MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKIĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI  Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể sử d

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

 Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể sử dụng nhiều bất

đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn

 Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đúng

đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳngthức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một sốbài không yêu cầu trình bày phần này

 Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra đồng thời của dấu

“=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bấtđẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến

 Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt được tại vị trí

biên

 Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các bất đẳng thức là

như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thìchúng ta có thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể

a

a1 2    1. 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a2  a n

II MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

1 2

1 2

1

.

d c b a

b a d c

d b a

b d

c

c b a a

d c

d b a

b d c

c b a

a d c b

a

bd ac

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

1 1

1 1

1 1

1 3 1

1 1 1 3

1 1

1 1

1 1

1 3 1

1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

3 3

b a a

c

c b

b a

a c

b a

c

c b

b a

a c

b a c

b a

b a

Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b Chứng minh rằng:  2  4

2 2

2

2 4 2

4 4 4

4

3

3

abc ca

bc

ab

abc c

ca bc ab c b

a ab

Giải:

2 2 2

2 2

a a

b ab b

a ab a

b b

a ab

2

2

2 2

2

2 2

2

a

b b

a a

b ab b

2 1 10 5 3 2 10 5 3 2

c b

a c a c b a c a

c b a

Vậy GTLN của A là 337500

1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo

Bài 1: Chứng minh rằng:   , a,b  0

a

b b a

Giải:

Vì a,b 0 nên  0 , 

a

b b

1 1 1

a a

a

, 1

2 2 2

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2 1

1 1 2

1

1 1 1

1 1 1

2

2 2

2 2

2 2 2

a a

a a

Giải:

Với a  0 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2

13.3

12

13

3113

931

19

1

3

2 2

2 2 2

4 2 4

a a a

a a a

a

(đpcm)

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   2 , 1

1 1

2 2 2

132

.2.2

1.2

.2.32

.2.2

122

a a a

a

a a a a

Bài 7: Chứng minh rằng: , 0

) (

a b b a b b

12

1

1

2

1.2

1

4

12

12

1

12

12

11

b b

b a

b b b a

b b

b a b

a c c b b a c b a

2

2 2 2

b a

c b a ca

bc ab abc

2 2 2

0 , , ,

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: a b c

c

ab b

ca a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a

bc c

.

2

1 2

1 2

1

Bài 2: Cho ba số thực abc 0 CMR:

c

a b

c a

b a

c c

b b

2 2 2

b a b

a c a

c b

a c

, ,

, ,

1 1 1 2 1 1

1 2

1 2

1

1

1

1 1

x x x n x x x n x x

x x x

n

n

n n

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:       6

c

b a b

a c a

c b

b c b

a

(Nesbit)

Giải:

a c

b c b

a b a

b b c b

a a b a

c c a c

b c

2 2

2

2

a b c

a c

b b c b

a a b a

b a c b c b

a c b a b a

c b a

b c b

a b a

c c b

b c b

a b a

c c b a

Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì:

b c b a

2

1 2

3 2

2

c b a a c

b c b

a b

12

12

1

2 2

2 Kỹ thuật đổi biến số

Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướnggiải Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn

Bài 1: Cho ABC,ABc,BC a,CAb. CMR: bc aca bab cabc(1)

y x c

x z b

z y a z

c b a

y b a c

x a c b

2

.y z x y y z z x

Do trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên :

x,y,z  0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: xy yz zx  xy. yz zx xyz

2

2

2 Hay bc aca bab cabc (đpcm)

Bài 2: Cho ABC,ABc,BC a,CAb. CMR:  3















c b a c

b a

c b

a

(1) Giải:

Đặt: 

                     2 2 0 c x y x z b z y a z c b a y b a c x a c b

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành: y2x z z2y x x2z y Ta có: y z z x x y 1 y x 1 z x 1 z y 2 y x 2 z x 2 z y 3

2x 2y 2z 2 x y 2 x z 2 y z 2 x y 2 x z 2 y z                               Hay  3

        a b c c b a c b a c b a (đpcm) Bài 3: Cho ABC,ABc,BC a,CAb. CMR: a b c c b a c b a c b a c b a            2 2 2 (1) Giải: Đặt: 

                     2 2 0 x y c x z b z y a z c b a y b a c x a c b

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:       x y z z y x y x z x z y         4 4 4 2 2 2 Ta có:

      y x z x yz z xy z xy y zx y zx x yz x yz z xy z xy y zx y zx x yz z xy y zx x yz z y x y x z x z y                                  

2 1 2 1 2 1 4 4 4 2 2 2 Hay a b c c b a c b a c b a c b a            2 2 2 (đpcm) Bài 4: Cho 2 , , , ,AB c BC a CA b p a b c ABC        CMR:       p ap bp c p c p b p a p 2   2   2     1 1 1 (1)

Giải: Ta có: 0

2      b c a a p Tương tự: p b 0; p c 0    Đặt: p x y z z c p y b p x a p                0 0

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau x12  y12 z12 xxyz yz Ta có: 12 12 12 1 12 12 1 12 12 1 12 12 x y z 2 x y 2 y z 2 z x                        

1 12 2 1 12 2 1 12 2 1 1 1 x y z x y y z z x xy yz zx xyz          Hay       p ap p bp c

c p b p a

1 1

1

(đpcm)

Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c CMR:

2

3











c a c

b c b

a

(1) Giải:

Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành: 2   2   2  12

z

z y x y

y x z x

x z y

b c b

1

2 2

2 2

1

2 2

y x z x x z z

x z y z z y y

z y x A

2 2

2

2 2

z

c b a y y

c b a x

x y y x x c

x x z z b

z z y y a

2 4

9

4 2 9

4 2 9 2

Dấu “=” xảy ra  abc 1 Vậy GTNN của A là 2

3 Kỹ thuật chọn điểm rơi

Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra.Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:

 Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm

 Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên

Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trongcác trường hợp trên

3.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên

Xét các bài toán sau:

Bài toán 1: Cho số thực a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 1

a a

A 

Sai lầm thường gặp là:  1 2 1  2

a

a a a

2 3 1 4

3 1 4

2 4

3 1 4

a a a A

Dấu “=” xảy ra 1 hay 2

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bấtđẳng thức

Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN khi a 2 Khi

đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a 2” Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số

a vì không thỏa quy tắc dấu “=” Vì vậy ta phải tách a hoặc 1

a để khi áp dụng bất đẳng thứcCauchy thì thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số 

4

3 4

 và ta có lời giải như trên

Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số 

A 

Sơ đồ điểm rơi: 8

4 1 2 4 1 1

2 2 2

Sai lầm thường gặp là:

4

9 8

2 7 2 2

1 8

7 2

1 8

7 1 8

2 8

7 1

a

a a

a a a

a

Dấu “=” xảy ra  a 2 Vậy GTNN của A là

4 9

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là

1 2

2 6 4

3 8

6 1 8

8 3 8

6 1 8

a

a a a

a

a a A

Dấu “=” xảy ra  a 2 Vậy GTNN của A là

4 9

Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của 1

ab ab

1 15 8 15 1 16 2 15 1

ab ab ab

ab ab A

Dấu “=” xảy ra

2

1 4

Bài 2: Cho số thực a  6 Tìm GTNN của 2 18

a a

A 

Phân tích:

Ta có

a a

a a a

A 2 18 2 99

Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN khi a 6 Ta có sơ đồ điểm rơi:

24

2 3 36 2 3 6 9 9

36 6

c b a c b a

A     

Phân tích:

Dự đoán GTNN của A đạt được khi a 2b 3c 20 ,tại điểm rơi a 2 ,b 3 ,c 4

Sơ đồ điểm rơi:

3

4 2 3 2 2 3 3

2

2 3 3 2 3 2 9

4 1 4

1 4

bc ab

Chứng minh rằng:

 

12

121 8

1 1 1

bc ab c

b a

bc ab

,tại điểm rơi a 3 ,b 4 ,c 2

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1 2 6

9 3

2 6

9

2

1 2 24

18 3

2 24

18

3 3

c

a

ab

b a ab

b a

3

4 8 12

6

9 4

8 12 6

9

4

3 2 8

16 3

2 8

16

4 3

b c

a

bc

c b bc

13 48

13 2 24

13 48

13 2 24

13 48

13

3

13 12 24

13 18

13 2 24

13 18

13 2 24

13 18

b

b a b

1 1 1

bc ab c

b

3.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm

Xét bài toán sau:

Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của

b a b a

A  11

Sai lầm thường gặp là:   11 4 4 1.1  4

b a b a b a b a

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4   1 1 a b 1

b a b

a Khi đó ab 2  1 trái giả thuyết

1 2 2 1 2 1 1 2 1 2

b a b a

a b a b a A

1 2 2 1 2 1 1 1

2 1 2

c b a c

b a

Giải:

Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

4 1 2 1 1 1

4 1 2

1

2 2 2

Bài 3: Cho 2 số thực dương a, b Tìm GTNN của

b a

ab ab

b a A

2 2

Giải:

2

5 2

3 1 4

2 3

4

2 4

a

ab ab

b a ab

b a b a

ab ab

b a

A

Dấu “=” xảy ra  a  Vậy GTNN của A là

2 5

Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c Tìm GTNN của

c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại abc

2 1 2 2 1

b a c a c b c b a c b a

a b

a b

c a

c a

b c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b a

c

b a b

a c a

c b c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b

a A

4

3 4

4

4 6

4

3 4 4 4 6

2

15 2

9 3 6 4

a b

a b

c a

c a b

Dấu “=” xảy ra  abc

Vậy GTNN của A là

2 15

Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của

ab b

a

A

2

11

Sơ đồ điểm rơi: 2 2 1

2 2

2 1 2

Giải:

4 2

2

1

2 2

1 2

2

1 1

2 2

2 2

2 2

b a A

1 1

2

2 2

ab b a

Vậy GTNN của A là 4

Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của

ab b

a

A

2

11

3 2 2 2 1

3 2 1

1 2

Do 2

3

1 2

4 1

2 2

2

b a ab b

a b

a b

a

4 1 2

4 1 1 2

ab b

a

Vậy GTNN của A là

3 8

Bài 7: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của ab

ab b a

Sơ đồ điểm rơi:

2 4 2

4 1 2 1 2

1 4 1 4 4

1 4 2

a

Giải:

Do 2

4

1 2

2 2

b a ab b

a b

2

2 2

ab ab

ab b

a

Vậy GTNN của A là 7

Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của 31 3 12 12

ab b a b a

4 1 1 2 1 2 1

2 2

3 3

44

a b ab

2 1 2

1 1

2 2

3 3

ab b a b a

Vậy GTNN của A là 20

Bài 9: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa 111  4

z y

z y x z y x z y x

P

2

1 2

1 2

1 1 1 1

1 4

1 4

1 1

2

1

4 4

1 2

1

1 2

1

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

1 4 4 4 16

1 2

1 2

1 2

y x z y x z y

x

P

Dấu “=” xảy ra  1 1 134 xyz34

z y x Vậy GTLN của P là 1

4 Kỹ thuật nhân thêm hệ số

2  



 a a Vậy GTLN của A là

27 4

3 6 3

1 3 6

6  



 a a Vậy GTLN của A là

16 27

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa 





 4 3

b a

1 3 2 3 12 2 6

3 2 3 12 2 6

b a b

a b

c

abc

c ab b

ca a

44412.644

.4.4.1264

12

933

336.93.3.69

6

222

22.22.22

2

4 4

4 4 4

3 3

3 3 3

abc abc

c ab c

ab c

ab

abc b

ca b

ca b

ca

abc a

bc a

bc a

128

528

193

122

1126

ca a

1 2 3 6 2 2

c b c

b

Vậy GTLN của A là 3

93

128

5



Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc 1 Tìm GTLN của: A ab bc ca

a c c b b a c

b a

2

3

2

2

3

2

3

2

2

3

2

3

2

2

3 3

2 2

c

c b c

b

b a b

a b

a

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

6 2

3

2 3 2

2

c c b b

a

A

3 3 3

3 2

3 2

1

a c

c b

b a

c b a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(3) (2)

(1)

9

3

2 6

2

9

3

2 6

2

9 3

2 6 3

3 3 2 9

1 3 3 2 9

1

2

3 3

3 3

3 3

3 3

3

a c a

c

c b c

b

b a b

a b

a b

3

93

31822

a c c b

b

Bài 7: Cho a, b, c  2 ; 2 thỏa abc 3 Chứng minh rằng:

3 3 4

3 4

3 4

1

2 2

c b c

b a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

   

(3) (2)

(1)

3 2

7

4

3 2

7

4

3 2

7 2

3 4

3

1 3 4 3

1

4

2 2

2 2

2 2

2 2

c c

b b

a a

a a

21 4

4

4

2 2 2 2

2

c b

23

214

44

2

2 2

Căn cứ vào bậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng

bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho a2, b 2và c2cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để làmxuất hiện a , b và c Do a, b, c dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất

a

3

2 9

1 2

2 3

2 3

Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a3 b3  1(*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

b

a

Phân tích: Căn cứ vào bậc của các biến số a, b trong các biểu thức trên (số bậc giảm 6 lần) thì ta cần

áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho a3 và b3 cùng với 5 hằng số dương tương ứng khác đểlàm xuất hiện a và b Do a, b dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị lớn nhất

khi a  b, từ (*) ta có

2

1 3

2

1 6 2

1

5 3 3

2

1 6 2

1

5 3 3

2

1 6 5 1 2

1

 a b Vậy giá trị lớn nhất của A là 6 2 5

Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abbcca 3 CMR: a3 b3 c3  3

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

ab b

a b

3 3

a

ca bc ab c

b

a

3 3

7 21 21 7

Tương tự:

3 3 7

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: 4 số a3,1 số b3 và 1 số c3ta có:

bc a c b a c

m n

Tương tự:

  m n n

m n

11

11

1

3 3 3

3 3

n m

1 2

a c

b a

11

11

1

3 3 3

3 3

c c

b b

5.2 Bài toán 2

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abbcca 1 Chứng minh rằng:

4 10

a c

2 8 2 2 8

2 2

2

bc c

b c

2 8 2 2

8 2  2  2 2 

ab b

a b

2

2 8

2 8

2 2 2 2

2 2

c b a b

a c b c a

Đây là một lời giải ngắn gọn nhưng có vẻ hơi thiếu tự nhiên Chúng ta sẽ thắc mắc tại sao lại táchđược 10  8  2 Nếu tách cách khác, chẳng hạn 10  6  4 liệu có giải được không? Tất nhiên mọicách tách khác đều không dẫn đến kết quả, và tách 10  8  2 cũng không phải là sự may mắn Bâygiờ ta sẽ tìm lí do việc tách 10  8  2 ở bài toán trên.

Với 0   10 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

ac

c a

c

2 2 2

2 2 2

c

2 2 2

2 2

2 2

8 0

200 41

2 4

80 400 2

2 20

Khi đó ta có lời giải bài toán như trên

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abbcca 5 CMR:

10 3

3a2  b2 c2 

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

ac c

a c

2 2 2 2 2

2 2

2

bc c

b c

2 2 2 2 2

2 2

2

ab b

a b

1 4

1

4 : 3

3 3

3 3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a a

a

3

3 33

3

1 9

1 9

1 3

3 3

3

3 3 2 3

4

4 3

1 2

a

b a b

9 8 9 1

3 3

3 3

b a b

a

Vậy GTLN của A là 3 3 3

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  3 Tìm GTNN của

2 2

c c

a c

b c b a

Chọn  ,  , sao cho 4   6   3 

Ta có hệ phương trình:

3 6 4

3 3 6 4

3

6 8

3

16 3 2

4

24 8

3

16 3

8 4 3

6

4

2 2

2

2 2

a

c b a c

3 16 3

3 6

4 4

3

2 2 2

c b a

c b a

c b a

Vậy GTNN của A là 12