Phân loại và định hướng phương pháp giải một số dạng toán liên quan đồ thị hàm số f trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán

Toán học là một bộ môn khoa học đòi hỏi sự tư duy cao độ của người dạy, người học và cả người nghiên cứu. Qua việc dạy và học Toán, con người được rèn luyện năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo, góp phần hình thành kỹ năng, nhân cách cần thiết của người lao động trong thời đại mới. Muốn học giỏi Toán, học sinh phải luyện tập, thực hành nhiều, tức là phải học giải toán. Năm học 20162017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn Toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Vì vậy người giáo viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp. Trong đề thi THPTQG, nội dung chương 1 của Giải tích lớp 12 “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” chiếm một phần quan trọng. Khi thi theo hình thức tự luận, yêu cầu học sinh phải có kỹ năng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, đồng thời giải quyết được các bài toán liên quan. Tuy nhiên, khi thi theo hình thức trắc nghiệm, ngoài những kỹ năng trên, học sinh còn phải có thêm nhiều kỹ năng khác, trong đó kỹ năng đọc đồ thị vô cùng quan trọng. Xuất phát từ thực tế dạy học ở trường THPT Nguyễn Huệ, khi yêu cầu học sinh đọc đồ thị hàm số để kết luận về tính đơn điệu, điểm cực trị của hàm số này đã có thể nhầm lẫn cho học sinh thì khi học đồ thị hàm số để kết luận về các yếu tố của hàm số còn khó khăn hơn nhiều. Với mục đích giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc tiếp cận dạng toán này, đồng thời thuận tiện hơn trong việc ôn tập cho kì thi THPTQG, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Phân loại và định hướng phương pháp giải một số dạng toán liên quan đồ thị hàm số trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán”.

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một bộ môn khoa học đòi hỏi sự tư duy cao độ của người dạy, người học

và cả người nghiên cứu Qua việc dạy và học Toán, con người được rèn luyện năng lực phântích, tổng hợp, tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo, góp phần hình thành kỹ năng, nhâncách cần thiết của người lao động trong thời đại mới Muốn học giỏi Toán, học sinh phảiluyện tập, thực hành nhiều, tức là phải học giải toán

Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trunghọc Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong đó môn Toán được đổi từ hình thức thi từ tựluận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khókhăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm môn Toánđòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận Vì vậy người giáo viêncũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp

Trong đề thi THPTQG, nội dung chương 1 của Giải tích lớp 12 “Ứng dụng đạo hàm

để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” chiếm một phần quan trọng Khi thi theo hình thức tự luận,yêu cầu học sinh phải có kỹ năng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, đồng thời giải quyết đượccác bài toán liên quan Tuy nhiên, khi thi theo hình thức trắc nghiệm, ngoài những kỹ năngtrên, học sinh còn phải có thêm nhiều kỹ năng khác, trong đó kỹ năng đọc đồ thị vô cùngquan trọng Xuất phát từ thực tế dạy học ở trường THPT Nguyễn Huệ, khi yêu cầu học sinhđọc đồ thị hàm số yf x  để kết luận về tính đơn điệu, điểm cực trị của hàm số này đã cóthể nhầm lẫn cho học sinh thì khi học đồ thị hàm số f x để kết luận về các yếu tố của' hàm số yf x  còn khó khăn hơn nhiều Với mục đích giúp học sinh dễ dàng hơn trongviệc tiếp cận dạng toán này, đồng thời thuận tiện hơn trong việc ôn tập cho kì thi THPTQG,tôi chọn đề tài nghiên cứu là:

“Phân loại và định hướng phương pháp giải một số dạng toán liên quan đồ thị hàm số

 '

yf x trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán”.

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

Mục tiêu nghiên cứu

Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y= f x'( ) với các vấn đềcủa hàm số y= f x( ) Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trongcác kì thi TN THPTQG

Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết Từ đó mô tả phân tích để tìm ra biện pháp dạycho học sinh cách vận dụng vào giải các dạng toán này

+ Kiểm tra đánh giá kết quả của học sinh trong quá trình triển khai đề tài để từ đó cónhững điều chỉnh và bổ sung hợp lý

3 Đối tượng nghiên cứu

Vận dụng một số lý thuyết trong chương trình SGK Giải tích 12 để giải quyết các dạngtoán liên quan đến đồ thị của hàm số y= f x'( ).

4 Giới hạn của đề tài

Các dạng toán liên quan đồ thị hàm số y= f x'( ) trong đề thi THPTQG môn Toán.

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phương pháp dạyhọc toán, đề thi THPTQG, các sách tham khảo…

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

+ Tìm hiểu, quan sát quá trình học tập và giải các dạng toán liên quan đồ thị hàm số( )

'

y= f x .

+ Trao đổi, thăm dò qua GV, thống kê lại những vướng mắc, khó khăn của HS khi làmcác dạng toán liên quan đồ thị hàm số y= f x'( )

PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận

1.1 Sự tương giao giữa đồ thị hàm số yf x  và trục hoành.

Giao điểm của đồ thị hàm số yf x  với trục hoành là nghiệm của phương trìnhhoành độ giao điểm f x   0

Khi đó, hàm số yf x  đạt cực đại tại điểm x x 0

Bảng 2: Cho hàm số yf x  liên tục trên khoảng x0 h x; 0h , với h  và có0

bảng biến thiên như một trong hai bảng sau:

Khi đó, hàm số yf x  đạt cực tiểu tại điểm x x 0

1.3 Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên.

O

y

x

Bảng 3: Cho hàm số yf x  liên tục trên khoảng a b và có bảng biến thiên như một; 

trong hai bảng sau:

Khi đó, ta có: min ;   0

a b yf x

Bảng 4: Cho hàm số yf x  liên tục trên khoảng a b và có bảng biến thiên như; 

một trong hai bảng sau:

1.4 Xét dấu của tích phân xác định khi biết giới hạn miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số dưới dấu tích phân, trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b ;     .

Cho hàm số yf x  có đồ thị  C Khi đó, với số a  ta có:0

 Hàm số yf x a có đồ thị C là tịnh tiến '  C theo phương của Oy lên trên a

 Hàm số    

 

00

+ Lấy đối xứng phần đồ thị  C nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị  C nằm

dưới Ox

2 Thực trạng

Xét ví dụ sau: Cho hàm số yf x( )có đồ thị như hình bên Tìm mệnh đề đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 

B Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3

C Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 1

D Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 

Đối với ví dụ trên thì học sinh dễ dàng tìm ra đáp án D Ta thử đặt vấn đề nếu cho đồthị của hàm số yf x'  thì có thể kết luận về tính đơn điệu của hàm số yf x  không?

Ta xét ví dụ sau: Cho hàm số yf x  Biết f x có đạo hàm là   f x  trên  và hàm số

 

yf x có đồ thị như hình vẽ bên Kết luận nào sau đây là đúng?

A Hàm số yf x  chỉ có hai điểm cực trị

B Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng1;3 

C Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng  ;2

D. Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng 4; 

Học sinh sẽ gặp một số khó khăn sau:

- Thiếu kỹ năng đọc đồ thị, mà đây lại là đồ thị hàm số yf x' .

Bên cạnh đó, trong đề thi THPTQG 2016-2017 có câu sau:

Câu 48- Đề 102: Cho hàm số yf x  Đồ thị của hàm số yf x  như hình bên Đặt

3 Giải pháp giải quyết vấn đề

3.1 Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu và điểm cực trị của hàm số yf x ; yf x a  ;

 

yf x ax

của hàm số yf x'  trên K như hình vẽ bên Tìm số

Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị yf x'  cắt trục Ox tại mấy điểm mà

thôi, không kể các điểm mà đồ thị yf x'  tiếp xúc với trục Ox Ta chọn đáp án B.

Nhận xét: Xét một thực a dương Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị của hàm

số yf x a  hoặc yf x a  trên K , thì đáp án vẫn không thay đổi Chú ý số cực trị

của các hàm số yf x ,yf x a   và yf x a   là bằng nhau nhưng mỗi hàm sốđạt cực trị tại các giá trị x khác nhau!0

Giả thiết ở thí dụ 1 và các thí dụ sau có thể thay đổi theo hướng như sau: Hàm số

 

yf x liên tục trên khoảng K và có đồ thị như hình vẽ Biết y g x   là một nguyênhàm của hàm số yf x  Tìm số cực trị của hàm số y g x   trên K

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng  ;2 

B. Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng   ; 1 

C. Hàm số yf x  có ba điểm cực trị

D. Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng 0;1 

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 3 điểm nên chọn đáp án C

trên khoảng K như hình vẽ Khi đó trên , K

hàm số yf x  có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 1 điểm nên chọn đáp án A

số f x  như hình vẽ bên Hàm số f x  2018 có mấy

x O

Đồ thị hàm số f x ' 2018 là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f x  theo phươngtrục hoành nên đồ thị hàm số f x ' 2018 vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm Ta chọn đáp án C.

K như hình vẽ Khi đó trên , K hàm số yf x  2018

có bao nhiêu điểm cực trị?

hàm số f x theo phương Oy lên trên 4 đơn vị.' 

Khi đó đồ thị hàm số g x cắt trục hoành tại 1 điểm, ta' 

Bài 7 Cho hàm số yf x  liên tục trên  Hàm số

theo phương Oy xuống dưới 2018

yf x , ta suy ra đồ thị của hàm số g x cắt trục hoành' 

tại 4 điểm Ta chọn phương án D

 Biết đồ thị của hàm số ( )f x như hình vẽ Tìm

điểm cực tiểu của hàm số yf x( ) trên đoạn

là đường cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng  1;1 

B. Hàm số f x đồng biến trên khoảng   1; 2 

C. Hàm số f x đồng biến trên khoảng   2;1 

D. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng   0; 2 

thị như hình vẽ bên Kết luận nào sau đây là đúng?

A Hàm số yf x  chỉ có hai điểm cực trị

B Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng1;3 

C Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng  ;2

D. Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng 4; 

Bài 11 Cho hàm số yf x  Biết f x có đạo hàm   f x và hàm số '  yf x'  có đồthị như hình vẽ Đặt g x f x 1 Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số g x có hai điểm cực trị. 

B. Hàm số g x đồng biến trên khoảng   1;3 

C. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng   2;4 

D. Hàm số g x có hai điểm cực đại và một điểm cực 

tiến đồ thị hàm số yf x'  theo phương trục hoành

sang trái 1 đơn vị

Ta thấy trên khoảng 2;4 đồ thị hàm số

Bài 12 Cho hàm số yf x  Biết f x có đạo hàm 

Đồ thị hàm số g x'  f x'  1 cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ

, có đồ thị của hàm số yf x  như hình bên Tìm giá

x y

A. x  0 2 B. x  0 1 C. x  0 2 D. x  0 1

Hướng dẫn:

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:

Ta chọn đáp án D

hình vẽ bên Biết rằng f  0  f  3 f  2  f  5 Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f x trên đoạn   0;5 ?

Từ đó suy ra min0;5 f x  f  2 và f  3  f  2 Giá trị lớn nhất chỉ có thể là f  0 hoặc

 5

Ta lại có f  0  f  3 f  2  f  5  f  0  f  5 f  2  f  3  0 f  0  f  5 Vậy,      

0;5

max f x f 5 Ta chọn đáp án D

hình vẽ bên Biết rằng f  0  f  1  2f  2 f  4  f  3 Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f x trên đoạn   0;4 ?

Bài 4 Cho hàm số yf x  có đồ thị hàm số

 

yf x như hình bên Biết f a  Phương  0

trình f x  có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?  0

hàm số yf x  như trong hình vẽ bên, f a   0

chuyển động ( t là khoảng thời gian tính bằng giây

từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến

giây thứ 3 và ghi nhận được a t là một hàm số 

liên tục có đồ thị như hình bên dưới Hỏi trong thời

gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 3 được khảo sát

đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất?

Bài 7 Cho các số thực a , b , c , d thỏa mãn 0 a b c d    và hàm số yf x  Biếthàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của hàm số yf x  trên 0;d Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

3.3 Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực trị, so sánh các giá trị của hàm số

 

y f u x  , y kf x  g x .

đồ thị như hình bên Hàm số y g x   f(2 x) đồng biến trên khoảng

g x f x  Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng     ; 2 

B. Hàm số g x đồng biến trên khoảng   2;

C. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng   1;0 

D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng   0;2 

Hướng dẫn:

x

y

2 -2 -4

Vậy, ta chọn đáp án C.

số yf x'  có dạng như hình bên Hàm số y f x  2 nghịch biến trên khoảng nàotrong các khoảng sau?

Ta có f x'   0 x1;x2

Lại theo giả thiết f  2 f 2 0

Từ đó suy ra, ta có bảng biến thiên:

Bài 6 Cho hàm số yf x  và đồ thị hình bên là đồ

thị của hàm f x Hỏi đồ thị của hàm số' 

1 0

∞

h(x) h'(x) x

Đồ thị hàm số g x có nhiều điểm cực trị nhất khi   h x có nhiều giao điểm với trục hoành nhất, vậy đồ thị hàm số h x cắt trục hoành tại nhiều nhất 6 điểm, suy ra đồ thị hàm số 

 

g x có tối đa 11 điểm cực trị Ta chọn đáp án B.

3.4 Dạng 4: Liên quan đến đồ thị của hàm số yf x y ; f x y' ; f '' x

Phương pháp: sử dụng 1 trong 2 phương pháp hoặc kết hợp cả 2 phương pháp.

PP1: Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm' 

số f x  

PP2: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành (nếu có) Sau đó dựa vào tính chấtsau

Minh hoạ bằng hàm số ysinx

, sao cho đồ thị hàm số yf x'  là parabol có

dạng như trong hình bên Hỏi đồ thị của hàm số

Dựa vào phương pháp 1 có hai khả năng:     a ; c ; b hoặc      b ; c ; a Quan sát đồ

thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị  b nằm trên trục hoành thì đồ thị  c “đi lên” và

ngược lại; còn ứng với các khoảng mà đồ thị  c nằm trên trục hoành thì đồ thị  a “đi lên”

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị  C cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị1

hàm số C ; đồ thị 2 C cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số3

 C Ta chọn đáp án B.1

cong trong hình vẽ bên Mệnh đề nào sau đây đúng?

2 0,5 1 1,5 0,5

 1

 2



  1

  2

 3

gia tốc a t theo thời gian t được mô tả ở hình bên Khẳng định nào dưới đây đúng? 

(C) tiếp xúc với đường thẳng y  tại điểm có4

hoành độ âm và đồ thị hàm số yf x'  cho bởi

hình vẽ bên Tìm diện tích S của hình phẳng giới

yf x là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b 0

Đồ thị hàm số yf x'  đi qua 2 điểm 1;0 , 0, 3    ta tìm được: a1;c3

Như vậy (C) đi qua điểm 1;4 ta tìm được C  2 f x  x3 3x2.

Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành: x3 3x  2 0 x1;x2.Vậy,

2

3 1

yf x là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b 0

Đồ thị hàm số yf x'  đi qua 2 điểm 1;5 , 0;2 ta tìm được:    a1;c2

Suy ra: f x'  3x2 2 f x  x32x C , đồ thị hàm số (C) đi qua gốc toạ độ nên

hàm số yf x  tiếp xúc với trục hoành tại

hai điểm Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị (C) và trục hoành?

A 7

8.15

C. 14

16.15

x y

3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là

một phần của đường parabol có đỉnh (2;9)I và trục đối xứng song

song với trục tung như hình bên Tính quãng đường s mà vật di

chuyển được trong 3 giờ đó

A. s 24, 25 (km) B. s 26,75 (km) C. s 24,75 (km) D. s 25, 25 (km)

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình chuyển động của vật theo đường parabol v t at2bt c km h  / 

trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ

thị vận tốc như hình bên Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt

đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh

(2;9)

I và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian

còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính

quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm

Bài 6 (Câu 50 - đề tham khảo THPTQG 2016-2017) Cho

3

53

4 Kết quả thu được qua khảo nghiệm đề tài nghiên cứu

Được sự giúp đỡ của bộ môn và ban giám hiệu nhà trường chúng tôi tiến hành TNSPtại 2 lớp ở trường THPT Nguyễn Huệ trong năm học 2018-2019 , như sau:

Tiến hành giờ dạy:

+ Lớp thực nghiệm: GV sử dụng giáo án dạy ôn có phân loại các dạng toán có liên

quan đến đồ thị hàm số f x trong 3 tiết (như đã thống nhất với GV).' 

+ Lớp đối chứng : GV sử dụng giáo án dạy ôn thông thường.

Tiến hành kiểm tra: tiến hành 1 bài kiểm tra 45 phút gồm 25 câu hỏi trắc nghiệm sau

khi kết thúc chuyên đề thực nghiệm Nội dung bài kiển tra là những câu hỏi có liên quanđến đồ thị hàm số f x được trích trong đề thi đại học và đề thi thử đại học của các trường' 

từ năm 2017 đến nay

Bảng 2 Phân loại kết quả kiểm tra (%)

% HS đạt điểm yếukém (Y - K)

% HS đạt điểmtrung bình (TB)

% HS đạt điểm khá

(K)

% HS đạt điểmgiỏi (G)

2018-2019 6,25 13,04 20,83 41,3 41,67 32,62 31,25 13,04

Kết quả thực nghiệm cho thấy việc phân loại các dạng toán có liên quan đến đồ thịhàm số f x giúp các em định hướng tốt hơn các dạng toán và dễ dàng trả lời các câu hỏi' hơn Tránh sự bế tắc trong hướng đi tìm lời giải

HS các lớp khảo nghiệm nắm kiến thức tốt hơn và làm bài kiểm tra cao hơn so với cáclớp thông thường Đồng thời trong quá trình học tập, HS sôi nổi hơn và số lượng học sinhđạt điểm giỏi cao hơn Dựa trên thực nghiệm còn cho thấy việc phân loại các dạng toán cóliên quan đến đồ thị hàm số f x giúp các em nắm vững vấn đề hơn, góp phần nâng cao' hiệu quả ôn thi

Như vậy có thể kết luận chắc chắn rằng việc phân loại các dạng toán có liên quan đến

đồ thị hàm số f x là khả thi và có hiệu quả.' 