Đặt vấn đề Bất đẳng thức là một trong những mãng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông.. Nhng thông qua các bài tập về bất đẳng thức ngời học toán hiểu kỉ và sâu hơn về giải và biệ
Trang 1Một vài suy nghĩ về bất đẳng thức
I Đặt vấn đề
Bất đẳng thức là một trong những mãng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông Nhng thông qua các bài tập về bất đẳng thức ngời học toán hiểu
kỉ và sâu hơn về giải và biện luận phơng trình , bất phơng trình ,về mối liên
hệ giữa các yếu tố của một tam giác , giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức và quá trình giải bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh đợc phát triển đa dạng mạnh mẽ , vì ở các bài tập này , cách giải không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nh các mảng kiến thức khác
Chính vì vậy ngời học toán cần căn cứ vào đặc thù của từng bài toán vận dụng những điều đã học một cách mềm dẻo và thông minh Sau đây chúng
ta sẽ xét một số phơng pháp chủ yếu trong việc chứng minh các bất đẳng thức
II Giải quyết vấn đề
1 Định nghĩa bất đẳng thức
Cho a và b là hai số bất kỳ , ta nói rằng a lớn hơn b (a >b ) nghĩa là (a – b) dơng
a nhỏ hơn b nghĩa là (a – b) âm
* Ngợc lại nếu hiệu (a – b) dơng thì a lớn hơn b
* Ngợc lại nếu hiệu (a – b) âm thì a nhỏ hơn b
Do định nghĩa trên a > 0 chỉ rằng a là một số dơng
a < 0 chỉ rằng a là một số âm
Cần biết a > b và c > d là hai bất đẳng thức cùng chiều
Cần biết a > b và c < d là hai bất đẳng thức ngợc chiều
2 Tính chất cơ bản của bất dẳng thức
- Tính chất 1 : a > b ⇒ b <a
- Tính chất 2 : a c
c b
b a
>
⇒
>
>
- Tính chất 3 : a > b ⇒ a + c > b + c
- Tính chất 4 : Nếu a > b và c > 0 ⇒ac > bc
a > b và c < 0 ⇒ ac < bc
a > b và c = 0 ⇒ac = bc
Cộng và trừ bất đẳng thức
+ Nếu a > b và c > d ⇒ a+ c > b + d
a < b và c < d ⇒ a + c < b + d
+ Nếu a > b và c < d ⇒ a - c > b - d
a < b và c > d ⇒ a - c < b - d
3 Các hằng đẳng thức đợc thừa nhận
* ∀x ∈ R x2 ≥ 0
* ∀x ∈ R x ≥ 0
* ∀ x i ≥ 0 x1 + x2 +………xn ≥0
i = 1,2,3,4………n với n ∈N*
Trang 2
4 Bất đẳng thức côsi
- Định lí : Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó
Cho a1,a2,a3,………….an ≥ 0 Ta luôn có
n
n
n
a a
a
.
3 2 1 2
Dấu của đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ………an
5 Bất đẳng thức BunhiAcốpxki
Định lí : với ∀ a1,a2 ,b3,………,an ; b1,b2,b3,…….bn Ta luôn có
)
)(
( )
3
2 2
2 1 2 2
2
2 1 2
2
1
Dấu của đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
n
n
b
a b
a
b
a
2
2
1
C/m : Sử dụng đồng nhất thức la gơ răng
(x1y1+x2 y2+x3y3+ ……….+ xnyn)2 = (x1 + x2 +… +xn )(y1 +y2 + … +yn ) - (x1y2+x2y1)2 -(x1y2+x2y1)2 - (x1yn+xny1)2 - (x2y2+x3y2)2 …… (xn-1yn
+x-nyn-1)2
Trong đồng nhất thức ta bỏ bớt số hạng - (xiyJ+xJyi)2 , ta có bất đẳng thức cần chứng minh
6 Bất đẳng thức Svácxơ
Cho a1 ,a2…….an và b1 ,b2 …….bn là hai dãy số (bi > 0) i = 1,2,3… n )
CM :
n
n n
n
b b
b
a a
a b
a b
a
b
a
)
(
2 1
2 2
1 2
2
2 2 1
1
+ +
+ +
≥ +
Giải : áp dụng bất đẳng thức Bu nhi acốp x ki với hai dãy số
n
n
b
a b
a
b
a
,
2
2
1
1
và b1, b2 b n ta có
2 1 2
1 2 2
2
2
1
2
n
b
a b
a
b
a
+ +
≥ +
+
+
7 Bất đẳng thức Bécnuli
CMR : Nếu h ≥-1 và n là số tự nhiên lớn hơn 0 (1 +h)n ≥ 1 + nh
Giải : Khi n = 1 , mệnh đề đúng
Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là (1 +h) k = 1 + kh (*)
Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 thật vậy nhân hai vế của (*) với 1 + h ≥ 0 ta có (1 + hk+1 ≥ 1 + (k +1) h
Bất đẳng thức đã đợc chứng minh Dấu của đẳng thức xẩy ra khi h = 0 , n tuỳ ý hoặc n = 1
Chú ý có thể sử dụng bất dẳng thức côsi tổng quát để chứng minh
8 Bất đẳng thức tsêbsép
Cho dãy số tăng a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤a4 ≤…… an, và b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤b4 ≤…… bn
Hoặc a1 ≥a2 ≥ a3 ≥ …… ≥ an và b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ b4 ≥…… ≥ bn
C/m
Trang 3(a1 + a2 + a3 +…… + an) (b1+ b2 + b3 + …… + bn) ≤ n(a1b1+ a2b2+… anbn) Dấu của đẳng thức xẩy ra khi a1 = a2 = a3…= an hoặc b1 = b2 = b3 …= bn Giải : Xét hiệu
n(a1b1+ a2b2+… anbn) - (a1 + a2 + a3 +…… + an) (b1+ b2 + b3 + …… + bn) = [(a1 - a2 )( b1 - b2) +(a1 - a3)(b1-b3)…… (an-1-an) (bn-1 - bn) ≥ 0 (*)
bất đẳng thức (*) đúng vì
( ak-1 - ak)(bk-1- bk) ≥ 0 a1 ,a2…….an và b1 ,b2 …….bn là hai dãy cùng tăng hoặc cùng giảm
III Bài tập vận dung
Bài 1 :
Với tam giác ABC chứng minh rằng
+ + ≥ 3
a
c c
b b a
Giải : Ta có 3 . .
c c
b b
a a
c c
b b
a
≥
+
3
≥ + +
a
c c
b b a
Bài 2 : CMR ab + bc + ca = 4 thì a4 + b4 + c4 ≥
3
16
Giải : Ta có
(ab + bc + ca )2 ≤ (a2+b2+c2) (a2+b2+c2) ⇔16 ≤ (a2+b2+c2)2 (1)
Ta lại có (a2+b2+c2)2 ≤ (1 + 1 + 1) (a4 + b4 + c4) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
3(a4 + b4 + c4) ≥ 16 vậy a4 + b4 + c4 ≥
3
16
Bài 3 : Cho bốn số dơng a , b , c , d chứng minh rằng :
a) Nếu c + d < a + b thì ( )
b a
a d c b a
c a d
c
c
+
≥
−
− +
− +
+
2 2
2
b) Nếu ab + bc + cd + da = 1 thì
3
b c d +a c d +a b d +a b c ≥
Giải : a) Đặt A = ( )
d c b a
c a d
c
c
−
− +
− + +
2 2
thì (a +b) A = ( c + d + a + b - c - d)A
Vậy ( a + b) [ ( )
d c b a
c a d
c
c
−
− +
− + +
2 2
] =
b a
a A a d
c b a
c a d
c
c x d c b a d
c
+
≥
⇒
=
−
− +
− +
+
2 2
2 2
Dấu của đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a
b c
d = b) Đặt A = b + c + d > 0 B = a + c + d > 0
C = a + b + d > 0 D = a + b + c > 0
Vì ab + bc + cd + da = 1 nên :
1
a + + +b c d ≥ a b c d+ + + =
( theo Bunhiacôpxki ) ⇒a2 + + +b2 c2 d2 ≥ 1
Trang 4Giả sử 3 3 3 3
0
a b c d thi
≥ ≥ ≥
f
Theo Tsebusep: ta có
4
16
a b c d a b c d
+ + + + + + + + + ữ=
Bài 4 : cho a ≥ 2 ; b ≥ 2 CMR ab≥ a + b
Để chứng minh ab ≥ a + b ta sẽ chứng minh ab -a - b ≥ 0
Xét ab - a - b = a(b - 1) - ( b - 1 ) - 1 = (a - 1)(b-1) - 1
Do a ≥ 2 ; b ≥ 2 nên a -1 ≥ 1 và b - 1 ≥ 1 vậy (a - 1)(b - 1) ≥ 1
⇒ (a - 1)(b - 1) - 1 ≥ 0 ⇒ ab≥ a + b (Đpcm)
Bài 5 : CMR a4+ b4 ≥ a3b + ab3 với ∀a, b
Giải : Đặt a = x2 ; b = y2 ; và x,y ≠0
Ta có (x2)4 +(y2)4 ≥(x2)3y2 + x2(y2)3
.
4 4 2
6 2
6 2 2
6 2 2 2
2 6 2 2
8 2
2
8
y x x
y y
x y x
y x y x
y x y x
y
y
x
Bài 6 :Tìm giá trị nhỏ nhất
A = x2 +x+1 + x2 −x+1
Giải : áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có
A = x2 +x+1+ x2 −x+1≥24 x4 +x2 +1≥2 vậy giá trị nhỏ nhất của A = 2 khi và chỉ khi x = 0
Bài 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức sau
A = 2x2 + 10 x - 1
Cách 1 : Ta có A =
2
27 2
27 2
5 2 2
27 2
25 2
5 2 2 ) 2 (
2
x
Vậy A nhận giá trị nhỏ nhất là
-2
27
khi và chỉ khi
2
5 0
2
5
Cách 2: Ta có 2A = 2(x2 + 10x-1) = 4x2 +20x - 2 = (2x)2 +2.2x.5 +5 -27
= (2x +5)2 - 27 ≥ -27 ⇒ 2A nhận giá trị nhỏ nhất là -27 khi và chỉ khi
2x + 5 = 0
2
27
−
=
A nhận giá trị nhỏ nhất là
-2
27
khi và chỉ khi
2
5
−
=
⇔ x
Từ cách giải trên ta suy ngẫm đôi chút về bài toán giúp ta tìm đến kết quả tổng quát sau
Với Q = a x2 + bx + c Trong đó a,b,c ∈ R a > 0 thì Q nhận giá trị nhỏ nhất
là
a
b x a
b
ac
2 4
−
=
⇒
− thật vậy ta có
Trang 5Q = a(x2 +
a
c x a
b + ) = a
a
b ac a
b ac a
b x a a
b a
c a
b a
b
x
x
4
4 4
4 2
4 4
2
.
2
2 2
2 2
2 2
2
+
=
Nh vậy trong toán học việc tìm hiểu cách trình bày lời giải trên cơ sỡ vận dụng kiến thức khác nhau Việc tổng quát hoá , tơng tự hoá cho một bài toán
là rất cần thiết
Bài 8 :Chứng minh bất đẳng thức sau
a) 1995200+19962000 <19972000
2
3
f
c b a b
a
c a c
b
c
b
+
+ +
+
+
Giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với :
a)
2000 2000
1996
1997 1
1996
1995
<
+
Theo bất đẳng thức Bécnuli thì :
2000 2000
2000
1996
1995 1
1996
2000 1
1996
1 1 1996
1997
+
>
+
≥
+
=
b) Đặt s = a + b + c , bất đẳng thức cần chứng minh sẽ là :
2
3
≥
−
+
−
+
c b s
b
a
s
a
giả sử :0 ≤a≤b≤c thì :
c s b s a s c
s
b
a
s
−
≤
−
≤
−
⇒
>
−
≥
−
2
3 6
9 1
1 1
6
1
1 1
1 3
1 1
1
.
1
.
=
≥
−
+
−
+
−
− +
−
+
−
=
−
+
−
+
− + +
≥
−
+
−
+
−
c s b s a s c s b s
a
s
c s b s a s c b a c s
c b s
b
a
s
a
Bài 9 : Cho hai số a,b thoả mãn điều kiện 2a - 3b = 7 chứng minh
rằng
47
725
5
3a2 + b2 ≥ :
Giải : Ta có a 5 b
5
3 3 3
2
áp dụng bất đẳng thức : Bunhiacốpxki ta có :
47
735 5
3 47
15 49 5
3 5
9
3
4
+
≤
Bài 10 : Giả sử a +b + c = 1 chứng minh rằng :
3
1
2
2
Giải : áp dụng bất đẳng thức Côsi Bunhiacốpxki ta có :
1= a.1 + b.1 + c.1 ≤ a2 +b2 +c2 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 (a +b2 +c2)
Suy ra
3
1
2
+b c
a Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
3
1
=
=
=b c
a
Trang 6Bài 11: Giải phơng trình 4 1 −x2 + 4 1 + +x 4 1 − =x 3
Giải : Điều kiện : − ≤ ≤ 1 x 1
Theo bất đẳng thức Cô si ta có :
2
2 4
2
2
2
x
x
+ + −
+ +
+ −
+ + + −
Dấu của đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
x
x
+ = −
+ =
− =
Giải hệ phơng trình này ta đợc x = 0
Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 0 thoã mãn phơng trình đa cho
Phơng trình đã cho có một nghiệm x = 0
III - Kết luận chung
Trên đây là một số dạng đa thức thờng gặp ở một số dạng bớc đầu phải dùng phơng pháp riêng của nó để giải và mỗi dạng bài tôi chỉ đa ra một vài
ví dụ minh họa Còn trong thực tế các bài toán nó đa dạng Do đó việc giải
Trang 7phải có sự lựa chọn phơng pháp thích hợp, phù hợp với mỗi kiểu bài mà việc lựa chọn đó muốn có đợc của học sinh thì đỏi hỏi giáo viên phải có sự chọn lọc, sắp xếp rút ra tổng quát cung cấp cho học sinh
Tuy rằng ở một số dạng đều dùng phơng pháp riêng Nhng mỗi loại có mỗi đặc điểm khác nhau Do đó ở đây tôi nêu ra các kiểu bài nh thế để giúp học sinh nhận dạng từ đó xác định phơng pháp giải thích hợp cho mỗi kiểu bài Còn việc trình bày bài giải sau khi đã nắm đợc phơng pháp rõ ràng thì việc tìm lời giải nó dễ dàng hơn , khoa học hơn Đồng thời các bất đẳng thức mới tuy nhiên cha đa ra nhiều ví dụ cũng nh bài tập vận dụng cho từng dạng nhng mong rằng sự quan tâm của các đồng chí sẽ giúp tôi bổ sung thêm để
nó có thể là kiến thức tổng quát giúp học sinh thích học toán hơn ,tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải phơng trình và bất phơng trình bậc cao và những phơng trình có dạng đặc biệt đó sau này
Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng cần cung cấp đầy đủ cho học sinh để khi gặp các dạng bài tập này giúp các em định hớng, lựa chọn đợc phơng pháp thích hợp giải quyết bài toán nhanh gọn
Mặc dù một số em còn tồn tại trong khâu trình bày cha chặt chẽ, rõ ràng Song phơng pháp này đã trở thành bài học góp phần mang lại hiệu quả hơn
Tuy rằng các phơng pháp cha đợc toàn diện nhng đối với một số dạng thông thờng trên đây đã có tác dụng thực sự nâng cao chất lợng cho việc chứng minh các bất đẳng thức /…
Tác giả
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập - tự do - hạnh phúc
Trang 8Sáng kiến kinh nghiệm
Sử dụng bất đẳng thức trong dạy học
Ngời thực hiện : Phạm Thanh Dơng
Đơn vị công tác : Trờng THCS Hoà Hải
Năm học 2010 - 2011