Nhập môn tô pô đậu xuân thoan

Mối liên hệ giữa tọa độ Đề Các và tọa độ cầu bằng các đẳng thức x = R.sin@.cosw ,y = R.sin@.sinw, z = R.cos@ hình 3 Tập hợp con của R3 thường là một miền trong không gian giới hạn bởi m

MỤC LỤC

Lời nói đầu trang 2

Chương1 KHÔNG GIAN MÊTRIC

1 Tập hợp Rn 3

2 Không gian tuyến tính (không gian véc tơ) 6

3 Không gian định chuẩn 7

4 Không gian Mêtric .10

5 Sự hội tụ trong không gian Mêtric .12

6 Không gian Mêtric đầy đủ .14

7 Không gian Mêtric compact 14

8 Không gian Banach 15

9 Các khái niệm hay dùng trong không gian Mêtric 16

Bài tập chương 1 – Không gian mêtric 19

Chương 2 KHÔNG GIAN TÔ PÔ 1 Tô pô trên một tập 23

2 Không gian Tôpô .24

3 Không gian tô pô liên thông 28

4 Không gian Lin Đơ Lốp 30

5 Các không gian tô pô tổng quát quan trọng 31

6 Không gian tô pô com pact 32

7 Sự hội tụ trong không gian tô pô 34

8 Giới thiệu sự hội tụ trong không gian tô pô theo lý thuyết lưới 36

Bài tập chương 2 – Không gian tô pô 38

Chương 3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC 1 Ánh xạ .39

2 Lực lượng của một tập hợp 40

3 Ánh xạ tuyến tính 42

4 Ánh xạ liên tục giữa hai không gian Mêtric 46

5 Ánh xạ liên tục giữa hai khong gian tô pô 48

6 Giới thiệu về ánh xạ co .49

Bài tập chương 3 – Ánh xạ liên tục .52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

LỜI NÓI ĐẦU

Tác giả biên soạn cuốn tài liệu này trên cơ sở chắt chiu và tích tụ kiến thức từnhiều cuốn tài liệu khác nhau, bao gồm sách của tác giả trong nước và sách dịch

ra tiếng Việt của tác giả nước ngoài Bạn đọc sẽ thấy một sự khác biệt, có hàmchứa cá tính chăm chỉ nghiên cứu học tập và trải nghiệm thực tiễn, của chính tácgiả qua nhiều năm hoạt động giảng dạy

Tri thức khoa học nhân loại phát triển cực nhanh, rất tuyệt vời và vô tận Mộtcá nhân cần có phương pháp riêng cho bản thân, có nghị lực và tinh thần quyếttâm cao, đặc biệt tự giác tự học và tự nghiên cứu mới lĩnh hội được nhiều kiếnthức Tài liệu này hy vọng :

- Cung cấp một phương pháp chọn lọc kiến thức thiết thực, phân giải kiến thứcthu được từ nhiều nguồn thành tri thức của bản thân cho những người ham học

- Nội dung kiến thức trình bày từng bước rành mạch, từ thấp đến cao, lý thuyếtkèm theo ví dụ cụ thể Sinh viên tự học tự nghiên cứu có thể nắm được kiến thứclý thuyết, vận dụng vào giải bài tập đạt yêu cầu học tập bộ môn

- Khi hiểu biết về cấu trúc các không gian Metric, không gian Tôpô, Aùnh xạ….trong tài liệu này sẽ có tác dụng nhiều cho việc học tập, nghiên cứu nhiều họcphần khác như giải tích vi phân tích phân,…Phục vụ cho qúa trình học Cao đẳng,Đại học, kể cả sau Đại học

Nội dung tài liệu bao gồm các chương:

Chương 1 Không gian Mêtric,trong chương này xem xét các không gian tuyếntính, không gian định chuẩn, không gian Mêtric, không gian mêtric đủ,

Chương 2 Không gian Tôpô, xây dựng các khái niệm tôpô, và xem xét một sốdạng không gian Tôpô dặc biệt

Chương 3 Aùnh xạ liên tục, một trong những kiến thức lý thú cho phép ta xem xéttương ứng các phần tử giữa các không gian

Lần đầu tiên ra mắt bạn đọc, chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn chếsai sót, mong các bạn góp ý kiến xây dựng cho

Tác giả: Đậu Xuân Thoan

Email: dauxuanthoan@gmail.com

Chương 1 KHÔNG GIAN MÊTRIC

1 TẬP HỢP R n

1.1 Tập hợp R n : Cho tập hợp số thực R, ta thiết lập tập hợp mới như sau

RxRxRx xR =R n ={(x1,x2, ,x n) /x i∈R,i= 1 , 2 , 3 , ,n}

Ta gọi Rn là tích đề các của n tập hợp bằng nhau và bằng R, mỗi phần tử của Rn

gọi là một điểm, điểm là một bộ n số sắp theo một thứ tự, mỗi số là một thànhphần của điểm, viết gọn theo ký hiệu là X=(x1,x2,x3,…,xn-1,xn) ∈ Rn

1.2 Tập con của R n : Một bộ phận E bao gồm các phần tử của Rn gọi là một tậphợp con của Rn , viết theo ký hiệu là E ⊂ Rn Tập hợp E có thể hữu hạn hoặc vôhạn phần tử, tập hợp con không chứa phần tử nào gọi là tập hợp rỗng ký hiệuriêng là Φ, tập hợp Rn có 2 tập hợp con tầm thường là Φ và bản thân Rn

1.3 Cụ thể với n hữu hạn

- Khi n=1 ta có tập hợp số thực R, mỗi phần tử của R là một số thực.

Tập con trong R thường là một đoạn, một khoảng, hay nửa khoảng với hai đầumút là hai số a, b nào đó Các ký hiệu sau đây thường dùng:

[a,b] = {x∈R / a≤x≤b} (a,b) = {x∈R / a<x<b}

[a,b) = {x∈R / a≤x<b} (a,b] = {x∈R / a<x≤b}

- Khi n=2 ta có tập hợp R2 , mỗi phần tử được biểu diễn bằng một điểm nằmtrong mặt phẳng, bộ hai thành phần lập nên phần tử gọi là tọa độ của điểm

Đối với hệ toạ độ Đề Các Oxy mỗi phần tử (x,y) biểu thị tọa độ của điểm Mtrong mặt phẳng Oxy ta viết M(x,y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của M Trong mặt phẳng ta xây dựng hệ tọa độ cực gồm tia Ox mỗi điểm M trong mặtphẳng cực ta biểu thị tọa độ của nó bằng cặp số (r,w) viết M(r,w), r là độ dài đoạnthẳng OM, w là góc hợp bởi tia Ox với tia OM tính bằng rađian theo chiều quayngược chiều kim đồng hồ, chú ý 0 ≤w≤ 2 π

Mối liên hệ giữa tọa độ Đề Các và tọa độ cực của cùng một điểm M thông quahệ thức sau: x = r cosw và y = r sinw (hình 1)

Tập con trong R2 thường là một miền phẳng có biên là một đường cong có thểkín hoặc không kín, nhiều khi tập con là những tập hợp điềm rời rạc vô hạn hayhữu hạn

Trong không gian ta xây dựng tọa độ trụ bằng bộ ba (r,w,z), cặp (r,w) là tọa độcực của điểm Mxy, mà Mxy là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳngOxy, z là cao độ của M tính theo trục Oz Mối liên hệ giữa tọa độ Đề Các và tọađộ trụ bằng các đẳng thức x = r cosw, y = r sinw, z=z (hình 2)

Trong không gian ta còn xây dựng tọa độ cầu bằng bộ ba (R,w,@), R là độ dàiđoạn thẳng OM, w là góc hợp bởi tia OM xy với tia Ox tính bằng rađian theo chiềuquay ngược kim đồng hồ trong mặt phẳng Oxy, @ là góc hợp bởi tia OM với tia

Oz tính bằng rađian theo chiều quay từ tia Oz đến tia OM trong mặt phẳng chứa(Oz,M) Mối liên hệ giữa tọa độ Đề Các và tọa độ cầu bằng các đẳng thức

x = R.sin@.cosw ,y = R.sin@.sinw, z = R.cos@ (hình 3)

Tập hợp con của R3 thường là một miền trong không gian giới hạn bởi một mặtcong kín hoặc không kín, nhiều khi tập con là những tập hợp điểm rời rạc hữu hạnhay vô hạn

X O

Y

M

x

y y

w

r y

Z

z

Hình 2

Hình 3

2 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH(KHÔNG GIAN VÉC TƠ)

2.1 Phép cộng (+) và nhân (.) trên R n

O

r w

R

@

Với 2 phần tử X=(x1,x2,…,xn) và Y=(y1,y2,…,yn) tùy ý thuộc tập Rn , với số thực atùy ý thuộc tập R, ta xây dựng :

-Tổng 2 phần tử X,Y là một phần tử ký hiệu X+Y được xác định có các thànhphần bằng tổng (theo nghĩa cộng 2 số thực thông thường) các thành phần tươngứng X+Y= (x1+y1, x2+y2, … , xn+yn ), dễ thấy X+Y thuộc tập Rn

hay phép cộng (+) đóng kín trên Rn

- Nhân vô hướng (nhân ngoài) trên Rn , số a nhân với X là phần tử aX, a thuộc Rđược xác định có các thành phần bằng tích (theo nghĩa nhân số thực thông thưòng)của a với từng thành phần tương ứng của X, viết là aX=(ax1,ax2, … ,axn ), dễ thấy

aX thuộc Rn hay phép nhân (.) đóng kín trên Rn

- Theo cách xây dựng trên 2 phép toán (+) và (.) có các tính chất cơ bản sau đây:Tc1 Cộng giao hoán X+Y = Y+X với mọi X,Y thuộc Rn

Tc2 Cộng kết hợp (X+Y)+Z = X+(Y+Z) với mọi X,Y,Z thuộc Rn

Tc3 Tồn tại phần tử O=(0,0,…,0) thuộcRn của phép cộng X+O=O+X=X với mọi Xthuộc Rn , phần tử O này duy nhất

Tc4 Với mọi phần tử X thuộc Rn tồn tại phần tử đối (-X) = (-x1,-x2, … ,-xn) thỏamãn X+(-X) = (-X)+X = O, đối của X là duy nhất

Tc5 Phép (.) phân phối với (+) tức là a(X+Y)= aX + aY với mọi a thuộc R và vớimọi X, Y thuộc Rn

Tc6 Phép cộng số thực phân phối với (.) tức là (a+b)X = aX + bX với mọi a ,bthuộc R và với mọi X thuộc Rn

Tc7 Các phép nhân kết hợp a(bX) = (ab)X = abX với mọi a,b thuộc R và với mọi

X thuộc Rn

Tc8 Nhân với số 1 là số đặc biệt 1X = X với mọi X thuộc Rn

Người ta còn nói các X,Y,…thuộc Rn là các véc tơ, các số a,b, thuộc R là các vôhướng

2.2 Không gian tuyến tính R n

Tập Rn cùng với 2 phép toán cộng (+) và nhân (.) lập thành một không gian gọi làkhông gian tuyến tính hay không gian véc tơ trên trường số thực R

Ví dụ 1: Tập số thực R với 2 phép toán cộng và nhân thông thường lập thànhkhông gian tuyến tính 1 chiều

Tập R2 với 2 phép toán X+Y=(x1+y1, x2+y2) và aX=(ax1,ax2) lập thànhkhông gian tuyến tính 2 chiều

Tổng quát Rn được lập như trên là không gian tuyến tính n chiều

2.3 Không gian tuyến tính tổng quát

Cho tập hợp W khác rỗng có bản chất đối tượng tùy ý và một trường số K (thườngchọn là trường số thực R hoặc trường số phức C)ù Trên W trang bị hai phép toán:-Phépø cộng (+) trong nội bộ W, với X,Y thuộc W có X+Y thuộc W

-Phép nhân (.) ngoài (nhân vô hướng) giữa một số a thuộc K với phần tử X thuộc

W, phần tử aX thuộc W

Sao cho hai phép toán (+) và (.) thỏa mãn 8 tính chất sau đây:

Tc1 Cộng giao hoán X+Y = Y+X với mọi X,Y thuộc W

Tc2 Cộng kết hợp (X+Y)+Z = X+(Y+Z) với mọi X,Y,Z thuộc W

Tc3 Tồn tại phần tử O=(0,0,…,0) thuộc W của phép cộng X+O=O+X=X với mọi

X thuộc W , phần tử O này duy nhất

Tc4 Với mọi phần tử X thuộc W tồn tại phần tử đối (-X) = (-x1,-x2, … ,-xn) thỏamãn X+(-X) = (-X)+X = O, phần tử đối (-X) của X là duy nhất

Tc5 Phép (.) phân phối với (+) tức là a(X+Y)= aX + aY với mọi a thuộc K và vớimọi X, Y thuộc W

Tc6 Phép cộng số thực phân phối với (.) tức là (a+b)X = aX + bX với mọi a ,bthuộc K và với mọi X thuộc W

Tc7 Phép nhân kết hợp a(bX) = (ab)X = abX với mọi a,b thuộc K và với mọi

X thuộc W

Tc8 Nhân với phần tử đơn vị 1 của trường K: 1X = X với mọi X thuộc W

Người ta còn nói các X,Y,…thuộc W là các véc tơ, các số a,b, thuộc K là cácvô hướng

Khi đó tập W cùng hai phép toán tức là bộ (W, +, ) lập thành một không giantuyến tính ( người ta còn gọi là không gian véc tơ) trên trường K

Ví dụ 2: Gọi Pn là tập hợp đa thức bậc n một biến số thực x trên R, tức Pn bao gồmcác đa thức dạng f(x)=a0+a1x+a2x2+ … +anxn

Với 2 phép toán cộng đa thức thông thường và phép nhân số thực với đa thứcthông thường, thì Pn lập thành không gian tuyến tính

Ví dụ 3: Cho A là tập con khác rỗng của tập R, các hàm f,g,… xác định trên Anhận giá trị trong R Gọi F là tập hợp các hàm số xác định trên A, với hai phéptoán : (f+g)(x) = f(x) + g(x) và (af)(x) = a[f(x)] = a f(x) ta có (F,+, ) lập thànhmột không gian tuyến tính

Khi A=[a,b] và các hàm f,g,…liên tục trên [a,b], khi đó tập F được ký hiệu riêng là

C[a,b] đọc là không gian tuyến tính các hàm số liên tục trên đoạn [a,b]

Ví du 4: Gọi L∞ ={{X n} /X n ∈R, X n ≤k,k∈R,k ≥ 0 ,n= 1 , 2 , 3 , }là tập hợp các dãy sốthực bị chặn Ta xây dựng phép toán (+) và nhân (.) như sau

Với {Xn}=x1,x2,x3,…và {Yn}=y1,y2,y3,…thuộc L∞, {Xn}+{Yn}={Xn+Yn}=x1+y1, x2+y2,

x3+y3, …dễ thấy {Xn}+{Yn} thuộc L∞

Với số thực a tùy ý, a{Xn}=ax1,ax2,ax3, …dễ thấy a{Xn} thuộc L∞

Bộ (L∞, +, ) lập thành không gian tuyến tính

3 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

3.1 Khái niệm chuẩn trên R n

3.1.1 - Tích vô hướng của 2 véc tơ: Cho 2 véc tơ X=(x1,x2,…,xn) và Y=(y1,y2,…,yn)thuộc Rn, ta gọi tích vô hướng chính tắc của X,Y viết là XY có giá trị là một sốthực XY=(x1,x2,…,xn) (y1,y2,…,yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn = ∑

=

n

i 1 xiyi Tập Rn cùng với

phép lấy tích vô hướng lập thành không gian véctơ Euclide(Ơclit) n chiều(viết

En)

- Xét tích XX = x1x1+x2x2+…+xnxn= = ∑

=

n

i 1 xi2 (tổng các bình phương các tọa độ)

- Ta gọi chuẩn của X ký hiệu X là số căn bậc hai của tích XX, tức là X = XX

tính theo tọa độ X = ∑

=

n i i

Chú ý rằng các chuẩn 3.1.1và 3.1.2 nói trên thỏa mãn cáctính chất sau:

-Với mọi X thuộc Rn luôn có X ≥0, X =0 khi và chỉ khi X=O

- Với mọi a thuộc trường số K, với mọi X thuộc Rn luôn có aX = a X

- Với mọi X,Y thuộc Rn luôn có X +Y ≤ X + Y

3.2 Không gian định chuẩn R n :

Khi không gian tuyến tính Rn được trang bị một chuẩn thỏa mãn các tính chất:-Với mọi X thuộc Rn luôn có X ≥0, X =0 khi và chỉ khi X=O

- Với mọi a thuộc trường số K, với mọi X thuộc Rn luôn có aX = a X

- Với mọi X,Y thuộc Rn luôn có X +Y ≤ X + Y

Ta gọi bộ (Rn, ) là một không gian định chuẩn

Cùng tập Rn có thể thiết lập nhiều không gian định chuẩn theo những chuẩn khácnhau, tùy theo mục đích nghiên cứu cụ thể

Ví du 5:Trên tập số thực R ta định nghĩa giá trị tuyệt đối của một so ký hiệu

0

x khi x

x khi x

x khi đó x ≥ 0 với mọi x thuộc R, ta có (R, ) là mộtkhông gian định chuẩn theo chuẩn giá trị tuyệt đối

Ví dụ 6:Tập Rn cùng chuẩn Euclide(hay chuẩn max) là không gian định chuẩn

3.3 Sự tương đương của các chuẩn trên R n

Định nghĩa: Hai chuẩn khác nhau α và β cùng xác định trên Rn, được gọi là tươngđương ký hiệu α ~ β nếu tồn tại 2 số dương C1,C2 sao cho bất đẳng thức kép sauthỏa mãn C1α (X) ≤ β (X) ≤C2α (X), ∀X ∈R n

Dễ thấy quan hệ tương đương giữa các chuẩn la mộtø quan hệ tương đương: có tínhphản xạ α ~α, có tính đối xứng nếu α ~ β thì ø β ~ α, có tính bắc cầu α ~ β và

β ~λthì có α ~ λ với mọi α , β, λ là các chuẩn trên Rn

Định lý: Hai chuẩn bất kỳ trên R n là tương đương với nhau.

Chứng minh định lý ta chỉ cần chỉ ra mọi chuẩn tùy ý α trên Rn tương đương vớichuẩn max trên Rn , đó là chuẩn X = max {x i / 1 ≤i≤n}

Giả sử e1,e2,e3, … ,en là một cơ sở chính tắc của Rn, X=(x1,x2,…,xn) thuộc Rn khi đó

e

C α >0 bây giờ phải tìm số

C1 thỏa mãn C1 X ≤ α (X)nữa là xong Ta xét tập S ={X∈R n / X = 1}

và đặt số C1=inf {α (X) với X thuộc S}, khi C1>0 ta có C X

X

X X

thuộc Rn , tức ta có bất đẳng thức kép C1 X ≤ α (X) ≤C2 X / ∀X ∈R n (đpcm)

Theo cách đặt có ngay C1 là không âm vì chuẩn α (X) không âm, trường hợp C1=0cũng không xẩy ra (việc chứng minh không trình bày, dành cho bạn đọc tìm hiểu)

3.4 Không gian định chuẩn tổng quát:

Cho không gian tuyến tính W trên trường số K, một chuẩn xác định trên W làmột hàm từ W vào tập R thỏa mãn các tính chất sau:

-Với mọi X thuộc W luôn có X ≥0, X =0 khi và chỉ khi X=O

- Với mọi a thuộc trường số K, với mọi X thuộc W luôn có aX = a X

- Với mọi X,Y thuộc W luôn có X +Y ≤ X + Y

Khi đó bộ (W, ) gọi là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K, gọi tắtlà không gian định chuẩn

Ví dụ 7:Trên không gian tuyến tính C[a,b] đặt max ( )

] [

x f f

b

x∈

= khi đó (C[a,b], ) làkhông gian định chuẩn

Ví dụ 8: L∞ ={{X n} /X n∈R, X n ≤k,k∈R,k ≥ 0 ,n= 1 , 2 , 3 , }là tập hợp các dãy số thực

bị chặn Trên không gian tuyến tính (L∞, +, ) xác định chuẩn n

=

(L∞, ) là không gian định chuẩn

Ví dụ 9: Ký hiệu W2 là tập hợp tất cả các dãy số {Xn}=x1,x2,x3,…thỏa mãn tínhchất ∑∞

X ta được (W2, ) là không gian địnhchuẩn

3.5 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

- Cho không gian định chuẩn (X, ) một dãy phần tử x1, x2, , xn, ký hiệu{xn}

Ta nói dãy {xn} hội tụ về phần tử x∈ X khi n→ ∞ và ký hiệu xn →x , n→ ∞,nếu x n x

y x

y

x − ≥ − − , kêt hợp có bất đẳng thức kép − x - y ≤ x − y ≤ x−y suy ra

y x

y

x − ≤ − Áp dụng kết quả này có x n − x ≤ x n −x → khi n → ∞ từ đâycó x n → x khi n→ ∞

Tc2/ Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Chứng minh: Nếu xn →x thì x n → x , suy ra { }x n bị chặn, do đó {xn} cũng bịchặn

Tc3/ Nếu xn →x0 và yn →y0 thì có xn+yn →x0 + y0 , với {xn}, {yn}⊂X và x0, y0 ∈X.Nếu xn →x0 và an → a0 thì có anxn → a0x0 , với {xn}⊂X, x0 ∈X và{aa}⊂K, a0 ∈K.Chứng minh: Xét (x n +y n) − (x0 +y0) ≤ x n −x0 + y n −y0 → 0 nên xn+yn →x0 + y0 Xét (a n x n) − (a0x0 ) ≤ (a n x n −a n x0 ) + (a n x0 −a0x0 ) ≤ a n x n −a n x0 + a n x0 −a0x0

∞

→

= +

→

− +

−

≤ a n xn x0 a n a0 x0 a n 0 0 x0 0 khi n nên anxn →a0x0

4 KHÔNG GIAN MÊTRIC

4.1 Khái niệm Mêtric (Khoảng cách) trên R n

Cho 2 véc tơ X=(x1,x2,…,xn) và Y=(y1,y2,…,yn) thuộc Rn , ta định nghĩa khoảng cáchgiữa X và Y là một số ký hiệu d(X,Y) được xác định như sau:

X

1

2

) ( chỉ số i=1,2,3, … ,n Với cách định nghĩa này dn

là hàm từ tập tích Rn x Rn vào tập số thực R, dễ thấy dn có các tính chất:

-Tính chất không âm dn(X,Y) ≥ 0 với mọi X,Y thuộc Rn

-Tính chất đối xứng dn(X,Y) = dn(Y,X) với mọi X,Y thuộc Rn

-Tính chất bất đẳng thức tam giác dn(X,Y) ≤ dn(X,Z) + dn(Z,Y)với mọi X,Y,Z thuộcRn

Ta nói Mêtric dn sinh bởi chuẩn Euclide, sau này ta chỉ xét các Mêtric trên Rn

được sinh bởi chuẩn nào đó

Ví du 10: Trên tập số thực R xác định d1(x,y)= x−y là giá trị tuyệt đối củahiệu x-y Thì d1 là một Mêtric

Tương tự cho R2 xác định 2

2 2

2 1 1

2 (X,Y) (x y ) (x y )

4.2 Không gian Mêtric R n

Trên tập Rn xác định một Mêtric d: Rn x Rn R thỏa mãn 3 tính chất :

-Tính chất không âm d(X,Y) ≥ 0 vớimọi X,Y thuộc Rn

-Tính chất đối xứng d(X,Y) = d(Y,X) với mọi X,Y thuộc Rn

-Tính chất bất đẳng thức tam giác d(X,Y) ≤ d(X,Z) + d(Z,Y) với mọiX,Y,ZthuộcRn

Khi đó gọi bộ ( Rn , d ) là một không gian Mêtric

Ví dụ 11: Ta có các không gian Mêtric một chiều (R, d1) , hai chiều (R2, d2) , ,

n chiều ( Rn , dn)

4.3 Không gian Mêtric tổng quát

Cho tập hợp W khác rỗng có bản chất các phần tử tùy ý, một Mêtric d (haykhoảng cách d ) trên W là hàm d: WxW  R (các số thực) thỏa mãn 3 tiên đề sau:

-Tíên đề không âm d(X,Y) ≥ 0 vớimọi X,Y thuộc W, và d(X,Y)=0 khi và chỉ khicác phần tử trùng nhau X=Y

-Tíên đề đối xứng d(X,Y) = d(Y,X) với mọi X,Y thuộc W

-Tíên đề bất đẳng thức tam giác d(X,Y) ≤ d(X,Z) + d(Z,Y) với mọi X,Y,Zthuộc W Trên W trang bị mêtric d, ta nói bộ (W,d) là một không gian mêtric.Nếu không bị nhầm lẫn, người ta nói không gian mêtric W, được hiểu như đãcómêtric nào đó, mỗi phần tử của W còn gọi là một điểm của W

Ví dụ 12: a/ Các không gian mêtric một chiều, hai chiều, n chiều trong ví dụ 11 b/ Cho X là một tập hợp tùy ý khác rỗng, ta đặt:

đ(x,y) = x, y X

y

x khi

y x khi

Kiểm tra 3 tiên đề Mêtric

- Dễ thấy d(x,y)=0 hoặc d(x,y) =1 thỏa mãn không âm với mọi x,y thuộc X

- Dễ thấy d(x,y) = d(y,x) vì cùng bằng 0 khi x=y, cùng bằng 1 khi x khác y

- Tiên đề bất đẳng thức tam giác d(x,z) ≤ d(x,y) + d( y,z) ta thấy:

Khi x≠z thì d(x,z) = 1, vế phải d(x,y)+d(y,z) nhận giá trị 1 hoặc 2

Khi x=z thì đ(x,z) = 0 , vế phải đ(x,y)+d(y,z) bao giờ cũng không âm Như vậy tiên đề này thỏa mãn

Bộ (X,d) trở thành không gian Mêtric, mêtric d này là mêtric tầm thường

Ví dụ 13: Gọi C[a,b] là tập hợp các hàm số liên tục từ đoạn [a,b] vào tập số thực R.Với các hàm số f,g thuộc C[a,b] ta đặt d(f,g) Max[ ] f(x) g(x)

b x

−

=

∈ , với cách đặt này

ta có: Các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a,b] kéo theo f(x)-g(x) liên tục và hàm

Tiên đề không âm và tiên đề đối xứng thỏa mãn

Tiên đề bất đẳng thức tam giác:

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( :

]

,

[

] [ ]

[

x h x g x

g x f x

h x g x g x f x h x f

b

a

b x b

x

− +

−

≤

− +

x b

x

− +

Hay có d(f,h) ≤ d(f,g) + d(g,h) với mọi hàm số liên tục f,g,h trên đoạn [a,b]

Bộ (C[a,b],d) là không gian mêtric , thường ký hiệu gọn là C[a,b]

Ví dụ 14: Trên tập C[a,b] ta đặt : d f g f x g x dx

tra các tiên đề dựa vào tính chất tích phân các định) Không gian mêtric nàythường ký hiệu là CL

[a,b]

4.4 Một số tính chất đơn giản của không gian Mêtric (W,d):

4.4.1 Mở rộng bất đẳng thức tam giác: Cho X1,X2,…, Xn là n điểm của W ta có d(X1,Xn) ≤ d(X1,X2)+d(X2,X3)+d(X3,X4)+…+d(Xn-1,Xn)

4.4.2 Bất đẳng thức tứ giác: Với X,Y U,V thuộc W ta có

d(X,Y) −d(U,V) ≤d(X,U) +d(Y,V)

Thực vậy, áp dụng 4.4.1 ta có d(X,Y) ≤ d(X,U)+d(U,V)+d(V,Y) kéo theo

d(X,Y) – d(U,V) ≤ d(X,U)+d(V,Y) vai trò như nhau của X,Y,U,V nên thay thếX,Y cho U,V ta có d(U,V)- d(X,Y) ≤ đ(U,X)+d(Y,V) Chú ý tính đối xứng củamêtric đ(X,U)=d(U,X), d(Y,V)=d(V,Y) suy ra bất đẳng thức kép

-[d(X,U)+d(Y,V)] ≤ d(X,Y)-d(U,V) ≤ [d(X,U)+d(Y,V)] từ đây có điều phảichứng minh d(X,Y) −d(U,V) ≤d(X,U) +d(Y,V)

4.4.3 Khoảng cách giữa 2 tập hợp: Cho 2 tập hợp con khác rỗng A, B của W, tađặt: ( , ) inf ( , )

,

y x d B

A

d

B y A

x∈ ∈

= gọi là khoảng cách giữa 2 tập hợp A,B.Khi A chỉ chứa một phần tử a duy nhất thì d(A,B)=d(a,B) gọi là khoảng cáchtừ một điểm đến một tập hợp

Chú ý rằng: nếu A∩B≠ Φ(tập hợp rỗng) thì d(A,B)=0, ngược lại nói chung khôngđúng tức là có d(A,B)=0 nhưng chưa chắc tập hợp giao của A,B khác rỗng

Tính chất: Với mọi x,y thuộc tập W, và với A là tập con khác rỗng của W ta có

d(x,A) −d(y,A) ≤d(x,y)

Thật vậy, áp dụng 4.4.2 với x,A,y,A ta có d(x,A) −d(y,A) ≤d(x,y) +d(A,A)

Mà d(A,A)=0 nên suy có ngay điều chứng minh d(x,A) −d(y,A) ≤d(x,y)

4.5 Không gian mêtric con và không gian mêtric tích

4.5.1 Định nghĩa: Cho (W,d) là một không gian mêtric, X là một tập hợp con khácrỗng của W Nếu xét thu hẹp d’ của d trên tập X mà có (X,d’) là không gianmêtric, thì ta nói (X,d’) là không gian mêtric con của không gian mêtric (W,d).4.5.2 Định nghĩa: Cho hai không gian mêtric tùy ý (X,dx) và (Y,dy) Xét tích ĐềCác XxY = {(x,y) / x ∈ X, y ∈ Y }, ta đặt mêtric d trên XxY như sau

d((x1,y1),(x2,y2)) = dx(x1,x2) + dy(y1,y2) khi đó ta gọi không gian mêtric (XxY, d) làkhông gian mêtric tích của các không gian mêtricù (X,dx) và (Y,dy)

5 SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

5.1 Định nghĩa

- Cho không gian mêtric (W,d), mỗi phần tử x,y,z,… của W gọi là một điểm Giảsử W có vô hạn điểm, ta lập ánh xạ j: N W đặt tương ứng mỗi số tự nhiên nvới phần tử xn của W, tức là j(n)=xn , ta có dãy điểm x1,x2,x3,…,xn,…và ta ký hiệu là{xn}n=1,2,3,…nói tắt dãy xn , số n gọi là chỉ số của phần tử xn

Từ dãy {xn} ta chọn ra một dãy các phần tử của nó với chỉ số tăng nghiêm ngặt

n1<n2<n3<…<nk<…, ta có dãy con là { }x n k của dãy [xn}

- Trong không gian mêtric (W,d) cho dãy {xn}, ta nói dãy {xn}hội tụ đến điểm xthuộc W nếu khoảng cách giữa xn và x dần đến 0 khi n tăng vô hạn Lúc đó

ta nói x là điểm giới hạn của dãy xn, ký hiệu = hay (xn → , → ∞)

∞

→

n x x

x d x

5.2 Một số tính chất về sự hội tụ trong không gian mêtric

5.2.1 Nếu dãy {xn} hội tụ đến x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ đến x.5.2.2 Điểm giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất

5.2.3 Nếu {xn}có giới hạn x, {yn}có giới hạn y thì {d(xn,yn)} có giới hạnd(x,y) khi n tăng vô hạn.

Chứng minh:

5.2.1/ Dãy {xn} hội tụ đến x, tức là:

] ) , ( ,

, 0 [

] 0 ) , ( [

x d x

là dãy con { }x n k hội tụ đến x

5.2.2/ Giả sử {xn} hội tụ về 2 điểm x, x’ khi đó từ bất đẳng thức tam giác:

0 ) , ( 0 ) , ( )

, ( )

, ( 0 ) , ( ) , (

x d x

x d x

x d x

x d x x

) , ( )

, ( )

, ( ) , (

0 d x y d x y d x x d y y d x n y n d x y

n

n n

n n

n n

0) Ta nói {xn}có giới hạn x0

khi và chỉ khi {d(xn,x0)}dần về 0 khi n tăng vô hạn Diễn đạt lại là

] 0 ) [(

] 0 ) (

[ ] ,

0 ) , ( [

0 2

0 1

0 0

n i k i n

n

n

x x x

x n

x x d x

x

Lim

] , , 3 , 2 , 1 , [

] 0 [x x 0 x x i0 i k

n i i

n

hội tụ theo tọa độ thành phần của dãy

Ví dụ 16: Trong không gian mêtric (C[a,b],d) xét ở ví dụ 13 Dãy hàm {fn(x)}hội tụvề hàm f(x) khi và chỉ khi d(fn,f) dần về 0, khi n tăng vô hạn và với mọi xthuộc[a,b] Diễn đạt lại ta có:

→∞ f x = f x x∈ a b ⇔d f x f x = ∈ f n x − f x → n→∞⇔

b x n

n

] [

ε

Ví dụ 17: Trong không gian CL

[a,b], sự hội tụ của dãy {fn(x)} đến hàm f(x) có nghĩalà d(f ,f) =∫ f (x) − f(x)dx→ 0 ,n→ ∞

b

a n

x x d

a/ Nếu {xn} là dãy hội tụ, thì {xn} là dãy cơ bản.

b/ Nếu {xn} là dãy cơ bản và có một dãy con của nó hội tụ về điểm x0, thì {xn}cũng hội tụ về điểm x0

- Không gian mêtric (W,d) được gọi là không gian mêtric đầy đủ, nếu mọi dãy cơbản của W đều hội tụ trong W

6.2 Các ví dụ

Ví dụ 18: Không gian Rk với mêtric thông thường là không gian đầy đủ

Thật vậy, cho dãy cơ bản {xk}, với xn=(x1

n) Khi đó ta có

{ }m m

n k

j

m j n j m

1

x ra suy ,

, 0 ) , ( )

, tức là Rk là đầy đủ

Ví dụ 19: Không gian C[a,b] là không gian đầy đủ

Thật vậy, cho dãy cơ bản {xn} trong C[a,b] ta có ngay

,

(

] [

t x t x x

x

b t m

) , ( )

Do đó c[a,b] là không gian đầy đủ

Ví dụ 20: Lấy X=(0,1] là tập hợp con của R,với mêtric d(x,y)= x−y Ta có (X,d)là không gian mêtric không đầy đủ

Thật vậy, lấy dãy { }, = 1⇒ − = 1− 1 ≤ 1+ 1 → 0 , khi n, m → ∞

m n m n x x n x

{xn} là dãy cơ bản trong X, nhưng không hội tụ về điểm nào trong X

7 KHÔNG GIAN MÊTRIC COM PACT

7.1 Định nghĩa

- Cho (X,d) là không gian mêtric, A là một tập hợp con của X Nếu mọi dãy {xn},

xn ∈ A luôn luôn tồn tại một dãy con hội tụ về điểm x∈ A, ta gọi A là tập hợp compact (Như vậy, tập hợp com pact đóng kín đối với mọi dãy hội tụ)

- Nếu bản thân X là tập hợp com pact, ta gọi không gian mêtric (X,d) là khônggian mêtric com pact

Ví dụ 21: Cho không gian mêtric (X,d) tùy ý, mọi tập gồm một số hữu hạn điểmcủa X là tập hợp com pact

Chứng minh: Giả sử A={a1,a2,…,ak} có k phần tử Nếu {xn} là một dãy bất kỳ trong

A thì phải có ít nhất một ai nào đó mà xn=ai với vô hạn n∈N(tập số tự nhiên)

Từ tập vô hạn các xn này ta rút ra một dãy con hội tụ đến ai

Ví dụ 22: Đoạn [a,b] trong tập R là tập com pact.

Dựa vào định lý Bolzano-Weierstrass ( đọc là Bônxanô-Vâyetrat), mọi dãy thuộcđoạn [a,b] đều bị chặn nên có thể rút ra dãy con hội tụ

7.2 Định lý:

Nếu (X,d) là không gian mêtric com pact thì (X,d) là không gian mêtric đầy đủ.Chứng minh: Giả sử {xn} là dãy cơ bản trong X, vì (X,d) com pact nên có dãy con{xnk} hội tụ về x0 thuộc X Nhưng khi đó chính {xn} cũng hội tụ về x0 , nên (X,d)là không gian đầy đủ

8 KHÔNG GIAN BANACH

8.1 Định nghĩa:

Cho (W, ) là một không gian định chuẩn trên trường số K, ta thiết lập mêtric

d trên W với d(x,y)= .x−y Dễ thấy d(x+z,y+z)=d(x,y) và d(ax,ay)= a d(x,y)với mọi x,y,z thuộc W, với mọi a thuộc trường K, d sinh bởi chuẩn đã cho Nếu (W,d) là không gian mêtric đầy đủ thì ta gọi (W,d) là không gian Banach.(Thường nói tắt W là không gian Banach, coi như đã có một chuẩn nào đó vàmêtric sinh ra từ chuẩn đã cho)

8.2 Ví dụ về không gian Banach

Ví dụ 23: Cho không gian định chuẩn (Rn, ) ta lập mêtric dn như sau:

X

1

2

) ( chỉ số i =1,2,3, … ,n ta có (Rn,dn) là không gianmêtric đầy đủ(xem chứng minh ở ví dụ 18).Nên Rn là không gian Banach

Ví dụ 24: Trên C[a,b] đặt max ( )

] [

x f f

−

=

∈ , Bộ (C[a,b],d)là không gian mêtric đầy đủ (xem chứng minh ở ví dụ 19).Nên C[a,b] là không gianBanach

Ví dụ 25: Không gian CL

[a,b] không phải là không gian Banach

Thật vậy, tập CL

[a,b] với mêtric d f g f t g t dt

không đầy đủ Ta xét trường hợp [a,b]=[0,1], với dãy {xn(t)} như sau

2

1 2

1 2

1 khi 2 1

1 2

1 2

1 khi

0

] 2

1 [0, t khi

≤

≤ +

∈

=

n t

nt n

t n t

+

m n, khi 0

1 ) ( ) ( )

( ) (

2

1 2 1

2 1

1

0 x t x t dt x t x t dt n

n

m n

m

n t x

x d t

x

t

x

n m

n m

n

1 2 ) , ( 2 )

2 1

Vậy dãy {xn(t)} là dãy cơ bản

Bây giờ ta chứng minh dãy này không hội tụ trong cL

[a,b] Giả sử x(t) là một hàm tùy ý trong CL

[a,b] xét hàm số gián đoạn như sau

) ( ) ( : ] 2

1 , 0 [ t y(t), x(t) ] 1 , 2

1 ( t khi

0

] 2

1 [0, t khi

hai hàm số x(t),y(t) cùng liên tục, ta có < ∫ x t −y t dt ≤∫1 x t −y t dt

0

2 / 1

0

) ( ) ( )

( ) ( 0

dt t y t x dt t

1 ) 2 1 ( )

2 1

1

0

n n

n dt nt n

1 )

[a,b] là giới hạn của dãy cơ bản {xn(t)}.Như vậy không gian CL

[a,b] không đầy đủ, do đó không là không gian Banach

9 CÁC KHÁI NIỆM KHÁC HAY DÙNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC 9.1 Hình cầu mở, hình cầu đóng, lân cận

Cho không gian mêtric (W,d), a là một điểm của W, r là một số thực dương (r>0)

- Ta gọi hình cầu mở tâm a bán kính r trong W là tập hợp ký hiệu B(a,r) được xácđịnh B(a,r)= { X ∈ W / d(a,X)<r }

- Ta gọi hình cầu đóng tâm a bán kính r trong W là tập hợp ký hiệu B’(a,r) đượcxác định B’(a,r) = {X ∈ W / d(a,X) ≤ r }

- Ta gọi mỗi hình cầu mở B(a,r) là một r-lân cận của điểm a Tập hợp U⊂W gọilà một lân cận của điểm a nếu U có chứa một r-lân cận của điểm a Mỗi điểm acó thể có nhiều lân cận, tập hợp tất cả các lân cận của điểm a ta ký hiệu L(a) khiđó

{U∈L(a)} ⇔ ( ∃r> 0 :B(a,r) ⊂U), ta có các r-lân cận của a cũng là lân cận của a

Ví dụ 26: a/ Trong không gian mêtric một chiều (R,d1), ở đây mêtric d1 xác định

d1(x,y)= x− y là giá trị tuyệt đối của hiệu x-y Hình cầu mở B(a,r) là khoảng(a-r,a+r) tức là B(a,r) = {x ∈ R / a-r < x < a+r } Hình cầu đóng B’(a,r) là đoạn[a-r,a+r] tức là B’(a,r) = {x ∈ R / a-r ≤ x ≤ a+r }

b/ Trong không gian mêtric hai chiều (R2,d2), ở đây mêtric d2 xác định

2 2 2

2 1 1

2 (X,Y) (x y ) (x y )

d = − + − , chú ý điểm trong R2 được xác định bởi 2 thànhphần X(x1,x2), Y(y1,y2), a(a1,a2) Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp các

điểm B(a,r) = {X ∈ R2 / (x1- a1)2 + (x2 – a2)2 < r2 }, chính là tập hợp điểm tronghình tròn tâm a bán kính r không kể đường tròn Hình cầu đóng tâm a bán kính rlà tập hợp điểm B’(a,r) ={X ∈ R2 / (x1- a1)2 + (x2 – a2)2 ≤ r2 }, chính là tập hợpđiểm trong hình tròn kể cả đường tròn

c/ Tương tự cho không gian mêtric n chiều (Rn,dn)

9.2 Vị trí tương đối của một điểm đối với một tập hợp

Cho không gian mêtric (W,d), A là một tập hợp con của W, điểm x ∈ W Có ba

vị trí tương đối của x đối với tập hợp A như sau:

- Nếu tồn tại một lân cận U của điểm x nằm hoàn toàn trong A (U ⊂ A), ta nói xlà điểm trong của tập hợp A

- Nếu tồn tại một lân cận U của điểm x nằm hoàn toàn ngoài tập hợp A (U ∩A= φ

)

ta nói x là điểm ngoài của tập hợp A

- Với mọi lân cận của điểm x luôn chứa những điểm thuộc A và những điểmkhông thuộc A, ta nói x là điểm biên của tập hợp A

Ta gọi hiệu W \ A là phần bù của tập A trong tập hợp W, thường ký hiệu Ac , tứclà W \ A = Ac Khi đó ta có x∈A⇔x∉A c, x ∉ A ⇔ x ∈ A c

9.3 Tập hợp mở, tập hợp đóng

Cho không gian mêtric (W,d), cho A là một tập hợp con của W

- Ta nói A là tập hợp mở nếu mọi điểm x thuộc A luôn tồn tai số thực r > 0 saocho hình cầu mở B(x,r) nằm hoàn toàn trong A, tức là B(x,r) ⊂ A

- Ta nói A là tập hợp đóng nếu A chứa tất cả các điểm biên của nó

Từ định nghĩa trên rút ra các điều sau:

(A là tập hợp mở khi và chỉ khi A không chứa điểm biên nào của A)

(A là tập hợp mở khi và chỉ khi mọi điểm x thuộc A đều là điểm trong của A)(A là tập hợp mở khi và chỉ khi mọi điểm x thuộc A,tồn tại lân cận U của x,U⊂ A)(A là tập hợp mở khi và chỉ khi phần bù Ac là tập hợp đóng, và ngược lại )

( Có những tập hợp không mở và cũng không đóng)

( Có những tập hợp vừa mở, vừa đóng Ví du:ï bản thân W, tập hợp rỗng φ )

Ví du 27:

a/ Trong không gian mêtric (W,d) tùy ý mọi hình cầu mở đều là tập hợp mở Thật vậy, với hình cầu mở B(a,r) và tùy ý điểm x ∈ B(a,r) tồn tại số b>0 sao chohình cầu mở B(x,b)⊂ B(a,r), theo như định nghĩa nêu ở trên

Ta có d(a,x)<r, đặt b = r – d(x,y)>0, lấy tùy ý điểm j ∈ B(x,b) thì d(x,j) < b, khiđó d(j,a) ≤ d(j,x)+d(x,a) < b + đ(x,a) = [r – d(x,a)] + d(x,a) = r suy ra j ∈ B(a,r),tức là B(x,b)⊂ B(a,r)

b/ Cho không gian mêtric (W,d) tùy ý, điểm x ∈ W tùy ý, gọi K={x} thì K là tậphợp đóng (Dễ thấy K chứa mọi điểm biên của K )

c/ Cho không gian mêtric (R,d1), với hai số thực a<b Các tập hợp (a,b); (a,∞);(-∞,a) là các tập hợp mở Các tập hợp [a,b]; [a,∞); (-∞,a] là các tập hợp đóng

Định lý: Trong không gian mêtric (W,d), ta có:

a/ Hợp một họ tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở.

b/ Giao một họ hữu hạn các tập hợp mở là một tập hợp mở.

c/ Hợp một họ hữu hạn các tập đóng là một tập hợp đóng.

d/ Giao một họ tùy ý các tập hợp đóng là một tập hợp đóng.

Chứng minh:

a/ Cho họ tập hợp mở Ai với i ∈I, đặt A =i∈I Ai , lấy tùy ý điểm x ∈ A thì x phảithuộc ít nhất một tập Ai trong hợp Do Ai là tập mở nên tồn tại B(x,r) ⊂ Ai khi đó

ta cũng có B(x,r) ⊂ A Vậy A là tập hợp mở

b/ Cho hữu hạn tập hợp mở A1,A2,…,An ta đặt A =n

i i

A

1

= , lấy tùy ý điểm x ∈ A thì xphải thuộc tất cả các tập hợp Ai Do mỗi Ai là tập mở nên tồn tại B(x,ri)⊂ Ai , tađặt r = min{r1,r2,…,rn}>0, suy ra B(x,r) ⊂ B(x,ri)⊂ Ai với mọi i = 1,2,3,…,n và cóB(x,r) ⊂ A Vậy A là tập hợp mở

c/ Cho hữu hạn các tập hợp đóng F1,F2,…,Fn ta đặt F = n

i i

F

1

= ) là tập hợp mở, suy ra F = n

i i

F

1

= là tập hợp đóng.d/ Cho tùy ý các tập hợp đóng Fi với i ∈I, ta đặt F = i∈I Fi , áp dụng công thứcDeMorgan W \ ( i∈I Fi ) = ∈I (W \ Fi ), chú ý rằng các tập hợp (W \ Fi) đều lànhững tập mở, theo b/ ta có W \ ( ∈I Fi ) là tập mở, suy ra F = ∈I Fi là tập đóng.Chú ý thêm cho điều b/ và c/ trong định lý:

- Giao một họ vô hạn các tập hợp mở chưa chắc là tập hợp mở

Chẳng hạn, xét họ Gn = ( −n1,n1) là các khoảng mở trong tập R, giao ∞

= 1

n Gn = {0}là một tập hợp đóng

- Hợp một họ tùy ý các tập hợp đóng chưa chắc là tập hợp đóng

Chẳng hạn, xét họ Fn = R \ Gn = ( −∞ , −1] [1, ∞ )

n Gn = R \ {0} là một tập hợp mở

9.4 Điểm tụ, điểm dính, phần trong và bao đóng của một tập hợp

Cho không gian mêtric (W,d), A là một tập hợp con của W, điểm x thuộc W

- Ta nói x là điểm tụ của A nếu mọi lân cận U của x đều chứa ít nhất một điểmthuộc A khác với x, tức là (U∩(A\ {x})≠ φ, ∀U

- Ta nói x là điểm cô lập của A nếu có lân cận U của x sao cho U∩A={x}

- Ta nói x là điểm dính của A ( không nhất thiết thuộc A) nếu mọi lân cận U của

x đều chứa ít nhất một điểm của A , tức là (U∩A ≠ φ )

Như vậy x là điểm dính của A nếu x là điểm tụ hoặc điểm cô lập của A

Nhận xét:

+ Điểm tụ hay điểm dính của A, không nhất thiết phải thuộc A

+ Nếu x là điểm tụ thì x cũng là điểm dính của A, ngược lại không đúng

+ Nếu x là điểm tụ hoặc điểm dính của A,thi x không phải điểm ngoài của A + x là điểm tụ của A khi và chỉ khi tồn tại dãy điểm phân biệt của A hội tụ về

x

- Hợp tất cả các tập mở trong A gọi là phần trong của A, ký hiệu Int A hay A0 .

- Phần trong của tập hợp A bao gồm tất cả các điểm trong của A

- Giao tất cả các tập đóng chứa A gọi là bao đóng của A,ký hiệu A

- Bao đóng của tập hợp A là tập hợp các điểm dính của A

1 , 2

1 , 1

n thì A có điểm tụ duy nhất là 0 Mọi điểm của Ađều là điểm dính của A Điểm tụ 0 không thuộc A

b/ Trong R mọi điểm của (0,1] đều là điểm dính của nó

Chương 2 KHÔNG GIAN TÔ PÔ

1 TÔ PÔ TRÊN MỘT TẬP HỢP

1.1 Tập hợp con của một tập hợp

Cho một tập hợp X có hữu hạn hoặc vô hạn phần tử, X = {x,y,z,m,n,j,k,…}, các tậphợp con của X bao gồm:

- Tập hợp con không chứa phần tử nào có một tập là rỗng φ

- Tập hợp con chứa một phần tử là {x},{y},{z},{m};{n};{j};{k};…

- Tập hợp con chứa hai phần tử là {x,y};{x,z};{y,z};{x,k};…

- Tập hợp con chứa ba phần tử là {x,y,z};{x,j,k};{x,m,j};…

- Tương tự, có tập hợp con bốn phần tử; tập hợp con năm phần tử;v.v…

Chú ý: Với X tùy ý luôn có hai tập hợp conø là φ và bản thân X

Khi X có hữu hạn n phần tử, số tập con chứa k phần tử là tổ hợp chập k của

Ví du 1: Cho X = {1,2,3,a,b} có 5 phần tử, các tập hợp con của X là

Số tập con không phần tử là φ Số lượng C0

5 = 1Số tập hợp con một phần tử là {1},{2},{3},{a},{b} Số lượng C1

5 = 5Số tập hợp con hai phần tử là {1,2},{1,3},{1,a},{1,b}, {2,3}, {2,a}, {2,b}, {3,a},{3,b}, {a,b} Số lượng C2

5 =10Số tập hợp con ba phần tử là {1,2,3}, {2,3,a},{3,a,b},{a,b,1},{b,1,2}, {a,b.2}, {1,2,a}, {2,3,b},{3,a,1}, {1,3,b} Số lượng C3

5 =10 Số tập hợp con bốn phần tử là {1,2,3,a}, {1,2,3,b}, {2,3,a,b}, {1,3,a,b},

{1,2,a,b} Số lượng C4

5 = 5

Số tập hợp con năm phần tử là {1,2,3,a,b}= X Số lượng C5

5 = 1 Tổng số các tập hợp con là 1+5+10+10+5+1= 32 = 25

1.2 Tô pô trên một tập hợp

- Cho tập hợp X tùy ý, một họ các tập con T của X được gọi là một tô pô trên tập

X nếu T thỏa mãn các tính chất sau:

p1 φ ∈ T và X ∈ T

p2 Nếu D1 ∈ T và D2 ∈ T thì D1 ∩ D2 ∈ T

p3 Nếu các tập hợp Di ∈ T với i ∈ I thì i∈I Di ∈ T

- Trên cùng tập hợp X cho hai tô pô T1 và T2 , nếu T1 ⊂ T2 thì ta nói T1 yếuhơn T2 hay nói T2 mạnh hơn T1 , thường viết là T1 ≤ T2

Ví dụ 2: Cho tập hợp X tùy ý khác rỗng, đặt TTT = {φ, X} ta có TTT là một tô pôtrên X, gọi là tô pô tầm thường

Ví dụ 3: Cho X là một tập hợp tùy ý khác rỗng, đặt TRR = {A / A⊂ X}là tập hợptất cả các tập con của X, ta có TRR là một tô pô trên X, gọi là tô pô rời rạc trên X

Ví dụ 4: Cho X là tập hợp tùy ý khác rỗng, xét họ tập hợp con TH như sau (Với A⊂ X, A∈ TH )  (D = φ hoặc A=X hoặc X\A là một tập hữu hạn}

Ta có TH là một tô pô trên X

Thật vậy, ta kiểm tra 3 tính chất p1,p2,p3 theo định nghĩa ở trên.

Tính chất p1 là hiển nhiên.

Tính chất p2, lấy hai tập khác nhau D1 , D2 ∈ TH có 3 khả năng xem xét,nếu một trong hai tập bằng φ giả sử D1 = φ thì D1 ∩ D2 = φ ∈ TH , nếu mộttrong hai tập bằng X giả sử D1=X thì D1 ∩ D2 = D2 ∈ TH , nếu cả hai tập đềukhác φ và X thì X\D1, X\D2 là hai tập hữu hạn phần tử kéo theo hợp của nó X\D1

∪X\D2 là tập hữu hạn, theo DeMorgan có X\D1 ∪X\D2 = X\ (D1 ∩ D2) suy ra X\(D1 ∩ D2) hữu hạn tức (D1 ∩ D2 ) ∈ TH

Tính chất p3, lấy Di ∈ TH với i∈ I sẽ có ít nhất một chỉ số (io) sao cho X\ Dio là tậphửu hạn phần tử Khi đó X \ (i∈I Di) = i∈I (X \ Di ) ⊂ (X\ Dio), suy ra X \ (i∈I Di) làtập hữu hạn, vậy i∈I Di ∈ TH

Ví dụ 5: Cho không gian mêtric (W,d) tùy ý, gọi Tm là tập hợp tất cả các tập mởtrong W Ta có Tm là một tô pô trên W

2 KHÔNG GIAN TÔ PÔ

2.1 Dịnh nghĩa không gian tô pô

Cho tập hợp X khác rỗng, trên X xác lập một tô pô TX , ta gọi bộ (X,TX) là mộtkhông gian tô pô Mỗi phần tử của X còn gọi là điểm của X

Chú ý, trên cùng một tập hợp có thể xây dựng nhiều không gian tô pô theo nhiềutô pô khác nhau.

Ví dụ 6: Từ các ví dụ 2,3,4,5 ở trên ta có các không gian tô pô (X,Ttt), (X,Trr),(X,TH), (W,Tm)

2.2 Lân cận và tôpô cho bởi hệ lân cận

- Cho một không gian tô pô (X,TX), điểm x thuộc X Tập hợp con V của X (V⊂ X)được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập D ∈ TX sao cho x∈D ⊂V Tadùng ký hiệu Ux để chỉ họ các lân cận của phần tử x

Nhận xét: Với không gian tô pô (X,TX) với mọi điểm x của X họ Ux khác φ, bởi vìcó ít nhất X là lân cận của x thuộc Ux

Từ định nghĩa trên ta có các tính chất sau:

V1 Nếu D∈Ux thì có ngay x ∈ D

V2 Nếu D∈Ux và D ⊂V thì V∈Ux

V3 Nếu D,V∈Ux thì (D ∩V)∈Ux

V4 Nếu D∈Ux thì tồn tại W ⊂D sao cho x∈W và W ∈Uy với mọi y ∈ W

- Định lý: Giả sử mỗi x ∈X được đặt tương ứng với một họ Ux các tập con của X(Ux ⊂X) có các tính chất v1,v2,v3,v4 Khi đó họ các tập hợp

TX = {D / D ∈ 

X

x∈ Ux sao cho D∈ Uy , ∀y∈ D } lập thành một tôpô trên X Trong tôpô này họ các lân cận tại mỗi điểm x chính là Ux

Chứng minh: Ta kiểm tra 3 tính chất p1,p2,p3 trong 1.3

Tính chất p1, hiềm nhiên vì φ và X thuộc TX

Tính chất p2 , lấy D1,D2 thuộc TX ta có D1 ∈

2.3 Tập đóng, tập mở, phần trong và bao đóng của một tập hợp

- Cho không gian tô pô (X,TX), ta gọi mọi tập hợp D∈ TX là tập hợp mở trong X

- Tập con A của X (A⊂X) được gọi là tập hợp đóng nếu phần bù X \ A là tập mở

Định lý: Trong không gian tô pô (X,TX)

a/ Giao của một số hữu hạn các tập mở là một tập mở Hợp của một họ tuỳ ý cáctập mở là một tập mở

b/ Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là một tập đóng Giao của một họ tuỳ ýcác tập đóng là một tập đóng

Chứng minh:

a/ Lấy một họ hữu hạn tập mở D1,D2,…,Dn với Di ∈ TX , i =1,2,3,…,n Theo p2 ta có(D1 ∩ D2 ) ∈ TX , tiếp tục có [(D1 ∩ D2 ) ∩ D3]∈ TX , cứ như vậy suy ra tập giao

n

i 1= Di ∈ TX Mặt khác mỗi tập thuộc TX đều là tập mở, vậy n

i 1= Di là tập mở

Lấy một họ tuỳ ý các tập mở Di , với Di ∈ TX ,i ∈I Theo p3 ta có i∈I Di ∈ TX Mặt khác mỗi tập thuộc TX đều là tập mở, Vậý i∈I Di là tập mở

b/ Lấy một họ hữu hạn tập đóng Fi với Fi ∈ TX, i = 1,2,3,…,n Khi đó các tập phầnbù (X\ Fi ) là các tập mở, theo a/ ở trên thì n

i 1= (X\ Fi ) là một tập mở Aùp dụngcông thức DeMorgan X \ ( n

i i

F

1

= ) là tập đóng

Lấy một họ tuỳ ý tập đóng Fi với Fi ∈ TX ,i ∈I Khi đó các tập phần bù (X\ Fi )là các tập mở, theo a/ ở trên thì i∈I (X\ Fi ) là tập mở Áùp dụng công thứcDeMorgan X \ ( i∈I Fi ) = i∈I (X \ Fi ) , suy ra ( i∈I Fi ) là tập đóng

- Cho không gian tô pô (X,TX), tập con A của X (A⊂X), ta có các khái niệm:

+ Điểm x∈ A gọi là điểm trong của A nếu tồ tại một lân cận Vcủa x nằm hoàntoàn trong A (V⊂A)

+ Phần trong của A bao gồm tất cả các điểm trong của A, phần trong của A, kýhiệu Int A hay A0 .

+ Điểm x∈ X (không nhất thiết thuộc A) gọi là điểm dính của A, nếu mọi lâncận V của x luôn chứa ít nhất một điểm của A (V∩A ≠ φ, ∀V∈ TX ) Ký hiệutập hợp các điểm dính của A là A

+ Ta gọi tập hợp các điểm dính của A là bao đóng của A Hiển nhiên A⊂ A + Điểm x∈ X gọi là điểm tụ của A nếu mọi lân cận V của x luôn chứa ít nhấtmột điểm của A khác với x (V∩(A\ {x})≠ φ, ∀V∈ TX ) Ký hiệu tập hợp cácđiểm tụ của A là A’

Định lý: Trong không gian tô pô (X,TX), cho A⊂X

a/ Tập hợp A mở khi và chỉ khi A = IntA.

b/ Tập hợp A đóng khi và chỉ khi A =A

Chứng minh:

a/ Nếu A là tập mở thì hiển nhiên A = IntA Ngược lại cho A = IntA, tức là mọiđiểm của A đều là điểm trong của A Lấy tuỳ ý điểm x∈ A, theo định nghĩa điểmtrong tồn tại lân cận Vx ∈ TX sao cho điểm x∈ Vx ⊂A, suy ra x∈XVx = A Mặtkhác Vx ∈ TX nên Vx là tập mở và x∈X Vx là tập mở, vậy tập A mở

b/ Giả sử A là tập đóng, lấy x∈A ta có x∈A tức là A ⊂ A Bởi vì nếu x ∉ Asẽ tồn tại lân cận V của x sao cho x∈V ⊂ (X\ A), chú ý (X\ A) mở suy ra V∩A=φ,

điều này trái giả thiết lấy x∈A Ngược lại A⊂ A là hiển nhiên Vậy A =A Như vậy , (A đóng) ⇒ (A =A ).

Ngược lại cho (A =A ), lấy tuỳ ý điểm x∈X\ A ta có x ∉ A Từ định nghĩađiểm dính, tồn tại lân cận V của x sao cho V∩A=φ Suy ra V⊂ (X\ A) và x làđiểm trong của X\ A , nên (X\ A)⊂Int(X\ A) là tập các điểm trong và Int(X\ A) làtập mở Chú ý Int(X\ A) ⊂ (X\ A) là hiển nhiên, vậy Int(X\ A) = (X\ A) Từ X\ Alà tập mở ta có A đóng

2.4 Cơ sở tô pô và cơ sở lân cận

- Cho không gian tô pô (X,TX), họ con của TX là TC S (TC S ⊂TX ) Ta nói TC S là cơsở đối với tô pô TX nếu mọi tập D ∈ TX đều tồn tại các tập Ti ∈ TC S , i ∈I (tập Iphụ thuộc vào D) sao cho D = ∈I Ti Trong trường hợp này ta cũng nói X có cơ sởtô pô TC S

- Cho không gian tô pô (X,TX), gọi Ux là họ các lân cận cùa x∈X Họ con của Ux

là Uh c (Uh c ⊂ Ux ) được gọi là hệ cơ sở các lân cận của x nếu với mọi V∈ Ux tồntại U ∈ Uh c sao cho U⊂V

Định lý: Một họ các tập hợp TC S có chứa tập φ, họ TC S là cơ sở của một tô pô TX

trên tập hợp X =(  B) với B∈TC S khi và chỉ khi đối với hai tập tuỳ ý U,V thuộchọ TC S và đối với mọi x ∈ (U∩V) tồn tại W ∈TC S sao cho x∈W⊂(U∩V)

Chứng minh: Giả sử TC S là cơ sở của tô pô TX trên X Cho U,V là các phần tử của

TC S và x∈(U∩V), bởi vì (U∩V) là tập mở nên (U∩V) = i∈I Bi / Bi ∈TC S Từ đósuy ra x phải thuộc vào một tập Bio Đặt W = Bio ta có x∈W⊂(U∩V)

Ngược lại, giả sử TC S là họ các tập hợp có tính chất như đã nêu trong định lý[đó làđối với hai tập tuỳ ý U,V thuộc họ TC S và đối với mọi x ∈ (U∩V) tồn tại W ∈TC S

sao cho x∈W⊂(U∩V)] Ta gọi TX là họ tất cả các hợp có thể thành lập được từ

những tập thuộc họ TC S Khi đó TX sẽ là một tô pô trên tập hợp X =(  B) với B

∈TC S Ta kiểm tra ba tính chất p1,p2,p3 tô pô trên một tập hợp Rõ ràng TX chứacác tập φ, X (p1 thỏa mãn) Hợp tuỳ ý các tập của TX cũng là hợp của họ các tậptrong TC S (p3 thỏa mãn) Còn lại p2 nữa, lấy U,V∈TX và x ∈ (U∩V) thì tồn tại

U1,V1 ∈TC S để x∈(U1 ∩V1)⊂(U∩V) Từ giả thiết đặt ra cho họ TC S , thì tồn tại

Wx ∈TC S sao cho x∈Wx ⊂(U∩V) Suy ra (U∩V)=( Wx )∈TX với x∈(U∩V)

2.5 Tô pô cảm sinh và không gian tô pô con

- Tô pô cảm sinh: Cho không gian tô pô (X,TX), tập con A của X (A⊂X) Xét họcác tập con của A như sau, TA = {(A∩D) với D∈TX } Ta kiểm tra thấy TA thỏamãn các tính chất p1,p2,p3 tô pô trên một tập, ta có TA là tô pô trên tập A, ta gọi TA

là tô pô cảm sinh bởi TX trên A ký hiệu là TA = TX/ A

+ Kiểm tra tính chất p1, X∈TX ⇒(A∩X)=A ∈TA , φ ∈TX ⇒(A∩ φ) =φ ∈TA + Kiểm tra tính chất p2, lấy U,V ∈TA thì U=(A∩U1) và V=(A∩V1), ở đây

U1,V1 ∈TX xét tập giao (U∩V) = (A∩U1)∩(A∩V1) = A ∩(U1 ∩V1) ∈TA vì tậphợp (U1 ∩V1 )∈TX Tức là U,V ∈TA ⇒ (U∩V)∈TA

+ Kiểm tra tính chất p3, lấy một họ tuỳ ý các tập Di ∈ TA ,i ∈I Khi đó tồn tại họcác tập Vi ∈TX , i ∈I sao cho Di = (A∩V1), i ∈I Từ đó ta có i∈I Di = i∈I (A∩V1) =

= A∩(i∈I Vi ) ∈TA vì tập hợp (i∈I Vi ) ∈TX Tức øïcác tập Di ∈ TA ,i ∈I ⇒

I

i∈ Di ∈TA

- Bộ (A,TA) lập thành không gian tô pô con của không gian tô pô (X,TX)

2.6 Tô pô thương và không gian thương

- Cho không gian tô pô (X,TX) Trên X xây dựng một quan hệ tương đương R⊂

X.X, cặp phần tử (x,y)∈X.X mà thuộc R thì ta viết (x,y)∈ R hay viết gọn là xRy.Quan hệ R có 3 tính chất của quan hệ tương đương trên một tập hợp, đó là:

Tính chất phản xạ, ∀x∈X ⇒ xRx

Tính chất đối xứng, ∀x,y∈X xầy ra xRy ⇒ yRx

Tính chất bắc cầu, ∀x,y,z∈X xầy ra xRy và yRz ⇒ xRz

Tập X được R phân hoạch thành từng lớp tương đương, ta gọi tập các lớp tươngđương là tập hợp thương của X theo R, ký hiệu X/R Phần tử x thuộc và chỉ thuộcmột lớp tương đương [x], hai lớp tương đương bằng nhau [x] = [y]  xRy, biểu thịmỗi lớp tương đương là một tập hợp con của X đó là [x]={ a∈X sao cho xRa} Tậpthương có thể biểu thị X/R = { [x1],[x2],…,[xn],… trong đó n≠m⇒ [n]∩[m]=φ }

Ta gọi ánh xa chính tắcï ϕ: X → X/R, với ϕ(x)=[x] dễ thấy ánh xa chính tắcï ϕ làmột toàn ánh, tạo ảnh ϕ − 1([x])≠ φ với mọi lớp [x] ∈ X/R khác φ

- Bây giờ ta đặt TTh là họ tất cả các tập con của X/R sao cho tạo ảnh ϕ − 1(A) là tậphợp mở trong X, tức là TTh={A / A⊂X/R, ϕ − 1(A) mơ û trong X} Ta có TTh là một tôpô trên tập X/ R, thật vậy:

Tính chất p1, tạo ảnh ϕ − 1(X/ R)=X, tạo ảnh ϕ − 1(φ)=φ, mà tập X và φ thuộc TX lànhững tập mở trong X Vậy φ ∈TTh và (X/ R) ∈TTh

Tính chất p2 , lấy A,B∈TTh thì các tạo ảnh ϕ − 1(A) và ϕ − 1(B) mở trong X, kéo theo

ϕ (Vi) mở trong X, mà i∈I ϕ − 1(Vi) = ϕ − 1(i∈I Vi ) nên (i∈I Vi )∈TTh

Tô pô TTh là tô pô mạnh nhất trên X, ta gọi TTh là tô pô thương của X/ R

- Bộ (X/ R,TTh ) lập thành không gian tô pô, gọi là không gian tô pô thương củakhông gian tô pô X theo quan hệ tương đương R (nếu không bị nhầm lẫn ta nói tắtlà không gian tô pô thương)

3 KHÔNG GIAN TÔ PÔ LIÊN THÔNG