Ứng dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Vì vậy, các bài toántìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xuyên có mặt trong các kì thi học sinhgiỏi, các đề thi vào trường chuyên, Đại học và Cao đẳng.Để giải quyết nó đòi hỏi người học

và làm toán Các bài toán này rất phong phú và đa dạng Vì vậy, các bài toántìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xuyên có mặt trong các kì thi học sinhgiỏi, các đề thi vào trường chuyên, Đại học và Cao đẳng.

Để giải quyết nó đòi hỏi người học toán và làm toán phải linh hoạt vàvận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán Tất nhiên đứng trước một bàitoán đó thì mỗi người đều có một xu hướng xuất phát riêng của mình Nóinhư vậy có nghĩa là có rất nhiều phương pháp để đi đến kết quả cuối cùng củabài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Điều quan trọng là phải lựa chọnphương pháp nào cho lời giải tối ưu của bài toán Thật là khó nhưng cũng thú

vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn để giải quyết nó Đặc biệt ứng dụnghai bất đẳng thức Cauchy và Bunhicopski vào việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏnhất rất giúp ta giải quyết bài toán nhanh và chính xác

Với những lý do trên, sự đam mê của bản thân tôi mạnh dạn thực hiện

Chuyên đề với đề tài : “Ứng dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức” Trong khuôn khổ của đề tài tôi chỉ đề cập đến hai bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopski Từ đó giúp người học toán và làm

toán có thêm công cụ để giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏnhất của biểu thức Đề tài gồm có hai chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Ứng dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.Trong mỗi chương thì sau phần trình bày lý thuyết là các bài tập điển hình vàcác bài tập tự luyện

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm ra phương pháp giúp học sinh chứng minh được bất đẳng thức

- Tìm ra phương pháp giải các giải được các bài toán tìm giá trị lớn

nhất và nhỏ nhất

3 Đối tượng nghiên cứu

- Kiến thức liên quan đến bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopski

- Các tính chất của bất đẳng thức cơ bản

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Đọc các sách giáo khoa phổ thông,

sách tham khảo phần bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…

-Phương pháp thu thập tài liệu, thống kê: Chọn các bài toán trong các đề

thi ĐH, CĐ, học sinh giỏi

5 Phạm vi nghiên cứu

Các bài tập có liên quan đến bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopski

Do trình độ và kinh nghiệm còn hạn chế nên đề tài này này còn nhiều

hạn chế, khó tránh khỏi những sai sót Tôi rất mong được sự góp ý của các

thầy cô trong Toán – Lý – Tin – CN trường THPT Tam Đảo 2

Tam Đảo, tháng 02 năm 2014

Ths Trần Đức Hải

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CỞ SỞ 1.1 Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)

1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy) Với mọi số thực dương a a1, , ,2 a n ta

  

 (1.1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2   a n

Bài 1.1 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Bất đẳng thức tổng quát hơn được chứng minh hoàn toàn tương tự

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Bài 1.3 Chứng ming rằng mọi a b c , , 0 ta luôn có

Cộng vế với vế của (1.4), (1.5), (1.6) ta được điều phải chứng minh.

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Bài 1.4 Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta luôn có

Lời giải: Vì bất đẳng thức là những biểu thức đối xứng nên để áp dụng bất

đẳng thức Cauchy thì ta phải thêm một lượng sao cho các dấu bằng xảy ra,tức là luôn thỏa mãn a b c  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số

 2a2 b2 c2  a b c    b c a   c a b  0

 a2 b2 c2  ab bc ca  0(luôn đúng)

Vậy có điều phải chứng minh

Bài 1.5 Với mọi x, y, z dương hãy chứng minh

Cộng các vế của (1.10), (1.11), (1.12) ta có điều phải chứng minh

Dấu “ = ” bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

1.1.2 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu

Bài 1.6 Cho a0,b0,c0;a b c  3

Chứng minh: 4a 1 4b 1 4c 1 3 5 Dấu bằng xảy ra khi nào?

Lời giải: Vì bất đẳng thức không đổi khi hoán vị vòng quanh a, b, c nên dấu bằng xảy ra khi a b c  1 lúc đó 4a 1 4b 1 4c 1 5

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số ta được

Cộng vế với vế của (1.16) và (1.17) ta được điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b 2

Bài 1.8 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a b c  3 Chứng

Tương tự làm với b,c,d rồi cộng lại.

1.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz) Định lý 1.2.Với hai dãy số thực tùy ý a a1, , ,2 a v b b n à , , ,1 2 b n

Dấu “=’’ xảy ra khi và chỉ khi 1 2

1 2

n n

Lời giải: Bài toán này có thể giải bằng kĩ thuật Cosi ngược dấu, tuy nhiên ta

có thể lại giải khá đơn giản bằng bất đẳng thức Bunhiacopski (hệ quả 1.2)

Bài 1.16 Cho , , 1, 3

4

a b c  a b c   , chứng minh rằng

4a 1 4b 1 4c 1 3 5

Lời giải: Bài này có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy ngược dấu như bài

1.6, tuy nhiên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho hai bộ số 1, 1, 1 và

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Bài 1.17 Cho a, b, c là 3 số thực dương thoả mãn abc =1

Chứng minh rằng 3 3 3

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ

LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT 2.1 Định nghĩa

Cho biểu thức f x y , , 

- Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f x y , ,  kí hiệu

max f M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

+ Với mọi x,y để f x y , ,  xác định thì : f x y , , M (2.1) + Tồn tại xo, yo sao cho: f x y 0, , 0  M (2.2)

- Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu

min f m, nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn :

+ Với mọi x,y để f x y , , xác định thì : f x y , ,  m (2.3) + Tồn tại xo,yo sao cho: f x y 0, , 0  m (2.4)

             trái với giả thiết.

Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự

đoán min S đạt điểm rơi tại 1

Lời giải: Ta chọn điểm rơi cho bài toán, do x, y, z đối xứng nên giá trị lớn

nhất của bài toán chỉ có thể xảy ra khi , 1 1

3

x y z x y z      x y z  

Từ đó

329

A    

  Ta chứng minh

329

A   

  Áp dụng BĐT Cauchy cho ba

số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3.3 xyz (2.5)

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :

2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3 (x y y z z x )(  )(  ) (2.6)

Nhân từng vế của (2.5) với (2.6) (do hai vế đều không âm) :

2 ≥ 9.3 A  A ≤

329

Lời giải: Ta chọn nghiệm của bài toán Vì x,y,z đối xứng và x y z  1nên

1

643

Bài 2.7 Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z  2 Tìm GTNNcủa biểu thức:

Lời giải: Ta chọn điểm rơi để giải quyết bài toán Do P đối xứng với x, y, z

nên điểm rơi bất đẳng thức sẽ là

2

13

31

y z z x x y P

ta vẫn khử được (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z đểdấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất

Phân tích và tìm lời giải như sau: Do vai trò của a,b,c trong các biểu thức là

như nhau do đó điểm rơi của bất đẳng thức sẽ là 1

23

Lời giải: Ta chọn điểm rơi cho bài toán Vì x,y đối xứng nên giá trị nhỏ nhất

của bài toán chỉ xảy ra  2 2 1

x y  Vậy bài toán thỏa mãn điều kiện (2.3), (2.4)

Bài 2.12 Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn

P x y z   với mọi x, y, z thỏa mãn ( 1) ( 1) ( 1) 4

3

x x y y z z 

Lời giải:

44

34

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của A: Với mọi x0;y0;z0;x y z  1

Ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai bộ số

Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai bộ x; y; z và 1;1;1

Ta được  x  y  z2 3x y z   3.1 3 (2.16)

Từ (2.15) và (2.16) suy ra B2 3 3 B4 27 ;x y z, , , thoả mãn đề bài

Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra 4 4 4 4 1

27

31

Bài 2.14 Xét các số x y z , , 1và thoả mãn điều kiện x y z xyz  

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P y 22 z 22 x 22

Từ đó suy ra P  3 2 , ta sẽ đi chứng minh P  3 2

Thật vậy từ giả thiết ta có 1 1 1 1

yz  xz  xy 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta được

x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 1 1 1

P                

Bài 2.15 Xét các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện a b c  1.

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 12 2 1 1 1

Bài 2.16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(Bài tập này đã giải bằng bất đẳng thức Cauchy – 2.8)

Tuy nhiên ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được

(Gợi ý: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Đs: MinA = 0)

2.18 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 2 12 2 1 1 1

x y z xy yz zx

rằng , ,x y z 0;x y z  1

(Gợi ý: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Đs: MinB=30)

2.19 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C 1 1 1 1 1 1 1 1

2.20 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D 1 x  1 y  1 z  1 t

Biết rằng , , ,x y z t 0;x y z t   1

(Gợi ý ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhia Đs MaxD  12)

2.21 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2.22 Cho a b c, , 0;a b c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

KẾT LUẬN

Chúng ta đã biết các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là các bàitoán rất phong phú và đa dạng, đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách linhhoạt Vì vậy đây là nội dung rất đáng lo ngại cho người học và người làmtoán Trong đề tài này tôi đã đưa ra hai công cụ là sử dụng bất đẳng thứcCauchy và bunhiacopski để giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏnhất Đặc biệt cách chọn điểm rơi trong việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.Giúp người đọc định hướng chính xác hơn, giải quyết nhanh hơn Mặc dù bàitoán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất còn rất nhiều các phương pháp giảinhưng do khuôn khổ của đề tài nên tôi vẫn chưa nêu hết được đầy đủ và hệthống các phương pháp để giải chúng

Hơn nữa đây là lần đầu tiên làm báo cáo chuyên đề nên trong quá trìnhthực hiện đề tài tôi không tránh khỏi những thiếu sót

Kính mong các thầy, cô giáo cùng toàn thể đồng nghiệp đóng góp ýkiến để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn Một lần nữa tôi xin chân thànhcảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Phan Huy Khải(2002), Các bài toán cực trị của hàm số,Nxb Hà nôi.

2.Phạm Kim Hùng(2007), Sáng tạo bất đẳng thức,Nxb Hà Nội.

3.Trần Văn Kỷ(2011),460 bài toán bất đẳng thức,Nxb trẻ TP Hồ Chí Minh.