Bài tập Tổ Hợp 11

 Dạng 1C Tính số số tự nhiên với các chữ số chẵn, lẻ  Bài tập mẫu Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó có đúng hai chữ số lẻ.. Từ chúng viết được bao nhiêu số t

Chuyên đề đại số - tổ hợp

 Dạng 1 Một số bài toỏn về tạo số

Nội dung

 Dạng 1: Một số bài toỏn về tạo số

• Dạng 1A Tớnh số số tự nhiờn với chữ số định trước

• Dạng 1B Tớnh số số tự nhiờn chẵn

• Dạng 1C Tớnh số số tự nhiờn với cỏc chữ số chẵn, lẻ

 Dạng 1A Tớnh số số tự nhiờn với chữ số định trước

 Bài tập mẫu

 Bài 1. Cho tập hợp cỏc chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Từ chỳng viết được bao nhiờu số tự nhiờn gồm 6 chữ số khỏc nhau mà trong đú cú cỏc chữ số 1, 2, 3

Giải

Gọi số tạo thành là a a a a1 2 3 6 Xột cỏc trường hợp:

TH1 Trong số tạo thành cú chữ số 0 Lần lượt ta cú:

5 cỏch chọn vị trớ cho c/s 0; khi đó chọn vị trớ cho 0, số cỏch chọn 3 trong 5 vị trớ cũn lại cho 1,

2, 3 là A35 ; sau đú số cỏch chọn hai trong bốn c/s cũn lại cho hai vị trớ cũn lại là A24

Theo quy tắc nhõn, ta được số số là 5.A A35 24 = 3600

TH2 Trong số tạo thành khụng cú chữ số 0 Lần lượt ta cú:

Số cỏch chọn 3 trong 6 vị trớ cho 1, 2, 3 là A36 ; sau đú số cỏch chọn ba trong bốn c/s cũn lại (4, 5, 6, 7) cho ba vị trớ cũn lại là A34

Theo quy tắc nhõn, ta được số số là A A36 34 = 2880

Theo quy tắc cộng, ta được số số phải tỡm là: 3600 + 2880 = 6480

Đỏp số: 6480 số

 Lưu ý

Khi giải cỏc bài toỏn tạo số trong nhiều bài toỏn, ta cú thể chia thành hai trường hợp : TH1: Tớnh số số tạo thành mà trong đú cú chữ số 0

TH2: Tớnh số số tạo thành mà trong đú khụng cú chữ số 0

Theo quy tắc cộng, ta được số số phải tỡm

 Bài tập tương tự - Bài tập 1

Cú bao nhiờu số tự nhiờn gồm 5 chữ số khỏc nhau mà trong đú cú chữ số 1 đứng phớa trước chữ số 2

Giải

Gọi số tạo thành là a a a1 2 5 Xột cỏc trường hợp:

TH1 Trong số tạo thành cú chữ số 0 Lần lượt ta cú:

4 cỏch chọn vị trớ cho c/s 0; khi đó chọn vị trớ cho 0, số cỏch chọn 2 trong 4 vị trớ cũn lại cho 1,

2 với 1 đứng phớa trước 2 là C24 ; sau đú số cỏch chọn hai trong bảy c/s cũn lại cho hai vị trớ cũn lại là A27

Theo quy tắc nhõn, ta được số số là 4.C A24 27 = 1008

TH2 Trong số tạo thành không có chữ số 0 Lần lượt ta có:

Số cách chọn 2 trong 5 vị trí cho 1, 2 với 1 đứng phía trước 2 là C25 ; sau đó số cách chọn ba trong bảy c/s còn lại (3,4,…9) cho ba vị trí còn lại là A37

Theo quy tắc nhân, ta được số số là C A52 37 = 2100

Theo quy tắc cộng, ta được số số phải tìm là 1008 + 2100 = 3108

Đáp số: 3108 số

 Bài tập tương tự (tt) - Bài tập 2

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà trong đó các chữ số 1 và 2 không cạnh nhau

Giải

Gọi số tạo thành là a a a1 2 6

Trước hết ta tính số số tạo thành một cách bất kỳ

Lần lượt ta có:

9 cách chọn cho c/s a1; sau đó số cách chọn năm trong chín c/s còn lại khác a1 cho năm vị trí còn lại là A59

Ta được số số là 9.A59= 136080

Bây giờ ta tính số số có 1, 2 cạnh nhau Giả sử 1 đứng trước 2

TH1 : số cách chọn bốn trong tám c/s còn lại cho các vị trí còn lại là A84= 1680

.TH2.a a1 2 ≠12 : Lần lượt ta có

7 cách chọn cho c/s a1 (a1 khác 0, 1, 2); sau đó có bốn cách chọn vị trí cho 12; tiếp theo số cách chọn ba trong bảy c/s còn lại cho ba vị trí còn lại (khác a1, và 1, 2) là 3

7

A

Ta được số số là 7.4.A37= 5880

Theo quy tắc cộng, ta được số số mà trong đó có 12 là

1680 + 5880 = 7560

Cũng tương tự, ta có 7560 số mà trong đó có 21

Vậy số số thoả mãn bài toán là 136080 – 2.7560 = 120960

Đáp số: 120960 số

 Dạng 1B Tính số số tự nhiên chẵn

 Bài tập mẫu

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau

Giải

Gọi số tạo thành là a a a1 2 5

TH1 a5= 0 : số cách chọn bốn trong chín c/s khác a5 cho bốn vị trí còn lại là 4

9

A = 3024

TH2 a5¹ 0 : Lần lượt ta có

4 cách chọn c/s chẵn cho a5 ; sau đó số cách chọn c/s cho a1 là 8; tiếp theo số cách chọn ba trong tám c/s còn lại cho ba vị trí còn lại là A38

Theo quy tắc nhân, ta được số số là 4.8.A38= 10752

Theo quy tắc cộng, ta có số số phải tìm là 10752 + 3024 = 13776

Đáp số : 13776 số

1 2

a a =12

 Lưu ý

 Muốn tính số số tự nhiên chẵn thoả mãn một điều kiện nào đó, ta làm như sau

 TH 1 Tính số số tạo thành với chữ số tận cùng bằng 0

 TH 2 Tính số số tạo thành với chữ số tận cùng khác 0

 Theo quy tắc cộng, ta được số số phải tìm

 Bài tập tương tự

Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau mà trong đó có chữ số 2

Giải

Gọi số tạo thành là a a a1 2 4 , tập hợp đã cho có 7 chữ số

Trước hết ta tìm số số tạo thành một cách bất kỳ

TH1 a4 = 0: Số cách chọn ba trong sáu c/s còn lại khác a4 cho ba vị trí còn lại là 3

6

A = 120 TH2 a4 ≠ 0: Lần lượt ta có

3 cách chọn c/s chẵn cho a4 ; sau đó số cách chọn c/s cho a1 là 5; tiếp theo số cách chọn hai trong năm c/s còn lại cho hai vị trí còn lại là A25

Ta được số số là 3.5.A52= 300

Theo quy tắc cộng, ta được số số phải tìm là 120 + 300 = 420

Bây giờ ta tìm số số tạo thành không có c/s 2

TH1 a4 = 0: số cách chọn 3 trong 5 c/s còn lại cho 3 vị trí còn lại là 3

5

A = 60 TH2 a4 ≠ 0: Lần lượt ta có:

2 cách chọn c/s chẵn cho a4 ; sau đó số cách chọn c/s cho a1 là 4; tiếp theo số cách chọn hai trong bốn c/s còn lại cho hai vị trí còn lại là A24

Ta được số số là 2.4.A24 = 96

Theo quy tắc cộng, ta được số số chẵn mà không có chữ số 2 là

60 + 96 = 156

Số số phải tìm là 420 – 156 = 264

Đáp số : 264 số

 Dạng 1C Tính số số tự nhiên với các chữ số chẵn, lẻ

 Bài tập mẫu

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó có đúng hai chữ số lẻ

Giải

Số tạo thành có 5 vị trí, trong đó có 2 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn

TH1 trong số tạo thành có c/s 0 Lần lượt ta có:

Số cách chọn vị trí cho c/s 0 là 4; số cách chọn thêm hai trong bốn c/s chẵn là C24 ; số cách chọn hai trong năm c/s lẻ là C25 ; với hai c/s chẵn và 2 c/s lẻ chọn ra có 4! hoán vị cách xếp vào bốn vị trí còn lại của số tạo thành Ta được số số là

TH2 trong số tạo thành không có c/s 0 Lần lượt ta có:

Số cách chọn ba trong bốn c/s chẵn khác 0 là C34 ; số cách chọn hai trong năm c/s lẻ là C25 ; với 5 c/s chọn ra chọn ra có 5! hoán vị cách xếp vào 5 vị trí của số tạo thành Ta được số số là 3 2

4 5

C C 5! 4800=

Theo quy tắc cộng, ta được số số tạo thành là 5760 + 4800 = 10560

Đáp số: 10560 số

2 2

4 5

4.C C 4! 5760=

 Lưu ý

 Muốn tính số số tự nhiên với số chữ số chẵn, lẻ cho trước, ta làm như sau :

 TH 1 Tính số số với chữ số đứng đầu là số lẻ.

 TH 2 Tính số số với chữ số đứng đầu là số chẵn.

 Theo quy tắc cộng, ta được số số phải tìm

 Bài tập tương tự

Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm

5 chữ số khác nhau mà trong đó hai chữ số cạnh nhau khác tính chẵn lẻ

Giải

Gọi số tạo thành là a a a1 2 5 , tập hợp đã cho có 8 chữ số

Vì hai chữ số cạnh nhau khác tính chẵn lẻ nên có hai trường hợp sau:

TH1 Các chữ số thứ 1, 3, 5 lẻ và các chữ số thứ 2, 4 chẵn

Số cách chọn ba trong bốn chữ số lẻ cho các vị trí thứ 1, 3, 5 là A34

Sau đó số cách chọn hai trong bốn chữ số chẵn cho các vị trí thứ 2, 4 là A24

Theo quy tắc nhân, ta được số số là A A34 24 = 288

TH2 Các chữ số thứ 1, 3, 5 chẵn và các chữ số thứ 2, 4 lẻ:

Số cách chọn chữ số chẵn cho a1 là 3; sau đó số cách chọn hai trong

ba chữ số chẵn còn lại cho các vị trí thứ 3, 5 là A32

Tiếp theo, số cách chọn hai trong bốn chữ số lẻ cho các vị trí thứ 2, 4 là A24

Theo quy tắc nhân, ta được số số là 3.A A23 24 = 216

Theo quy tắc cộng, ta có số số phải tìm là 288 + 216 = 504

Đáp số: 504 số

 Dạng 2Một số bài toán về tạo số (tiếp theo)

Nội dung

 Dạng 2: Một số bài toán về tạo số.

 Dạng 2A Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại.

 Dạng 2B Tính tổng của các số tạo thành

 Dạng 2A Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại

 Bài tập mẫu

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có một chữ số có mặt hai lần và ba chữ số còn lại khác nhau và khác chữ số trên

Giải

Số tạo thành có 5 vị trí Nếu không phân biệt vài trò của chữ số 0, thì ta có 10 cách chọn chữ

số có mặt hai lần và có C25 cách chọn hai trong năm vị trí cho chữ số đó Sau đó số cách chọn

ba trong chín chữ số còn lại cho ba vị trí còn lại của số tạo thành là A39

Ta được số số là 10.C A25 39 = 50400

Vì vai trò của 10 chữ số thuộc tập hợp {0, 1, …., 9} là như nhau nên số số có chữ số đầu bằng

0 là 50400

5040

10 = .

Vậy số số thoả mãn bài toán là 50400 – 5040 = 45360.

Đáp số : 45360 số

 Lưu ý

• Lưu ý 1 Trong các bài toán tạo số, nếu trong đầu bài có vai trò các chữ số như

nhau thì ta có thể giải bài toán theo các bước :

- Tính số số tạo thành mà trong đó có cả chữ số 0 đứng đầu (giả sử kết quả

là S)

- Vì vai trò của các chữ số đã cho như nhau (giả sử cho trước k chữ số) nên

số số có chữ số 0 đứng đầu là S

k

- Do đó số số thoả mãn bài toán là S ( k 1 S )

S

=

• Lưu ý 2

- Số cách chọn k trong n vị trí cho k chữ số giống nhau là Ckn

- Số cách chọn k trong n chữ số cho k vị trí cho trước là Akn

 Bài tập tương tự - Bài tập 1

Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số mà trong đó có một chữ số có mặt ba lần, một chữ số khác có mặt hai lần và hai chữ số còn lại khác nhau và khác các chữ số trên

Giải

Số tạo thành có 7 vị trí và tập hợp các chữ số cho trước có 7 phần tử Nếu không phân biệt vài trò của chữ số 0, thì ta có 7 cách chọn chữ số có mặt ba lần và có C37 cách chọn ba trong bảy

vị trí cho chữ số đó Sau đó số cách chọn chữ số có mặt hai lần là 6 và số cách chọn hai trong bốn vị trí còn lại cho chữ số đó là C24 Tiếp theo số cách chọn hai trong năm chữ số khác với hai chữ số trên để viết vào hai vị trí còn lại của số tạo thành là A25 3 2 2

7.C 6.C A = 176400

Ta được số số là

Vì vai trò của 7 chữ số thuộc tập hợp {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} là như nhau nên số số có chữ số đầu bằng 0 là 176400

25200

Vậy số số thoả mãn bài toán là 176400 – 25200 = 151200

Đáp số: 151200 số

 Bài tập tương tự (tt) - Bài tập 2

Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5} Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ

số mà trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác 1

Giải

Số tạo thành có 5 vị trí và tập hợp các chữ số cho trước có 6 phần tử Xét các trường hợp: TH1 Trong số tạo thành có chữ số 0 Lần lượt, ta có:

Số cách chọn vị trí cho chữ số 0 là 4; sau đó số cách chọn hai trong bốn vị trí còn lại cho hai chữ số 1 là C24; tiếp theo số cách chọn hai trong bốn chữ số còn lại cho hai vị trí còn lại là A24

Ta được số số là 4.C A24 24 = 288

TH2 Trong số tạo thành không có chữ số 0 Lần lượt, ta có:

Số cách chọn hai trong năm vị trí cho hai chữ số 1 là C25 ; tiếp theo số cách chọn ba trong bốn chữ số còn lại cho ba vị trí còn lại là A34

Ta được số số là C A52 34= 240

Theo quy tắc cộng số số phải tìm là 288 + 240 = 528 Đáp số : 528 số

 Dạng 2B Tính tổng của các số tạo thành

 Bài tập mẫu

Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4} Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ

số khác nhau Tính tổng của tất cả các số đó

Giải

Tập hợp {0, 1, 2, 3, 4} có 5 chữ số và số tạo thành có 4 vị trí Nếu coi vai trò của 5 chữ số đã cho như nhau, thì mỗi số có bốn chữ số tạo thành là một chỉnh hợp chập bốn của năm chữ số trên Ta được số số là A54= 120

Trong 120 số đó, ở mỗi vị trí (vị trí hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số 0, 1, 2, 3, 4

có mặt 120

24

5 = lần

Như vậy có 24 số mà chữ số đầu bằng 0 Số số tạo thành thoả mãn bài toán là 120 – 24 = 96

Để tính tổng của tất cả 96 số trên, ta tính số lần có mặt của mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 ở từng vị trí

Ở vị trí hàng nghìn, mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 có mặt 24 lần

Ở vị trí hàng trăm, chữ số 0 có mặt 24 lần nên mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 có mặt 96 24

18 4

-= lần Cũng tương tự, ở các vị trí hàng chục, đơn vị, mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 có mặt 18 lần

Ta có tổng các chữ số: 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Vậy tổng của tất cả 96 số tạo thành là:

 Lưu ý

 Muốn tính tổng các số tạo thành theo một điều kiện nào đó, ta có thể làm như sau:

 Tính số số tạo thành thoả mãn bài toán

 Tính số lần có mặt của mỗi chữ số khác không ở mỗi hàng (hàng đơn vị, chục, trăm,…)

 Giả sử tổng các chữ số mà đầu bài đã cho là s và ở vị trí hàng trăm mỗi chữ số khác 0 xuất hiện k lần thì tổng các số theo hàng này là ks.100 Với các hàng khác làm tương tự

 Bài tập tương tự

Cho tập hợp các chữ số {1, 2, 3, ,4 ,5, 6} Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau Tính tổng của tất cả các số đó

Giải

Tập hợp {1, 2, 3, ,4 ,5, 6} có 6 chữ số và số tạo thành có 5 vị trí Mỗi số có năm chữ số tạo thành là một chỉnh hợp chập năm của sáu chữ số trên Ta được số số là A56= 720

Trong 720 số đó, ở mỗi vị trí (vị trí hàng chục nghìn, nghìn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số

1, 2, 3, 4, 5, 6 có mặt 720

120

6 = (lần)

Ta có tổng các chữ số: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Vậy tổng của tất cả 720 số tạo thành là: 120.21.11111 = 27999720

Cách tính tổng khác: ta chia 720 số tạo thành ra 360 cặp, mỗi cặp gồm hai số có tổng bằng

77777

Ta được tổng của 720 số là: 77777 x 360 = 27999720

Đáp số : Có 720 số và tổng của chúng bằng 27999720

+ =

24.10.1000 18.10.111 259980.

 Dạng 3 Một số bài toán về sắp thứ tự các phần tử của một tập hợp

Nội dung

 Dạng 3 Một số bài toán về sắp thứ tự các phần tử của một tập hợp

• Dạng 3A Sắp xếp các phần tử thành một dãy

• Dạng 3B Sắp xếp các phần tử thành một dãy có điều kiện

• Dạng 3C Sắp xếp các phần tử thành một vòng tròn

•

 Dạng 3A Sắp xếp các phần tử thành một dãy

 Bài tập mẫu

Bài 1 Có 3 viên bi trắng khác nhau, 4 bi xanh giống nhau và 5 bi đỏ giống nhau Có bao nhiêu cách xếp chúng thành một hàng ngang?

Giải

Cách 1 Có tất cả 12 viên bi, tương ứng với 12 vị trí theo một hàng ngang Số cách chọn 3

trong 12 vị trí cho 3 viên bi trắng khác nhau là A123 sau đó số cách chọn 4 trong 9 vị trí còn lại cho 4 viên bi xanh giống nhau là C49 khi đó năm vị trí còn lại của 5 viên bi đỏ

Theo quy tắc nhân, ta được số khả năng cần tìm là: A C123 94= 166320

Cách 2 Số cách chọn 4 trong 12 vị trí cho 4 viên bi xanh giống nhau

Là C124 sau đó số cách chọn 5 trong 8 vị trí còn lại cho 5 viên bi đỏ giống nhau là C58 tiếp theo số hoán vị của 3 viên bi trắng khác nhau vào 3 vị trí còn lại là P3 = 3!

Theo quy tắc nhân, số khả năng cần tìm là: C C 3! 166320124 58 =

Cách 3 Với 12 viên bi đã cho tạo thành 12! hoán vị để xếp thành hàng ngang Nhưng các

hoán vị 4 viên bi xanh giống nhau cho cùng một kết quả; các hoán vị 5 viên bi đỏ giống nhau cho cùng một kết quả nên số cách xếp phải tìm là 12!

166320 4!5! =

 Lưu ý

• Lưu ý 1

- Số cách chọn k trong n vị trí cho k phần tử giống nhau là Ckn

- Số cách chọn k trong n vị trí cho k phần tử khác nhau là k

n

A

• Lưu ý 2

- Giả sử cho n phần tử trong đó có n1 phần tử giống nhau thuộc tập hợp A1, n2 phần tử giông nhau thuộc tập hợp A2, … Số cách xếp n phần tử đó thành một hàng ngang là

1 2

n!

n !n !

 Bài tập tương tự

Có 2 viên bi trắng khác nhau, 3 bi xanh khác nhau 4 bi đỏ giống nhau và 5 bi vàng giống nhau Có bao nhiêu cách xếp chúng theo một hàng ngang?

Giải

Cách 1 Có tất cả 14 viên bi, tương ứng với 14 vị trí theo một hàng ngang Số cách chọn 2

trong 14 vị trí cho 2 viên bi trắng khác nhau là A142 sau đó số cách chọn 3 trong 12 vị trí còn lại cho 3 viên bi xanh khác nhau là A123 ; tiếp theo số cách chọn 4 trong 9 vị trí còn lại cho 4 viên bi đỏ giống nhau là C49 ; khi đó năm vị trí còn lại của 5 viên bi vàng

Theo quy tắc nhân, số khả năng cần tìm là: A A C142 123 94= 30270240

Cách 2 Cũng lý luận như cách 3 của bài trên, ta được kết quả là 12!

30270240 4!5! =

 Bài tập mẫu

Có 5 học sinh nam và 4 học sinh nữ Có bao nhiêu cách sắp số học trên thành một hàng ngang sao cho không có hai học sinh nữ nào cạnh nhau?

Giải

Giả sử đã xếp 5 học sinh nam thành một hàng ngang, khi đó vì 4 học sinh nữ không cạnh nhau nên họ được chọn 4 trong 6 vị trí xen kẽ với 5 học sinh nam (xem hình minh hoạ dưới đây) o o o o o

Số cách chọn 4 trong 6 vị trí cho học sinh nữ là A46 ; số hoán vị của 5 học sinh nam vào 5 vị trí định trước là 5!

Theo quy tắc nhân, ta được số cách xếp phải tìm là: A 5! 4320064 =

Đáp số: có 43200 cách xếp

 Lưu ý

Cho tập hợp A có n phần tử, tập hợp B có m phần tử Tính số cách sắp xếp các phần tử của A, B thành một hàng ngang sao cho không có hai phần tử nào của B cạnh nhau.

Cách giải

Giả sử n phần tử của A đã xếp thành một hàng ngang, khi đó các phần tử của B được chọn m trong (n+1) vị trí xen kẽ giữa các phần tử của A.

Nếu các PT của B giống nhau thì số cách chọn vị trí là

Nếu các PT của B khác nhau thì số cách chọn vị trí là

Nếu các PT của A khác nhau thì số cách xếp chúng vào n vị trí là n!

Theo quy tắc nhân, ta tính được kết quả của bài toán

 Bài tập tương tự

Có 3 viên bi trắng khác nhau, 4 bi xanh giống nhau và 5 bi đỏ giống nhau Có bao nhiêu cách xếp chúng thành một hàng ngang sao cho không có hai viên bi trắng nào cạnh nhau?

Giải

Giả sử đã xếp 4 bi xanh và 5 viên bi đỏ thành một hàng ngang, khi đó vì 3 viên bi trắng được chọn 3 trong 10 vị trí xen kẽ với 9 viên bi xanh, đỏ (xem hình minh hoạ dưới đây):

o o o o o o o o o

Số cách chọn 3 trong 10 vị trí cho 3 viên bi trắng khác nhau là A103 ; số cách đặt 4 bi xanh giống nhau vào 9 vị trí định trước là C49 ; 5 vị trí còn lại của 5 viên bi đỏ giống nhau

Theo quy tắc nhân, ta được số cách xếp phải tìm là A C103 49= 90720

Đáp số: có 90720 cách xếp

m

n 1

C (n+1 m)

m

n 1

A (n+1 m)

 Dạng 3C Sắp xếp các phần tử thành một vòng tròn

 Bài tập mẫu

Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ Có bao nhiêu cách sắp số học trên thành một vòng tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào cạnh nhau (hai cách xếp khác nhau nhưng có cùng một thứ tự của các phần tử được coi là một)?

Giải

Giả sử 5 học sinh nam đã xếp thành vòng tròn, khi đó 3 học sinh nữ được chọn 3 trong 5 vị trí xen kẽ giữa các học sinh nam, số cách chọn là A35 Mặt khác trong 5 học sinh nam ta có thể chọn trước một vị trí cho một người, số hoán vị của 4 nam còn lại vào 4 vị trí là 4!

Theo quy tắc nhân, ta được số cách xếp phải tìm là A 4! 144035 =

Cách 2 Giả sử ta đã chọn vị trí cho một học sinh nữ và năm học sinh nam đã xếp quanh vòng tròn Hai học sinh nữ còn lại được 2 trong 4 vị trí xen kẽ giữa các học sinh nam, số cách chọn

là A24

Mặt khác số hoán vị của 5 nam vào 5 vị trí là 5!

Theo quy tắc nhân, ta được số cách xếp phải tìm là A 5! 144024 =

 Lưu ý

• Khi xếp các phần tử xung quanh một vòng tròn, hai cách xếp khác nhau

nhưng có cùng một thứ tự của các phần tử được coi là một.

• Cách giải Ta có thể chọn vị trí cho một phần tử định trước nào đó, sau đó

tính số khả năng chọn vị trí cho các phần tử còn lại.

Hoặc có thể coi các phần tử đã cho được xếp thành một hàng ngang với một phần

tử chọn trước đứng ở đầu hàng

 Bài tập tương tự

Có 4 viên bi trắng khác nhau, 5 bi xanh giống nhau Có bao nhiêu cách xếp chúng thành một vòng tròn sao cho không có hai viên bi trắng nào cạnh nhau?

Giải

Giả sử ta đã chọn vị trí cho một viên bi trắng và 5 bi xanh đã được xếp quanh vòng tròn Ba bi trắng còn lại được chọn 3 trong 4 vị trí xen kẽ giữa các bi xanh, số cách chọn là A34 = 24

Ta được số cách xếp phải tìm là A34 = 24

Nội dung

 Dạng 4:

• Dạng 4A Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm

các phần tử giống nhau

• Dạng 4B Tính số nghiệm nguyên của phương trình

•

 Dạng 4A Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp

gồm các phần tử giống nhau

 Bài tập mẫu

Bài 1 Có bao nhiêu cách chia 50 đồ vật giống nhau cho ba người sao cho mỗi người đười được ít nhất một đồ vật

Giải

Giả sử ta đặt 50 đồ vật đã cho thành một hàng ngang, giữa chúng có 49 khoảng trống (xem hình minh hoạ)

o o o │ o o o o o o │ o o o o o

người 1 người 2 người 3

Nếu đặt hai vạch một cách bất kỳ vào hai trong số 49 khoảng trống đó, ta được một phép chia

50 đồ vật ra làm ba phần, mỗi phần có ít nhất một đồ vật Ba người lần lượt nhận số đồ vật trong ba phần tương ứng, ta được một cách chia thoả mãn bài toán

Vậy số cách chia là số cách đặt hai vạch vào hai trong 49 khoảng trống Ta được số cách chia

là C249 = 1176

Đáp số: 1176 cách chia

 Lưu ý

Nếu chia m đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật thì số cách chia là Cn 1m 1

(m n) ³ .

Bài tập tương tự - Bài tập 1

Có bao nhiêu cách chia 60 đồ vật giống nhau cho bốn người sao cho mỗi người được ít nhất 5

đồ vật

Giải

Ta đem chia trước cho mỗi người 4 đồ vật Số đồ vật còn lại là: 60 – 4.4 = 44

Bây giờ ta đem 44 đồ vật đó chia cho bốn người, mỗi người được ít nhất một đồ vật Khi đó cùng với 4 đồ vật đã nhận trước, mỗi người được ít nhất 5 đồ vật, thoả mãn bài toán

Giả sử ta đặt 44 đồ vật đó thành một hàng ngang, giữa chúng có 43 khoảng trống (xem hình minh hoạ)

o o o │ o o o o o o │ o o o o o │ o o o o

người 1 người 2 người 3 người 4

 Bài tập tương tự (tt) - Bài tập 1 (tt)

Nếu đặt ba vạch một cách bất kỳ vào ba trong số 43 khoảng trống này, ta được một phép chia

44 đồ vật ra làm bốn phần, mỗi phần có ít nhất một đồ vật Bốn người lần lượt nhận số đồ vật trong bốn phần tương ứng, ta được một cách chia thoả mãn bài toán

Vậy số cách chia là số cách đặt ba vạch vào ba trong 43 khoảng trống Ta được số cách chia là 3

43

C = 12341

Đáp số: 12341 cách chia

 Lưu ý:

• Tính số cách chia m đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất k đồ vật (m ≥ kn)

Cách giải

• Ta chia trước cho mỗi người k –1 đồ vật

• Số đồ vật còn lại là s = m – n(k – 1)

• Đem số đồ vật này chia cho n người sao cho mỗi người được ít nhất 1 đồ vật, thì

số cách chia là Cs 1n 1

Mỗi cách chia như vậy thoả mãn bài toán