Khi nói đến cấu trúc của môt tập hợp thì chúng ta cần phải chỉ ra được các phần tử : phần tự không , phần tử đơn vỉ , phần tử nghịch đảo ,.... Nếu p có ước thật sự thì p được gọi là phần
Trang 1BỔ TÚC ĐẠI SỐ
1) Nhóm : Xét tập G≠φ Trên G xét phép toán ∗ (bao gồm phép cộng và phép nhân) Khi đó G cùng phép toán ∗ là một nhóm nếu ( , )G ∗ thỏa mãn 3 tính chất sau :
i) Tính kết hợp : ∀a b c G, , ∈ ta có a b c∗ ∗ = ∗ ∗( ) (a b c)
ii) Có phần tử đơn vị : ∀ ∈ ∃ ∈a G, e G e a a e a: ∗ = ∗ =
∃ ∈a G ∃a ∈G a a∗ =a ∗ =a e
Nếu ( , )G ∗ có thêm tính chất giáo hoán thì ( , )G ∗ lập nên nhóm giao hoán hay còn gọi là nhóm Abel
Tức là ∀a b G, ∈ ta có a b b a∗ = ∗
Như vậy với các tính chất trên thì ta có : ( , ) ,( , ) ,( , ) ,( , )¢ + ¤ + ¡ + £ + là nhóm Abel
* Qui ước :
Phần tử Phép toán nhân Phép toán cộng Đơn vị (1, )e
Nghịch đảo a− 1
Do ta định nghĩa trên phép nhân nên phần tử 1
a− là phần tử nghịch đảo chớ không phải 1
a Việc kí hiệu ( , )O e , (1, )e là những phần tử đại diện chớ không phải đơn thuần là số 0 hay số 1
2) Vành : Xét tập D≠φ Trên D trang bị hai phép toán cộng và nhân Khi đó
( , , )D +glà một vành nếu ( , , )D +g thỏa 3 điều kiện sau :
i) ( , )D + là nhóm Abel tức là D phải thỏa 4 tính chất : kết hợp , có phần tử trung
hòa , có phần tử đối và có tính giao hoán
ii) ( , )Dglà nửa nhóm hay ( , )Dg có tính kết hợp : ∀a b c, , ∈D : (a b cg g) (= a b cg g)
iii) D có tính phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng
∀a b c, , ∈D ta có ( )
a b c ab ac
b c a ba ca
+ = +
Nếu ( , )Dg có thêm tính giao hoán thì ( , , )D +g là vành giao hoán
Nếu ( , )Dg có thêm phần tử đơn vị thì ( , , )D +g là vành có đơn vị
Nếu ( , )Dg có tính giao hoán và có thêm phần tử đơn vị thì ta gọi ( , , )D +g là vành
giao hoán có đơn vị
Như vậy , với các tính chất trên thì ( , ,.),( , ,.),( , ,.),( , ,.)¢ + ¤ + ¡ + £ + là vành giao hoán
có đơn vị
Phân phối trái Phân phối phải
Trang 2Khi nói đến cấu trúc của môt tập hợp thì chúng ta cần phải chỉ ra được các phần tử : phần tự không , phần tử đơn vỉ , phần tử nghịch đảo ,
3) Miền Nguyên :
o D là vành giao hoán có đơn vị
D là miền nguyên nếu o1 0≠ (D : phải có 2 phần tử phân biệt 1 và 0)
oKhông có ước của 0 : lấy 2 phần tử bất kỳ thuộc
D thì tích của chúng phải khác 0
VD : ¢n là vành giao hoán có đơn vị nhưng không phải là miền nguyên cụ thể khi
n = 6 : Ta có ¢6 ={0,1, 2,3, 4,5}
Rõ ràng ta có : 2 0
3 0
≠
≠
nhưng 2.3 0= hay có ước của 0 Vậy ¢n là miền nguyên khi và chỉ khi n là số nguyên tố
4) Trường
o ¡ là vành giao hoán có đơn vị
¡ là trường nếu o1 0 ≠ (¡ : phải có 2 phần tử phân biệt 1 và 0)
o ∀ ≠x 0 đều có phần tử nghịch đảo 1
x−
Như vậy , trường là miền nguyên nhưng điều ngược lại không đúng
n
¢ là trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố
5) Idean :
* Vành con : Cho A⊂¡
oA là bộ phận ổn định : tức là khi ta lấy 2
phần tử bất kỳ thuộc A thì tổng và tích của
A là vành con của ¡ (A≤¡ )⇔ chúng cũng thuộc A
o A phải có cấu trúc của một vành
* Idean: Cho ¡ là vành và I ≤¡
Khi dó I là Idean nếu a , x I: ax I
xa I
∈
¡
KH : I <¡
Nếu ¡ là vành giao hoán thì Idean trái = Idean phải
Một vành ¡ luôn có 2 Idean tầm thường { }0
¡
6) Idean sinh bởi một tập :
* Định lí : Nếu I1<¡ ,I2<¡ , I n<¡ thì
1
n j j
I
=
<¡
I
Tổng quát : { }j , j , j
j J
j J
∈
∈
Idean trái Idean phải
Trang 3* Định nghĩa Idean sinh bởi một tập :
Cho φ ≠ ⊂A ¡ Xét họ tất cả các Idean của ¡ và chứa A Xét giao của họ trên : là một Idean của ¡ và chứa A và được gọi là Idean sinh bởi tập A
Kí hiệu : <A> <A> : là Idean nhỏ nhất của ¡
* Phương pháp chứng minh B = <A> là Idean nhỏ nhất của ¡ và chứa A ta chứng minh như sau :
Bước 1 : Kiểm tra B<¡
Bước 2 : kiểm tra B⊃ A
Bước 3 : Kiểm tra nếu : C
C A
∃
⊃
<¡
thì ta chứng minh C⊃B
** Lưu ý : Nếu ¡ giao hoán thì , ∀ ∈a ¡ thì <a> = a¡ : gọi là Idean chính sinh bởi phần tử a
7) Bậc của đa thức :
Cho đa thức 1 biến : [ ] 2
0
n
i
x f x a a x a x a x a x
=
¡
Khi đó ta có :
+ phần tử không : là đa thức bậc 0
+ phần tử đối : −f x( )là đa thức nhận các hệ số đối của a i
+ phần tử đơn vị : là đa thức hằng 1
* Nếu a n ≠0 thì f(x) là đa thức bậc n (deg f =n)
* Nếu f x( )=a0 ≠0 : thì f(x) là đa thức bậc 0
* Nếu f x( )=a0 =0 thì f(x) không có bậc
* Định lí : deg(f +g) max deg ,deg≤ { f g}
* Định lí : deg( ) degf g ≤ f +degg
* Định lí về chia có dư : Cho k là trường Xét k[ ]x
∀f g, ∈k[ ]x g, ≠0 luôn ∃q x r x( ), ( )∈k[ ]x : ( )f x =g x q x( ) ( )+r x( )
Nếu r x( ) 0= ⇒ f x g x( ) ( )M
Nếu r x( ) 0≠ ⇒deg ( ) deg ( )r x < g x
* Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia đa thức (bậc nhất)
Giả sử f x x c( )M− ⇔ f c( ) 0= hay x = c là nghiệm của f(x) khi đó ta có :
an an-1 an-2 ………… a0
c an c.an + an-1 c (c.an + an-1)+an-2 f(c)
8) Đa thức đối xứng : Đa thức f x x x( , , )1 2 3 x n ∈¡ ( , , )x x x1 2 3 x n được gọi là đa thức đối xứng nếu như ta hoán vị hai ẩn bất kì x x i, j thì ta được đa thức mới không thay đổi so với đa thức ban đầu
* Dùng thuật toán phân tích đa thức đối xứng thành các đa thức đối xứng cơ bản :
Trang 4Bước 1 : Từ đa thức của f(x) ta chọn hạng tử cao nhất (có bậc cao nhất )của f : Ưu tiên theo thứ tự x1→ → → →x2 x3 x n (đây là bước quan trọng nhất) Sau đó suy ra
bộ số mũ ( , , )i i i i1 2 3 n VD trong ¡ [,x x x x1 2, ,3 4] ta tìm được hạng tử cao nhất là : 3 2
x x
thì ta được bộ số mũ là ( , , , )i i i i1 2 3 4 = (3,2,0,0)
Bước 2 : Từ bộ số mũ xác định được ta suy ra hệ thống bộ số mũ có thể có sao cho thỏa mãn hai điều kiện : thứ nhất là tổng các số phải bằng duy nhất một số , thứ hai
là số bên trái phải lớn hơn hoặc bằng số bên phải
VD : (3,2,0,0) > (3,1,1,0) > (2,2,1,0) > (2,1,1,1)
Bước 3 : Từ hệ thống bộ số mũ ta vừa lập được ta phân tích f dưới dạng tham số :
1 1i i 2i i i n1 i n i n 2 1j j 2j j j n1 j n j n
f m s − s − s − − s m s − s − s − − s
Bước 4 : Tìm m m m1, 2, 3, m n bằng phương pháp hệ số bất định thông qua việc chọn tùy ý x x x1, , , 2 3 x n⇒s s s1, , , 2 3 s n⇒ ⇒f m i ,i=1,n
Trong đó :
1
1
3 1
1 2 3
n
k
i j n
i j k
i j k n
s x x x x
=
−
≤ ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤
= + + + + =
=
=
∑
∑
∑
Tìm được m m m1, 2, 3, m n
ta thế vào 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1
1 1i i 2i i i n1 i n i n 2 1j j 2j j j n1 j n j n
f m s − s − s − − s m s − s − s − − s
9) Định lí Viet : Các phần tử x x x1, , , 2 3 x n
là nghiệm của đa thức 1 2
f x =x +a x − +a x − + +a nếu và chỉ nếu :
1
k
=
1
i j n
≤ ≤ ≤
………
1 2
1
k k
k
i i i n
≤ ≤ ≤ ≤ ≤
………
s n =x x x1 2 3 x n = −( 1)a n
2 2 2 2
3 3 3 3
Trang 5Chương II : Lý thuyết nhân tử hóa trên miền nguyên
1) Ước và bội : Cho a b D, ∈
b được gọi là ước của a hay a chia hết cho b khi và chỉ khi tồn tại c D∈ sao cho .
a b c= KH : b a\
a b
M
* Tính chất : gọi U là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch hay U là tập tất cả các
ức của đơn vị thì khi đó ta có :
+ Nếu D=¤[ ]x ⇒U( [ ])¤ x =U( )¤ =¤*
+ Nếu D=¡[ ]x ⇒U( [ ])¡ x =U( )¡ =¡ *
+ Nếu D=£[ ]x ⇒U( [ ])£ x =U( )£ =£*
+ Nếu D=¢[ ]x ⇒U( [ ])¢ x =U( )¢ = ±{ }1
+ Nếu n p∈ (p : số nguyên tố ) D=¢n ⇒U(¢n)=¢*n =¢n\ 0{ }
2) Phần tử liên kết : Trong miền nguyên D , phần tử a được gọi là lên kết với
phần tử b nếu ∃ ∈u U a u b: = KH a b: : Hay chúng sai khác nhau một phần tử
khả nghịch Khi đó ta cũng nói phần tử b liên kết với phần tử a
3) Ước thật sự : Cho a D U∈ * \ Khi đó d gọi là ước thật sự của a khi và chỉ khi : d
là một ước của a , d không khả nghịch(hay d không là ước của 1) và d không liên kết với a KH : d aP
4) Phần tử bất khả quy : Phần tử p D U∈ * \ ( không khả nghịch) được gọi là bất khả
nghịch nếu p không có ước thật sự Nếu p có ước thật sự thì p được gọi là phần tử
khả quy
* Lưu ý :
+ Đa thức bậc nhất luôn bất khả quy
+ Trường không có phần tử bất khả quy
+ Trong miền nguyên ¢ , các số nguyên tố là các phần tử bất khả quy
5) Ước chung lớn nhất : Ước chung lớn nhất của a,b là ước lớn nhất trong tất cả
các ước chung của a và B tức là : Nếu d \ a, d \ b và c \ a , c \ b thì c \ d khi đó d
là ước chung lớn nhất của a và b KH : d = (a,b)
* Nếu 1 1 2
2
( , )
:
( , )
⇒
d a b
d d
d a b
* Nếu d =( , )a b ⇒ud=( , )a b ∀ ∈u U
* Nếu (a,b) = 1 thì ta nói a , b nguyên tố cùng nhau
6) Dạng nhân tử hóa duy nhất : Phần tử a trong miền nguyên D được gọi là có
dạng nhân tử hóa duy nhất nếu a phân tích dược thành tích những phần tử bất khả
quy Tức là a u p p= 1 2 p s Giả sử như có sự phân tích khác 1' ' '
2
t
a u p p= p thì khi
đó chỉ số t = s và từng cặp phải liên kết với nhau
Trang 6** Sự tồn tại dạng nhân tử hóa duy nhất :
+ Nếu trong miền nguyên D mà mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố thì
* \
a D U∈ có dạng nhân tử hóa duy nhất (phân tích được thành tích các phần tử bất khả quy )
+ Nếu miền nguyên D trong đó hai phần tử bất kì đều có một ước chung lớn nhất
thì a D U∈ * \ có dạng nhân tử hóa duy nhất
8) Miền nguyên :
a) Miền nguyên Gauss (GD): Miền nguyên Gauss là miền nguyên mà trong đó mọi
phần tử khác 0 và không khả nghịch có dạng nhân tử hóa duy nhất thành những phần tử bất khả quy
Trong miền nguyên Gauss mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố
b) Miền nguyên chính : (PID) Miền nguyên chính là miền nguyên mà mọi Iđean
của nó đều là Iđean chính
* Trong miền nguyên chính D , nếu p là phần tử bất khả quy thì ∀ ∈a D thì ta có
|
( , ) 1
p a
p a
* Mọi miền nguyên chính đều là miền nguyên Gauss
c) Miền nguyên Euclide : (ED) Miền nguyên D là miền nguyên ED nếu có ánh xạ
hàm bậc : δ : *D → ¥ biến điểm a→δ( )a thỏa :
i) Nếu a b D, ∈ *⇒δ( )b ≤δ( )ab
ii) ∀ ∈ ∀ ∈a D b D, *,∃q r D a bq r, ∈ : = + , ( )δ r <δ( )b
KH : ( , )D δ
* Trong miền nguyên ED , u là phần tử khả nghịch nếu và chỉ nếu δ( )u =δ(1)
* Mọi miền nguyên ED đều là miền nguyên chính
d) Thuật toán Euclide tìm ước chung lớn nhất : Ta lấy số chia chia liên tiếp cho
phần dư đến khi dư bằng 0 thì khi đó ước chung lớn nhất cần tìm là phần dư cuối cùng (tức là nếu dư r n = ⇒0 r n−1 là ước chung lớn nhất )
e) Các miền nguyên Gauss đặc biệt :
Ở đây ta chủ yếu nghiên cứu vấn đề về nghiệm và bất khả quy của một số miền nguyên Gauss đặc biệt
Miền nguyên Vấn đề nghiệm Vấn đề bất khả quy
[ ]x
¢
+ Có công thức tìm nghiệm cho các đa thức có bậc ≤4
+ Đa thức có bậc ≥ 5 không tìm được nghiệm
Đa thức bậc nhất có hệ số dẫn đầu là ±1 luôn bất khả quy
[ ]x
¤
Đưa về tìm nghiệm của đa thức
hệ số nguyên (giống như ¢[ ]x )
+ sử dụng tiêu chuẩn Eisentein (điều kiện đủ)
+ Đa thức bậc nhất bất khả quy + Đa thức bậc 2 ,3 vô nghiệm thì bất khả quy
Trang 7[ ]x
¡
+ Giống như ¢[ ]x
+ đa thức bậc lẻ luôn có ít nhất một nghiệm thực
+ Đa thức bậc nhất bất khả quy + Đa thức bậc 2 vô nghiệm bất khả quy
[ ]x
£
Đa thức bậc n luôn có n nghiệm + Đa thức bậc nhất bất khả quy + Đa thức có bậc ≥2 luôn khả
quy + Dạng nhân tử hóa : Phân tích thành tích các đa thức bậc nhất
* Tiêu chuẩn Eisenstein : (xét tính khả quy của đa thức )
Cho đa thức 1 2
n
f x = +a a x +a x + +a x ∈¢ x nếu ta chỉ ra được một số
nguyên tố p sao cho : p là ước của tất cả các a i, i=0,n−1 , p không là ước của
n
a và 2
p không là ước của a0 thì 1 2
n
f x = +a a x +a x + +a x ∈¢ x là bất khả quy
Trang 8Chương III : Lý thuyết modun trên vành
1) Định nghĩa : Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1
φ ≠( , )M + là nhóm Abel
Trên M xét hai phép toán :
* Phép cộng : + : M x M →M biến ( , )x y a x y+
* Phép nhân vô hướng : : R x M →M biến ( , )r x a rx
Khi đó M cùng với hai phép toán trên được gọi là modun trái trên R (hay
R-modun) nếu thỏa các tiên đề sau :
1
2
3
4
M r s rs x r sx
M r x y M r x y rx ry
M r s r s x rx sx
¡
¡
¡
Tương tự ta cũng có modun phải nếu như ta đổi vị trí tác động lại của R đối với M Tức là ta có M x R →M biến ( , )x r a xr
2) Tính chất cơ bản của modun :
r x rx r x rx
r s x rx sx
r x y rx ry
3) Modun con : Cho M là R – modun φ ≠ ⊂A M .
Trên A xét hai phép toán : cộng và nhân vô hướng Khi đó (A ,+, ) là modun con
của M nếu A là bộ phận ổn định của modun M
Tức là ta có : ∀x y A x y A r, ∈, :x A rx A+ ∈:
¡ KH : A M≤
* Tiêu chuẩn xét modun con : A M x y A x y A, , : :
4) Modun thương : Cho M là R – modun ( , ) ( , )A + ≤ M + (nhóm con)
M A/ ={x A x M+ : ∈ } Trong đó x A+ = +{x a a A: ∈ } .
Trên M/A ta trang bị hai phép toán :
* Phép cộng : M/A x M/A →M A/
biến (x A y A+ , + )a (x A+ ) (+ +y A) (= + +x y) A
* Phép nhân vô hướng : R x M/A →M A/
biến ( ,r x A+ ) a r x A( + ) ( )= rx +A
Khi đó (M/A , + , ) là R – modun và được gọi là modun thương của modun M theo
modun A.
5) Đồng cấu modun : Cho X , Y là các R – modun.
Trang 9Một ánh xạ f X: →Y được gọi là một đồng cấu R – modun nếu :
i x x X f x x f x f x
r x X f rx rf x
ii r r x x X f r x r x r f x r f x
¡
¡
Trang 10PHẦN II : BÀI TẬP
1) Bài tập chương II :
Cho α là số phức sao cho α = −2 5
và ¢[ ]α ={m n+ α: ,m n∈¢} ⊂£
a Chứng minh rằng ¢[ ]α là vành con của trường số phức £ chứa ¢ và suy ra
[ ]α
¢ là một miền nguyên
b Với δ = +m nα∈¢[ ]α , định nghĩa chuẩn của δ là số nguyên N( )δ =m2+5n2 Kiểm chứng rằng : N( )δ δ1 2 =N( ) ( )δ1 N δ2 với bất kỳ δ δ1, 2∈¢[ ]α và định nhóm
U các phần tử khả nghịch của ¢[ ]α Suy ra quan hệ : (liên kết) trong ¢[ ]α
c Chứng minh rằng miền nguyên ¢[ ]α thỏa mãn dây chuyền tăng Iđean chính
d Kiểm chứng rằng trong ¢[ ]α , các phần tử 3, 2+α, 2−α đều là bất khả quy và hai trong ba phần tử này không liên kết Suy ra không thỏa mãn điều kiện duy nhất các dạng nhân tử hóa
Giải :
a Chứng minh rằng ¢[ ]α là vành con của trường số phức £ chứa ¢ và suy ra
[ ]α
¢ là một miền nguyên
(Để chứng minh ¢[ ]α là vành con của £ (¢[ ]α ≤£) ta dựa vào tiêu chuẩn vành con : Trước tiên ta chỉ ra ¢[ ]α là tập hợp khác rỗng Sau đó ta kiểm chứng hai điều kiện :
+ ∀δ δ1, 2∈¢[ ]α ⇒ − ∈δ δ1 2 ¢[ ]α
+ ∀δ δ1, 2∈¢[ ]α ⇒δ δ1 2∈¢[ ]α )
* Ta có 1 1 0.= + α∈¢[ ]α ⇒ ≠φ ¢[ ]α ⊂£
* ∀ =δ1 m1+n1α δ, 2 =m2+n2α∈¢[ ]α
δ δ1− =2 (m1+n1α) (− m2+n2α) (= m1−m2) (+ n1−n2)α∈¢[ ]α
* δ δ1 2 =(m1+n1α).(m2+n2α)=m m1 2−m n1 2α+n m1 2α −5n n1 2
=( m m1 2−5n n1 2) ( + m n1 2+n m1 2)α∈¢[ ]α
Vậy ¢[ ]α ≤£
Ta có : £ là trường nên ¢[ ]α là miền nguyên vì ¢[ ]α là vành con chứa đơn vị của
£ ( áp dụng theo định lí : Vành con chứa đơn vị của trường là miền nguyên )
Bài 24 trang 36
Trang 11b Với δ = +m nα∈¢[ ]α , định nghĩa chuẩn của δ là số nguyên N( )δ =m2+5n2 Kiểm chứng rằng : N( )δ δ1 2 =N( ) ( )δ1 N δ2 với bất kỳ δ δ1, 2∈¢[ ]α và định nhóm
U các phần tử khả nghịch của ¢[ ]α Suy ra quan hệ : (liên kết) trong ¢[ ]α
* Chứng minh : N( )δ δ1 2 =N( ) ( )δ1 N δ2
Ta có : N( )δ =m2+5n2 =(m n+ α)(m n− α)=δ δ
Cách 1: N( ) (δ δ1 2 = δ δ δ δ1 2).( 1 2)=δ δ δ δ1 2 .1 2 =δ δ δ δ1 .1 2 2 =N( ) ( )δ1 N δ2
Cách 2 :
N δ δ = m m − n n + m n +n m = m + n m + n =N δ N δ
* Định nhóm U các phần tử khả nghịch của ¢[ ]α
Ta có δ∈ ⇔U N( ) 1δ =
Chiều thuận : Giả sử δ∈U:∃δ δ δ' : ' 1=
Chiều đảo : Giả sử N( ) 1δ = ta chứng minh δ ∈U
Với δ = +m nα , ( )N δ =m2+5n2
Theo giả thiết ta có : N( ) 1δ = =m2+5n2 ( ,m n∈¢)
[ ] { }
1
1 0
m
U n
U
δ α
= ±
⇒ = ⇒ = ± ∈
* Suy ra δ δ1: 2 ⇔ =δ δ1 2.u ,u U∈ (¢[ ]α )= ± ⇔ = ±{ }1 δ1 δ2
c Chứng minh rằng miền nguyên ¢[ ]α thỏa mãn dây chuyền tăng Iđean chính Xét dây chuyền tăng I đêan chính trong ¢[ ]α
Ta có : 0≠δ0¢⊂δ1¢ ⊂δ2¢ ⊂ ⊂δn¢⊂ ≠¢[ ]α (*)
Ta cần chứng minh ¢[ ]α thỏa acc nghĩa là dãy (*) dừng lại tại 1 điểm náo đó Tương ứng với dãy (*) là dãy các phần tử trong ¢[ ]α như sau :
δ δ δ0M M M1 2 M M Mδ δn n+1 (**)
Theo câu b ta có :
( ) ( ) ( )2 2 ( ) ( )
Suy ra tương ứng với dãy (**) là dãy các N( )δ1 trong ¥ như sau :
N( )δ0 ≥N( )δ1 ≥N( ) δ2 ≥ ≥ (***)
là dãy các số tự nhiên giảm dần Do N( )δ0 là số tự nhiên nào đó nên dãy (***) sẽ lùi dần và có n để dãy (***) dừng tại n Nên ta suy ra dãy (**) dừng , nghĩa là
δ : δ + : δ + :
Tương ứng với dãy (**) dừng thì suy ra dãy (*) cũng dừng tức là ta có :
δ ¢=δ +¢ α =δ + ¢ α =