Lược đồ sai phân khác thường giải một số phương trình vi phân

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp hạn chế của các lược đồsai phân bình thường là không bảo toàn được các tính chất của nghiệm củaphương trình vi phân tương ứng.. Hiện tượng nghiệm của ph

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới GS TS Đặng Quang Á, người đã dành nhiều thời gian, côngsức để hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện luậnvăn

Em xin phép được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy cô giáo,các anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung và khoa Toán

- Cơ - Tin học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ emtrong thời gian em học tập, nghiên cứu tại trường

Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các anh chị và các bạn trong chuyênnghành Toán ứng dụng vì những động viên và những ý kiến trao đổi quí báuđối với bản thân em trong thời gian qua

Lời cảm ơn sâu sắc và đặc biệt nhất xin được gửi đến gia đình và nhữngngười thân vì những điều tốt đẹp nhất dành cho tôi trong cuộc sống, tronghọc tập và nghiên cứu khoa học

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian có hạn và năng lực củabản thân còn nhiều hạn chế, vì thế, bản luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Vì vậy, em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn

Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2015

Học viênHoàng Mạnh Tuấn

1 Lược đồ sai phân khác thường 8

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 8

1.2 Rời rạc hóa phương trình phân rã tuyến tính 17

1.3 Rời rạc hóa hệ động lực học 23

1.4 Lược đồ sai phân chính xác 33

1.5 Lược đồ sai phân khác thường 40

2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân 44 2.1 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường dựa trên rời rạc hóa không địa phương 44

2.1.1 Mở đầu 45

2.1.2 Các lược đồ bảo toàn các tính chất đơn điệu 46

2.1.3 Xây dựng một vài lược đồ sai phân khác thường 49

2.1.4 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai 53

2.2 Lược đồ sai phân khác thường cho phương trình vi phân có ba điểm bất động 57

2.2.1 Đặt bài toán 57

2.2.2 Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường 60

2.3 Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường bằng cách tái chuẩn hóa mẫu số 64

2.3.1 Kết quả chính 64

2.3.2 Một số ứng dụng 69

3 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân 72 3.1 Lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tính chất ổn định cho hệ động lực học nhiều chiều 72

3.1.1 Các kết quả chính 73

3.1.2 Thử nghiệm số trong trường hợp hai chiều 75

3.1.3 Thử nghiệm số trong trường hợp ba chiều 82

3.2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai 90

3.2.1 Xây dựng hệ điều kiện cho lược đồ chính xác cấp hai 90 3.2.2 Lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai cho hệ Lotka - Voltera 92

3.2.3 Các thử nghiệm số 101

đúng phương trình vi phân.

Một trong những kỹ thuật truyền thống được sử dụng rộng rãi trong việcgiải gần đúng phương trình vi phân, đặc biệt là các phương trình vi phân đạohàm riêng là sử dụng các lược đồ sai phân bình thường (Standard DifferenceScheme) Các lược đồ sai phân bình thường được xây dựng dựa trên việc rờirạc hóa các đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân bằng các côngthức sai phân Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp hạn chế của các lược đồsai phân bình thường là không bảo toàn được các tính chất của nghiệm củaphương trình vi phân tương ứng Hiện tượng nghiệm của phương trình saiphân (thu được từ các lược đồ sai phân) không phản ánh chính xác, haychính xác hơn là không bảo toàn được các tính chất của nghiệm của phươngtrình vi phân tương ứng được gọi chung là hiện tượng không ổn định số(Numerical Instabilities, xem [13, 16])

Chẳng hạn, ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số

x0(t) = −y(t), x(0) = r,

y0(t) = x(t), y(0) = 0

Trong trường hợp này, ta dễ dàng chỉ ra rằng nghiệm của hệ có tính chất

x2(t) + y2(t) = r2, ∀t,

dụng các lược đồ sai phân bình thường như các lược đồ thu được từ phương

pháp Euler hiển, Euler ẩn, hình thang ẩn thì chúng ta thấy rằng: Phươngpháp Euler hiển cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc ra, phương phápEuler ẩn cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc vào Chỉ có phương pháphình thang bảo toàn tính chất bất biến của bài toán Đây là một ví dụ đơngiản cho hiện tượng bất ổn định số Các phân tích cũng cho thấy rằng, hiệntượng không ổn định số cũng xảy ra khi ta sử dụng các kỹ thuật tinh vi hơn

để xây dựng các lược đồ sai phân bình thường, chẳng hạn sử dụng phươngpháp Taylor hoặc phương pháp Runge - Kutta

Nhìn chung, các lược đồ sai phân bình thường chỉ bảo toàn được các tính

lược đồ sai phân bình thường không có lợi thế khi giải các phương trình viphân trên đoạn tìm nghiệm lớn, chẳng hạn như đối với các hệ động lực học,

Các phân tích cũng chỉ ra rằng, hiện tượng không ổn định số xảy ra khiphương trình sai phân (rời rạc) không bảo toàn được các tính chất ổn địnhtuyến tính cho các điểm bất động hay còn gọi là nghiệm hằng hoặc điểm cânbằng của phương trình vi phân (liên tục) Chẳng hạn, phương trình sai phân

và phương trình vi phân không có cùng tập hợp điểm bất động Các phươngpháp Runge - Kutta hoặc phương pháp Taylor thường sinh ra thêm các điểmbất động giả (phụ thuộc vào bước lưới) Trong trường hợp phương trình saiphân và phương trình vi phân có cùng tập hợp điểm bất động thì xảy ra

sai phân tương ứng

Tổng quát hơn, hiện tượng bất ổn định số xảy ra khi nghiệm của phươngtrình sai phân không thỏa mãn các điều kiện mà nghiệm của phương trình

vi phân thỏa mãn Các tính chất chúng ta quan tâm ở đây là tính chất đơnđiệu, tính bị chặn, tính dương, tính tuần hoàn và các tính chất bất biến Nóichung, khi sử dụng cỡ bước lớn thì các lược đồ sai phân bình thường khôngbảo toàn được các tính chất này Trong các phần trình bày của luận văn,

1 Các đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân nên được rời rạc hóabằng công thức phức tạp hơn các công thức rời rạc hóa thông thường,chẳng hạn, như công thức sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trungtâm

2 Các số hạng phi tuyến xuất hiện trong vế phải của phương trình vi phânnên được rời rạc hóa không địa phương, tức là rời rạc hóa hàm số dựatrên giá trị của hàm tại một số điểm trên lưới rời rạc thay vì rời rạc hóađịa phương trong các lược đồ sai phân bình thường

Đây là sự khác biệt lớn nhất giữa các lược đồ sai phân bình thường và cáclược đồ sai phân khác thường

Ưu thế của các lược đồ khác thường so với lược đồ bình thường là bảo

điểm của các lược đồ khác thường là khó có thể đưa ra các lược đồ có cấpchính xác cao như các lược đồ bình thường và thời gian thực hiện tính toán

có thể lâu hơn vì đạo hàm và hàm vế phải được rời rạc hóa phức tạp hơn

Vì thế, việc sử dụng các lược đồ khác thường có lợi thế khi chúng ta giải cácbài toán trên đoạn tìm nghiệm lớn và cần bảo toàn chính xác các tính chấtnghiệm của bài toán

Hiện nay, các lược đồ sai phân khác thường được các nhà toán học xâydựng và sử dụng rộng rãi cho cả phương trình vi phân đạo hàm riêng cũngnhư phương trình đạo hàm thường và các bài toán biên Tuy nhiên, trongkhuôn khổ của luận văn, chúng ta chủ yếu tập trung vào việc xây dựng cáclược đồ sai phân khác thường cho bài toán giá trị ban đầu đối với phươngtrình vi phân thường Nội dung chính của luận văn hệ thống lại các kết quả

tiêu biểu của các tác giả nước ngoài trong vòng20 năm trở lại đây Cấu trúccủa luận văn bao gồm ba chương.

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về phươngtrình vi phân và phương pháp số giải phương trình vi phân Trên cơ sởkết hợp việc phân tích hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụngcác lược đồ sai phân bình thường và việc xây dựng các lược đồ sai phânchính xác (exact scheme) chúng ta đưa ra các quy tắc tổng quát để xâydựng các lược đồ sai phân khác thường

phân

Chương này đề cập việc xây dựng các lược đồ sai phân giải một sốphương trình vi phân trong trường hợp một chiều Các lược đồ đượcxây dựng dựa trên cả hai cách rời rạc hóa không địa phương và lựa chọncách rời rạc hóa đạo hàm phù hợp

vi phân

Chương cuối này, dành cho việc xây dựng các lược đồ sai phân khácthường bảo toàn các tính chất của hệ động lực học Các mô hình đượcxét đến là mô hình thú - mồi (predator - prey system), mô hình Vắc -Xin (Vaccination model) và hệ Lotka - Volterra Trong các phần trìnhbày đều có các thử nghiệm số đi kèm để minh họa cho tính hiệu quảcủa các lược đồ được xây dựng

Mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện có hạn

và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên trong luận văn chắc chắn khôngthể tránh khỏi những hạn chế và sai sót Em rất mong nhận được những góp

ý và sự chỉ bảo của các thầy cô Em xin chân thành cảm ơn!

Trong phần trình bày của luận văn, ta chủ yếu nghiên cứu việc giải gầnđúng bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân cấp một, hay còngọi là bài toán Cauchy

(1.1)

(au-tonomous) Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết một phương trình

là dừng Vì nếu phương trình không ở dạng dừng thì ta đưa thêm biến phụ

dưới dạng

ˆ

y0 = ˆf (ˆy), f (ˆˆy) = f (y), 1
T (1.2)Các kết quả liên quan đến bài toán giá trị ban đầu (1.1) như sự tồn tại

và duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu ban đầu được trình bày trong hầu hết các giáo trình về phương trình vi phân (xem[3, 9, 10]) nên chúng ta không trình bày lại ở đây Từ giờ cho tới hết phần

trình bày của luận văn, chúng ta luôn giả thiết rằng nghiệm của bài toán

điểm cân bằng (equilibrium point) hoặc nghiệm hằng (constant solution) của

||y(t, y0) − y|| → 0 khi t → ∞ với mọi ||y0 − y|| đủ nhỏ

mãn

stable)

J ≡ J f (¯y)

không hyperbolic (non - hyperbolic)

(t) = y(t) − y là thay đổi (nhiễu) của nghiệm y(t) xung quanh điểm bất

điểm ổn định hyperbolic y¯.

Chứng minh Xem [30]

là điểm ổn định tuyến tính (linearly stable) Điều này tương đương sự kiện

Ví dụ 1.1 Xét hệ động lực xác định bởi phương trình Logistic

y0 = λy(1 − y), y(0) = y0 (1.4)Phương trình này có nghiệm chính xác

1 y = 0¯ là ổn định tiệm cận nếu λ < 0 và không ổn định nếu λ > 0.

2 y = 1ˆ là không ổn định nếu λ < 0 và ổn định tiệm cận nếu λ > 0

3 λ = 0 thì mọi hằng số đều là ổn định nhưng không ổn định hyperbolic

trưởng không bị chặn trong thời gian hữu hạn Tức là, các nghiệm bùng nổ(blow - up solution) Thời gian bùng nổ là

Tiếp theo, ta trình bày lại một số khái niệm và kết quả liên quan tới cácphương pháp số giải phương trình vi phân Chúng ta xét bài toán giá trị banđầu (1.1)







y0 = f (t, y), 0 ≤ t ≤ T,y(0) = y0, y, f ∈ Rn,

bài toán là tồn tại duy nhất và lời giải có đạo hàm bị chặn tới cấp cần thiết

trục thời gian)

π = {0 = t0 < t1 < t2 < < tN = T },

Hình 1.4: λ > 0, y(0) < 0

Ta xét lược đồ số một bước ở dạng

Dh(yk) = Fh(f ; yk), (1.8)

rời rạc hóa hàm vế phải Tương tự như đối với phương trình vi phân, ta cókết quả phát biểu cho phương trình sai phân (1.8)

triển Taylor)

Chứng minh Xem [30]

lấy làm định nghĩa điểm bất động ổn định tuyến tính cho phương trình saiphân

Các phương pháp sai phân bình thường chủ yếu được xây dựng dựa trênviệc rời rạc hóa đạo hàm bằng các công thức sai phân hữu hạn Chẳng hạn,công thức sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trung tâm

yn+1 = yn+ hf (tn+1, yn+1) (1.11)Công thức hình thang ẩn

yn+1 = yn + hn

2



f (tn, yn) + f (tn+1, yn+1) (1.12)

Chúng ta đã biết rằng các phương pháp trên đều là tương thích, hội tụ

cục |y(tn) − yn| cũng hội tụ về 0 Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ quan tâm đến

sự tương thích, tính hội tụ của phương pháp thôi thì chưa đủ Trong nhiềutrường hợp, các phương pháp cần bảo toàn được các tính chất của bài toán.Chẳng hạn, tính dương, tính bị chặn, tính đơn điệu, tính tuần hoàn, tínhchất ổn định của các điểm bất động, các tính chất bất biến trong các phươngtrình mô tả các hiện tượng Vật lý, Sinh học Để minh họa cho điều này,chúng ta xét ví dụ đơn giản sau đây

O(0, 0), bán kính r > 0 xác định bởi

x2 + y2 = r2

Tham số hóa của phương trình đường tròn trong tọa độ cực có dạng

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, ϕ ∈ [0, 2π]

điểm (x, y) trên đường tròn Tuy nhiên, cách tính toán này là tốn kém Hơn

định gần đúng Một cách đơn giản hơn ta có thể làm như sau:

bài toán giá trị ban đầu

ta sử dụng các phương pháp giải gần đúng bài toán trên lưới π = {0 = ϕ1 <

ϕ2 < < ϕN = 2π} Khi đó dãy {xk, yk}k=N

điểm trên đường tròn Ta chia bước lưới đủ mịn để thu được lời giải có độchính xác cần thiết Ta lần lượt sử dụng các phương pháp Euler hiển, Euler

ẩn và hình thang ẩn để giải bài toán Ta thấy rằng

1 Nghiệm số thu được từ phương pháp Euler hiển có dạng hình xoắn ốc ra

2 Nghiệm số thu được từ phương pháp Euler ẩn có dạng hình xoắn ốc vào

3 Nghiệm số thu được từ phương pháp hình thang có dạng hình tròn.a) Phương pháp Euler hiển

Áp dụng phương pháp Euler hiển giải bài toán, ta thu được

dàng đưa công thức xác định nghiệm số từ dạng ẩn về dạng hiển Điều này

phương pháp Runge - Kutta nhưng chỉ lặp đúng một lần Cụ thể, ta có

Như vậy, lời giải thu được từ phương pháp hình thang ẩn có dạng hình tròn.

O(hpn) với p = 1, 2 Ta có thể thu được sai số nhỏ tùy ý bằng cách chia bước

không bảo toàn được tính chất của bài toán Tính chất bất biến ở đây là tínhchất bảo toàn khoảng cách tới gốc tọa độ Chỉ có phương pháp hình thang làbảo toàn được tính chất bất biến của bài toán

Nhìn chung, trong nhiều trường hợp lược đồ sai phân bình thường khôngbảo toàn được các tính chất nghiệm của phương trình vi phân Hiện tượngnày được gọi chung là hiện tượng không ổn định số (Numerical Instabilities)

Trong mục tiếp theo, chúng ta sẽ phân tích rõ hơn hiện tượng không ổn định

số trong tính toán

Mô hình rời rạc hóa cho phương trình vi phân được gọi là xảy ra hiệntượng không ổn định số nếu tồn tại những nghiệm của phương trình sai phân(thu được từ mô hình rời rạc hóa) không tương ứng với bất kỳ nghiệm nàocủa phương trình vi phân Hiện tượng không ổn định số cho thấy nghiệm củaphương trình rời rạc không bảo toàn được các tính chất nghiệm của phươngtrình vi phân mà ta quan tâm.Để minh họa cho hiện tượng không ổn định

số Ta xét phương trình phân rã tuyến tính và phương trình Logistic trongphần sau đây

Để minh họa cho hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng cáclược đồ sai phân bình thường, ta xét phương trình phân rã tuyến tính (decayequation) xác định bởi

dy

dt = −λy, y(0) = y0, λ > 0, (1.13)

y(t) = y0e−λt, t ≥ 0

Mọi nghiệm của phương trình (1.13) (ứng với các điều kiện ban đầu khác

phương trình (1.13) trong một vài trường hợp cụ thể

Sử dụng công thức Euler hiển rời rạc hóa (1.13), ta thu được phương trìnhsai phân

yk+1 − yk

(1.14) dưới dạng

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.2

0.4

Hình 1.5: Nghiệm của phương trình (1.13) trong một vài trường hợp

yk+1 = (1 − hλ)yk, hλ = λh (1.15)Phương trình (1.15) là phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ

số hằng số Ta dễ dàng tìm được nghiệm của (1.15)

yk+1 = y0(1 − hλ)k (1.16)

chỉ khi 0 < hλ < 1 Trong các trường hợp khác nó không phải điểm bất động

ổn định tuyến tính nên dáng điệu của nghiệm rời rạc khác với dáng điệu củanghiệm chính xác

Như vậy, trong trường hợp này, hiện tượng bất ổn định số xảy ra do lược

đồ sai phân không bảo toàn được tính chất ổn định cho điểm bất động củaphương trình vi phân Nhìn chung, đây cũng là nhược điểm chung của cáclược đồ sai phân bình thường Việc không bảo toàn tính chất điểm bất độngcủa phương trình vi phân thường xảy ra trong hai khả năng sau

1 Phương trình sai phân (tương ứng với lược đồ sai phân) và phương trình

vi phân không có cùng tập hợp điểm bất động (phương pháp Runge Kutta và phương pháp Taylor thường sinh ra thêm các điểm bất độnggiả (phụ thuộc vào bước lưới)

trình sai phân và ngược lại

Hiện tượng bất ổn định số cũng xảy ra ngay cả khi chúng ta sử dụng những

kỹ thuật tinh vi hơn để xây dựng lược đồ sai phân bình thường Chẳng hạn,phương pháp Taylor cấp cao

Ta xét bài toán giá trị ban đầu

dy

dt = f (y, t), y(0) = y0. (1.17)

Sử dụng khai triển Taylor, ta có

yk+1 ≈ y(tk+1) = y(tk+ h) = y(tk) + hdy

2d2y + O(h3) (1.18)

Để có (1.18) ta cần giả thiết rằng nghiệm chính xác y(t) có đạo hàm cấp 3

tồn tại và bị chặn Từ (1.18) ta thu được

¯

y(1) = ¯y(2) = 0, y¯(3) = 1

nhỏ thì lời giải số không bảo toàn được tính chất của lời giải chính xác

phương trình sai phân thu được từ phương pháp Taylor (1.21) còn có thêmhai điểm bất động (giả) là



Hình 1.13: Pp hình thang, h ≈ 1.4

Chúng ta xét phương trình Logistic

y0 = λy(1 − y), y(0) = y0 (1.23)

chính xác của (1.23) xác định bởi

y(t) = y0

y0 + (1 − y0)e−t. (1.24)

Ta thấy rằng,

t∗ = ln1+|y0 |

Hình 1.15: Lời giải với y(0) < 0

Ta rời rạc hóa (1.23) bằng các công thức sai phân khác nhau Đầu tiên,

sử dụng công thức sai phân trung tâm, ta thu được

yk+1 − yk−1

Phương trình (1.25) là phương trình sai phân cấp hai Vì vậy, để các định

bước Chẳng hạn, phương pháp Runge - Kutta Cụ thể, ta sẽ sử dụng công

thức sai phân trung tâm Ta có

y1 = y0 + hy0(1 − y0) (1.26)Nghiệm của phương trình sai phân (1.25) trong một vài trường hợp cụ

Hình 1.16: Nghiệm số thu được từ công thức sai phân trung tâm

Trong trường hợp này, nghiệm số thu được từ phương trình sai phân trungtâm hoàn toàn không chính xác Để giải thích cho kết quả này, ta sẽ phântích tính ổn định tuyến tính của hai điểm bất động của (1.25) Ta chú ý rằng,(1.25) có hai nghiệm hằng (điểm bất động) là

định tuyến tính của phương trình sai phân (1.25) Trong khi, đối với phương

còn y(t) = 1 là điểm bất động ổn định tuyến tính

yk = y(0) + k, |k| ≤ 1 (1.28)Phương trình tuyến tính hóa tương ứng là

k+1− k−1

Phương trình sai phân cấp hai (1.29) có nghiệm

k = A(r+)k + B(r−)k, (1.30)

về 0 khi k → ∞ Do đó, y¯(0) = 0 không phải điểm bất động ổn định tuyếntính

Một cách tương tự, ta xem xét sự thay đổi của nghiệm xung quanh điểm

Tóm lại, từ ví dụ này chúng ta thấy rằng: Phương trình sai phân thu được

từ công thức sai phân trung tâm cũng có hai điểm bất động tương tự nhưphương trình vi phân Tuy nhiên, phương trình vi phân có một điểm ổn địnhtuyến tính, một điểm ổn định không tuyến tính nhưng cả hai điểm bất độngcủa phương trình sai phân đều không ổn định tuyến tính Đây cũng chính lànguyên nhân gây ra hiện tượng không ổn định số

Kết luận chính của chúng ta qua ví dụ này là: Việc sử dụng công thức saiphân trung tâm chính xác cấp hai để rời rạc hóa đạo hàm cấp một dẫn tới

phương trình sai phân cấp hai có hệ nghiệm cơ bản gồm hai hàm r−(h) và

gồm một hàm Vì vậy, không nên sử dụng các công thức rời rạc hóa đạo hàm

có cấp chính xác cao hơn cấp của đạo hàm xuất hiện trong phương trình viphân Đây cũng chính là một trong những quy tắc quan trọng trong việc xâydựng các lược đồ sai phân khác thường

Bây giờ chúng ta xem xét kiểu rời rạc hóa sau đây cho phương trìnhLogistic

yk+1 − yk−12h = yk−1(1 − yk+1). (1.35)

khi, ở (1.35) nó lại được rời rạc hóa không địa phương trên lưới thông qua

được trong trường hợp này có tính chất tương tự như nghiệm chính xác,ngoại trừ dao động nhỏ xảy ra ở thời điểm đầu tiên

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0.5

Ví dụ cuối cùng trong mục này cũng cho chúng ta các kết luận tương tự

Cụ thể, chúng ta rời rạc hóa phương trình Logistic bằng công thức Eulerhiển (chính xác cấp một)

yk+1 − yk

1 0 < h < 1: y(1) ổn định tuyến tính, nhiễu giảm theo cấp số nhân

2 1 < h < 2: y(1) ổn định tuyến tính, tuy nhiên, nhiễu dao động với biên

độ giảm theo cấp số nhân

3 h > 2: y(1) không ổn định tuyến tính, nhiễu dao động với biên độ tăngtheo cấp số nhân

Như vậy, chúng ta có thể kết luận rằng, lược đồ Euler hiển bảo toàn tính

không xảy ra hiện tượng không ổn định số Nghiệm số thu được được biểu

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0.5

Phương trình (1.42) là phương trình sai phân phi tuyến cấp một Ta có thể

từ phương trình sai phân có tính chất tương tự như nghiệm chính xác củaphương trình vi phân Điều đó có nghĩa là rời rạc hóa không địa phươngkhông xảy ra hiện tượng không ổn định số với mọi cỡ bước Nghiệm số thu

Tóm lại, trong mục này chúng ta có các kết luận chính sau:

1 Không nên sử dụng các công thức rời rạc hóa đạo hàm có cấp chính xáccao hơn cấp của đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân

2 Hàm vế phải nên được rời rạc hóa không địa phương trên lưới

Đây là các quy tắc quan trọng trong việc xây dựng các lược đồ sai phân khácthường Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ đưa ra khái niệm lược đồ sai phânchính xác và xây dựng các lược đồ sai phân chính xác cho một số phươngtrình vi phân cụ thể Từ đó đưa ra các quy tắc tổng quát để xây dựng lược

đồ sai phân khác thường

0 5 10 15 20 25 0.5

1.4 Lược đồ sai phân chính xác

Chúng ta xét phương trình vi phân cấp một vô hướng

dy

dt = f (y, t, λ), y(t0) = y0, (1.44)

hiệu nghiệm duy nhất của (1.44) là

y(t) = φ(λ, y0, t0, t), (1.45)

φ(λ, y0, t0, t0) = y0 (1.46)Nghiệm rời rạc của phương trình (1.44) có thể được viết dưới dạng

yk+1 = g(λ, h, yk, tk), (1.47)

(1.47) có thể viết dưới dạng

yk+1 = ψ(λ, h, y0, t0, tk), (1.48)trong đó

ψ(λ, h, y0, t0, t0) = u0 (1.49)Định nghĩa 1.4 Phương trình (1.44) và phương trình (1.47) được gọi là cónghiệm tổng quát tương đương nếu

yk = y(tk), ∀h > 0 (1.50)Định nghĩa 1.5 Lược đồ sai phân được gọi là lược đồ sai phân chính xácnếu phương trình sai phân có nghiệm tổng quát tương đương với nghiệm củaphương trình vi phân tương ứng, tức là

yk = y(tk), ∀h > 0

luôn tồn tại lược đồ sai phân chính xác được xác định bởi

yk+1 = φ(λ, yk, tk, tk+1), (1.51)

Kết quả sau đây thường được sử dụng để xây dựng các lược đồ sai phânchính xác cho hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

D =

Nếu

n

y(i)(t), i = 1, 2, , N

o

là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình

vi phân tuyến tính thì lược đồ sai phân chính xác hoàn toàn được xác định

Từ các Định lý 1.3 - 1.4 ta thấy, nếu biết được lời giải chính xác củaphương trình vi phân thì lược đồ sai phân chính xác hoàn toàn được xácđịnh Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, ta không thể tìm được nghiệm

về sự tồn tại của lược đồ sai phân chính xác Các định lý này không đưa rađược cách xây dựng lược đồ sai phân chính xác trong trường hợp tổng quát.Tuy nhiên, dựa trên cách xây dựng các lược đồ sai phân chính xác chomột số phương trình vi phân (biết được lời giải chính xác), chúng ta có thểđưa ra các quy tắc tổng quát để xây dựng lược đồ sai phân khác thường

Ví dụ 1.3 Xét phương trình phân rã tuyến tính (1.13)

yk e−λtk

yk+1 e−λtk+1

... địa phương lưới

Đây quy tắc quan trọng vi? ??c xây dựng lược đồ sai phân khácthường Trong phần tiếp theo, đưa khái niệm lược đồ sai phânchính xác xây dựng lược đồ sai phân xác cho số phươngtrình... dựng lược đồ sai phân xác trường hợp tổng quát.Tuy nhiên, dựa cách xây dựng lược đồ sai phân xác chomột số phương trình vi phân (biết lời giải xác), có thểđưa quy tắc tổng quát để xây dựng lược đồ. .. data-page="33">

Phương trình (1.42) phương trình sai phân phi tuyến cấp Ta có thể

từ phương trình sai phân có tính chất tương tự nghiệm xác củaphương trình vi phân Điều có nghĩa rời rạc hóa không địa phươngkhông