Bài giảng xác suất thống kê đậu xuân thoan

Qua hai trường hợp trên, ta hình thành khái niệm: Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định trước, cho ta nhìn thấy rõ kết quả, mà trước đó ta không đoán được

Chương 1 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

1 Phép thử, khái niệm về biến cố, quan hệ giữa các biến cố

1.1 Phép thử, khái niệm về biến cố:

- Quan sát đồng tiền có hai mặt, ký hiệu là S, N Tung đồng tiền lên và cho rơi xuống

mặt phẳng (nền nhà gạch men chẳng hạn), hiện tượng gì xẩy ra?

Hiện tượng: + Đồng tiền nằm trên mặt phẳng, mặt ngửa N lên trên

+ Đồng tiền nằm trên mặt phẳng, mặt sấp S lên trên

+ Không xẩy ra trường hợp đồng tiền nằm nghiêng

Việc tung đồng tiền, ta nói đã thực hiện một phép thử ngẫu nhiên Hai mặt N, S xuất hiện lên trên ta nói “Xuất hiện biến cố N”, “Xuất hiện biến cố S” Khi thực hiện phép thử (tung đồng tiền) xuất hiện một trong 2 khả năng N hoặc S, ngoài ra không còn khả năng nào khác

- Bây giờ tung cùng lúc 2 đồng tiền, gọi đồng một (Đ1) và đồng hai (Đ2), sẽ có hiện tượng gì xẩy ra?

Hiện tượng: + Xuất hiện hai mặt ngửa (N1, N2) lên trên

+ Xuất hiện hai mặt sấp (S1, S2) lên trên

+ Xuất hiện sấp đồng 1 và ngửa đồng 2 là (S1, N2) lên trên

+ Xuất hiện ngửa đồng 1 và sấp đồng 2 là (N1, S2) lên trên

+ Ngoài 4 khả năng trên, không còn khả năng nào khác

Việc tung 2 đông tiền cùng một lúc, ta nói đã thực hiện một phép thử ngẫu nhiên Bốn khả năng (N1, N2), (S1, S2), (S1, N2), (N1, S2) gọi là các biến cố khi phép thử thực hiện Phép thử thực hiện một lần chỉ có 1 trong 4 khả năng đó xẩy ra

Qua hai trường hợp trên, ta hình thành khái niệm:

Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định trước, cho

ta nhìn thấy rõ kết quả, mà trước đó ta không đoán được có xẩy ra hay không Mỗi kết quả đã xuất hiện sau khi thực hiện phép thử, gọi là một biến cố ngẫu nhiên.

Để cho thuận lợi ta dùng các chữ A, B, C, X, Y, … chỉ tên gọi biến cố ngẫu nhiên

Chú ý: Trong cùng một điều kiện, phép thử có thể lặp đi lặp lại nhiều lần Khi phép thử thực hiện một lần, chỉ có một kết quả xuất hiện, còn lại kết quả khác nằm ở dạng tiềm năng có thể xuất hiện ở lần thử khác

Biến cố không bao giờ xẩy ra cho dù bất cứ điều kiện nào, gọi là biến cố bất khả (hay biến cố rỗng, hay biến cố trống), ký hiệu riêng làΦ.

Biến cố luôn luôn xẩy ra trong bất cứ điều kiện nào, gọi là biến cố tất nhiên (hay biến cố chắc chắn) thường ký hiệu riêng bằng chữ E.

Ta chia làm 3 loại biên cố: Biến cố ngẫu nhiên – Biến cố tất nhiên – Biến cố bất khả.Tập hợp các biến cố của một phép thử có hữu hạn các biến cố, hoặc vô hạn các biến cố

1.2 Quan hệ, phép toán giữa các biến cố:

Khi phép thử thực hiện, ta có tập hợp các biến cố tương ứng với phép thử Giữa những biến cố của một phép thử, có thể xẩy ra các quan hệ với nhau:

- Biến cố A gọi là thuận lợi cho biến cố B, viết ký hiệu là A⇒B (hay A⊂B), nếu như khi A xuất hiện thì B cũng xuất hiện

- Hai biến cố A, B gọi là xung khắc nhau, nếu như chúng không cùng xuất hiện trong một lần phép thử được thực hiện Ngược lại khi phép thử thực hiện hai biến cố C, D cùng lúc có thể xẩy ra, ta nói hai biến cố C, D là tương thích với nhau

- Biến cố A gọi là đối lập với biến cố B, nếu như A xẩy ra khi và chỉ khi B không xẩy

ra, viết ký hiệu A, A chỉ hai biến cố đối lập nhau

- Hai biến cố A, B gọi là tương đương (hay bằng nhau) ký hiệu A = B, nếu có (A⇒B)

và (A⇒B) Tức là hai biến cố này thuận lợi cho nhau.

- Tổng hai biến cố A, B là một biến cố C, ký hiệu C = A + B (hay C = A∪B), biến cố C xuất hiện khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xuất hiện

- Tích hai biến cố A, B là biến cố C, ký hiệu C = A.B (hay C = A∩B), biến cố C xuất hiện khi đồng thời hai biến cố A và B xuất hiện

- Hiệu biến cố A và biến cố B là biến cố C, ký hiệu C = A - B (hay C = A\ B), biến cố C xuất hiện khi và chỉ khi A xuất hiện nhưng B không xuất hiện

- Tập hợp tất cả các biến cố của một phép thử (khi đã thực hiện xong) gọi là một không gian các biến cố, thường ký hiệu bằng chữ Ω

- Xét riêng một bộ phận các biến cố E = {e1, e2,…, en, …} cuả không gian biến cố Ω (E

⊂ Ω), nếu E thỏa mãn hai điều:

i/ Các biến cố ei xung khắc từng đôi một, tức là ei ej = Φ với i≠ j

ii/ Bất kỳ một biến cố nào của Ω luôn biểu thị tuyến tính qua hệ thống các biến cố của

- Cả không gian biến cố sơ cấp E được coi như là một biến cố tất nhiên, gọi luôn là E

- Không gian các biến cố Ω chứa các biến cố sơ cấp ei , chứa biến cố Φ, chứa biến cố tất nhiên E, chứa các biến cố khác nữa chẳng hạn A, B, X, Y, H, …

Không gian các biến cố Ω = {Φ, E, e1, e2, … , en, … , A, B, X, Y, G, H, … }

Ví dụ 1: Tung cùng một lúc hai đông tiền, ta có không gian biến cố sơ cấp là

E = {(N1, N2), (S1, S2), (S1, N2), (N1, S2)} có 4 biến cố sơ cấp

Với biến cố A = (có ít nhất một mặt sấp), ta có A = (S1, S2) + (S1, N2) + (N1, S2)

Với biên cố B = (hai đồng cùng sấp hoặc cùng ngửa), ta có B = (N1, N2) + (S1, S2)

Với biến cố C = (có một sấp, một ngửa), ta có C = (S1, N2) + (N1, S2)

Biến cố (N1, S2) thuận lợi cho C Biến cố (N1, S2) thuận lợi cho A

Hai biến cố B và C là xung khắc nhau Hai biến cố A và C là tương thích

Ví dụ 2: Tập thể lớp 6A có 40 học sinh, chọn tùy ý 3 học sinh để lập ban cán sự lớp Không gian biến cố sơ cấp E, có tổ hợp chập 3 của 40 biến cố, tức là C3

40 =

)!340(3

!40

=23.4.25 = 2300 biến cố Tức có 2300 cách chọn 3 học sinh là nam vào trong BCS lớp

Một số tính chất về quan hệ, phép toán giữa các biến cố

Tc 1/ Tính chất giao hoán: A.B = B.A, A+B = B+A / ∀A, B∈ Ω

Tc 2/ Tính chất kết hợp: (A.B).C = A.(B.C), (A+B)+C = A+(B+C) / ∀A,B,C ∈ Ω Tc3/ Tính phân phối giữa tổng và tích:

A+(B.C) = (A+B).(A+C) và A.(B+C) = (A.B)+(A.C) / ∀A,B,C ∈ Ω

Tc 4/ A.E = A, A + E = E, A +Φ = A, A.Φ =Φ /∀A ∈ Ω

Tc 5/ Tính chất lũy đẳng A +A = A, A A = A /∀A ∈ Ω

Tc 6/ A +A = E, A A =Φ /∀A ∈ Ω

Tc 7/ Nếu A, B xung khắc nhau thì A.B =Φ

2 Xác suất của biến cố: Các định nghĩa về xác suất, tính chất.

2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển:

Giả sử phép thử được thực hiện, không gian biến cố sơ cấp E có n biến cố, trong đó

có k biến cố thuận lợi cho biến cố A, khi đó ta gọi tỉ số

Không gian biến cố sơ cấp E = {(N1, N2), (S1, S2), (S1, N2), (N1, S2)} có 4 biến cố

Số biến cố thuận lợi cho A là (S1, S2), (S1, N2), (N1, S2) có 3 biến cố, vậy xác suất biến

cố A là P(A) =

4

3

Số biến cố thuận lợi cho biến cố B là (N1, N2), (S1, S2) có 2 biến cố, vậy xác suất biến cố

B là P(B) =

2

14

2

=

Ví dụ 4: Lớp 6A có 40 học sinh, trong đó có 25 học sinh nam Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để lập ban cán sự lớp, tính xác suất các biến cố sau:

A = (Cả 3 học sinh đều là nam), B = (Có 1 nam và 2 nữ), C = (Có ít nhất 2 nữ)

D = (Có ít nhất 2 nam), E = (Có 1 nữ và 2 nam), F = (Không có nam nào)Giải:

- Không gian các biến cố sơ cấp có C3

3.2.1

40.39.38)!

340(3

!

cố

- Số khả năng chọn được 3 học sinh đều nam là C3

25 = 2300 biến cố, vậy xác suất của biến cố A là P(A) = 0,23279

15.14)!

215

(

2

!15

105.25

40 3 15 2 25 1

=

=

C

C C

= 0,26568…

- Biến cố C = (Có ít nhất 2 nữ) = (Có đúng 2 nữ) + (Có đúng 3 nữ) = (Có 2 nữ và 1 nam)+ + (Có 3 nữ và không có nam nào), vì vậy xác suất biến cố C là:

9880

30809880

4559880

2625

40 3 15 3 40

3

25 1 15

2

=

=+

=+

C

C C

C

C

…

- Biến cố D = (Có ít nhất 2 nam) = (Có đúng 2 nam) + ( Có đúng 3 nam ) = (Có 2 nam

và 1 nữ) + (Có 3 nam và không có nữ nào), vì vậy xác suất của biến cố D là:

P(D) = 0,68825

9880

68009880

23004500

9880

23009880

15.300

40 3 25 3 40

3 15 1 25 2

=

=

+

=+

=+

C

C C

C C

40 3 25 2 15 1

=

=

C

C C

- Biến cố F = (Không có nam nào) = (Cả 3 đều là nữ), vậy xác suất của biến cố F là:

P (F) = 0,04605

9880

45540

3 15 3

=

=

C C

Ví dụ 5: Một nhóm học sinh 12 em, sắp xếp thành vòng tròn (như vòng số đồng hồ từ số

1 đến số 12 ), trong đó có em Hòa và em Ngọc Tính xác suất các biến cố:

A = (Em Hòa ngồi số 5 và Ngọc ngồi số 7), C = (Hai em Hòa, Ngọc ngồi đối diện nhau)

B = (Em Ngọc ngồi số 10), D = (Hai em Hòa và Ngọc ngồi kế bên nhau)

Giải:

- Tổng số 12 em ngồi xếp thành vòng tròn, mỗi em một số trong các số từ 1 đến 12.Mỗi cách xếp như vậy là một hoán vị của 12 phần tử, nên tổng số cách xếp có được

là 12! = 1.2.3.4…12 cách Tức không gian biến cố sơ cấp có 12! =1.2.3…12 phần tử

- Xét biến cố A: Em Hòa ngồi số 5 và em Ngọc ngồi số 7, còn lại 10 em xếp vào 10 số (sau khi xếp cho Hòa và Ngọc), mỗi cách xếp 10 em là một hoán vị của 10 phần tử, ta

có 10!=1.2.3…10 cách xếp.Vậy xác suất của A là P(A) =

132

112.11

112.11.10

- Xét biến cố B: Em Ngọc ngồi số 10, còn lại 11 em ngồi vào 11 số, ta có 11! = 1.2.3…

11 cách xếp Vậy xác suất của B là P (B) =

12

112.11

3.2.1

11

3.2.1

!12

!11

11

112.11.10

3.2.1

10

3.2.1.12

!12

!10.12

P(D) =

11

212.11

.24

!12

!10

Ví dụ 6: Trong hộp đựng 10 thẻ, mỗi thẻ ghi 1 trong10 số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Ta rút ngẫu nhiên ra ngoài 4 thẻ và xếp thành dãy.Tìm xác suất để số xếp được là một số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

Giải:

- Gọi A = (số xếp ra có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5)

- Trong 10 số lấy ra 4 số khác nhau, dãy 4 số khác nhau được lấy ra là một chỉnh hợp không lặp chập 4 của 10 phần tử, nên không gian biến cố sơ cấp có n = A4

10 = 10.9.8.7 =

5040 biến cố sơ cấp

- Số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 có dạng abc0 hoặc abc5 với a ≠0

Số có dạng abc0 với 3 chữ số a,b,c được chọn trong 9 số từ 1 đến 9, nên có A3 = 9.8.7

= 504 khả năng

Số có dạng abc5 với chữ số a có 8 cách chọn (trừ số 0 và số 5), chữ số b có 8 cách chọn (trừ số 5, a đã chọn), chữ số c có 7 cách chọn (trừ số 5, a và b đã chọn), trường hợp này có 8.8.7 = 448 khả năng

Như vậy tổng số khả năng thuận lợi cho biến cố A là 504 + 448 = 952 khả năng

- Xác suất của biến cố A là P(A) = 0,18888 0,19

5040

Ví dụ 7: Đội tuyển thi đấu thể thao của trường CĐSP Kiên Giang có 20 sinh viên, trong

đó có 11 sinh viên môn cầu lông và 9 sinh viên môn bóng chuyền Gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên, tính xác suất để các biến cố:

A = (hai sinh viên thi đấu 2 môn khác nhau), B = (hai sinh viên thi đấu bóng chuyền).Giải:

- Trong 20 sinh viên, gọi ra 2 sinh viên sẽ có C2

2.1

20.19)!

220(2

9.8)!

29(2

2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê.

- Tần suất của một biến cố: Giả sử phép thử được thực hiện, không gian biến cố sơ cấp

E có các biến cố A, B, C,… tức là E = {A, B, C, … } Giả thiết điều kiện thực hiện phép thử là không thay đổi, ta cho phép thử lặp đi lặp lại n lần, trong n lần thử đó biến

cố A xuất hiện k lần Ta gọi tỷ số T(A) =

n

k

là tần suất của biến cố A

- Khi số lần thử n tăng rất lớn (có thể tăng đến vô hạn), khi đó số lần xuất hiện biến cố

A là k cũng thay đổi tăng theo, nhưng tỷ số

n

k

dao động quanh một số p (sai khác với

p không đáng kể) Ta gọi số p là xác suất thống kê của biến cố A, ký hiệu P (A) = p

Sử dụng ký hiệu giới hạn ta viết P(A) = LimT (A)

n→ ∞ = p

Ví dụ 8: Các nhà toán học Button (đọc là Búp phông) và Pearson (đọc là Piếc sơn), đã tiến hành gieo đồng tiền cân đối và đồng chất, hàng chục ngàn lần để tìm ra quy luật, số liệu bảng sau:

Người gieo Số lần gieo Số lần mặt bóng

Như vậy, xác suất xuất hiện mặt bóng N là P(N) = 0,5

Ví dụ 9: a/ Thông kê tỷ lệ (tần số) sinh con trai ở một số nước, ở một số thời điểm được ghi lại số liệu như bảng sau:

Người thông kê Nơi thông kê Tần số: con trai/ tổng số lần sinhNgười Trung hoa cổ đại Trung Quốc

2

1 = 0,5

Laplace Luân đôn, Pêtecbua,

22 = 0,51162…

88073

45682 = 0,51868…

Tổng cục thống kê Việt

b/ Thông kê tỷ lệ(tần số) sinh con gái ở Thụy Điển năm 1935 số liệu như sau:

Con gái

Tần số

35370,486

34670,489

38660,490

39110,471

37750,487

38650,482

Con gái

Tần số 0,4823821 0,4843596 0,4853491 0,4913391 0,4823160 0,4703371Qua hai bảng a/ và b/ ở trên ta nhận thấy: Khi số lần thông kê tăng lên, tỷ lệ sinh con trai và con gái dao động quanh số

2

1 = 0,5 Vì vậy ta chọn luôn xác suất sinh con trai (T) xấp xỉ xác suất sinh con gái (G) và bằng

2

1 = 0,5 Tức là P(T) = P(G) =

2

1 = 0,5

- Ta gọi số đo hình học miền D là m(D), số đo hình học của miền D0 là m(D0), tỷ số )

)( 0

D m

D m

.Nếu D là đoạn thẳng thì m(D) là số đo độ dài đoạn thẳng, nếu D là miền phẳng thì m(D) là số đo diện tích miền phẳng, nếu D là miền trong không gian thì m(D) là số đo thể tích

48,0

1256,0

= 0,26166

Ví dụ 11: Cho phương trình bậc hai một ẩn x2 + p x + q = 0 với p, q ∈ [ - 1, 1 ], biệt

số ∆ = p2 – 4q Tính xác suất biến cố V = (phương trình vô nghiệm)

11 Vậy

xác suất của V là P(V) =

6

11 : 4 = 24

11

2.4 Định nghĩa xác suất có điều kiện

- Khi phép thử được thực hiện, không gian biến cố sơ cấp có n biến cố e1, e2, e3, … , en , tức là E = {e1, e2, e3, … , en } Trong E có m biến cố thuận lợi cho biến cố A ta đặt tên cho m biến cố đó là e11, e12, e13,…, e1m , tức là A = e11 + e12 + e13 + … + e1m Nếu trong

m biến cố {e11, e12, e13,… , e1m } có k biến cố thuận lợi cho biến cố B, ta lập tỷ số

)(

n

m n

k

= PP(A)( B A ), hay là P (B / A) = PP(A)( B A ),

Ví dụ 12: Tung một lúc 3 đồng tiền, gọi A = (xuất hiện ít nhất 2 mặt sấp), B = (xuất hiện đúng 2 mặt sấp) Tính xác suất của biến cố (B / A), tức tính P( B / A)

8

3 Vậy xác suất của biến cố (B / A) là P(B / A) =

8

3 : 2

1 = 4

3

Ý nghĩa: Trong 4 biến cố thuận lợi cho biến cố A, có 3 biến cố thuận lợi cho biến cố B

Ví dụ 13: Bộ bài tú lơ khơ có 52 con, trong đó có 4 con At Rút 2 lần mỗi lần một con bài ra ngoài, không hoàn trả lại Tính xác suất để cả 2 lần rút là 2 con At

1, P(B / A) =

51

3 =17

1( vì khi đã xẩy ra A, số còn lại 51 con bài, trong đó chỉ còn 3 con At thôi)

Theo xác suất có điều kiện suy ra P(A.B) = P (A) P(B / A) =

13

1 17

1 = 2211

Với hai biến cố tùy ý A, B ∈ Ω ta có công thức P (A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) và

có công thức P (A\ B) = P(A) – P(A.B)

Ví dụ 14: Tung cùng một lúc 2 con xúc xắc đã đánh số mặt từ 1 đến 6 Tính xác suất biến cố A = (xuất hiện ít nhất 1 con xúc xắc có mặt số không lớn hơn 2)

Giải:

Gọi A1 = (xuất hiện mặt số không lớn hơn 2 ở con xúc xắc 1)

A2 = (xuất hiện mặt số không lớn hơn 2 ở con xúc xắc 2)

Ta có A = A1 + A2

Biến cố tích A1.A2 = (Cả 2 xúc xắc có mặt số không lớn hơn 2)

Khi phép thử được thực hiện, không gian biến cố sơ cấp là E = {ei j / i, j = 1,2,3,4,5,6}

có tất cả 6.6 = 36 biến cố sơ cấp Biến cố A1 = { ei j / i = 1,2 và j = 1,2,3,4,5,6} có 2.6

= 12 biến cố sơ cấp Biến cố A2 = {ei j / i = 1,2,3,4,5,6 và j = 1, 2} có 6.2 = 12 biến

cố sơ cấp Biến cố A1 A2 = {ei j / i = 1, 2 và j = 1, 2} có 2.2 = 4 biến cố sơ cấp

Xác suất của các biến cố : P(A1) =

36

12 = 3

1 , P(A2) =

36

12 = 3

1 , P(A1 A2) =

36

4 = 9

1

Áp dụng công thức cộng P(A) = P(A1) + P(A2) – P(A1 A2) ta có xác suất của A làP(A) =

3

1 + 3

1

- 9

1

=9

5.(i là chỉ số thứ nhất chỉ xúc xắc 1và j là chỉ số thứ hai chỉ xúc xắc 2)

3.2 Công thức nhân xác suất:

Từ cách tính xác suất có điều kiện, ta có công thức nhân xác suất, chú ý vai trò các biến

cố A, B như nhau, P (A.B) = P (A).P (B / A) = P ( B ) P (A / B)

Định nghĩa:

a/ Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau, nếu co P(A.B) = P(A) P(B).Phát biểu khác: Hai biến cố A và B độc lập với nhau khi và chỉ khi P(A / B) = P(A) Hai biến cố A và B độc lập với nhau khi và chỉ khi P(B / A) = P(B)(Việc xẩy ra biến cố này trước không ảnh hưởng gì đến xác suất xuất hiện biến cố kia)b/ Hệ n biến cố A1, A2, A3, … , An của một phép thử gọi là độc lập trong toàn thể, nếu thỏa mãn: Với k biến cố tùy ý An1, An2, An3, … , An k / 1≤ k ≤ n lấy ra từ họ đó, ta có đẳng thức P (An1 An2 An3… An k ) = P (An1) P (An2) P (An3)… P (An k)

(Xác suất của tích các biến cố bằng tích các xác suất của các biến cố đó )

Ví dụ 15: Hai khẩu cao xạ cùng bắn vào một chiếc máy bay một cách độc lập nhau Xác suất bắn trúng đích của khẩu thứ nhất K1 là 0,75 và của khẩu thứ hai K2 là 0,65 Máy bay bị bắn rơi, nếu cả hai khẩu đều bắn trúng Tìm xác suất máy bay bị bắn rơi

Giải:

Theo bài ra P (K1)= 0,75 và P(K2) = 0,65 Gọi R= (Máy bay bị bắn rơi) thì R = K1 K2 nên có P (R) = P (K1.K2) = P(K1) P(K2)= 0,75.0,65 = 0,4785

Nếu hệ n biến cố của phép thử {A1, A2, A3,…, An } lập thành một nhóm đầy đủ các biến

cố, với biến cố H tùy ý, ta có công thức Bayes P(Ai / H ) = ∑

=

n

i i

A H P A P

A H P A P

1

)/()

(

)/()

(

Ta gọi công thức

1( ) ( ) ( / )

=∑ là công thức xác suất toàn phần

Ví dụ 16: Có 9 hộp giống nhau đưng những viên bi giống nhau Nhóm 1 có 2 hộp, mỗi hộp đựng 10 bi, với 6 bi trắng và 4 bi đen Nhóm 2 có 3 hộp, mỗi hộp đựng 10 bi, với 7

bi trắng và 3 bi đen Nhóm 3 có 4 hộp, mỗi hộp đưng 10 bi, với 8 bi trắng và 2 bi đen Rút ngẫu nhiên ra ngoài 1 hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 bi, thấy bi màu đen Tính xác suât để viên bi lấy ra thuộc hộp nhóm 2

Giải:

Gọi H1 = (Hộp được lấy ra thuộc nhóm 1), H2 = (Hộp được lấy ra thuộc nhóm 2)

H3 = (Hộp được lấy ra thuộc nhóm 3), A = (Viên bi được lấy ra màu đen)

Theo bài ra ta có P(H1) =

9

2 (có 2 hộp trong tổng số 9 hộp) P(H2) =

3

19

3= (có 3 hộp trong tổng số 9 hộp)

P(H3) =

9

4 (có 4 hộp trong tổng số 9 hộp)Xác suất có điều kiện của biến cố A, trong từng trường hợp Hi / i = 1, 2, 3 xẩy ra là:P(A/H1) =

5

210

4

= (hộp H1 có 6 trắng 4 đen), P(A/H2) =

10

3(hộp H2 có 7 trắng 3 đen), P(A/H3) =

5

110

2 = (hộp H3 có 8 trắng 2 đen) Yêu cầu bài ra phải tính P (H2/A) =?

Ap dụng công thức Bayes ta có P(H2/A) = ∑

=

3 1

2 2

)/()

(

)/()

H A P H P

4 + 9

3.10

3 + 9

4 10

2 = 90

25 = 18

5 P(H2).P(A/H2) =

9

3.10

3 = 10

1 Vậy P(H2/A) =

10

1 : 18

5 =

25

950

18 =

(Xác suất để bi màu đen đã lấy ra ngoài thuộc hộp nhóm1 là

25

950

18

= ) Tương tự như trên, bạn đọc tự tìm xác suất để bi màu đen lấy ra thuộc hộp nhóm 2,3

3.4 Công thức Bernoulli (đọc là Becnuly)

- Giả thiết khi phép thử được thực hiện, không gian biến cố sơ cấp E có 2 biến cố e1, e2

Vì hai biến cố này vừa xung khắc nhau vừa đối lập nhau, ta dùng ký hiệu khác là A,A Người ta còn dùng ký hiệu 0, 1 để chỉ hai biến cố vừa xung khắc nhau vừa đối lập nhau.Bây giờ ta dùng ký hiệu A, A, khi phép thử thực hiện 1 lần xác suất của mỗi biến cố

là P(A) = p va P(A) = 1 – P(A) = 1– p

- Trong cùng một điều kiện, ta cho phép thử lặp đi lặp lại n lần độc lập nhau, mỗi lần chỉ có 2 kết quả ký hiệu A, A Xác suất các biến cố A,A không thay đổi trong các lần thử khác nhau Dãy n phép thử như trên ta gọi là dãy phép thử Bernoulli

Đặt Ak = (Biến cố A xuất hiện đúng k lần trong dãy n lần thử Bernoulli) với 0≤ k ≤ nXác suất của biến cố Ak được tính theo công thức Bernoulli sau đây

P (A k ) = C k

n p k (1 – p ) n – k / 0≤ k ≤ n

Ví dụ 17: Điểm kiểm tra được tính số tròn 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, điểm đạt từ 8 trở lên gọi là điểm giỏi hoặc xuất sắc Một sinh viên dự kiểm tra 5 lần, tính xác suất để sinh viên đó đạt được 2 lần loại giỏi trở lên

Giải:

Một lần kiểm tra chia 2 loại:

Loại giỏi trở lên có các điểm 8, 9, 10 (có ba số điểm) Loại dưới giỏi có các điểm 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7(có tám số điểm)

Gọi A = (Đạt điểm giỏi trở lên) thì xác suất của A là P(A) =

11

3 , suy ra 1 – P(A) =

11

8.Đặt A3 = (Điểm đạt 3 lần loại giỏi trở lên), áp dụng Bernoulli có xác suất là

P(A3)=C3

5.(

11

3)3.(

11

8)5-3=

)!

35(3

!5

− .(11

3)3.(

11

8)2=10

11.11.11.11.11

64.27

=161051

17280

=0,107295…(Quy đổi 0,107295…≈ 10,73 % )

Ví dụ 18: Tung 3 lần con xúc xắc đã đánh số mặt từ 1 đến 6, tính xác suất để có 2 lần xuất hiện mặt số nguyên tố

1, suy ra 1- P(A) =

2

1.Tung đến 3 lần, gọi A2 = (xuất hiện 2 lần mặt số nguyên tố), áp dụng Bermoulli tính được P(A2 ) = C2

3 (2

1)2.(

2

1)1 = 3 (

2

1)3 = 8

3

………

……

“ Năm 1973, khi tổng kết phong trào CCGD trên thế giới, UNESCO đã khẳng định rằng

xác suất là một trong 9 quan điểm chủ chốt để xây dựng học vấn trên phạm vi toàn thế

giới.”

Thuật ngữ Xác suất là số đo phần chắc chắn của một biến cố ngẫu nhiên

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 - BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

1 Một lô hàng có 52 sản phẩm, trong đó có 13 phế phẩm còn lại là tốt Lấy ngẫu nhiên

ra 10 sản phẩm Tính xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có:

a/ Đúng 8 sản phẩm tốt b/ Đúng 5 phế phẩm

c/ Không ít hơn 8 sản phẩm tốt d/ Số phế phẩm không nhiều hơn 2

2.Tung đồng thời 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất, đã đánh số mặt từ 1 đến 6, kết quả sẽ có hai mặt lên trên cho ta nhìn thấy Tính xác suất sao cho:

a/ Tổng hai số ở hai mặt lên trên bằng 8

b/ Hiệu hai số ở hai mặt lên trên có trị tuyệt đối bằng 2

c/ Số ở mặt lên trên của xúc xắc này chia hết cho số ở mặt lên trên của xúc xắc kia.d/ Hai số ở hai mặt lên trên của hai con xúc xắc là 2 số nguyên tố

e/ Hai số ở hai mặt lên trên của hai con xúc xắc là 2 số nguyên tố cùng nhau

ĐS: a/

36

5 b/

92

3 Một hộp đưng 3 bi trắng và 5 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên ra 1 bi thấy bi màu trắng, sau đó lấy ngẫu nhiên từ số bi còn lại trong hộp ra 1 bi nữa Tính xác suất để có:

a/ bi lấy ra lần sau là màu trắng b/ Bi lấy ra lần sau là màu đỏ

ĐS: a/

7

2 b/

75

4 Một em bé có một hộp đưng 2 bi trắng và 4 bi đỏ, Em rút lần lượt mỗi lần một bi ra ngoài cho đến viên bi cuối cùng Tính xác suất để bi cuối cùng được:

a/ Bi cuối cùng màu trắng b/ Bi cuối cùng màu đỏ

ĐS: a/

3

1

!6

8 Một đoạn thẳng dài 1 mét, được chia ra làm ba đoạn bởi hai điểm chia Tính xác suất

để ba đoạn được chia ra xếp đựoc thành một tam giác

11 Một máy bay có 3 bộ phận có tầm quan trọng khác nhau Muốn bắn rơi máy bay thì chỉ cần có một viên đạn trúng vào bộ phận thứ nhất, hoặc hai viên đạn trúng vào bộ phận thứ hai, hoặc ba viên đạn trúng vào bộ phận thứ ba Xác suất của một viên đạn trúng vào bộ phận thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là 0,15; 0,30; 0,55 Tìm xác suất

để máy bay bị bắn rơi khi:

a/ Có một viên đạn trúng b/ Có hai viên đạn trúng

c/ Có ba viên đạn trúng d/ Có bốn viên đạn trúng

ĐS: a/ P(A/1) = 0,15 b/ P(A/2) = 0,368 c/ P(A/3) = 0,728 d/ P(A/4) = 1

12 Cho ba hộp bi: Hộp một có 2 bi trắng và 1 bi đen Hộp hai có 3 bi trắng và 1 bi đen Hộp ba có 2 bi trắng và 2 bi đen Lấy ngẫu nhiên ra một hộp và từ hộp đó lấy ra 1 bi.a/ Tìm xác suất để bi lấy ra là bi trắng

b/ Khi lấy bi ra ta thấy bi trắng, tìm xác suất để bi đó được lấy ra từ hộp thứ hai

ĐS: a/

36

23 b/

239

13 Tỷ số xe tải và xe ô tô con đi qua phố có trạm bán dầu là

2

5 Xác suất để 1 xe tải qua phố mua dầu là 0, 1 Xác suất để 1 xe ô tô con qua phố mua dầu là 0, 2 Ngẫu nhiên có 1

xe đến trạm mua dầu, tìm xác suất để xe mua dầu đó là xe tải

ĐS:

9

5 (sử dụng công thức Bayes)

14 Ba khẩu súng cùng bắn vào một mục tiêu Có hai viên đạn trúng đích Tìm xác suất

để trong 2 viên đạn trúng đích có 1 viên của súng thứ nhất Biết răng xác suất bắn trúng đích của súng thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là 0, 3; 0,4; 0,5

ĐS:

29

15 (sử dụng công thức Bayes)

15 Một cầu thủ nổi tiếng đá phạt đền 11 mét trong trận đá bóng, xác suất đá vảo cung thành là

5

4

Có người nói khẳng định “cứ 5 quả sút chắc chắn có 4 quả chọc thủng cung thành đối phương”

a/ Xét xem điều khẳng đinh trên có đúng không ?

b/ Tìm xác suất để 5 quả sút có 4 quả thủng lưới

ĐS: a/ Không đúng b/ ≈ 0,41.

Hết chương 1

Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN

1 Khái niệm về biến ngẫu nhiên

1.1 Định nghĩa:

- Trong chương 1 chúng ta đã nghiên cứu biến cố và xác suất của biến cố, nay ta nghiên cứu tiếp một khái niệm quan trọng của lý thuyết xác suất, đó là biến ngẫu nhiên Ta đại

số hóa các biến cố của phép thử ngẫu nhiên bằng những con số, khi phép thử thực hiện

ta không biết trước được số nào xẩy ra

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc đã đánh số mặt từ 1 đến 6, không gian biến cố sơ cấp là

E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6}, ta gán cho mỗi biến cố ei tương ứng với một số thực ai theo một quy luật nào đó do ta tự chọn Sự tương ứng này ta đặt tên cho nó là X, ta có một hàm X từ E vào tập số thực R, ký hiệu:

X: E → R

ei  X(ei) = ai Hàm X có tính chất ∀x∈ R, tập hợp {ek∈E / X(ek) < x} cũng là biến cố ngẫu nhiên, ta gọi X là một biến ngẫu nhiên

Cụ thể hơn, ta cho X(ei) = 3i2 + 5i – 2 chẳng hạn, ta có X(e1) = 3.12 + 5.1 – 2 = 6, X(e2)=20, X(e3) = 40, X(e4) = 66, X(e5) = 98, X(e6) = 3.62 + 5.6 – 2 = 136 Tập giá trị của X là X(E) = { 6, 20, 40, 66, 98, 136} ⊂ R Bây giờ cho một số x tùy ý, x = 10 ta có tập {e1} là một biến ngẫu nhiên, x = 72 ta có tập {e1, e2, e3, e4} là một biến ngẫu nhiên – đọc tên biến cố này là “xuất hiện mặt số không lớn hơn 4”, x = 150 ta có tập {e1, e2, e3,

e4, e5, e6} là biến cố ngẫu nhiên – biến cố này là “biến cố chắc chắn”, tương tự ta có những giá trị khác của x …

- Định nghĩa: Hàm X xác định trên không gian biến cố sơ cấp E = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ,

… , e n-1 , e n , …} của một phép thử ngẫu nhiên, nhận giá trị trong tập số thực R, được gọi là một biến ngẫu nhiên nếu thỏa mãn ∀x∈ R tập hợp {e k∈E /X(e k ) < x}

là biến cố ngẫu nhiên.

Ví dụ 2: Tung một con xúc xắc đã đánh số mặt từ 1 đến 6, không gian biến cố sơ cấp là

E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6}, ta đặt Y: E → R

ei  X(ei) = i ta có Y là biến ngẫu nhiên

Ta có thể biểu diễn Y theo bảng sau

E e1 e2 e3 e4 e5 e6

Y 1 2 3 4 5 6Bây giờ cho giá trị x tùy ý, ta có tập hợp tương ứng là biến cố ngẫu nhiên, chẳng hạn:Cho x = 2,5 ta có {e1, e2} là biến ngẫu nhiên “xuất hiện mặt số không lớn hơn 2”

Cho x = 5,2 ta có {e1, e2, e3, e4, e5} là biến ngẫu nhiên “xuất hiện mặt số nhỏ hơn 6”

Ví dụ 3: Bắn một cách độc lập 10 viên đạn vào một tấm bia, ta gọi X = (số viên đạn trúng vào tấm bia), ta có X là một biến ngẫu nhiên và tập giá trị mà X có thể nhận là {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Ví dụ 4: Tung đồng tiền chỉ một lần, gọi X = (số lần xuất hiện mặt sấp), ta có X là một biến ngẫu nhiên

Thật vậy, khi phép thử thực hiện không gian biến cố sơ cấp là E = {S, N}, ta có X(N) =

0, X(S) = 1 Với x∈ R, ta chia ba khoảng (x ≤ 0), (0 < x≤ 1), (x > 1) xét các tập hợp

1x0 khi N

0 xkhi )X(e / i

φ

x E

đều là những biến cố ngẫu nhiên, nên theo định nghĩa ta có X là biến ngẫu nhiên

Ví dụ 5: Một bà mẹ sinh 3 lần, mỗi lần một con trai (T) hoặc con gái(G) Không gian biến cố sơ cấp sẽ là E = {(TTT) = e1, (TTG) = e2, (TGT) = e3, (GTT) = e4, (GGG) = e5, (GGT)= e6, (GTG) = e7, (TGG) = e8}

Ta đặt hàm X: E → R

ei  X(ei) = (số con trai sinh ra)

Ta có thể biểu thị X bằng bảng sau

Nhìn vào bảng thấy ngay X nhận giá trị bằng 0, 1, 2, 3 Khí đó với x∈ R, xét các tập:

















>

≤

<

≤

<

≤

<

≤

=

<

∈

3 x khi

, , , , , , , e 3 x 2 khi

, , , , , , 2 x 1 khi

, , e , e 1 x 0 khi

e 0 x khi

) X(e / 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 8 7 6 5 5 i e e e e e e e e e e e e e e e e x E e i φ là các biến cố ngẫu nhiên, nên X là biến ngẫu nhiên 1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên: Khi xem xét biến ngẫu nhiên, người ta chia làm hai loại: Biến ngẫu nhiên Rời rạc và biến ngẫu nhiên Liên tục - Biến ngẫu nhiên rời rạc là những biến ngẫu nhiên mà tập hợp giá trị của nó là tập hợp hữu hạn hoặc là tập hợp vô hạn đếm được - Biến ngẫu nhiên liên tục là những biến ngẫu nhiên mà tập hợp giá trị của nó là tập hợp vô hạn, lấp đầy một khoảng (a, b) ⊂ R Chú ý ở đây, a và b có thể nhận giá trị vô hạn∞ , Từ ví dụ 1 đến ví dụ 5 nói về biến ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp giá trị là hữu hạn Ví dụ 6: Ta bật công tắc một bóng đèn cho đèn sáng lên, giả sử thời gian từ 8 giờ đến 10 giờ Gọi X = (thời gian cháy sáng của bóng đèn), ta có X là biến ngẫu nhiên liên tục Dễ thấy giá trị của X lấp đầy khoảng thời gian (8, 10) 1.3 Xác suất các biến cố được ghi theo biến ngẫu nhiên: Trong chương 1 ta đã biết tính xác suất của các biến cố ngẫu nhiên, nay ta thay thế cách ghi chép biến cố theo biến ngẫu nhiên Ví dụ 7: (Sử dụng ví dụ 2) Tung một con xúc xắc đã đánh số mặt từ 1 đến 6, không gian biến cố sơ cấp là E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6}, ta đặt Y: E → R Ta có thể biểu diễn Y theo bảng sau E e1 e2 e3 e4 e5 e6 Y 1 2 3 4 5 6

Ta thay biến cố e1 bằng biến cố (Y = 1), thay e2 bằng (Y=2), … với cách thay này, thay vì ta ghi xác suất của e1 là P(e1) =

6

1

ta ghi P (Y = 1) =

6

1 , tương tự P(Y=2) = P(Y=3) = P(Y=4) = P(Y=5) = P(Y=6) =

6

1 Biến cố {e1, e2} đuợc ghi lại là (Y≤ 2), suy luận ta sẽ có (Y≤ 2) = (Y=1) + (Y=2), cho nên P (Y≤ 2) = P(Y=1) + P(Y=2) =

6

1 + 6

1 = 3 1

Biến cố {e1, e2, e3, e4, e5} được ghi lại là (Y ≤ 5), suy luận ta có P(Y ≤ 5) =

6

5 Biến cố (Y ≤ 5) có thể thay cách ghi (Y< 6)

Ví dụ 8: Bắn 3 viên đạn một cách độc lập vào một mục tiêu với cùng một điều kiện xác định Xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,4 Gọi X = (số viên đạn trúng mục tiêu), tập giá trị của X = 0, 1, 2, 3 Tính xác suất các biến cố (X=0), (X=1), (X=2), (X=3)

Giải:

Bắn một viên có 2 khả năng: Trúng (T) và Không trúng (KT), theo bài ra P(T) = 0,4 nên 1- P(T) = 0,6 Gọi Ak = (có k viên trúng mục tiêu), 0≤ k ≤ 3, theo công thức Bernoulli

ta có P(Ak) = Ck

3 (0,4)k (0,6)3 – k Thay giá trị vào có xác suất từng biến cố:

P(X=0) = 0,216, P(X=1) = 0,432, P(X=2) = 0,288, P(X=3) = 0,084

Để chuyển sang mục mới cần chú ý thêm rằng:

- Trong các phần sau đây khi nghiên cứu biến ngẫu nhiên X ta giả thiết P(X<∞) = 1

- Khái niệm biến ngẫu nhiên còn gọi là đại lượng ngẫu nhiên

2 Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên.

2.1 Hàm phân phối:

- Cho một phép thử có không gian biến cố sơ cấp là E = {e1, e2 , e3 , e4 , … , en-1, en , …} Gọi X là biến ngẫu nhiên xác định trên E nhận giá trị trên R

Với mỗi giá trị x∈ R ta hoàn toàn xác định được biến cố {ek∈E / X(ek) < x} và do đó xác suất của nó hoàn toàn xác định, tức tìm được giá trị P ( {ek∈E / X(ek) < x} ) Như vậy ta có một hàm số F: R → R

x  F (x) = P ( {ek∈E / X(ek) < x} )

Định nghĩa: Ta gọi hàm F (x) = P ({e k∈E / X(e k ) < x}) với x∈ R, là hàm phân phối

của biến ngẫu nhiên X

Ví dụ 9: (Từ ví dụ 4).Tung đồng tiền chỉ một lần, gọi X = (số lần xuất hiện mặt sấp), thì

X là một biến ngẫu nhiên Với x∈ R ta có { } { }

    > ≤ < ≤ = < ∈ 1 x khi

E 1 x 0 khi N 0 x khi

) X(e / i φ x E e i

Hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên X được xác định: F (x) = { } { }     > ≤ < ≤ = < ∈ 1 x khi

P(E) 1 x 0 khi ) N ( 0 x khi

) ( ) ) X(e / ( i P P x E e P i φ =       > ≤ < ≤ 1 x khi

1 1 x 0 khi

2 1 0 x khi

0 Ví dụ 10: (Từ ví dụ 5) Hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên X được xác định: F (x) = { } { } { } { } { }         > ≤ < ≤ < ≤ < ≤ = < ∈ 3 x khi

) , , , , , , , e ( 3 x 2 khi

) , , , , , , ( 2 x 1 khi

) , , e , e ( 1 x 0 khi

) e ( 0 x khi

) (

) ) X(e / (

8 7 6 5 4 3 2 1

8 7 6 5 4 3 2

8 7 6 5

5 i

e e e e e e e P

e e e e e e e P

e e P

P P x

E e

φ

Hay có hàm phân phối F (x) =

3x2khi 87

2x1khi 21

1x0 khi 81

0 xkhi 0

- Tính chất của hàm phân phối:

T/c1 Hàm phân phối F (x) nhận giá trị trong đoạn [0, 1] tức 0 ≤ F (x) ≤ 1, ∀x∈ R T/c2 Hàm phân phối F (x) không giảm, tức với x1 < x2 thì F (x1) < F (x2), ∀x1, x2∈ R.T/c3 Hàm phân phối F (x) liên tục bên trái, tức là Lim

X nhận F (x) là hàm phân phối của nó

2.2 Dãy phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc:

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X, tập giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị x1, x2 , x3 , … ,xn , … Gọi xác suất các biến cố (X = xi), i = 1, 2, 3, … , n, … là các số P(X=xi) = pi Ta sắp xếp lên một bảng (*) như sau:

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Y là: F (x) =

≤

<

=+

≤

<

=+

≤

<

=+

≤

<

≤

6 1

65

6

56

132

54

3

26

121

43

2

16

131

32

3

16

161

21

61

1 0

x khi

x khi

x khi

x khi

x khi

x khi

x khi

Chú ý: Khi biến ngẫu nhiên đã nhận các giá trị khác nhau, thường ta sắp xếp tập giá trị của nó trên bảng phân phối tăng dần từ nhỏ đến lớn (như ví dụ 11) Trong trường hợp biến ngẫu nhiên có nhận những giá trị bằng nhau, ta có thể gom lại để ghi một lần giá trị của nó, và ghi từ nhỏ đến lớn (xem ví dụ 12 sau đây)

Ví dụ 12: (Từ ví dụ 5) Một bà mẹ sinh 3 lần, mỗi lần một con trai (T) hoặc con gái (G) Không gian biến cố sơ cấp là E = {(TTT) = e1, (TTG) = e2, (TGT) = e3, (GTT) = e4, (GGG) = e5, (GGT)= e6, (GTG) = e7, (TGG) = e8}

Hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên X là: F (x) =

≤

<

=+

≤

<

≤

3 xkhi 1

3x2khi 8

78

321

2x1khi 2

18

381

1x0 khi 81

0 xkhi 0

2.3 Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối:

Theo tính chất tích phân ta có F ’(x) = ( ∫

∞

−

x (u).du

f )’ = f (x), hay có f (x) =

x

x F x x

0 , vì hàm F(x) là hàm không giảm nên F(x+∆x) – F(x) và∆x cùng dấu dẫn đến

x

x F x x F

→

∆

)()(

1)

1)

( dx x

T/c3 P (a≤ X < b) = ∫b

a dx x

f(x).dxvà F (a) = ∫

∞

−

a f(x).dx, thay vào có F (b) – F (a) = =

f( ) Vậy ta có P (a≤ X < b) =∫b

a dx x

f( )

- Định lý:

Hàm số f (x) xác định trên tập số thực R là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên X nào

đó khi và chỉ khi f (x) thỏa mãn hai điều f(x) ≥ 0, ∀x∈ R và ∫∞

∞

−

=

1)

+ Tìm a để f (x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên

X, xác định hàm phân phối F (x) của X

Giải:

Theo định lý ta kiểm tra các điều kiện: f (x) xác định ∀x∈ R, f(x) ≥ 0 ⇔ a≥ 0

Bây giờ ta xét điều kiện ∫∞

∞

−

=

1)

x -

2)u(1

1f(u).du

1 arctg x +

21

Ví dụ 14: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối

0

0

a

x

a x khi e

x khi

Tìm hàm mật độ của X, tính xác suất P(-1≤ X < 1).Giải:

0 0a

x

a x khi e

a

x khi

3 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.

3.1 Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X , ta ký hiệu là E X (hay viết EX)

i p

x là kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X Trong trường hợp này EX =

1

∑

=

i i

i p x

b/ Biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối X có hàm mật độ f (x) Nếu tích phân suy rộng

T/c 2 E (c.X ) = c.EX , với c là hằng số túy ý và X có kỳ vọng

T/c 3 E (X + Y) = EX + EY , với hai biến ngẫu nhiên X, Y đều có kỳ vọng

T/c 4 Nếu biến ngẫu nhiên X nhận mọi giá trị không âm, thì kỳ vọng EX ≥ 0

T/c 5 Nếu X ≥ Y với mọi cặp giá trị tương ứng, thì EX ≥ EY, với hai biến ngẫu nhiên

6

1 21 = 3, 5

Ví dụ 16: (Từ ví dụ 12) Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là số thực

E X =

8

1(0+3) +

8

3(1+2) =

8

3 + 8

9 = 8

12 = 1,5

Ví dụ 17: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối

X 0 1

P

2

1

21

Hãy tính kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên eX , X2 +2X +1

Giải:

Tính EX = 0

2

1 + 1

2

1 = 2

1

E (eX) = e0

2

1

+ e1 2

1 = 21.e

E (X2 +2X +1) = E (X2) + 2 E(X) + 1 = (02.

2

1 + 12 2

1) + 2.(0

2

1 + 1

2

1) +1 =

2

5 = 2,5

Ví dụ 18: Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trên [0, 1], tức X có hàm mật độ dạng f (x) =

]1,0[ 1

x khi

x khi

tìm kỳ vọng EX Giải:

EX =

2

1/2

1.1.)

(.x.f(x)dxx.f(x)dx

0 2

0 -

1

1 0

=

=

=+

Ví dụ 19: Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X là f(x) =

0 xkhi

2e 2x

tính EX?Giải:

EX=

2

1/2

1 /

2ex.f(x)dxx.f(x)dx

0 2 0

0 0

2 2x

=+

- Tính chất của phương sai:

T/c1 Từ tính chất của kỳ vọng rút ra DX = E(X2 ) – (EX )2

T/c2 Nếu X nhận giá trị không đổi C thì DX = 0

T/c3 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, có DX và DY thì D (X+Y) = DX + DY T/c4 D (c.X) = c2 DX với c là số thực

Ví dụ 20: Cho phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (Từ ví dụ 17)

X 0 1

P

2

1

21

2

1) – (2

1 )2 =

2

1 – (2

1 )2 =

41

D(2X+3) = 4.DX + 0 = 4

4

1 = 1

Ví dụ 21: Tính DY, biết bảng phân phối xác suất của Y là:

Từ ví dụ 11 và ví dụ 15 ta có EY =

2

7 = 3, 5

6

1 91 = 15

61

Vậy DY = E (X2 ) – ( EX)2 = 15

6

1

- ( 2

7)2 =

12

11212

354

496

0 xkhi

E (X2) =

2

12

.x)

()

()

(x

0

2x 2 0

2

0 2

x f x dx x f x dx x

2 lần ta được kết quả bằng

2

1)

Vậy DX = E (X2 ) – (EX )2 =

2

1

- (2

1)2 = 41

3.3 Mô men gốc và mô men trung tâm

- Mô men gốc:

Số E (Xk ) được gọi là mô men gốc bậc k của biến ngẫu nhiên X

Khi k = 1 ta có EX là kỳ vọng, k = 2 ta có E (X2) là mô men gốc bậc hai

- Mô men trung tâm:

Giá trị kỳ vọng E (X – EX )2 gọi là mô men trung tâm bậc k của biến ngẫu nhiên X

Khi k = 1 ta có E (X – EX ) = 0

Khi k = 2 ta có E (X – EX )2 là phương sai của X

Khi k = 3 ta có E (X – EX )3 dùng để mô tả độ lệch của hàm mật độ

Khi k = 4 ta có E (X- E X)4 mô tả độ nhọn của đồ thị hàm mật độ

3.4 Mod:

Mod là giá trị của biến ngẫu nhiên X , sao cho tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại.Chú ý: Giá trị Mod có thể đạt tại một điểm, hoặc có thể đạt trên một khaoảng (a,b) hay trên một đoạn [a,b]

Ví dụ 23: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

X 0 1 2

P

6

1

3

2

6

1

Ta thấy ngay Mod của X đạt tại giá trị X = 1 ta viết X Mod = 1, vì có P(X=1) =

3

2 lớn nhất

Ví dụ 24: Cho biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) = 2

2 ) (2

πσ

a x e

−

Tại x=a hàm f(x) đạt cực đại, vậy XMod = a

Ví dụ 25: Cho biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f (x) =

xkhi

[0,1]

xkhi

thì X Mod là cả đoạn [0,1] vì f (x) đạt giá trị 1 lớn nhật trên toàn đoạn [0,1]

Ví dụ 26: Cho biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F (x) =

1x0khi

x

0 xkhi

Nói cách tổng quát: P (X≥XMe ) ≥

2

1

≥ P ( X ≤ XMe )Chú ý: Trung vị có thể đạt tại một điểm, hoặc có thể đạt trên một khaoảng (a,b) hay trên một đoạn [a,b]

Ví dụ 27: Cho biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F (x) =

1x0khi

x

0 xkhi

thì giá trị

trung vị của X là XMe =

21

3.6 Phân vị cấp p:

Giá trị phân vị cấp p của biến ngẫu nhiên X là giá trị xP của X, mà F (xP ) = p

4 Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên

- Định nghĩa:

Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y có 0 < DX, DY < ∞ Ta gọi tỷ số

rX Y =

Y X

Y X

D D

E Y E X

E

))(

là hệ số tương quan giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y Nếu một trong hai biến ngẫu nhiên X hoặc Y, luôn nhận giá trị không đổi thì ta quy ước hệ số tương quan rX Y = 0

- Tính chất:

T/c 1 Đối với hai biến ngẫu nhiên X và Y tùy ý, ta có - 1 ≤ rX Y ≤ 1

T/c 2 Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập nhau với 0 < DX , DY < ∞ , thì hệ số tương quan rX Y = 0 ( chú ý ngược lại không đúng tức là rX Y = 0 nhưng hai biến ngẫu nhiên vẫn không độc lập)

T/c 3 Hệ số tương quan (rX Y = 1 hoặc rX Y = -1) khi và chỉ khi X và Y là phụ thuộc tuyến tính, tức là Y=aX+b có xác suất 1 hoặc X=aY+b có xác suất 1, hệ số a ≠0.

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 – BIẾN NGẪU NHIÊN

1 Kiểm tra 2 học sinh, gọi X = (số học sinh thuộc bài học), biết xác suất để mỗi học sinh thuộc bài là

2

1 Hãy : a/ Lập bảng phân phối xác suất của X

3

1

61

a/ Tìm hàm phân phối F (x), tính xác suất P ( - 1 ≤ X < 1)

4

1

12

1

4

1

6

1

121

Y - 2 - 1 0 1 2 3

P

4

1

6

1

12

1

4

1

6

1

121

a/ Tính EX, EY, DX, DY

b/ Tính E (3X+2Y), D (3X+2Y), E (3X-2Y), D (3X-2Y)

4 Gieo 100 hạt giống đậu tương Xác suất nẩy mầm của mỗi hạt là 0,9 Gọi X là số hạt nẩy mầm trong 100 hạt Tìm phân phối xác suất của X Tính kỳ vọng và phương sai của

ax

1hay x xkhi

4x0khi 41

0 xkhi 0

a/ Tìm hàm mật độ

b/ Tính kỳ vọng và phương sai của X

c/ Tính xác suất P ( - 1≤ X≤ 2)

Hết chương 2

CẦN TĂNG CƯỜNG TỰ HỌC VÀ TỰ NGHIÊN CỨU, MỚI HY VỌNG LÀM

GIÀU KIẾN THỨC TOÁN HỌC CHO BẢN THÂN MÌNH.

Chương 3 THỐNG KÊ TOÁN

1 Mẫu ngẫu nhiên

1.1 Khái niệm về mẫu ngẫu nhiên:

Giả sử ta cần xem xét một đặc điểm hay một tính chất T, trên tất cả các phần tử của một tập hợp X Có hai khả năng ta giải quyết:

Một là, số lượng phần tử N của X là hữu hạn và khá bé, ta có thể thực hiện phép thử

để nghiên cứu trên toàn bộ N phần tử, việc nghiên cứu diễn ra bình thường

Hai là, số lượng phần tử N của X hữu hạn nhưng rất lớn, hoặc số lượng phần tử của

X là vô hạn, ta không thể thực hiện phép thử trên tất cả các phần tử của X Trong trường hợp này, ta phải chọn ra một bộ phận để nghiên cứu ta gọi la tập hợp mẫu, từ việc nghiên cứu trên nhiều tập hợp mẫu ta khái quát và quy nạp cho tất cả các phần tử của X

- Tập hợp tổng quát:

Tập hợp X bao gồm các đối tượng (hay gọi là phần tử) có bản chất nào đó, mà ta đang cần nghiên cứu một tính chất T trên tất cả các phần tử của X Ta gọi X là tập hợp tổng quát

…, n một cách ngẫu nhiên thì ta coi Xi như là một biến ngẫu nhiên, khi đó bộ (X1, X2,

X3, … , Xn ) được gọi là mẫu ngẫu nhiên cỡ n

Mẫu ngẫu nhiên cỡ n là một dãy n biến ngẫu nhiên độc lập (X 1 , X 2 , X 3 , … , X n ) có cùng phân phối xác suất.

Trong quá trình nghiên cứu, chỉ lấy một mẫu ra nghiên cứu có kết quả, mà đem kết quả đó kết luận phủ lên tất cả các phần tử của tập tổng quát thì nhiều khi không đảm bảo độ chính xác khoa học Vì vậy người ta thường dùng nhiều mẫu để xem xét nghiên cứu, hy vọng ta có khái niệm về không gian mẫu sau đây

- Không gian mẫu:

Tập hợp tất cả các mẫu ngẫu nhiên rút ra từ tập hợp tổng quát để nghiên cứu gọi là không gian mẫu Ta dùng ký hiệu ΩM để chỉ không gian mẫu

1.2 Phương pháp chọn mẫu:

Việc chọn mẫu phải đảm bảo tính “tiêu biểu”, tính “đại diện”, bộc lộ được “đặc trưng” của tất cả các phần tử của tập tổng quát X cần nghiên cứu Thông thường người

ta dùng các phương pháp chọn mẫu sau đây

a/ Chon mẫu ngẫu nhiên đơn giản hoàn lại:

Giả sử tập X có N phần tử, ta làm N cái thăm ghi chỉ số của mỗi phần tử, bỏ vào hộp kín và bốc ngẫu nhiên một cách vô tư lần thứ nhất ra một thăm, gọi phần tử ứng với thăm đó là X1 Sau đó bỏ thăm trở lại hộp và bốc lần thứ hai được phần tử X2 Tiếp tục như vậy đến lần thứ n ta có phần tử Xn Sau n lần chọn ta có mẫu (X1, X2, X3, … , Xn)

cỡ n Chú ý rằng nếu N phần tử của X đồng khả năng thì xác suất lấy được mỗi phần tử bằng

N

1

b/ Chọn ngẫu nhiên đơn giản không hoàn lại:

Cách chọn bằng hộp thăm như trường hợp trên, chỉ khác một điều là khi bốc được thăm nào ta bỏ ra ngoài luôn chứ không trả lại hộp nữa Chú ý rằng nếu N phần tử của

X đồng khả năng thì xác suất lấy được mỗi phần tử khác nhau, phần tử thứ nhất có xác suất bằng

n

1 ]

Mẫu chọn được (X1, X2, X3, … , Xn) cỡ n là mẫu không hoàn lại

c/ Chọn mẫu theo phương pháp cơ học:

Tập tổng quát X có vô hạn phần tử, việc chọn như trên là rất khó khăn, bằng phương pháp cơ học ta chia ngẫu nhiên tập X ra thành m tập con phân biệt (có thể dùng máy phân tán tập X không phụ thuộc chủ quan người nghiên cứu), gọi các tập con là A1, A2,

A3, … , Am Trong mỗi tập Ai , i=1, 2, 3, … , m ta chọn mầu ngầu nhiên đơn giản (Xi1, Xi2, … , Xin ), i=1,2,3, … , m cỡ mẫu n

m2 m1

2n 23

22 21

1n 13

12 11

X X

X X

X X

X X

X X

X

X

là một ma trận cấp m.n

d/ Chọn mẫu theo một đặc trưng ( hay điển hình ):

Ta phân chia tập tổng quát X dựa vào một đặc trưng nào đó, thành m tập con phân biệt A1, A2, A3, … , Am Trong mỗi tập Ai , i=1,2,3, … , m ta chọn mầu ngầu nhiên đơn giản

m2 m1

2n 23

22 21

1n 13

12 11

X X

X X

X X

X X

X X

X

X

là một ma trận cấp m.n

e/ Chọn mẫu theo tính chất dãy (sê ry):

Ta phân chia tập tổng quát X dựa vào tính chất phân dãy nào đó, thành m dãy phân biệt {A1}, {A2}, {A3}, … , {Am} Trong mỗi dãy {Ai} , i=1,2,3, … , m ta chọn mầu ngầu nhiên đơn giản (Xi1, Xi2, … , Xin ) , i=1,2,3, … , m cỡ mẫu n

m2 m1

2n 23

22 21

1n 13

12 11

X X

X X

X X

X X

X X

X

X

là một ma trận cấp m.n

1.3 Mã hóa bằng số cho mẫu và ghi số liệu mẫu:

- Khi đã chọn được mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, X3, … , Xn ), hay mẫu ngẫu nhiên (Xi1, Xi2,

… , Xin ) , i=1,2,3, … , m Ta xem các Xi hay các Xi j , i=1,2,3, … , m, j=1,2,3, … , n như là những biến ngẫu nhiên, mã hóa bằng những giá trị bằng số thực mà nó nhận, ta

ký hiệu giá trị của Xi = xi và Xi j = xi j Từ nay về sau nói cho mẫu ngẫu nhiên kể như cho giá trị mẫu bằng các số thực

- Việc ghi chép số liệu mẫu có thể trình bày theo nhiều cách khác nhau, tùy theo đặc điểm công việc nghiên cứu, có một số cách ghi chép sau đây

a/ Ghi số liệu thành một dãy số, ma trận số:

+ Đối với mẫu (X1, X2, X3, … , Xn ), ta ghi số liệu thành dãy số (x1, x2, x3, … , xn ) Khi cần thiết phân biệt, ta sắp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn hoặc từ lớn đến nhỏ Chẳng hạn

m2 m1

2n 23

22 21

1n 13

12 11

X X

X X

X X

X X

X X

X

m2 m1

2n 23

22 21

1n 13

12 11

x x

xx

x x

xx

x x

b/ Ghi số liệu theo dạng bảng tần số, tần suất:

- Ta lập bảng số liệu ở dạng bảng tần số, với x1 < x2 < … < xn , tần số tương ứng

là t1, t2, t3, … , tn thì ghi chép theo bảng tần số như sau

Có hai lần nhận giá trị 1, Có một lần nhận giá trị 2, Có bốn lần nhận giá trị 3

Có một lần nhận giá trị 4, Có ba lần nhận giá trị 5, Có năm lần nhận giá trị 6

Có hai lần nhận giá trị 7, Có một lần nhận giá trị 8, Có một lần nhận giá trị 9Bảng tần số là

Các giá trị xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9Tần số ni 2 1 4 1 3 5 2 1 1

413 5211

20

2 = 0,1000

20

1 = 0, 0500

20

4 = 0,2000

20

1 = 0, 0500

20

3 = 0,1500

20

1 = 0, 0500

20

1 = 0, 0500

0,10000,15000,35000,40000,5500

0,80000,90000,95001,000

c/ Ghi số liệu ở dạng bảng số phân lớp (hay gọi là sự phân tổ thống kê)

Khi mẫu nhận giá trị khá đều với biên độ từ giá trị này đến giá trị khác khá hẹp, ta chia tập giá trị ra từng khoảng (xa, xb ) độ dài khoảng bằng h = (b – a) Thông thường người

ta chia theo công thức Sturges, tức là chia tập giá trị mẫu thành những khoảng có độ dài h bằng nhau, số khoảng chia tối ưu là 1+3,322.lg n và khoảng h =

nlg322,3

nn

W1

W2

W3 …………

Wn

W1

W1 + W2

W1 + W2 + W3 ……… ∑

=

n i i W

1

= 1 Tổng

n = ∑

=

n i i t

1

1

d/ Ghi số liệu dưới dạng biểu đồ, đồ thị:

Người ta dùng biểu đồ quạt, biểu đồ cột hình chữ nhật, biểu đồ ven để ghi lại số liệu của mẫu Ngoài ra còn dùng đồ thị biểu diễn số liệu mẫu, mô tả đồ thị thực nghiệm của biến ngẫu nhiên đang xét.

2 Hàm phân phối mẫu và các số đặc trưng

2.1 Hàm phân phối mẫu:

- Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối F (x), thông thường khó xác định chính xác hàm

F nên người ta thường xét hàm F với một tham số θ ta viết F (x, θ ), ta cũng nói luôn

là X có phân phối F (x, θ )

Bây giờ cho mẫu ngẫu nhiên (x1, x2, x3,… , xn ) cỡ mẫu n, từ phân phối F (x, θ )

Ta gọi hàm phân phối mẫu (hay hàm phân phối thực nghiệm) là tỉ số F n (x) =

n

m

,

x∈R, trong đó m là số các số x i < x và n là kích thước mẫu.

- Tính chất của hàm phân phối mẫu:

T/c 1: 0 ≤ F n(x) ≤1, với mọi giá trị x∈R.

n

∞

T/c 5: Hàm phân phối mẫu F n(x) là hàm liên tục bên trái

Ví dụ 2: Cho mẫu quan sát của một biến ngẫu nhiên X như sau

Giá trị xi 2 5 7 8 Tần số ni 10 3 2 4

Hãy lập hàm phân phối mẫu, vẽ đồ thị của hàm phân phối mẫu

Giải:

Cỡ mẫu n = 10 + 3 + 2 + 4 = 19, biến ngẫu nhiên X nhận 4 giá trị là 2, 5, 7, 8

Hàm phân phối mẫu F n(x) =

≤

<

=++

≤

<

=+

≤

<

≤

8

119

42310

87

19

1519

2310

7x5 khi 19

1319

310

5x2 khi 1910

2 xkhi 0

khix

x khi

1

.Nếu mẫu cho ở bảng tần số với các số x k 1 < x k 2 < … < x k m , chỉ số (km ) ≤ n