ +





≠ ⇔ 

 ≠



GHI CHÚ:

• Khi giải phương trình có chứa hàm số tan, cot, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định Do đó khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:

a, Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện

b, Biểu thức điểm ngọn cung điều kiện và điểm ngọn cung nghiệm trên cùng một đường tròn lượng giác Khi có một điểm ngọn cung nghiệm trùng với một điểm ngọn nào đó của cung điều kiện, ta loại bỏ nghiệm tương ứng đó

c, Giải các phương trình vô định

Phương trình vô nghiệm

Đặt

giải tương tự (1)

Ví dụ:

Giải các phương trình sau:

, 2(2sin x-1)=4(sin x-1)-cos 2x+ sin 2x+ (1)

, os10x+2cos 4 6 os3x.cosx=cosx+8cosx.cos 3 (2)

a

 −  

+

GIẢI

2

2

, (1) 2(2sin 1) 4(sin -1)- 2 sin 2

2 2(2sin 1) 4(sinx-1)- 2(1 2sin )

sin ( 2 1)sin x- 2 0

(sin 1)(sin 2) 0

sin 1

2

x

x

x

π

π π

=



= −



3

, (2) os 10x+cos 8x+1=cos x+2cos x(4cos 3 3cos3 ) 2cos9 cos 1 cos 2cos cos9

*Bài tập:

1.1: Giải các phương trình sau:

3

, 4 osx-2cos2x-cos4x=1

b, 3sin3x- 3 os9x=1+4sin 3

17 ,sin 2 os 8 sin ,10

2 2 , os cos3 sin sin 3

4 ,cos 4 cos3 cos sin 3 sin

a c

π

 + −  = + ∈ 

1.2: Giải các phương trình sau:

, tan 2 cot 2 2sin 4

, 2cot 2 3cot 3 tan 2

,8cos

sin cos

3(cos 2 cot 2 )

cot 2 cos 2

cos cos5

cos3 cos

2 ,3tan 3 cot 2 2 tan

sin

x

x

= +

−

−

4x

1.3:Giải và biện luận:

2

,cos( ) cos( ) 2cos

,sin( ) cos( ) 1 sin

+ + − =

+ + − = +

+ + − =

VẤN ĐỀ II:

Giải phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ

1 Các phương trình chuẩn mực:

a, Phương trình bậc hai đói với 1 hàm số lượng giác:

2

2

2

2

, , ; 0, :

a b c R a u

+ + = + + = + + = + + =

∈ ≠

\

Các phương trình trên được viết thành at2+bt+c=0

b,Phương trình bậc nhất đối với sin, cos:

asin u+bcos u=c (a,b,c R)∈

-Nếu 1 trong 3 hệ số a,b,c bằng 0, phương trình thành bậc 1 đối với một hàm lượng giác -Nếu a,b,c≠0 thi phương trình được giải bằng hai cách sau:

i) Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a2+b2 :

2a 2 sinu 2b 2 cosu 2c 2

Vì

sin ( 0, 2

cos

a

b

α α π α

+

+

Ta có: 2 2

sin cos sin sin cos cos

c

c u

+

+

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

+

biểu thức chứa ẩn

•

• Đặt: sin , cos : 1

2

t u u π kπ t u u kπ

•

•

ii) Cách 2:

• Kiểm tra u= +π k2π có là nghiệm không?

Để ý u= +π k2π là nghiệm ⇔ + =b c 0

Đặt tan ( 2 )

2

u

t= u≠ +π k π

Thay

2

−

Sau đó biến đổi thành phương trình bậc hai theo t:

2

(b c t+ ) −2at c b+ − =0 (b c+ ≠0)

∆ ≥ ⇔ + ≥

c,Phương trình đối xứng (hay gần đối xứng):

•

(sin cos ) sin cos 0

• Đặt t=sinu±cos :u t ≤ 2

sin cos : 0 2

1 sin cos

2

t

−

Phương trình đã cho được biến đổi thành bậc 2 theo t

• Với phương trình đối xứng theo tan, cot Ta đặt:

2

t= u+ u u k≠ π t ≥

d,Phương trình đẳng cấp bậc hai (bậc cao):

* Bậc hai:asin2u b+ sin cosu u c+ cos2u d=

2

u= +π kπ u=

• Chia cả hai vế phương trình cho cos2u≠0:

Phương trình ⇔atan2u b+ tanu c d+ = (1 tan )+ 2u

Đặt t=tanu, đưa phương trình về bậc hai theo t:

(a d t− ) 2+ + − =bt c d 0

*Bậc n:

• Tìm nghiệm

2

u= +π kπ

• Chia cả hai vế cho cosn u , đặt t=tanu, đưa phương trình về bậc n theo t.

2 Các dạng khác :

a)Phương trình chứa hàm lượng giác sinu, cosu với lũy thừa bậc chẵn :Dùng công thức hạ bậc và

đặt t = cosu ( t ≤1) đưa phương trình về dạng đa thức theo t

b) Phương trình chứa ( ) 1

( )

f u

f u

± và 2 2

1 ( )

( )

f u

f u

+ trong đó ( )f u là hàm lượng giác của u:

Ta đặt: ( ) 1

( )

t f u

f u

( )

t f u

f u

= + :t ≥2) đưa phương trình bậc 2 theo t

c) Trong trường hợp tổng quát các phương trình lượng giác chứa sinmx, cosnx,

tanbx, cotqx, bằng các công thức hàm lượng giác của tổng, đặc biệt là công thức nhân đôi, nhân ba đưa về phương trình đối với sinx, cosx, tanx, cotx Đặt tan

2

x

t= đưa phương trình về phương trình hữu tỷ đối với t

Chú ý thử nghiệm với cos 0

2

x

= nếu không sẽ dẫn đến việc mất nghiệm

Ví dụ:

Giải các phương trình sau:

a, 4cos2x−2( 3 1) cos− x− 3 0=

b, 5(sinx+cos ) sin 3x + x−cos3x=2 2(2 sin 2 )+ x

c, sin 1(3 3 cos )

3

d, sin3x – 5sin2x.cosx – 3sinx.cos2x + 3cos3x = 0

16

f, 2 cos4 44 9 2 cos 1 0

 + +  − − =

a,Đặt t = cosx |t| 1≤ Khi đó phương trình trở thành

4t2 -2( 3 1) - 3 0− t =

3 2 1 2

t t



=





⇔

 = −



(thoả mãn)

b, Phương trình:

5(sinx cos ) 3(sinx x cos ) 4(sinx x cos )x

8(sinx cos ) 4(sinx x cos ) sinx  x cos x sin cosx x 2 2(2 sin 2 )x

(sinx cos ) 8 4 1 sin cosx x x 2 2(2 sin cos )x x

⇔ +  − − = +

(sin cos )(1 sin cos ) 2(1 sin cos )

(1 sin cos )(sin cos 2) 0

sin cos 1

= −



⇔  + =



sin 2 2

4

x

x π

= −





⇔  

+ =

 ÷



 

⇔  + ÷= ⇔ + = +

 

2 ( )

4

⇔ = + ∈Z

c, Phương trình:⇔3sinx+ 3 cosx=3

sin cos

sin sin cos cos cos

(loại)

2

2

2

2 6

x

k

π π π

π π π

π π

π π

 

⇔  − ÷=

 

 − = +



⇔ 

 − = − +



 = +



 = +



Z

*Bài tập:

2.1: Giải và biện luận theo m phương trình:

2

(m−1)sin x−2(m+1) cosx+2m− =1 0

2.2: Giải và biện luận phương trình:

2

+

2.3: Cho phương trình: sinx+cosx m= 1 sin cos+ x x

a, Định m để phương trình có nghiệm

b, Giải phương trình với 2 3

3

m=

2.4: Định m để phương trình:

4

Có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ,

4 2

π π

 

 ÷

 

2.5: Định a để phương trình:

sin6x + cos6x=a(sin4x+cos4x) có nghiệm

2.6 Cho phương trình :

22 2 tan2 (2 3)(tan cot ) 4 0

a, Giải phương trình khi m=1

b, Định m là phương trình có nghiệm

2.7: Cho phương trình:

sin cos

m

 +   − 

a, Giải phương trình khi 1

4

m= −

b, Định m để phương trình có nghiệm

VẤN ĐỀ III:

Phương trình tích.

• Một số phương trình lượng giác không chuẩn mực, bằng phép biến đổi thích hợp (dùng công thức lượng giác, áp dụng hằng đẳng thức, nhóm các số hạng, chia đa thức …), ta đưa phương trình cần giải về dạng tích.:

0 0

0

A

A B

B

=



= ⇔  =

Trong đó A=0, B=0 là các phương trình chuẩn

• Ta có thể định hàm số để phương trình có đúng 1, 2, …nghiệm trên mỗi miền, cần chú ý số nghiệm của mỗi phương trình thành phần (A=0, B=0), bài toán thường dẫn đến việc giải các bất phường trình hữu tỷ

Ví dụ:

Cho phương trình:

(2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m)=3-4cos2x (1)

a, Giải phương trình khi m=1

b, Định m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0,π]

GIẢI:

a, m = 1

(1)⇔(2sinx−1)(2cos 2x+2sinx+ = −1) 3 4(1 sin )− 2x

(2sin 1).cos 2 0

1 sin

2 cos 2 0

2 6

5

2 6

x

x

π π

π π

 =



⇔

=



 = +



⇔ 

 = +



b, (1)⇔(2sinx−1)(2cos 2x m+ − =1) 0

1 sin

2 1

2

x

m x

 =



 =



Trên [0,π], phương trình sin 1

2

x= có hai nghiệm: ; 5

x=π x= π

Để (1) có đúng hai nghiệm thuộc [0,π] thì phương trình (*) vô nghiệm hay có 2 nghiệm

5

x=π x= π

i) (*) vô nghiệm

1 2 1

2

m

m

−

 >  < −

⇔ ⇔

−

 < −  >



ii)(*) có 2 nghiệm:

x=π ⇒ x= π =

0

m m

−

⇒ =

x= π ⇒ x=

0

m m

−

⇒ =

Vậy: m< −1 ∨ m>3 ∨ m=0

*Bài tập:

3.1:Giải các phương trình sau:

a, 1 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 0

b, sin3x + cos3x = sinx – cosx

c, sin2x.cosx – cos 2x + sinx – cos2x.sinx – cosx = 0

3.2: Giải và biện luận phương trình:

4 sin 2x + m cosx = cos 3x

3.3: Giải các phương trình sau:

a, sin3x.sin6x = sin9x

b, 1 tan 2 1 sin 22

cos 2

x x

x

−

c, sin3x - cos3x = sinx + cosx

d, 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)

e, sinx(1+cosx )= 1+ cosx + cos2x

f, cotx – tan x = sin x + cos x

3.4: Định m để phương trình:

cos 3x−cos 2x m+ cosx− =1 0

Có đúng 7 nghiệm thuộc khoảng , 2

2

π π

− 

3.5: Giải và biện luận phương trình:

2sin2x – m2sinx + sin3x = 0

3.6: Định m để phương trình:

mcos3x + 4(1 - 2m)sin2x + (7m – 4)cosx + 8m – 4 = 0

Có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng (0,2π)

VẤN ĐỀ IV:

Định tham số để hai phương trình tương đương

hay phương trình này là hệ quả của phương trình kia

Ta xét hai phương trình lượng giác:

1 1

( ) ( ) (1) ( ) ( ) (2)

f x g x

f x g x

=

=

Trong đó f x f x g x g x là những biểu thức lượng giác của x.1( ), ( ), ( ),2 1 2( )

1 Nếu (1) không có tham số, giảit và tìm nghiệm của (1), sau đó thay x=x0 là nghiệm của (1) vào (2) ta tìm được tham số để có (1) => (2) Với tham số tìm được, ta tìm nghiệm (2) và xem nghiệm của (2) có phải là nghiệm của (1) hay không để kết luận

2 Nếu cả hai phương trình có tham số, ta biến đổi đưa phương trình về dạng tích, quan sát các nhân tử đồng dạng ở vế trái mỗi phương trình để lí luận chúng có cùng tập nghiệm

Ví dụ:

a, Giải phương trình:

sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x

b, Tìm các giá trị của a để phương trình đã cho tương đương với phương trình:

sin3x = asinx + (4 – 2a)sin2x

GIẢI:

a, (1) ⇔3sinx−4sin3x+ −1 2sin2x= +1 2sin cos 2x x

4sin 2sin 2sin cos 2 3sin 0

sin (2sin 1) 0

sin 0

1 sin

2

2 6 5

6

x

x

x k

π

π π

π π

=





⇔

=





 =





⇔ = +



b, (2) 3 2

3sinx 4sin x asinx 2(2 a)sin x

1

2

3

0 1 2 3 2

t

t

a t



 =





⇔ =

 −

 =



(1)⇔(2) khi và chỉ khi: 3 3 [ ] 3

1

2

t = ∨ ∉ −t ∨ =t

Với t3 =0 ⇔ a = 3

3

1

2

t = ⇔ a = 4

t3∉ −[ 1;1]

1 2 3

2

a

a

−

 >  >

⇔ ⇔

−

 < −  <



Vậy : a<1,a=3,a=4,a>5 thì hai phương trình đã cho tương đương với nhau

*Bài tập:

4.1: Định a,b để hai phương trình sau là tương đương:

2

sin 2 2 2cos 2 sin (1)

2sin cos 2 sin 2 2 sin cos 1 (2)

4.2: Cho hai phương trình:

cos2x + sinx – 1 = 0 (1)

m.sin3x + (m - 2)cos2x – (m+2)sinx + 2 – m = 0 (2)

Tìm các giá trị của m để hai phương trình tương đương

4.3: Định a để hai phương trình sau tương đương:

2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x (1)

4cos2x – cos3x = acosx + (4 – a)(1 + cos2x) (2)

4.4: a, Giải phương trình:

3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x (1)

b, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên tương đương với phương trình sau: m.cos3x + (4 – 8m)sin2x + (7m – 4)cosx + 8m – 4 = 0 (2)

VẤN ĐỀ V:

Giải phương trình lượng giác có tham số bằng khảo sát hàm số.

Ngoài các phương pháp đại số đã nói trên, để giải, biện luận (định tham số để phương trình có

nghiệm, vô nghiệm), ta còn có thể giải bằng phương pháp khảo sát hàm Trước hết, ta biến đổi đưa phương trình về theo cùng một hàm số lượng giác của cung x Đặt ẩn phụ t bằng hàm lượng giác đó với điều kiện thích hợp của ẩn phụ Sau đó, bằng phép biến đổi đại số đưa phương trình về dạng:

F(t) = m với t∈D

Khảo sát chiều biến thiên và dạng đồ thị của hàm số y = F(t), t∈D

Tuỳ theo vị trí tương đối của đường thẳng y = m và đồ thị của y = F(t), ta biện luận được số nghiệm của phương trình theo t, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình theo x

GHI CHÚ: Khi y = F(t) là hàm số phức tạp việc giải có thể gặp khó khăn, nhưng nếu y = F(t) là dạng các hàm đã học, việc giải sẽ đơn giản và tránh được việc thiếu nghiệm khi giải bằng phương pháp đại số

Ví dụ:

Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo tham số m:

cos2x + (1 – m).cosx + m – 1 = 0 với 0 x< <π (1)

GIẢI:

2

(1)⇔cos x+cosx− =1 m(cosx−1) (2)

cosx= ⇔ =1 x 0 không là nghiệm của phương trình

2

(2)

cos 1

m x

+ −

− (3)

Đặt: t=cos :x t <1 (vì x∈(0;π))

(3)

1

t t

m t

+ −

− (4)

Ta khảo sát chiều biến thiên của:

1

t t y

t

+ −

=

−

2

2

'

( 1)

0; 1 ' 0

2; 5

y

t

y

−

=

−

= =



= ⇔  = =

y’ + 0 -

y 1

1

2

−∞

Căn cứ vào bảng biến thiên của y ta có kết luận:

• m>1 (4) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm

• m=1 (4) có nghiệm t = 0

2

x π

⇔ =

• 1 1

2 < <m (4) có 2 nghiệm t nên (1) có 2 nghiệm x

2

m≤ (4) có 1 nghiệm t nên (1) có 1 nghiệm x

*Bài tập:

5.1: Định m để phương trình:

sin cos 1 tan cot

+ + +  + + + ÷=

Có nghiệm 0,

2

x  π 

∈ ÷

5.2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

sin6x + cos6x = m sin 2x

5.3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

sin2x + 4(cosx – sinx) = m

5.4: Giải và biện luận phương trình theo tham số m:

sin6x + cos6x = m(sin4x + cos4x)

5.5: Định m để phương trình:

cos4x + (m – 2).sin2x + 4 = 0

vô nghiệm

5.6: Định m để phương trình:

m.cos2x – 4(m – 2).cosx + 3.(m – 2) = 0

có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng ,

2 2

π π

− 