các công thức về dao động tắt dần

* Khi lực cản môi trờng là không đổi, chu kì của dao động tắt dần bằng chu kì dao động riêng của hệ.. * Tần số gúc của dao động cưỡng bức bằng tần số gúc ω của ngoại lực.. * Biờn độ dao

Chuyên đề v Dao động tắt dần – dao động cỡng bức.

A Lý thuyết

1 Dao động tắt dần

* Dao động tắt dần là dao

động cú biờn độ giảm dần theo thời gian

* Nguyờn nhõn: Lực cản của

mụi trường tỏc dụng lờn vật làm giảm cơ

năng của vật Cơ năng giảm thỡ thế năng

cực đại giảm , do đú biờn độ A giảm dẫn

tới dao động tắt dần jDao động tắt dần

càng nhanh nếu mụi trường càng nhớt

* Khi lực cản môi trờng là

không đổi, chu kì của dao động tắt dần

bằng chu kì dao động riêng của hệ

2 Dao động duy trỡ

* Nếu ta cung cấp thờm năng lượng cho vật dao động cú ma sỏt để bự lại sự tiờu hao

năng lượng do ma sỏt mà khụng làm thay đổi chu kỡ riờng của nú thỡ dao động kộo dài mói mói

gọi là dao động duy trỡ.Tức là hệ dao động duy trỡ sẽ thực hiện dao động tự do

* Năng lượng mà ta cung cấp cho hệ được lấy từ một nguồn dự trữ

* Chu kỡ của dao động duy trỡ bằng chu kỡ dao động riờng của hệ

3 Dao động cưỡng bức

* Dao động cưỡng bức là dao động được duy trỡ dưới tỏc dụng của ngoại lực cưỡng

bức: f = F0cos(ωt + ϕ)

* Tần số gúc của dao động cưỡng bức bằng tần số gúc ω của ngoại lực

* Biờn độ dao động cưỡng bức tỉ lệ với biờn độ F0 của ngoại lực và phụ thuộc vào độ

chờnh lệnh giữa tần số f của ngoại lực và tần số riờng f0của hệ

* Nếu ∆ = − f f f0 lớn , tức là f ≠f0thỡ biện độ dao động nhỏ

* Nếu f =f0thỡ biờn độ dao động đạt cực đại ⇒ cộng hưởng dao động

* Cộng hưởng: Hiện tượng biờn độ A của dao động cưỡng bức tăng nhanh đến giỏ trị

cực đại khi tần số của ngoại lực cưỡng bức f bằng tần số riờng f0của hệ dao động tắt dần gọi là

hiện tượng cộng hưởng

0

f = f hay ω ω = 0 ⇒ A =Amax

* Ảnh hưởng của ma sỏt : Với cựng một ngoại lực tỏc dụng , nếu ma sỏt giảm thỡ giỏ trị

cực đại của biờn độ tăng và ngược lại

* Phõn biệt dao động cưỡng bức với dao động duy trỡ.

* Dao động cưỡng bức cú tần số dao động f bằng tần số dao động f của ngoại lực

* Trong dao động duy trỡ tần số của dao động f bằng tần số dao động riờng f0 của

hệ

B Bài tập

Dạng 1 Dao động tắt dần của con lắc lũ xo

* Thiết lập cỏc cụng thức tớnh toỏn

* Xột một con lắc lũ xo dao động tắt dần, cú biờn độ ban đầu là A0 Biờn độ của con

lắc giảm đều sau từng chu kỳ

* Gọi biờn độ sau một nửa chu kỳ đầu tiờn là A1

* Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta cú: 1 12 1 02

.

2 kA − 2 kA = − F s Trong đú F là lực cản tỏc dụng vào quả cầu con lắc khi con lắc dao động tắt dần và s là quóng

đường mà vật đi được sau một nửa chu kỳ đầu tiờn Ta cú s = A1 + A0

T

∆Α

x

t

O

* Khi đó 1 12 1 02 1 0 0 1 2

F

k

A k

∆ = (1)

* Gọi A2 là biên độ sau một nửa chu kỳ tiếp theo (hay là biên độ ở cuối chu kỳ đầu tiên)

F

k

A k

∆ = (2)

* Từ (1) và (2) ta có 0 2 4F

k

− =

* Vậy độ giảm biên độ dao động của con lắc sau một chu kì là: 0 2 4F

k

∆ = − =

* Độ giảm biên độ dao động của con lắc sau N chu kì là: 0 2 4

N

NF

k

− =

* Nếu sau N chu kì mà vật dừng lại thì A2N = 0 hay số chu kì vật dao động được là:

N = 0

4

kA

F .

* Do một chu kì vật đi qua VTCB hai lần nên số lần vật đi qua VTCB cho đến lúc dừng lại là: n = 2N = 0

2

kA

F .

* Khoảng thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc vật dừng lại là:

∆ = (Nếu coi dao động tắt dần có tính tuần hoàn với chu kỳ 2

ω

= )

* Quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại:

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:

2

0

1

.

kA

F

Chú ý:

* Lực F thường gặp là lực ma sát hoặc lực cản của môi trường Nếu F là lực ma sát thì:

* Khi con lắc dao động trên mặt phẳng ngang: F = μmg

* Khi con lắc dao động trên mặt phẳng nghiêng góc α so với mặt phẳng ngang: F = μmgcosα

* Khi vật bắt đầu dao động từ biên độ A0 thì tốc độ cực đại mà vật đạt được là khi vật đi qua vị trí mà hợp lực tác dụng vào vật bằng không lần thứ nhất

Bài tập áp dụng

1 Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 3% Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao nhiêu? (6%)

2 Một lò xo nhẹ độ cứng k = 300N/m, một đầu cố định, đầu kia gắn quả cầu nhỏ khối lượng m = 0,15kg Quả cầu có thể trượt trên dây kim loại căng ngang trùng với trục lò xo và xuyên tâm quả cầu Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng 2 cm rồi thả cho quả cầu dao động Do

ma sát quả cầu dao động tắt dần chậm Sau 200 dao động thì quả cầu dừng lại Lấy g = 10m/s2 Tính hệ số ma sát μ (0.005)

3 Một con lắc lò xo đang dao động tắt dần Người ta đo được độ giảm tương đối của biên

độ trong 3 chu kỳ đầu tiên là 10% Độ giảm tương ứng của thế năng là bao nhiêu?

4 Một con lắc đơn có độ dài 0,3m được treo vào trần của một toa xe lửa Con lắc bị kích động mỗi khi bánh xe của toa xe gặp chổ nối nhau của các đoạn đường ray Khi con tàu chạy thẳng đều với tốc độ là bao nhiêu thì biên độ của con lắc lớn nhất Cho biết khoảng cách giữa hai mối nối là 12,5m Lấy g = 9,8m/s2

5 Một người đi bộ với bước đi dài Δs = 0,6m Nếu người đú xỏch một xụ nước mà nước trong xụ dao động với tần số f = 2Hz Người đú đi với vận tốc bao nhiờu thỡ nước trong xụ súng sỏnh mạnh nhất ?

6 Một vật khối lượng m = 100g gắn với một lũ xo cú độ cứng 100 N/m, dao động trờn mặt phẳng ngang với biờn độ ban đầu 10cm Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s2, π2 = 10 Biết hệ

số ma sỏt giữa vật và mặt phẳng ngang là μ = 0,1 Vật dao động tắt dần với chu kỡ khụng đổi

a Tỡm tổng chiều dài quóng đường s mà vật đi được cho tới lỳc dừng lại

b Tỡm thời gian từ lỳc dao động cho đến lỳc dừng lại

7 Một con lắc lũ xo gồm lũ xo cú hệ số đàn hồi k = 60(N/m) và quả cầu cú khối lượng m

= 60(g), dao động trong một chất lỏng với biờn độ ban đầu A = 12cm Trong quỏ trỡnh dao động con lắc luụn chịu tỏc dụng của một lực cản cú độ lớn khụng đổi Fc Xỏc định độ lớn của lực cản

đú Biết khoảng thời gian từ lỳc dao động cho đến khi dừng hẳn là Δt = 120(s) Lấy π2 = 10

8.(ĐHA 2010) Một con lắc lũ xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lũ xo cú độ cứng 1 N/m Vật nhỏ được đặt trờn giỏ đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lũ xo Hệ số ma sỏt trượt giữa giỏ đỡ và vật nhỏ là 0,1 Ban đầu giữ vật ở vị trớ lũ xo bị nộn 10 cm rồi buụng nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy g = 10 m/s2 Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quỏ trỡnh dao động là bao nhiờu?

9.(CĐA 2008) Một con lắc lũ xo gồm viờn bi nhỏ khối lượng m và lũ xo khối lượng khụng đỏng kể cú độ cứng 10 N/m Con lắc dao động cưỡng bức dưới tỏc dụng của ngoại lực tuần hoàn cú tần số gúc ωF Biết biờn độ của ngoại lực tuần hoàn khụng thay đổi Khi thay đổi ωF thỡ biờn độ dao động của viờn bi thay đổi và khi ωF = 10 rad/s thỡ biờn độ dao động của viờn bi đạt giỏ trị cực đại Khối lượng m của viờn bi bằng bao nhiờu?

10 Con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật m = 100g, dao động trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là μ = 0,01, lấy g = 10m/s2 Sau mỗi lần vật chuyển động qua VTCB biên độ dao động giảm 1 lợng là bao nhiờu?

11. Một con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật m = 100g, dao động

trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là μ = 0,02 Kéo vật lệch khỏi VTCB một đoạn 10cm rồi thả nhẹ cho vật dao động Quãng đờng vật đi đợc từ khi bắt đầu dao động đến khi dừng hẳn là bao nhiờu?

Dạng 2 Dao động tắt dần của con lắc đơn (xột trường hợp con lắc dao động bộ)

* Thiết lập cỏc cụng thức tớnh toỏn

* Xột một con lắc đơn dao động tắt dần, cú biờn độ gúc ban đầu là α0 Biờn độ của con lắc giảm đều sau từng chu kỳ

* Gọi biờn độ sau một nửa chu kỳ đầu tiờn là α1

* Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta cú: 1 12 1 20 c

mgα - mg α = - F s

Trong đú Fc là lực cản tỏc dụng vào quả cầu con lắc khi con lắc dao động tắt dần và s là quóng đường mà vật đi được sau một nửa chu kỳ đầu tiờn Ta cú s = ℓ(α0 + α1)

* Khi đú 1 12 1 20 1 0

mgα - mg α = - F (α +α )

c 1

2F

Δ =

mg

α (1)

* Gọi α2 là biờn độ sau một nửa chu kỳ tiếp theo (hay là biờn độ ở cuối chu kỳ đầu tiờn)

mgα - mg α = - F (α +α )

c 2

2F

Δ =

mg

α (2)

* Từ (1) và (2) ta cú 0 2 4Fc

- =

mg

* Vậy độ giảm biờn độ gúc dao động của con lắc sau một chu kỡ là:

c

0 2

4F

Δ = - =

mg

* Độ giảm biờn độ dao động của con lắc sau N chu kỡ là: 0 2N 4NFc

- =

mg

* Nếu sau N chu kỡ mà vật dừng lại thỡ α2N = 0 hay số chu kỡ vật dao động được là: N

c

mgα

4F .

* Do một chu kỡ vật đi qua VTCB hai lần nờn số lần vật đi qua VTCB cho đến lỳc dừng lại là: n = 2N = 0

c

mgα 4F .

* Khoảng thời gian từ lỳc vật bắt đầu dao động cho đến lỳc vật dừng lại là:

T =

ω = 2 π g l )

* Quóng đường vật đi được cho đến khi dừng lại:

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:

2

0 c

c

mg 1

mg = F s hay s =

α

Bài tập ỏp dụng

1 Một con lắc đơn gồm dõy mảnh dài l cú gắn vật nặng nhỏ khối lượng m Kộo con lắc ra khỏi VTCB một gúc α0 = 0,1rad rồi thả cho nú dao động tại nơi cú gia tốc trọng trường g Trong quỏ trỡnh dao động con lắc chịu tỏc dụng của lực cản cú độ lớn khụng đổi luụn tiếp xỳc với quỹ đạo của con lắc Con lắc thực hiện bao nhiờu dao động thỡ dừng hẳn, cho biết Fc = mg.10-3N.

2 Một con lắc đơn có chiều dài l = 0 , 5 ( ) m , quả cầu nhỏ có khối lợng m 100 = ( ) g

Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trờng g = 9 , 8 ( m / s2) với biên độ góc

( ) rad

14

,

0

0 =

α Trong quá trình dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của lực ma sát nhỏ

có độ lớn không đổi FC = 0 , 002 ( ) N thì nó sẽ dao động tắt dần Tính độ gióm biờn độ gúc của con lắc sau mỗi chu kỡ v khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi à dừng hẳn Lấy π = 3 , 1416

3 Một con lắc đơn có chiều dài l = 0 , 248 ( ) m , quả cầu nhỏ có khối lợng

( ) g

m 100 = Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trờng g = 9 , 8 ( m / s2) với biên độ góc α0 = 0 , 07 ( ) rad trong môi trờng dới tác dụng của lực cản (có độ lớn không đổi) thì

nó sẽ dao động tắt dần có cùng chu kì nh khi không có lực cản Lấy π = 3 , 1416 Xác định

độ lớn của lực cản Biết con lắc đơn chỉ dao động đợc τ = 100 ( ) s thì ngừng hẳn.

4 Một con lắc đơn có chiều dài l = 0 , 992 ( ) m , quả cầu nhỏ có khối lợng

( ) g

m 25 = Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trờng g = 9 , 8 ( m / s2) với biên độ

0 = 4

α trong môi trờng có lực cản tác dụng Biết con lắc đơn chỉ dao động đợc

( ) s

50

=

τ thì ngừng hẳn Lấy π = 3 , 1416

a Xác định độ hao hụt cơ năng trung bình sau một chu kì.

b Để duy trì dao động, ngời ta dùng một bộ phận bổ sung năng lợng, cung cấp cho con lắc sau mỗi chu kì Bộ phận này hoạt động nhờ một pin tạo hiệu điện thế

( ) V

U = 3 , có hiệu suất 25% Pin dự trữ một điện lợng Q = 103 ( ) C Tính thời gian hoạt

động của đồng hồ sau mỗi lần thay pin.

5 Một con lắc đồng hồ đợc coi nh một con lắc đơn dao động nhỏ tại nơi có

( / 2)

8

,

g = với chu kì T = 2 ( ) s Quả cầu nhỏ của con lắc có khối lợng m 50 = ( ) g Biên độ góc α0 = 0 , 15 ( ) rad trong môi trờng có lực cản tác dụng thì nó chỉ dao động đợc

( ) s

200

=

a Tính số dao động thực hiện đợc, cơ năng ban đầu và độ giảm cơ năng trung bình sau mỗi chu kì.

b Ngời ta có thể duy trì dao động bằng cách dùng một hệ thống lên giây cót

0 = 4

thiết để lên giây cót Biết 80% năng lợng đợc dùng để thắng lực ma sát do hệ thống các bánh răng ca.

6 Một con lắc đồng hồ đợc coi nh một con lắc đơn có chu kì dao động T = 2 ( ) s ; vật nặng có khối lợng m 1 = ( ) kg Biên độ góc dao động lúc đầu là 0

0 = 5

dụng của một lực cản không đổi FC = 0 , 011 ( ) N nên nó chỉ dao động đợc một thời gian

( ) s

a Xác định τ

b Ngời ta dùng một pin có suất điện động 3 ( ) V điện trở trong không đáng kể

để bổ sung năng lợng cho con lắc với hiệu suất 25% Pin có điện lợng ban đầu

( ) C

0 = 10 Hỏi đồng hồ chạy đợc thời gian bao lâu thì lại phải thay pin?

ĐS: 1) τ = 40 ( ) s ; 2) 92 ( Ngày )