chuyên đề phương trình và bất phương trình chứa căn hay

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN I.. MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN: 1... Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn: Bài 7:Giải phương trình:... Suy ra phương trìn

CHUYÊN ĐỀ:

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 A có ngh a khi A ĩ ≥ 0

 A2 = A

( )2

A = A

 A B. = A B. khi A , B ≥ 0

 A B. = −A. −B khi A , B ≤ 0

2

2

0

k

k

B

A B

A B

≥



= ⇔  =



 2k+1 A B= ⇔ =A B2k+1

1 Một số dạng phương trình và bất phương trình cơ bản:

 A B A 0 (hoac B 0 )

A B





A B

≥



= ⇔  =



 3 A B= ⇔ =A B3



0 0 2

A

 ≥





 3 A+ 3 B = 3C ⇔ + +A B 3 3 A BC. =C

II MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN:

1 Áp dụng công thức:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a)

c) 3+ −x 2− =x 1 d) x2 −6x+ =4 4− x

Giải:

2 4 ( 2)

x

≥





2

2 2

3 0

3

x x

x x

x

≥



≥





c) Phương trình: 3+ +x 6− =x 3 3 6

3 6 2 (3 )(6 ) 9

x

− ≤ ≤





3 6 3 6

(3 )(6 ) 0 (3 )(6 ) 0

− ≤ ≤



⇔ + − = ⇔ + − =

3 3

6 6

x

x x

x x

− ≤ ≤



= −





⇔ = − ⇔  =

=





d) Phương trình: 3+ −x 2− =x 1

2 2

0

2 0 2

2

x

x

− ≤ ≤



+ − =

1 1

2

x

x x

x

≤ ≤







 = −



b) Phương trình: x2 −6x+ =4 4− x 2

4

6 4 4

x

≤





2

4 4

0 0

5 0

5

x x

x x

x

≤



≤





Bài 2:Giải phương trình:

a) 3x+ −4 2x+ =1 x+3 b) x+ +3 3x+ =1 2 x+ 2x+2

5

x

x+ − x− = +

Giải:

a) Điều kiện: 1

2

x≥ −

3x+ −4 2x+ =1 x+ ⇔3 3x+ =4 x+ +3 2x+1

2

b) Điều kiện: x≥0

Pt: x+ +3 3x+ =1 2 x + 2x+2 ⇔ 3x+ −1 2x+ =2 4x − x+3

Bình phương hai vế ta có : 6x2 +8x+ =2 4x2 +12x ⇔ =x 1

c) ĐK 2

3

x≥ ; ta có 4x+ +1 3x− >2 0

Nhân 2 vế cho 4x+ +1 3x−2 ta được phương trình:

3 ( 4 1 3 2) ( 3)( 4 1 3 2 5) 0

5 3(

x

+

= −





Giải pt (*):Bình phương 2 vế ta được:

2

2

Phương pháp đặt ẩn phụ :

Bài 3:Giải phương trình:

x + + +x x + + =x x + x+

Giải:

Đặt: t = x2 + +x 2 , điều kiện: 7

4

t≥ phương trình trở thành: t+ +5 t = 3t+13

(loại)

4

3

t

t

=





 = −



Vớit =4 Ta cĩ: 2 2 4 1

2

x

x

=

 + + = ⇔  = −

Bài 4:Giải phương trình:

2

x+ + − + − +x x x+ =

Giải:

Đk: 1− ≤ ≤x 4

Đặt

2

2

t

t = x+ + − x t ≥ ⇒ − +x x+ = − .

Phương trình trở thành:

2

5

t t

t

= −



−

Với t = 3, ta cĩ: 1 4 3 ( 1 4) ( ) 2 0

3

x

x

=



Bài 5:Giải phương trình:

2

3x− +2 x− =1 4x− +9 2 3x −5x+2

Giải:

Đk: x≥1

Đặt: t = 3x− +2 x−1 , t≥0

phương trình trở thành:

(loại)

6

2

t

t t

t

=



= − ⇔  = −

Do đĩ ta cĩ: 3x− +2 x− = ⇔1 3 2 3( x−2) ( x−1) =12 4− x⇔ =x 2

Bài 6:Cho phương trình: x+ +1 3− −x ( x+1 3) ( − x) =m

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm

Giải:

Điều kiện: 1− ≤ ≤x 3

Đặt t = 1 3 ( 1 3) ( ) 2 4

2

t

Phương trình trở thành: − + + =t2 2t 4 2m (2)

a) Khi m = 2 phương trình (2) 2 2 0 0

2

t

t

=



⇔ − = ⇔  =

Thay t vào ta được: ( ) ( )

3

x



b) Đặt t h x= ( )= x+ +1 3− x, '( ) 1 1

1 3

h x

+ − , '( ) 0h x = ⇔ =x 1

⇒ điều kiện cĩ nghiệm x là t∈ 2;2 2

Đặt f t( )= − + +t2 2t 4 xét t∈ 2;2 2

'( ) 2 2, '( ) 0 1

f t = − +t f t = ⇔ =t

Để phương trình (1) cĩ nghiệm x∈ −[ 1;3] thì phương trình (2) cĩ nghiệm t∈ 2;2 2khi và chỉ khi

2 2≤ ≤m 2

3 Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn:

Bài 7:Giải phương trình:

a) x + x+ =5 5 b) 2(x + =2) 5 x +1

c) 2 ( 2 ) 2

Hướng dẫn:

a) ĐK x≥ −5

Đặt y = x+ ⇒5 y2− =x 5; ta được hệ:

2 2

5 5

 + =





− =



b) Đặt u= x+1;v = x2 − + ⇒x 1 u2 +v2 = x2 +2

c) Đặt t = x2 + 2 , ta có: 2 ( ) 3

1

t

=



− + − + = ⇔  = −

d) Đặt : t = x2 − 2x+ 3, t≥ 2

Khi đó phương trình trở thành : (x+ 1)t = x2 + 1 ⇔ x2 + − + 1 (x 1)t = 0

Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t :

( ) ( ) ( ) ( )

1

t

=



4 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình:

Bài 8: Giải phương trình:

a) 3 2− = −x 1 x−1 b) 3 x− +2 3 x+ =3 3 2x+1 c) 4 629 −x + 4 77 +x = 8 d) x3 −x2 − 1 + x3 −x2 + 2 = 3

Giải:

a) ĐK x≥1; đăt u= 3 2− x v; = x−1 ta có hệ:

và giải tiếp

b) Đặt:u= 3 x−2;v= 3 x+3

3

3 ( ) 0 ( )

5 5

5

uv u v





c) Đặt

4

4

629 77





4

4 + =

= +

d) Với điều kiện:x3 −x2 − 1 ≥ 0 ⇒ x3 −x2 + 2 > 0

Đặt









+

−

=

−

−

=

2

1

2 3

2 3

x x

v

x x

u

Với v > u ≥ 0

Ta có hệ phương trình

2 2

v u v u v u v u v



Bài tập tự luyên: Giải phương trình sau:

1) 2 −x = 1 − x− 1 (ĐHTCKTHN - 2001)

2) 3 −x+x2 − 2 +x−x2 = 1

3) x + x+1− x2 +x =1 (ĐHDL HP’01)

4) 4 5−x + 4 x−1= 2

5) x2 − x+3+ x2 − x+6 =3

6) 3 x+ 34 − 3 x− 3 = 1 (Đ12)

7) 4 x + 4 97 −x = 5

8) 3 14 + x + 3 12 − x = 2

5 Phương pháp đánh giá hai vế:

Bài 9: Giải phương trình:

a) x− +2 4− =x x2 −6x+11

b) x2 +4x+ +5 2x2 +8x+17 = 15 2+ x x− 2

Giải:

a) ĐK 2≤ ≤x 4

Sử dụng BĐT Bunhiacôpxki

x− + − x ≤ + x− + − x = ⇒VT ≤

Mặt khác x2 −6x+11 (= x−3) 2 + ≥ ⇒2 2 VP ≥2

Vậy từ phương trình ta có VT = VP

2 4

3

3 0

x x

 − =



Vậy PT có nghiệm x = 3.

b) ĐK 3− ≤ ≤x 5

Ta có

4 5 ( 2) 1 1

4 5 2 8 17 1 3 4

2 8 17 2( 2) 9 9





Mặt khác 15 2+ x x− 2 =15 (1− − x) 2 ≤16⇒VP = 15 2+ x x− 2 ≤4

Vậy phương trình 4 2

  Suy ra phương trình vô nghiệm.

Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau:

1) 3x2 + 6x+ 7 + 5x2 + 10x+ 14 = 4 − 2x−x2 2) 6 18

11 6

15

2

2

+

−

= +

−

+

x x

x x

3) x2 − 6x+ 11 + x2 − 6x+ 13 + 4 x2 − 4x+ 5 = 3 + 2

4)x2 − 3x+ 3 , 5 = (x2 − 2x+ 2)(x2 − 4x+ 5) 5) 2x2 − 8x+ 12 = 3 − 4 3x2 − 12x+ 13 6) x2 −2x+5+ x−1=2 7) 2 ( 1 −x+ x) = 4 1 −x+ 4 x

8)

x

x x

x x

x

2 1

2 1 2 1

2 1 2 1 2

1

−

+ + +

−

= + +

− 9) x− 2 + 4 −x =x2 − 6x+ 11 (Đ11)

10) x2 − 2x+ 3 = 2x2 −x+ 1 + 3x− 3x2 11) x− 2 + 10 −x =x2 − 12x+ 52

6 Phương pháp đạo hàm:

1 Các bước:

 Tìm tập xác định của phương trình.

 Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó.

 Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến(nbiến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương trình.

2 Ví dụ Giải phương trình sau: 3 2x+ 1 + 3 2x+ 2 + 3 2x+ 3 = 0 (1)

Giải:

Tập xác định: D = R Đặt f(x) = 3 2x+ 1 + 3 2x+ 2 + 3 2x+ 3

3 , 1 , 2

1

; 0 ) 3 2 (

2 )

2 2 (

2 )

1 2 (

2 )

(

'

+

+ +

+ +

x x

x x

f









− +∞

∪











− −

∪











− −

∪











2

3 2

3 , 1 1

, 2

1 2

1 ,

Ta thấy f(-1)=0 ⇒ x=-1 là một nghiệm của (1) Ta có: ) 3

2

3 (

; 3 ) 2

1

f

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):

2

3

− -1

2

1

− +∞

f’(x)   

F(x) +∞

0 3 -∞ -3

Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0 ⇔ x = -1 Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm x

= -1.

Bài tập tương tự:

Giải các phương trình sau:

1) 3 x+ 2 + 3 x+ 1 = 3 2x2 + 1 + 3 2x2 2) (2 1) 2 (2 1)2 3 3 (2 9 2 3) 0

= + + +







 + + +

x

7 Phương pháp lượng giác hóa:

Bài 10: Giải phương trình sau:

+ − = + − b) x3 + (1 −x2)3 =x 2 − 2x2 (1)

c) 1 + 1 −x2 = 2x2

Giải:

a) Đặt sin ,0

2

x = α ≤ ≤α π

Phương trình trở thành:

3

0

2

x x

α

π

=



b) Tập xác định: D = [-1; 1] (2)

Do (2) nên đặt x = cost (*), với 0 ≤ t ≤ π (A)

Khi đó phương trình (1) trở thành: cos 3t+ (1 − cos 2t)3 = cost 2 ( 1 − cos 2t) (3)

Với t ∈ (A), ta có: ( 3 ) ⇔ cos 3t+ sin 3t= 2 cost sint⇔(cost+ sint)(1 − sint cost) = 2 cost sint( 4 )

Đặt X = cost + sint (5), X ≤ 2 (B) ⇒ X 2 = 1 + 2sint.cost ⇒ sint.cost =

2

1

2 −

X

Phương trình (4) trở thành phương trình ẩn X:

2

1

2 2

1 1







X













+

−

=

−

−

=

=

⇔









= + +

=

⇔

= + +

−

⇔

1 2

1 2 2 0

1 2 2

2 0

1 2 2 2

2 2

X X X

X X

X X

X X

Ta thấy chỉ có nghiệm X = 2 và X = - 2 + 1 là thoả mãn điều kiện (B).

+ Với X = 2 , thay vào (5) ta được:

, 2 4

2 2 4

1 4 sin 2 4 sin 2 2 cos









 +

⇔

=











 +

⇔

=

Vì t ∈ (A) nên ta có t =

4

π Thay vào (*) ta được: x = cos

4

π

=

2 2

(thoả mãn tập xác định D).

+ Với X = - 2 + 1, thay vào (5) ta được:

2

1 2 4

sin 1 2 4

sin 2 (**)

1 2 cos











 +

⇔ +

−

=











 +

⇔ +

−

=

t

Khi đĩ, ta cĩ:

2

1 2 2 2

2 2 3 1 2

1 2 1 4

sin 1 4

cos

2 2

−

±

=

−

−

±

=







− +

−

±

=























 +

−

±

=











2

1 2 2 4











 +t π

2

1 2 2 sin

cos 2

2 2

1 2 2 4 sin sin 4 cos

Từ (**) và (6) suy ra cost =

2

1 2 2 1

− Thay vào (5), ta được x =

2

1 2 2 1

Nhưng chỉ cĩ nghiệm x =

2

1 2 2 1

Vậy, phương trình đã cho cĩ hai nghiệm x =

2

2 và x =

2

1 2 2 1

c) Đk: − ≤ ≤ 1 x 1

Đặt x= cos ,0 α ≤ ≤ α π

Phương trình trở thành

( )

α

α π

α π α







 =



sin 1 loại

sin

2 3

6

2 5

6

c

x

Bài tập tương tự. 1) 4x3 − 3x= 1 −x2 (HVQHQT- 2001) 2) x3 + (1 −x2)3 =x 2(1 −x2)

2

x 2 1 2

x 1 x

x 1

III MỘT SỐ CÁCH GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN:

Bài 8:Giải các bất phương trình sau:

2 3 4 2 2 2

x + x− < x − x

Gi ải:

d)

2

3 4 0

3 4 2 2

 + − < − ⇔  + − < −



≤ − ∨ ≥



⇔ < ∨ > ⇔ ≤ − ∨ >

Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình: S = (– ∞; –4]∪(4 ; +∞)

Bài 9:Giải các bất phương trình sau:

2x + − ≥x 3 x −2x−3

Giải

a)

2

2 3 0





2

3 0



Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình: S = (– ∞; –3]∪[ 3 ; +∞ ]

Bài 10: Giải bất phương trình:

2

3x+ −1 6− +x 3x −14x− ≤8 0

Giải:

Điều kiện: 1 6

3 x

− ≤ ≤

Xét phương trình: 3x+ −1 6− +x 3x2−14x− =8 0

2

3x 1 4 1 6 x 3x 14x 5 0

5 3 1 0

3 1 4 1 6

5

3 1 0

3 1 4 1 6

x

x

=







Vì [ 1 ;6]

3

x∈ − nên 3x + 1 0≥ Suy ra pt: 3 1 (3 1) 0

3x 1 4 1+ 6 x + x+ =

(VN)

Đặt f(x) = 3x+ −1 6− +x 3x2−14x−8 , f(0) = 1- 6 -8 < 0

Bảng xét dấu:

x 1

3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [ 1 ;5]

3

−

Bài 11: Giải bất phương trình:

2 (x−3)(8− x) 26+ > − +x 11x

Giải:

Bpt ⇔ − +x2 11x−24> − +x2 11x−24 2−

Đặt t = − +x2 11x−24 0≥ ta có

2

t

t

≥



> − ⇔ − − < ⇔ − < < ⇔  <



2 2

11 24 0 11 24 0

11 24 4

11 24 2

− + − <





x

≤ ≤



⇔ < ∨ > ⇔ ≤ < ∨ < ≤

Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình: S = [3; 4)∪(4 ; 7]

Bài 12: Cho bất phương trình: mx− x− ≤ +3 m 1

a) Giải bất phương trình khi 1

2

m=

b) Tìm m để bất phương trình (1) cĩ nghiệm

Giải:

Đk: x≥3

Đặt t= x−3 , đk: t ≥0 x t= +2 3

Bpt(1) trở thành: m t( 2 +3) − ≤ +t m 1 (2)

a) Khi 1

2

m = : (2)⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤t2 2t 0 0 t 2

0 x 3 2 3 x 7

b) (2) 2 1

2

t m t

+

⇔ ≤

+

Xét hàm số 2 ( )

1

2

t

t

+

+

( 2 )2

2 2

2

t

− − +

+

Từ bảng biến thiên, ta thấy bất phương trình (1) có nghiệm khi và chi khi 1 3

4

m≤ +

IV BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 13: Giải các phương trình sau:

a) 3 6x−9x2 <3x

b) 2x+ 6x2 + = +1 x 1

c) x− x− − =1 7 0

d) (D-06) 2x− +1 x2 −3x+ =1 0

Bài 14: Giải bất phương trình sau:

a) x2 −4x−12 ≤ −x 4

b) x2 −4x−12 2> x+3

c) (A-04) 2( 2 16) 7

3

x

+ − >

d) x3 + ≤ +1 x 1

Bài 15: Giải các phương trình , bất phương trình sau:

a) 2x+ =9 4− +x 3x+1

b) 3x− −3 5− =x 2x−4

c) (A-05) 5x− −1 x− >1 2x−4

d) (CĐ-09) x+ +1 2 x− ≤2 5x+1

Bài 16: Giải các phương trình , bất phương trình sau:

a) (D-05) 2 x+ +2 2 x+ −1 x+ =1 4

b) 4 8

4

x

c) (D-02) ( x2 −3x) 2x2 −3x− ≥2 0

d) ( x−2) x2 + <4 x2 −4

Bài 17: Giải các phương trình sau:

a) 2x2 +8x+ +6 x2− =1 2x+2

b) 3 x2 − =2 2−x3

c) 7− +x2 x x+ =5 3 2− x x− 2

d) 2

Bài 18: Giải các phương trình , bất phương trình sau:

a) 3 2( + x−2) =2x+ x+6

2 1 1

x

x

x > +

+ −

c) ( )

2

1 1

x

x

x > −

d) (A-2010) ( 2 ) 1

x x

x x

Bài 19: Giải các phương trình , bất phương trình sau:

a) ( x+5 2) ( −x) =3 x2 +3x

b) ( x+1 2) ( −x) = +1 2x−2x2

c) x2 + 2x2 +4x+ ≥ −3 6 2x

d) x x( + −1) x2 + + + ≥x 4 2 0

1

+

− >

+

f) ( 3) ( 1) (4 3) 1 3

3

x

x

+

Bài 20: Giải các phương trình , bất phương trình sau:

a) x+ 4−x2 = +2 3x 4−x2

b) 3x− +2 x− =1 4x− +9 2 3x2−5x+2

c) (B-2011) 2 2+ −x 6 2− +x 4 4−x2 = −10 3x

d) (B2012) x+ +1 x2 −4x+ ≥1 3 x

Bài 21: Giải các phương trình sau:

a) x2 − =1 2x x2 −2x

b) (4x−1) x3 + =1 2x3 +2x+1

c) x2 +3x+ = +1 ( x 3) x2 +1

d) x2 +4x= +( x 2) x2 −2x+24

Bài 22: Giải các phương trình sau:

a) 3 2− = −x 1 x−1

b) (A-09) 2 33 x− +2 3 6 5− x − =8 0

c) 2( x2 + =2) 5 x3 +1

d) 2(x2−3x+ =2) 3 x3+8

Bài 23: Giải các phương trình sau:

a) x3 + x+ =5 5

b) x3+ =2 3 33 x−2

c) x3 + =1 2 23 x−1

d) x335−x x3( + 3 35−x3) =30

Bài 24: Giải các phương trình sau:

a) x3 +4x−(2x+7) 2x+ =3 0

b) (CĐ-2012) 4x3+ − +x (x 1 2) x+ =1 0

c) 1+ 1−x2 =x(1 2 1+ −x2)

d) x+ 3 1( −x2) (=2 1 2− x2)