Nhập môn lí thuyết Knot

Trong chương trình nay ta sẽ tìm về quan hệ đồng luân trên các không gian các ánh xạ

UBND TỈNH AN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

FÕG

KHOA SƯ PHẠM NGÀNH TOÁN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

MỤC LỤC

FÏG

MỤC LỤC 1

MỘT SỐ KÝ HIỆU 3

LỜI NÓI ĐẦU 4

CHƯƠNG I : NHÓM CƠ BẢN 6

I ĐỒNG LUÂN 6

1.Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục 6

1.1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.2 Định nghĩa 6

1.3 Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục: 7

1.4 Định lý 7

2 Quan hệ đồng luân giữa hai không gian tôpô 8

II.NHÓM CƠ BẢN 9

1 Khái niệm đường 9

1.1 Định nghĩa 9

1.2 Định nghĩa 10

1.3 Định nghĩa 10

2 Đường đóng 11

2.1.Định nghĩa 11

2.2.Tích các đường đóng 11

2.3 Tính chất 12

3 Không gian liên thông đường 13

3.1 Định nghĩa 1 13

3.2 Định nghĩa 2 13

3.3 Tính chất 13

4 Nhóm cơ bản 13 4.1 Định nghĩa 13

4.2 Định lý 14

5 Tính chất hàm tử của π1 15

5.1 Định lý 1 15

5.2 Định lý 2 17

5.3 Định lý 3 19

CHƯƠNG II: KNOT 21

I KNOT 21

II PHÉP DỊCH CHUYỂN 27

III MỘT SỐ KNOT ĐẶC BIỆT 30

IV MỘT VÀI BẤT BIẾN CỦA KNOT 37

V TÍNH CHẤT BA MÀU CỦA KNOT 46

CHƯƠNG III : NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT 50

I ĐỊNH LÝ VAN-KAMPEN 50

1 Định lý 50

2 Nhận xét 56

3.Hệ quả 57

II NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT 58

1 Định nghĩa 58

2 Đại diện Wirtinger của knot 59

2.1.Định lý Wirtinger 59

2.2.Chú ý 65

3.Ví dụ 66

3.1 Knot tầm thường 66

3.2 Knot ba lá 66

3.3.Knot hình số 8 67

Kết Luận 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO………69

f g đường nối đường f và đường g

[ ]f lớp các đường đồng luân (cố định) với f

[g fo ] phép lấy tích hai lớp đường [ ]f ,[ ]g

[ ]f *[ ]g phép nối hai lớp đường [ ]f ,[ ]g

LỜI NÓI ĐẦU

FÏG

Tôpô theo quan điểm hình học là một ngành khoa học nghiên cứu các bất biến Tôpô, tức là các tính chất không thay đổi qua các phép biến đổi liên tục Tô pô đại số là một nhánh lớn của Tôpô mà trong đó người ta dùng công cụ đại số để khảo sát các bất biến Tôpô Nói một cách nôm na, Tôpô đại số là “bức tranh” đại số của

“vật thể” Tôpô

Lý thuyết knot là một bộ phận quan trọng của Tôpô học nói chung, Tôpô đại

số nói riêng Lý thuyết knot được khởi xướng bởi C.F.Gauss vào khoảng

1835-1840 Sau đó được một học trò xuất sắc của Gauss là J B Listing phát triển và nghiên cứu như là một đối tượng của Tô pô học Trong vài ba thập niên gần đây, lý thuyết knot phát triển rất mạnh và tìm được nhiều ứng dụng trong cả nội tại Toán học cũng như trong vật lý, cơ học Lý thuyết knot là một bộ phận của Tô pô đại số

vì các công cụ đại số rất hữu dụng trong nghiên cứu lý thuyết knot Bất biến đầu tiên của một knot (với tư cách một không gian tôpô) chính là nhóm cơ bản của nó Các bất biến cơ bản khác của một knot liên quan đến các đa thức (đa thức Alexander, đa thức Jones, đa thức Kauffman) Hệ các bất biến của knot sẽ giúp chúng ta phân loại tô pô các knot

Chính vì sự hấp dẫn và tầm quan trọng của lý thuyết knot nên em quyết định chọn nó làm đề tài nghiên cứu của mình, hy vọng sẽ tìm hiểu và nắm được những kiến thức cơ bản về knot, làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu hơn về sau ở lĩnh vực này

Trong luận văn này ta sẽ trình bày về một số định nghĩa cơ bản của knot dựa trên sự mô tả hình học Cuối cùng, ta sẽ tiến hành xem xét một bất biến của knot đó

một số bất biến đơn giản của knot như số crossing của một knot, số link của một link,…

3 Chương III : Nhóm cơ bản của knot

Mở đầu chương này ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản của tôpô đại số- định lý Van-Kampen Từ đó chứng minh định lý Wirtinger làm công cụ để tính nhóm cơ bản của một vài knot đơn giản

Lý thuyết knot là một lý thuyết khó Cho đến nay vẫn còn nhiều vấn đề, nhiều chỗ chưa thể chứng minh được Chính vì đặc điểm này, nó đang là một đề tài nóng bỏng được rất nhiều nhà toán học quan tâm Với một kiến thức hạn chế khi nghiên cứu về một lý thuyết mới, bản thân em khó trách khỏi những thiếu xót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn bè đồng môn

Trước tiên, em xin chân thành cảm ơn các quý thầy cô trong tổ bộ môn Toán những người đã trực tiếp giảng dạy em trong những năm qua để hôm nay em có cơ hội được thực hiện đề tài này

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Lê Anh

Vũ đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho em những ý kiến quý báo Trong quá trình thực hiện đề tài, em đã tham khảo một số tài liệu sách của một số tác giả nhưng không có điều kiện liên hệ, thông qua đây em xin gửi lời cảm ơn đến các tác giả

Nhân dịp này, em cũng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cũng như giúp đỡ em để đề tài nghiên cứu được hoàn thành

Long Xuyên, tháng 5 năm 2008

Tác giả

CHƯƠNG I : NHÓM CƠ BẢN

Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về quan hệ đồng luân trên không gian các

ánh xạ liên tục C X Y[ , ] Để từ đó đi đến việc giới thiệu sơ lược về một vấn đề cơ bản của tôpô đại số - nhóm cơ bản Kết thúc chương bằng việc tìm hiểu các tính

Y là tập con lồi của R n( tức nếu y, z thuộc Y thì toàn bộ đoạn thẳng nối

y và z nằm hoàn toàn trong Y )

Xét các ánh xạ liên tục sau: f X: →Y; cy o : X → Y

xa y o

Khi đó ta có: ( )

o

F y

f c Thật vậy: Xét ánh xạ:F X I: × →Y xác định như sau:

1.3 Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục

Hình (a) là trường hợp f, g đồng luân Hình (b)là trường hợp f, g không

đồng luân Hay một cách hình dung khác, hai ánh xạ liên tục f, g gọi là đồng luân

1.4 Định lý

Vậy ta có điều phải chứng minh

2 Quan hệ đồng luân giữa hai không gian tôpô

Cho X ,Y là hai không gian tôpô Ta nói X đồng luân với Y(kí hiệu:

sao cho :

• f ,gliên tục

• f g Ido Y

• g fo Id X

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng :

Vì vậy, phân loại ( cùng kiểu ) đồng luân là phân loại thô hơn phân loại đồng

phôi ( đồng luân “yếu” hơn đồng phôi ) nên mọi bất biến đồng luân càng là bất biến

đồng phôi Chính vì thế, ta hy vọng sẽ dễ dàng xét các bất biến đồng phôi thông qua

bất biến đồng luân bằng công cụ đại số

II.NHÓM CƠ BẢN

1 Khái niệm đường

1.1 Định nghĩa

Cho không gian tôpô X, x,y ∈X, I =[ ]0,1 ∈ với tôpô cảm sinh từ tôpô tự

nhiên của Ánh xạ liên tục f :I →X sao cho x= f(0),y= f(1) được gọi là

một đường trong X nối x và y ( hình vẽ ) Điểm x gọi là điểm đầu, y gọi là điểm

cuối

Ví dụ : x,y ∈ n Ánh xạ liên tục : sao cho f t( ) =t(2 −t y) + − (1 t x) là

một đường trong n nối x và y vì f(0) =x và f(1) = y

1.2 Định nghĩa

Cho ánh xạ f :I→ X là một đường trong X nối x và y Đường f :I →X

xác định bởi : f = f( 1 −t)được gọi là đường đảo ngược của đường f nối y và x

2 / 1 0 ), 2 ( ) (

t t

g

t t f t h

thì h là ánh xạ liên tục và được gọi là đường nối hai đường f với g Kí hiệu :

- Với hai đường đóng f và g tại x0, ta nói f tương đương với g khi f

đồng luân với g, kí hiệu : f g Lớp tương đương đồng luân của đường đóng f

f*g là đường đóng trong X nối hai đường f và g

( ) 1

Y X f

Y X f

: :

Từ tính chất trên ta xây dựng phép toán trên π1(X x, 0)như sau:

( ) :∗ π X x, ×π X x, →π X x,

( [ ] [ ]f , g ) a[ ] [ ] [f ∗ g = f g∗ ]

gọi là phép nối tiếp hai đường đóng trên π1(X x, 0)

3 Không gian liên thông đường

3.1 Định nghĩa 1

Không gian tôpô X được gọi là không gian liên thông đường (hay còn gọi là

không gian liên thông tuyến tính) nếu mọi cặp điểm x0,x1∈X đều được nối với nhau bằng một đường nào đó trong X

3.2 Định nghĩa 2

Tập con Y của không gian tôpô X được gọi là tập liên thông đường nếu Y là liên thông đường với tôpô cảm sinh từ X

3.3 Tính chất

Không gian liên thông đường có các tính chất sau :

- Cho X,Y là hai không gian tôpô đồng phôi Khi đó X liên thông đường khi

và chỉ khi Y liên thông đường

- X,Y liên thông đường ⇔ X×Y liên thông đường

- Mọi không gian liên thông đường đều liên thông

4 Nhóm cơ bản

4.1 Định nghĩa

( )

1 X x, 0

Chứng minh :

Ta dễ dàng kiểm tra những tính chất sau đây:

Ta chứng minh u*là một đẳng cấu Thật vậy:

(i) Với mọi [ ]g ∈π1(X,x1) ta có :

(ii) Với mọi [ ] [ ]f , g ∈π1( , )X x0 sao cho u* ( ) [ ]f = u*( ) [ ]g thì

Nếu X liên thông đường thì π1(X x, 0)≅π1(X x, 1)

Do đó ta đi đến khái niệm nhóm cơ bản của một không gian X liên thông đường

Khi đó, f cảm sinh một đồng cấu nhóm f∗:π1(X x, 0)→π1(Y y, 0)

Do đó h fo ( )G h go Vậy bổ đề được chứng minh

Trở lại phép chứng minh (iii)

Xét ánh xạ cảm sinh f∗:π1(X x, 0)→π1(Y y, 0)

[ ]l X a[f lo X]

f∗:π1(Y y, 0)→π1(X x, 0) [ ]l Y a⎡⎣f− 1ol Y⎤⎦

Dễ thấy:

π π

X

l

f l f f f

l f f l

Suy ra f* là đơn cấu (1)

⊕ Với mọi [ ]l Y ∈π1(Y,y0) ta có :

[ ] [ ]l Y = f* ⎡ ⎤⎣ ⎦f* [ ]l Y = f*(⎡⎣f lo Y⎤⎦)

([ f lo Y]∈π1( , )X x0 vì nếu l Y là phép đồng luân của các đường đóng tại y0

trong(Y,y0) thì [ f lo là phép đồng luân của các đường đóng tại Y] x0 trong

Dễ thấy θ là một song ánh và đồng thời là một đồng cấu

Do vậy nên ta có: π1(X Y x y× ,( 0, 0) )≅π1(X x, 0)⊕π1(Y y, 0)

5.3 Định lý 3

π1( )X ≅π1( )Y

Chứng minh

(i) Với mỗi t∈[ ]0,1 xét ánh xạ F X I∗: × → thoả Y F x t∗( ), =F l x t( ( ), )

Hiển nhiên ta thấy:

Tóm lại, chương này chúng ta đã xây dựng thế nào là hai không gian đồng luân Từ đó nêu lên mối liên hệ giữa quan hệ đồng luân và đồng phôi: mọi không gian đồng phôi thì cùng kiểu đồng luân Mặc khác chúng ta cũng đã xây dựng định nghĩa nhóm cơ bản của không gian tôpô X tại điểm x0 bằng phép toán nối các đường đóng trên π1(X x, 0) Qua đó cho ta thấy được rằng

nhóm cơ bản là một bất biến tôpô thông qua việc chứng minh nó là bất biến đồng luân, tức là hai không gian cùng kiểu đồng luân thì có các nhóm cơ bản đẳng cấu (điều này cho phép chứng minh tính không đồng phôi của hai không gian tôpô bằng cách chỉ ra nhóm cơ bản của chúng là không đẳng cấu)

CHƯƠNG II: KNOT

Trong phần này ta sẽ nghiên cứu knot (nút) – hình ảnh của một knot dây trong thực tế Qua đó ta đi đến các khái niệm liên quan như cung, crossing,

I KNOT

1 Định nghĩa

1.1 Sự hiểu biết trực quan về knot

Ta lấy một sợi dây rồi thắt một cái gút lỏng trên nó, sau đó nối hai đầu sợi dây lại ta sẽ được một knot

Ta hiểu một cách trực quan ban đầu: knot là một đường cong đóng có thắt gút trong không gian mà nó không cắt nhau tại bất cứ chỗ nào trên nó

Cùng một knot có rất nhiều hình ảnh khác nhau biểu diễn nó (chẳng hạn như các hình bên dưới biểu diễn cho cùng knot hình số 8)

Sau đây là cách định nghĩa knot thông qua công cụ tôpô ( phép đồng phôi )

1.2 Định nghĩa

Một không gian con K của R3được gọi là một knot nếu nó là ảnh đồng phôi

• Mọi knot trong R3đều đồng phôi với nhau

Vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào chúng ta có thể biết được những knot có hình biểu diễn khác nhau có phải là những knot khác nhau hay không? Để làm rõ điều này ta sẽ đi tìm hiểu về đồ thị của knot

2 Đồ thị của knot

Những hình vẽ dùng để biểu diễn cho knot được gọi là đồ thị của knot, nó là

2.1 Định nghĩa

Knot ba lá Knot hình số 8

Một đồ thị của knot trong R2được tạo thành từ một số hữu hạn các cung và

các crossing (nơi giao nhau giữa cung dưới và cung trên) Tại mỗi crossing, ta

thu được thông tin về sự chênh lệch độ cao giữa hai cung tương ứng trên knot

2.2 Chú ý

2.2.1 Trong đồ thị của một knot không tồn tại những hình ảnh sau:

2.2.2 Trong một đồ thị nếu ta bỏ qua ý nghĩa của crossing thì khi đó đồ thị

crossing

2.3.2. Số crossing nhỏ nhất trong tất cả các đồ thị cùng biểu diễn một knot

được gọi là số crossing của knot đó và được kí hiệu là c(K)

2.3.3 Dễ thấy rằng không có knot nào có số crossing là 1 và 2 Vì nếu một knot có một crossing thì nó sẽ có dạng giống như một trong các hình sau

Khi đó ta có thể dễ dàng tháo crossing đơn này để thu được knot tầm thường

2.3.4. Một đồ thị của knot K với số crossing bằng c(K) được gọi là đồ thị

Ta thấy D1 và D2 đều là những đồ thị biểu diễn knot 3 lá nhưng số crossing của D1

lớn hơn số crossing của D2 Đồng thời do (3) nên D2 được gọi là đồ thị tối tiểu của knot ba lá

3 Bài toán chưa giải quyết

Chứng minh rằng một đồ thị đã cho là đồ thị của knot tầm thường

Nhiều lý thuyết về knot có cách nhìn nhận và giải quyết vấn đề khác nhau Nội dung bài toán được hiểu một cách đơn giản là : nếu như ta cho trước đồ thị của một knot thì ta có thể kết luận đó là knot tầm thường không? Đương nhiên nếu lấy một knot từ một mẫu dây và cố gắng sắp xếp để tháo các gút trên knot đó ra Nếu tất

cả các gút trên sợi dây đều được tháo gỡ thì đó là knot tầm thường Nhưng điều gì

sẽ xảy ra nếu như trong hai tuần mà ta vẫn không thể nào tháo gỡ hết được tất cả các gút trên sợi dây Ta cũng không thể kết luận đó không phải là knot tầm thường

vì có thể ta chưa đủ thời gian để tháo gỡ knot đó ra chăng? Trên thực tế đã có người tìm ra cách chứng minh một đồ thị đã cho có phải là knot tầm thường không? Đó là Wolfgang Haken Theo lý thuyết của ông (1961), chúng ta có thể đưa đồ thị của knot vào máy tính, máy tính sẽ chạy thuật toán và cho chúng ta kết quả Nhưng đáng tiếc, thuật toán mà Haken tìm ra cách đây hơn 40 năm quá phức tạp đến nỗi chưa có ai viết được chương trình này trên máy tính để thực hiện nó

4 Link

4.1 Định nghĩa

Một không gian con L của R3được gọi là một link nếu nó là hợp hữu hạn

của những knot rời rạc

L là một link ⇔ =L K1UK2UK3U U K n

trong đó K i là một knot ∀ =i 1,n và K iIK j = ∅ ∀ ≠, i j

Khi đó ta gọi L là một link có n thành phần ( kí hiệu: Comp(L)=n)

Hiển nhiên một knot là một link với một thành phần

Nhận xét: Cũng giống như knot, một link có thể có hai hay nhiều đồ thị biểu diễn nó

4.2 Ví dụ

Borromean rings

Whitehead link

4.3 Link tách được

Link tách được là loại link mà các thành phần của link có thể tách rời ra thành các link đơn tầm thường bằng cách thay đổi tính chất của một số croosing trên đồ thị

4.4 Link Brunman

Một link được gọi là link Brunman nếu bản thân nó không là link tầm thường nhưng sự di chuyển của bất kỳ một thành phần nào của link ra khỏi link đều làm cho link trở thành link tầm thường

VD : Link được cho ở hình bên dưới là link Brunman vì khi ta tách bất cứ một vòng nào của link ra khỏi link thì lập tức hai vòng còn lại trở thành link tầm thường

4.5 Sự tương đương giữa các link

Cho hai link L và L’ trong R3 Ta nói L tương đương với L’ (kí hiệu :

Xét L là một link và một tam giác phẳng trong 3

R Giả sử tam giác đó có một cạnh nằm trên L Khi đó, ta có thể chuyển L thành L’ tương đương với nó theo cách sau : trên L ta xóa đoạn chung với tam giác rồi lắp vào chổ hổng trên L hai cạnh còn lại của tam giác ta thu được L’

Hai link L và L’ được gọi là tương đương với nhau nếu và chỉ nếu L’ là sản

2 Phép dịch chuyển Reidemeister

2.1 Định nghĩa

Phép dịch chưyển Reidemeister là phép biến đổi đồ thị của một knot bằng

cách thay đổi tính chất của các crossing

Trong R3các phép dịch chuyển sau đây được gọi là phép dịch chuyển

Reidemeister:

- Phép dịch chuyểnR0 cho phép ta thay đổi toàn bộ tính chất “trên, dưới” tại các

crossing của knot

Hai knot K và K’ có đồ thị tương ứng là D và D’ Ta nói K tương đương K’

nếu và chỉ nếu D’ là sản phẩm của D qua hữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister (hoặc ngược lại)

Ví dụ: Từ knot hình số 8 ta thực hiện một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister

ta thu được knot ba lá Ta nói knot hình số 8 và nút ba lá tương đương nhau

Ngoài ra, Reidemeister còn chứng minh được nếu ta có hai đồ thị khác nhau của cùng một knot thì ta có thể biến đổi đồ thị này thành đồ thị kia bằng một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister

2

∆

Ví dụ: Hai đồ thị của knot hình số 8 tương đương nhau qua một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister (hình bên dưới)

III MỘT SỐ KNOT ĐẶC BIỆT

1 Ảnh đối xứng của một knot

1.1 Định nghĩa

Cho knot K, ảnh đối xứng của nó qua một mặt phẳng trong R3cũng là một

knot và knot đó được gọi là ảnh đối xứng của K Kí hiệu : K

Ví dụ

Dễ thấy rằng để xác định ảnh đối xứng của một knot, ta chỉ cần thay đổi tính “trên,

dưới” của các cung tại mỗi crossing

Cho knot K, lấy một điểm M trên K, di chuyển M dọc trên K theo một hướng

nhất định Khi đó, ta đã định hướng cho knot K và K được gọi là một knot định

hướng

Để biểu diễn một knot định hướng ta gắn trên đồ thị của K các mũi tên tương ứng

theo chiều của nó

Ví dụ

2.2.Knot nghịch đảo

Nghịch đảo của một knot định hướng K (kí hiệu r(K)) cũng chính là nó

nhưng được lấy theo hướng ngược lại

Ví dụ :

2.3 Knot xen kẽ

a Một đồ thị D của knot K được gọi là đồ thị xen kẽ nếu ta lấy trên D một

điểm M bất kì, khi di chuyển dọc trên D theo một hướng nhất định thì tại hai

crossing liên tiếp bất kì thì tính “trên , dưới” xen kẽ nhau

b Một knot K được gọi là một knot xen kẽ nếu nó có đồ thị tối tiểu là một đồ

- Từ một vết trong mặt phẳng ta có thể biến nó thành một knot xen kẻ trong không gian bằng cách thay thế một cách hợp lý các giao điểm trên vết thành những

crossing mà tính chất “ trên, dưới ” của các crossing được thay đổi đều đặn liên tục

Chẳng hạn như vết này

- Bất kỳ một đồ thị của knot nào cũng có thể biến đổi về đồ thị của knot xen

kẻ

- Bằng cách thay đổi tính “trên, dưới” của các cung tại các crossing, bất kỳ

một knot nào đều có thể biến đổi về knot tầm thường

3 Tích liên thông - Knot nguyên tố

3.1 Tích liên thông

a Cho hai knot định hướng K và K’ Ta nói K và K’ cùng chiều khi hai

hướng trên K và K’ là cùng chiều (và ngược lại )

sinh ra bởi quá trình sau :

3.2 Điều kiện để phép nối hai knot là tích liên thông

- Sau khi thực hiện phép nối thì hướng trên hai knot K và K’ khớp với nhau

- Hai cung tạo thành do nối hai đầu mút trên knot K với hai đầu mút trên knot K’ phải thoả mãn điều kiện là không tạo thành các crosing mới với các cung của hai đồ thị ban đầu

Ví dụ Crossing mới không thoả điều kiện